Tài liệu Đại số Lớp 9 - Phương trình bậc hai và áp dụng hệ thức vi-ét trong giải toán - Kiều Ngọc Kiên

A: Phần mở đầu
I/ Vai trò của bài tập toán trong trường phổ thông:
- Môn toán là một trong những môn học công cụ. Đặc điểm của toán học quyết định vị trí của môn toán trong nhà trường phổ thông. Phân tích ta thấy toán học có tính trừu tượng cao độ, do đó có tính thực tiễn phổ dụng tri thức và phương pháp của toán học xâm nhập được nhiều khoa học khác và vào thực tiễn. Người ta thường dùng ngôn ngữ của toán học để diễn tả nhiều sự kiện ở các lĩnh vực rất khác nhau.
- Trong nhà trường các tri thức và phương pháp giúp học sinh học tốt các bộ môn khác, tính công cụ của môn toán trong việc học các môn khác càng trở nên rõ ràng, trong đời sống hàng ngày các kỹ năng tính toán, vẽ hình, đọc và vẽ biểu đồ, đo đạc, ước lượng, khái niệm sử dụng các dụng cụ toán học, máy tính điện tử là điều kiện cần có để tiến hành hoạt động của người lao động trong đời sống công nghiệp hoá, hiện đại hoá.
- Ngoài ra môn toán còn có tiềm năng phát triển năng lực, trí tuệ và hình thành các phẩm chất trí tuệ. Là môn học mang sẵn trong nó chẳng những phương pháp quy nạp thực nghiệm mà cả phương pháp suy diễn logic. Môn toán nói chung và bài tập toán nói riêng tạo cơ hội cho người học rèn luyện khả năng suy đoán và tưởng tượng. Vị trí không tách rời ngôn ngữ nên học toán có điều kiện rèn luyện ngôn ngữ chính xác và trong sáng. Bên cạnh đó bài tập toán còn có tiềm năng phát triển phẩm chất đạo đức học sinh, tạo điều kiện hình thành và hoàn thiện dần những nét nhân cách.
II/ Căn cứ lý luận:
- Mỗi một chuyên đề của toán học đều có đặc thù riêng. Bên cạnh đó chuyên đề “Phương trình bậc hai và áp dụng hệ thức vi-ét trong giải toán” là một trong những chuyên đề trọng tâm của chương trình đại số lớp 9. Để giảng dạy có hiệu quả chuyên đề này trước hết giáo viên phải đặt mục tiêu đề ra là: Học sinh phải nắm vững lí thuyết, phải hiểu sâu bản chất của bài toán xuất phát từ những kiến thức cơ bản và trọng tâm là: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai và định lí viet đối với phương trình bậc hai.
- Để đạt được mục tiêu đó một cách có hiệu quả nhất thì hơn hết học sinh phải hiểu được lý thuyết một cách sâu sắc và biết vận dụng thành thạo, kết hợp với khả năng phân tích, tổng hợp bài toán phải có kỹ năng trình bày, xét các khả năng có thể xảy ra với bài toán. Vì thế học sinh được cọ sát với các dạng toán với các bài toán chứa tham số các bài toán về nghiệm của phương trình bậc hai. Đồng thời khi được tiếp xúc nhiều với dạng toán này thì khả năng trên càng được phát huy tốt hơn, điều này rất tốt trong phương pháp học toán và học các môn khoa học khác.
III/ Căn cứ thực tiễn:
- Trong thực tiễn dạy học toán và bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau. Một bài toán có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra. Tất nhiên việc dạy giải một bài toán cụ thể không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn giản nào đó mà thường bao hàm nhiều ý đồ. Do đó khi học các em thường hay chủ quan với các bài toán, với kiến thức cơ bản, khả năng lập luận logic, chưa hiểu sâu sắc bản chất của vấn đề.
