Tài liệu môn Toán - Các bài toán max, min

www.truongthi.com.vn Môn Toán 
BÀI TOÁN MAX, MIN 
Cho mặt phẳng P: Ax + By, Cz + D = 0 và hai điểm A(x1, y1, z1), B(x2, y2, 
z2). Tìm điểm NM trên mặt phẳng P sao cho. 
a) NA + NB min 
b) MA MB− max 
Phương pháp chung: 
a) Nếu A, B nằm khác phía đối với mặt phẳng (P), thì N cần tìm chính là 
giao của đường thẳng AB với mặt phẳng (P). 
Nếu A, B nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P), thì lấy A’ đối xứng với A 
qua mặt phẳng (P), và điểm N cần tìm là giao của A’B với mặt phẳng (P). 
b) Nếu A, B nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P), thì điểm M cần tìm 
(nếu có) là giao của AB với mặt phẳng (P). Nếu A, B nằm khác phía đối 
với mặt phẳng (P), thì lấy A’ đối xứng với A qua (P), và M cần tìm chính là 
giao của A’B với mặt phẳng (P). 
Nhận xét: 
+) Nếu khoảng cách từ A và từ B đến mặt phẳng (P) khác nhau, thì có 
duy nhất một điểm M thỏa mãn điều kiện bài toán. 
+) Nếu khoảng cách từ A và từ B đến (P) bằng nhau và khác không, thì 
bài toán vô nghiệm. 
+) Nếu A, B nằm trong mặt phẳng (P) thì vô số nghiệm. 
áp dụng (Đại học Quốc gia Hà Nội  Khối B  2000). 
Cho mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 và hai điểm A(1, -3, 0), B(5, -1, -2). 
a) Chứng tỏ rằng đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại một điểm I thuộc 
đoạn AB. Tìm tọa độ điểm I. 
b) Tìm trên mặt phẳng (P) điểm M sao cho MA MB− max. 
Lời giải. 
a) Thay tọa độ điểm A, B vào vế trái phương trình của (P), ta có: 
f(A) = 1 – 3 – 1 = - 3 < 0 
f(B) = 5 – 1 – 2 – 1 = 1 > 0 
Chứng tỏ A, B nằm khác phía đối với mặt phẳng (P). Như vậy đường 
thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại điểm I nằm trên đoạn AB. 
Có thể làm cách khác như sau: AB (4, 2, -2) 
Xét phương trình đường thẳng AB: 
x 1 4t
y 3 2t
z 2t
= +
= − +
= −
Ta có (AB) ∩ (P) = I, I có tọa độ thỏa mãn: 
2 1
www.truongthi.com.vn Môn Toán 
(1 + 4t) + (-3 + 2t) - 2t - 1 = 0 ⇒ 4t - 3 = 0 
⇒ t = 3
4
, tọa độ I 
3 3
4, ,
2 2
 
− −   . 
Ta có IA 


−−
2
3;
2
3;3 ; IB 


−
2
1;
2
1;1 
Do đó IA = -3 . IB và I nằm trên đoạn AB. 
b) Gọi A là điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng (P). Ta tìm tọa độ 
của A’. Xét đường thẳng (d) qua A và (d) vuông góc với (P), Phương trình 
(d) có dạng: 
x 1 t
y 3 t
z t
= +
= − +
=
(d) × (P) tại H, thì H là trung điểm của AA’. 
Tìm tọa độ H: 3t - 3 = 0 ⇒ t = 1 
H (2, - 2, 1). Gọi A’ (x, y, z) thì 
x + 1 = 4 ⇒ x = 3 
y - 3 = - 4 ⇒ y = - 1 
z = 2, A’ (3, -1, 2). 
Điểm M cần tìm là giao của A’B với mặt phẳng (P). Ta có A’B (2, 0, -4) // 
U (1, 0, -2). Phương trình A’B có dạng 
x 3 s
y 1
z 2 2
= +
= −
= − s
M = (A’B) × (P); Điểm M ứng với tham số s thỏa mãn phương trình: 
 (3 + s) - 1 + (2 – 2s) - 1= 0 ⇒ s = 3 và M (6, -1, -4). 
4 2