Tài liệu Toán - Các cách để chứng minh bất đẳng thức Schur

 1 
Cao Văn Dũng 
SV: Lớp K50A1s-Sp Toán – Khoa Sư Phạm – ĐHQGHN 
Nhiều Cách Để Chứng Minh Cho Bất Đẳng Thức Schur 
Bất đẳng thức Schur là một bất đẳng thức chặt và đẹp mắt có nhiều ứng dụng để 
giải toán, nhưng khi áp dụng nó thì phải chứng minh nó xong rồi mới được áp dụng. 
Bài viết này xin nêu ra một số cách để chứng minh, mong bạn đọc có them nhiều 
cách hay khác nữa đóng góp để cho bài viết trở nên phong phú hơn. 
Ta có bài toán bất đẳng thức Schur: Với các số thực không âm a,b,c ta luôn có bất 
đẳng thức sau: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0³--+--+-- bcaccabcbbcabaa . 
CM: 
Cách 1: (Đặt ẩn phụ) 
Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử cba ³³ . 
Đặt 0;0 ³-=³-= cbybax nên bất đẳng thức được viết lại thành: 
( ) ( ) ( ) ( ) .0³+++++-+ yxxyxcxyycyyxc 
( ) ( ) 02222 ³++++Û yxxyxyxc luôn đúng do x,y,c là các số không âm. 
Dấu “=” xảy ra khi cba == hoặc 0; == cba hoặc các hoán vị của nó. 
Cách 2: 
Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử cba ³³ . 
TH: 2 trong 3 số a,b,c bằng nhau thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. 
TH: cba >> ta chia vế trái bất đẳng thức cho ( )( )( ) 0>--- cacbba nên bất đẳng thức 
tương đương: 0>
-
+
-
-
- ba
c
ca
b
cb
a bất đẳng thức trên luôn đúng do 
.
0
0
ca
b
cb
a
cacb
ba
-
>
-î
í
ì
Þ
-<-<
>>
Cách 3: (Khảo sát hàm) 
Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử cba ³³ . 
Bất đẳng thức trên được viết lại: 
( ) ( ) ( ) .03333 ³+-+-+-+++ accacbbcbaababccba . 
Ta xét hàm số sau: ( ) ( ) ( )accacbbcbaababccbaaf +-+-+-+++= 3)( 333 
 2 
Ta có 
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 02222
22222233)( 2222222'
³-+-++-=-+---++-=
-+-+-+-=----+=
cbccababacbcbacbaababa
cbcacbcababacacbabbcaxf
Nên )(xf đồng biến 
Nên ( ) ( ) ( ) ( ) .023 223 ³-=+-+=³ caccaaccacbfaf 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. 
Cách 4: (Đánh giá) 
Do vai trò a,b,c là như nhau nên ta giả sử cba ³³ . 
Khi đó ta có: ( )( ) 0³-- bcacc . 
Ta xét: ( ) ( ) ( )( ) 022 ³-+-=+--=--- cbababcbacacbbcaa . 
 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 00 ³--+--Û³-----Þ abcbbcabaabacbbcabaa . 
Vậy cộng 2 bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh . 
Cách 5: (Dồn biến) 
Do vai trò a,b,c là như nhau nên ta giả sử .cba ££ 
Ta xét hàm số : ( ) ( ) ( ) ( )accacbbcbaababccbacbaf +-+-+-+++= 3,, 333 
Ta có 
( ) ( ) ( ) .
2
,
2
,,,0
4
5
2
,
2
,,, 2 ÷
ø
ö
ç
è
æ ++³Þ³-÷
ø
ö
ç
è
æ -+=÷
ø
ö
ç
è
æ ++-
cbcbafcbafcbacbcbcbafcbaf 
Như vậy để chứng minh bất đẳng thức trên ta chỉ cần chứng minh ( ) 0,, ³bbaf 
Mà ( ) ( ) .02,, 2223 ³-=-+= baabaababbaf 
Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh xong. 
Tài liệu tham khảo. 
[1]. Phạm Kim Hùng, 2006, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức. 
[2]. Cao Văn Dũng, Nhiều cách để chứng minh cho bất đẳng thức Schur, Tạp chí toán 
học tuổi thơ 2 tháng 7/ 2008, NXB GD.