	- Do đó khi dạy chuyên đề “ Phương trình bậc hai và áp dụng hệ thức vi-ét trong giải toán” giáo viên cần giúp học sinh nắm chắc lí thuyết, giải thành thạo phương trình bậc hai cơ bản làm tốt các bài toán có chứa tham số để củng cố lý thuyết và phát huy tư duy logic khả năng biện luận các trường hợp xảy ra đối với bài tập có chứa tham số. Từ bài toán đơn giản không giải phương trình tính tổng và tích 2 nghiệm của phương trình bậc 2 , học sinh có phương tiện là hệ thức Vi- ét để tính toán . Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phương trình mà không biết cụ thể mỗi nghiệm là bao nhiêu .
 - Giải và biện luận phương trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó . Tiếp tục bài toán này thường kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm , các phép tính trên 2 nghiệm ... của phương trình . Việc tính mỗi nghiệm của phương trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phương trình đang chứa tham số . Trong trường hợp đó hệ thức Vi- ét là một phương tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này .
 - Cuối học kỳ 2 lớp 9 , thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ 2 và các kỳ thi cuối cấp . Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi- ét đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi quan trọng như thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào các trường chuyên lớp chọn ...Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng góp thêm một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét
B: Nội dung
“ Phương trình bậc hai và áp dụng hệ thức vi-ét trong giải toán”
	- Các bài toán về phương trình bậc hai rất phong phú và đa dạng. Để giải được các bài toán đó phải khéo léo kết hợp giữa việc vận dụng lý thuyết và các kết quả đã biết về phương trình bậc hai đặc biệt là định lí viet với đặc thù riêng của phương trình đã cho mà biến đổi cho phù hợp. Cách giải phương trình bậc hai.
- Nếu phương trình bậc hai có dạng: ax2 + bx = 0 (1) thì ta nên đưa phương trình trên về dạng tích: (1) x (ax + b) = 0
- Nếu phương trình bậc hai có dạng: ax2 + c = 0 (2) thì cũng không nên sử dụng công thức nghiệm để giải. 	(2) ax2 = -c
	+ Nếu < 0 phương trình vô nghiệm
	+ Nếu > 0 phương trình có nghiệm x = .
- Nếu phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 (3) (a 0) thì sử dụng công thức nghiệm để giải.
Công thức tổng quát
Tính: = b2 – 4ac.
- Nếu < 0 Pt vô nghiệm
- Nếu = 0 Pt có nghiệm kép
x1 = x2 = 
- Nếu > 0 Pt có 2 nghiệm phân biệt
x1 = x2 = 
Công thức nghiệm thu gọn
Tính: 
Nếu < 0 Pt vô nghiệm
Nếu = 0 Pt có nghiệm kép
x1 = x2 = 
- Nếu > 0 Pt có 2 nghiệm phân biệt
x1 = x2 = .
- Ngoài ra việc ứng dụng định lí vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai cũng là một cách ngắn gọn và hay mà học sinh thường hay không chú ý tới.
- Định lí vi-ét: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) (3) có nghiệm x1; x2 thì: x1+ x2 = và x1x2 = 
Nếu pt (3) a + b + c = 0 thì pt có hai nghiệm: x1 = 1; x2 = 
Nếu pt (3) a - b + c = 0 thì pt có hai nghiệm: x1 = -1; x2 = 
- Muốn tìm hai số biết tổng của chúng bằng S và tích của chúng bằng P ta chỉ cần giải pt: x2 - Sx + P = 0. Nếu pt có nghiệm thì hai số cần tìm là 2 nghiệm của phương trình này. Nếu pt vô nghiệm thì bài toán không có lời giải.
I/ Dạng 1: Giải và biện luận phương trình bậc hai.
Bài tập 1: Giải các phương trình bậc hai sau:
a) ( 1 - ) x2 – 2x + + 1 = 0 (1)
b) x2 – 5x + 6 = 0	(4)
*Phân tích tìm lời giải:
- Khi giải phương trình bậc hai học sinh thường ít khi chú ý đến ứng dụng của định lí viet vì thế hay sử dụng công thức nghiệm để giải. Phương trình (1). Rõ ràng nếu sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình (1) thì rất dài. Nếu ta chú ý ứng dụng của định lí vi-ét thì việc giải pt (2) rất đơn giản:
Lời giải: a) ( 1- )x2 - 2x + + 1 = 0
	 Ta có a + b + c = 1 - - 2 + + 1 = 0
Vậy pt có hai nghiệm x1 = 1; x2 = =
	- Có thể sử dụng công thức nghiệm để giải hoặc biến đổi về phương trình tích.
2) Bài tập 2: Giải phương trình sau:
*Phân tích tìm lời giải:
- Hạng tử cao nhất của phương trình có bậc bằng 2. Nếu quy đồng để biến đổi phương trình về dạng chính tắc thì phép tính sẽ rất cồng kềnh. Để ý đến đặc thù của phương trình ta có thể biến đổi như sau:
 (x2 + 99x – 100) () = 0
 x2 + 99x – 100 = 0
Vì a + b + c = 1 + 99 - 100 = 0
 Phương trình có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = -100.
* Khai thác bài toán:
* Từ lời giải bài toán trên ta có thể đưa ra giải các bài toán tương tự như giải phương trình sau:
Bài tập: 
Với đặc điểm của phương trình này ta cộng mỗi phân thức ở cả hai vế với 1 và làm tương tự như ở bài toán trên ta sẽ được phương trình x2 + ax + 21 = 0.
3) Bài tập 3: Giải và biện luận phương trình sau:
a) x2 – mx – 3(m + 3) = 0 (1)
b) mx2 – 2(m + 2)x + m + 5 = 0 (2)
* Phân tích tìm lời giải:
- Trước hết xét phương trình (1) là phương trình bậc hai vì (a0).
 = (-m)2 + 4.3 (m + 3) = m2 + 12m + 36 = (m + 6)2; = = 
- Nếu = 0 (m+ 6)2 = 0 m+ 6 = 0 m = - 6 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = = -3.
- Nếu > 0 hay m > -6 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
	x1 = 	
 - Ta xét phương trình (2). Vì hệ số a của x2 có chứa tham số. Vì vậy ta xét các trường hợp xảy ra đối với phương trình (2). Nếu m = 0 thì phương trình (2) là phương trình bậc nhất. Nếu m 0 thì phương trình (2) là phương trình bậc hai. Vậy ta xét các trường hợp xảy ra như sau:
- Nếu m = 0 Phương trình (2) - 4x + 5 = 0 x = 
 Vậy m =0 thì pt có nghiệm là x = 
- Nếu m0 . Ta có ’= (m+2)2 – m(m+5)
	 = m2 + 4m + 4 – m2- 5m = 4 – m
- Nừu ’ < 0 4 – m < 0 thì pt vô nghiệm
- Nếu ’ = 0 4 – m = 0 . Vậy pt có nghiệm kép x1 = x2 = = = 
- Nếu ’ > 0 4 – a > 0 a < 4 thì pt có hai nghiệm phân biệt
	x1 = 	x2 = 
*Khai thác bài toán :
 Qua việc giải bài tập trên ta thấy khi giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 nếu hệ số a có chứa tham số thì chú ý xét hai trường hợp xảy ra đối với a đó là a = 0 và a 0 trong quá trình biện luận. Ta có thể đưa ra các bài tập tương tự
 Bài tập : Giải và biện luận các pt sau ( với m là tham số)
	a/ x2 + 2(1 + 3m)x – m2
	b/ 2m2x2 – 3x – 1 = 0
	c/ mx2 – 2(m + 1)x – 2m = 0
	d/ (m-1)x2 + 2(m+1)x + m-3 = 0
II> Dạng II : Chứng minh ( tìm điều kiện) để pt bậc hai có nghiệm
 - Một bài toán có thể nhìn ở nhiều góc độ khác nhau, mỗi cách nhìn cho ta một cách giải khác nhau. Việc tìm nhiều lời giải cho một bài toán giúp cho học sinh tái hiện được nhiều kiến thức, mỗi cách giải ứng với kiến thức ở nhiều mục khác nhau. Cần nhiều cách giải cho một bài toán giúp học sinh khắc sâu kiến thức, hệ thống kiến thức, nhớ bài tập đó lâu hơn và là tiền đề giúp cho ta giải các bài toán khác. Dựa vào công thức nghiệm tổng quát và thu gọn muốn chứng minh pt bậc hai có nghiệm ta có hai cách:
 - Cách 1: CM 0 hoặc ’ 0
 - Cách 2 : có thể CM tích a.c 0 hoặc ’ > 0). Chú ý khi a.c > 0 thì chưa kết luận được điều gì về dấu của và ’
 - Cách 3 : ứng dụng định lí Viét:
 Nếu : a + b + c = 0 thì pt luôn có 2 nghiệm x1 = 1 ; x2 = 
 Nếu a – b + c = 0 thì pt luôn có 2 nghiệm x1 = -1 ; x2 = 
1)Bài tập 1 : CMR các pt sau luôn có nghiệm với mọi m
	a/ x2 + (m+1) + m = 0 (1)
	b/ m2x2 + 10x – 1 = 0 (2)
Phân tích tìm lời giải: 
 - Ta nhận thấy pt (1) là pt bậc hai ( vì a ). Vậy để chứng minh pt (1) luôn có nghiệm ta phải chứng minh 0 với mọi giá trị của m
 Ta có = (m+1)2 – 4m = m2 + 2m +1 – 4m = m2 + 2m + 1 = (m-1)2 0 với mọi m
Vậy 0 với mọi giá trị của m. Chứng tỏ pt luôn có nghiệm với mọi m
 - Tuy nhiên ở pt (2) có chứa tham số m ở hệ số a của x2. Vì thế để CM pt luôn có nghiệm với mọi m ... n lượt là nghiệm của pt (1) và pt (2) nên thay vào ta có:
hoặc 
 Lần lượt thử lại với a = 0; a = 3 để chọn kết quả đúng.
Khai thác bài toán:
	Qua bài tập này học sinh có thể làm bài tập tương tự. Với nghiệm của pt này gấp k lần nghiệm của pt kia.
Bài tập 1: Cho các pt x3 – 5x + k = 0 (1)
	 x2 – 7x + 2k = 0 (2)
	Xác định k để một trong các nghiệm của pt (2) lớn gấp hai lần một trong các nghiệm của pt (1).
 Bài tập 2: Cho các pt ax2 + bx + c = 0 (1)
	 cx2 + bx + a = 0 (2).
Biết pt (1) có một nghiệm dương là x = m. Chứng minh pt (2) có một nghiệm là n sao cho n + m 2.
V/ Dạng V: Phương trình bậc hai với tính chất các nghiệm:
 ở dạng này kiến thức trọng tâm là ứng dụng định lí viet cùng với điều kiện để pt bậc hai có nghiệm. Các dạng toán về định lí viét.
	+ Biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm.
	+ Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào cheath.
	+ Tìm điều kiện để pt có hai nghiệm thoả mãn một hệ thức cho trước.
	+ Tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức liên quan tới hai nghiệm.	
Bài tập 1: Cho pt: x2 – 2 (m – 1)x + m – 3 = 0
	a) Chứng minh rằng pt luôn có nghiệm với mọi m.
	b) Tuỳ theo giá trị của m hãy tính A = x12 + x22.
	c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
	d) Tìm m để pt có 2 nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
	e) Tìm giá trị m của A = x12 + x22.
Phân tích tìm lời giải:
a) Ta có: ’ = (m – 1)2 – (m – 3) = m2 – 2m + 1 – m + 3 = m2 – 3m + 4.
 ’ = (m - )2 + > 0 với mọi m.
 Chứng tỏ pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Để tính biểu thức A = x12 + x22 theo m. Trước hết hãy biến đổi biểu thức A về tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm. Từ đó sử dụng hệ thức viét để tính.
	Ta có: A = x12 + x22 = x12 + 2 x1. x2 + x22 – 2x1x2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2.	
	Theo viét : thay vào ta có:
A = 2(m – 1) 2 – 2 ( m – 3) = 4(m2 – 2m + 1) – 2m + b = 4m2 – 8m + 4 – 2m + 6.
= 4m2 - 10m + 10
c) Để tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. Từ hệ thức Vi ét ta rút m theo x1, x2. từ đó tìm được hệ thức.
Ta có 
	Từ (2) => m = x1.x2 + 3 thay vào (1) ta có
	x1.x2 = 2(x1.x2 + 3 – 1)
 x1 + x2 = 2(x1.x2 + 2)
Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là : x1 + x2 = 2(x1.x2 + 2)
d) Để có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia 
 x1 = 2x2 hoặc x2 = 2x1
 x1 – 2x2 = 0 hoặc x2 - 2x1 = 0
 (x1 – 2x2 )( x2 - 2x1) = 0
 x1.x2 - 2x12 – 2x22 +4x1x2 = 0
 5x1.x2 - 2(x12 + x22) = 0
 5x1.x2 - 22 - 2x1.x2 = 0
 9x1.x2 - 2(x1 + x2)2 = 0
Thay vào ta có:
 9(m – 3) - 22 = 0
 9m – 27 – 8(m2 – 2m + 1) = 0
 9m – 27 – 8m2 + 16m – 8 = 0
 8m2 – 25m + 35 = 0
 Ta có : = ( -25)2 – 4.8.35 = 625 – 1200 = - 495 < 0
 Vậy pt vô nghiệm không có giả thiết nào của m để pt có nghiệm này gấp 2 lần nghiệm kia.
e) Ta có A = x12 + x22 = 4m2 – 10m + 10
 = ( 2m - ) 2 + với mọi m
Vậy giả trị nhỏ nhất của A là khi 2m - = 0 m = 
 Khai thác bài toán : 
	Qua lời giải bài toán trên ta có thể đưa ra một loạt các bài toán có tính chất tương tự như :
 Bài tập 1 : Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình x2 + 5x + 2 = 0. Tính giá trị các biểu thức:
	a) A = x12 + x22 b) B = x13 + x23 c) C = x14 + x24 
	d) D = x12.x23 + x13.x22 e) E = 
VI Dạng VI : Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm
Nếu x; y thỏa mãn x + y = S và x.y = P thì x, y là hai nghiệm cuả phương trình :
 X2 - S X + P = 0
Bài toán 1: Lập một phương trình bậc hai có 2 nghiệm là: x1 = và x2 = 
Phân tích tìm lời giải: 
Ta sử dụng tìm hai số khi biết tổng và tích vì thế ta có thể lập được phương trình bậc hai nhận hai số đó là nghiệm.
Ta có x1 + x2 = + = + = 2
 x1.x2 = (). = 1
Vậy x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x2- 2x + 1 = 0
Khai thác bài toán : 
Để phát huy tính tích cực của học sinh, giáo viên thay đổi hoặc thêm một số yếu tố khác để làm cho bài toán dễ hay khó đi, phù hợp với mức độ từng học sinh. Vì vậy ta có bài toán sau:
Bài toán 2: Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (1) ( a; c 0) có nghiệm x1; x2 
a, Lập phương trình bậc hai nhận và là nghiệm 
b, Tìm các hệ thức giữa a, b, c để x12 + x22 + x32 + x42 = 4 ( x3 , x4 là hai nghiệm của phương trình vừa lập được )
Phân tích tìm lời giải: 
a, Ta thấy mức độ bài toán đã khó hơn. Vì vậy đòi hỏi học sinh phải có sự đào sâu suy nghĩ để giải quyết bài toán trên.
Ta có : x1 + x2 = - ; x1.x2 = ( vì x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình (1)
Mặt khác + = 
	Vậy ; là nghiệm của phương trình : 
b, Ta có x12 + x22 + x32 + x42 = 
Dấu “ = ” xảy ra x12 = 1 và x22 = 1 x1 =x2 = 1 hoặc x1 =x2 = -1 hoặc x1 + x2= 0 và x1.x2= - 1
 + Nếu x1 =x2 = 1 khi đó phương trình (1) có nghiệm kép 
 + Nếu x1+ x2 = 0 hay b = 0 ; x1.x2 = -1 hay c = 0 
Khai thác bài toán : 
Từ bài toán trên giáo viên có thể khai thác các dạng toán sau:
Bài tập 1: Tìm m và n để các phương trình sau: x2 – mx + n + 1 = 0 và 
( n+ 1)x2 – mx + 1= 0 đều có hai nghiệm phân biệt thoả mãn tổng bình phương các nghiệm của hai phương trình đều bằng 4
Bài tập 2 : Giả sử x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – (2m + 1)x + m = 0 . Hãy lập một phương trinh bậc hai nhận làm nghiệm.
VII Dạng VII: ứng dụng của phương trình bậc hai vào quan hệ giữa parabol và đường thẳng
Hoành độ giao điểm của parabol y = ax2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n (m0) là nghiệm của phương trình : ax2 = mx + n (1) 
Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì đường thẳng và parabol không cắt nhau
Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì đường thẳng và parabol tiếp xúc nhau
Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng và parabol cắt nhau tại hai điểm phân biệt 
Bài toán 1: Lập phương trình tiếp tuyến của (P) y = 0,5x2 biết nó đi qua điểm A (1;0) 
Phân tích tìm lời giải:
 Gọi phương trình đường thẳng cần lập y = ax + b (d) Vậy (d) đi qua A và tiếp xúc với (P), nên sử dụng điều kiện (d) tiếp xúc với (P) ta sẽ lập được phương trình đường thẳng thoả mãn đầu bài 
Vì (d) đi qua điểm A(1;0) nên ta có : a + b = 0
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
 0,5x2 = a x + b x2- 2a x – 2b = 0 (1)
Vì (d) và (P) tiếp xúc nhau nên phương trình (1) có nghiệm kép
 hay ’=0a2+ 2b = 0 Do đó ta có Vậy phương trình đường thẳng cần lập y = 0 và y = 2x- 2
Khai thác bài toán : 
 Qua lời giải bài toán trên ta có thể đưa ra các bài toàn tương tự nhưng mức độ cao hơn, khó hơn. Vì thế ta có bài toán sau:
Bài toán 2: Cho (P) y =x2. CMR với mọi điểm M thuộc đường thẳng y = - 0,5 thì các tiếp tuyến kẻ từ M đến (P) vuông góc với nhau.
Phân tích tìm lời giải : 
 Xét một điểm M thuộc đường thẳng y = - 0,25. Ta cần chứng minh qua điểm này có hai đường thẳng tiếp xúc với (P) và hai đường thẳng này vuông góc với nhau.
 Gọi M(m ; - 0,25) bất kì thuộc đường thẳng y = - 0,25. Xét đường thẳng (d) có phương trình :y = ax + b đi qua M và tiếp xúc với (P). Ta có: ma + b = - 0,25
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình :
 	 x2 = a.x – 0,25 – ma 
 x2 – ax + ma + 0,25 = 0
Ta có = a2 – 4ma – 1 .Để (d) tiếp xúc với (P) = 0a2 – 4ma – 1 = 0 (1) 
 Dễ thấy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt a1; a2.Vì 4 m2 + 1 > 0 với mọi m
Vậy luôn có hai tiếp tuyến của (P) qua M là đường thẳng (d1) : y = a1x + b1 và (d2) y= a2x + b2
 Lại có a1.a2 = 1 ( theo vi ét) nên (d1) (d2) . Vậy chứng tỏ rằng qua điểm M có thuộc đường thẳng y = - 0,25 luôn tồn tại hai tiếp tuyến của (P) vuông góc với nhau.
*Dựa vào sự hiểu biết sâu sắc của mình về vị trí tương đối củađường thẳng (d) và (P) thông qua số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm mà học sinh có thể làm được nhiều dạng bài toán có liên quan đến (P) và đường thẳng (d)
Bài tập 1: Cho (P) : y = x2. Tìm điểm A thuộc (P) sao cho tiếp tuyến tại A của (P) song song với đường thẳng y = 4x + 5.
Bài tập 2 : Cho (P) y = x2. Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng y = mx + 2 với (P). Tìm m để AB có độ dài nhỏ nhất.
Bài tập 3: Cho (P) y = - 0,5x2 và đường thẳng y = 0,5x + 3 (d) 
a, Tìm toạ độ giao điểm A và B của (P) và (d)
b, Tìm điểm M thuộc sao cho diện tích lớn nhất.
VIII Dạng VIII. ứng dụng điêù kiện có nghiệm của phương trinh bậc hai vào bài toán tim cực trị
Bài toán 1: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A =
Phân tích tìm lời giải
Để tìm GTLN, GTNN của biểu thức A thì ta phải chứng minh được m A k ( m và k là hằng số ).Muốn vậy ta xét một giá trị bất kì của biểu thức A là a
Khi đó sử dụng điều kiện có nghiệm ta sẽ tìm được GTLN,GTNN.
 Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm.
a = ( do x2 + x + 1 0 ) (1)
a x2 + a x + a = x2 – x + 1
( a – 1 )x2 + ( a + 1)x + ( a – 1 ) = 0 (2)
TH1 : Nếu a = 1 thì phương trình (2) có nghiệm x = 0 
TH2 : Nếu a 1 thì phương trình (2) có nghiệm 
 ( a + 1)2 – 4( a -1)2 0
	( 3a – 1).(a – 3) 0
 ≤ a ≤ 3 ( a ? 1)
 ≤ A ≤ 3
Với a = thì x = 1. Với a = 3 thì x = -1
Vậy Min A = x =1. MaxA = 3 x = - 1 
Khai thác bài toán :
 Qua bài toán trên ta có thể đưa ra các bài toán tương tự cho học sinh vận dụng
Bài tập 1: Tìm m ,n để A = đạt GTLN bằng và GTNN bằng 3
Bài tập 2: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:
 	A = B = 
C Kết luận 
 - Quá trình nghiên cứu và tìm tòi việc dạy học toán cho học sinh nói chung và học sinh THCS nói riêng là vô cùng quan trọng. Sau nhiều lần áp dụng kinh nghiệm tôi thấy học sinh nắm bắt kiến thức tốt hơn , khả năng xử lí một bài toán của học sinh ở mọi góc độ , mọi khía cạnh rất chặt chẽ tư duy có chiều sâu.Điều này rất lợi cho việc học toán. Để làm tốt nhiệm vụ này người giáo viên phải trang bị cho mình những kiến thức, kĩ năng khai thác một bài toán . Có được những kiến thức kĩ năng này người giáo viên sẽ có điều kiện dạy học tốt tới nhiều đối tượng học sinh trong cùng một bài toán, có điều kiện giúp học sinh nắm chắc và hiểu sâu kiến thức, biết cách phân biệt các yếu tố chính cơ bản trong những bài tập. Sau nhiều năm giảng dậy nghiên cứu và tìm tòi tôi đã thu được một số kết quả khi giảng dậy cho học sinh phương pháp này
Trong năm học 2010- 2011: Kết quả kiểm tra đối chứng giữa hai lớp 9A áp dụng phương pháp trên và 9B không áp dụng phương pháp trên như sau :
Xếp loại
Lớp
Giỏi
Khá
TB
Yếu
9A
3(10%)
15(50%)
10(33,3%)
2(6,7%)
9B
2(6,7%)
10(33,3%)
14(46,7%)
4(13,3%)
	Như vậy tỉ lệ học sinh đạt từ khá, giỏi của lớp 9A cao hơn 9B khi sử dụng phương pháp dạy học này. Và đề tài này đã có tác dụng tốt trong việc giảng dạy và học tập của học sinh trung học cơ sở
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của tôi, rất mong các đồng chí tham khảo và đóng góp ý kiến để tôi có một phương pháp dạy có hiệu quả nhất với chuyên đề này
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Duy Minh, ngày 5 tháng 4 năm 2011
 Người viết
 Kiều Ngọc Kiên