Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán học Lớp 6 - Nguyễn Văn Tú

Chủ đề 1: TẬP HỢP
II. Bài tập
Dạng 1: Rèn kĩ năng viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu
Bài 1: Cho tập hợp A là các chữ cái trong cụm từ “Thành phố Hồ Chí Minh”
Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A.
Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
a)	 b A	;	c A	; h A
Hướng dẫn
a/ A = {a, c, h, I, m, n, ô, p, t}
b/ 	
Lưu ý HS: Bài toán trên không phân biệt chữ in hoa và chữ in thường trong cụm từ đã cho.
Bài 2: Cho tập hợp các chữ cái X = {A, C, O}
a/ Tìm chụm chữ tạo thành từ các chữ của tập hợp X.
b/ Viết tập hợp X bằng cách chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của X.
Hướng dẫn
a/ Chẳng hạn cụm từ “CA CAO” hoặc “CÓ CÁ”
b/ X = {x: x-chữ cái trong cụm chữ “CA CAO”}
Bài 3: Chao các tập hợp
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9}
a/ Viết tập hợp C các phần tử thuộc A và không thuộc B.
b/ Viết tập hợp D các phần tử thuộc B và không thuộc A.
c/ Viết tập hợp E các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.
d/ Viết tập hợp F các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B.
Hướng dẫn:
a/ C = {2; 4; 6} 
b/ D = {5; 9} 
c/ E = {1; 3; 5} 
d/ F = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} 
Bài 4: Cho tập hợp A = {1; 2; a; b} 
a/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 1 phần tử.
b/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 2 phần tử.
c/ Tập hợp B = {a, b, c} có phải là tập hợp con của A không?
Hướng dẫn
a/ {1} { 2} { a } { b} 
b/ {1; 2} {1; a} {1; b} {2; a} {2; b} { a; b} 
c/ Tập hợp B không phải là tập hợp con của tập hợp A bởi vì c nhưng c 
Bài 5: Cho tập hợp B = {x, y, z} . Hỏi tập hợp B có tất cả bao nhiêu tập hợp con?
Hướng dẫn
- Tập hợp con của B không có phần từ nào là .
- Tập hợp con của B có 1phần từ là {x} { y} { z } 
- Các tập hợp con của B có hai phần tử là {x, y} { x, z} { y, z } 
- Tập hợp con của B có 3 phần tử chính là B = {x, y, z} 
Vậy tập hợp A có tất cả 8 tập hợp con.
Ghi chú. Một tập hợp A bất kỳ luôn có hai tập hợp con đặc biệt. Đó là tập hợp rỗng và chính tập hợp A. Ta quy ước là tập hợp con của mỗi tập hợp.
Bài 6: Cho A = {1; 3; a; b} ; B = {3; b} 
Điền các kí hiệu thích hợp vào ô vuông
1 ý A	;	3 ý A	;	3 ý B	;	B ý A
Bài 7: Cho các tập hợp
 ; 
Hãy điền dấu hayvào các ô dưới đây
N ý N*	;	A ý B	
Dạng 2: Các bài tập về xác định số phần tử của một tập hợp
Bài 1: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử?
Hướng dẫn:
Tập hợp A có (999 – 100) + 1 = 900 phần tử.
Bài 2: Hãy tính số phần tử của các tập hợp sau:
a/ Tập hợp A các số tự nhiên lẻ có 3 chữ số.
b/ Tập hợp B các số 2, 5, 8, 11, , 296.
c/ Tập hợp C các số 7, 11, 15, 19, , 283.
Hướng dẫn
a/ Tập hợp A có (999 – 101):2 +1 = 450 phần tử.
b/ Tập hợp B có (296 – 2 ): 3 + 1 = 99 phần tử.
c/ Tập hợp C có (283 – 7 ):4 + 1 = 70 phần tử.
Cho HS phát biểu tổng quát:
Tập hợp các số chẵn từ số chẵn a đến số chẵn b có (b – a) : 2 + 1 phần tử.
Tập hợp các số lẻ từ số lẻ m đến số lẻ n có (n – m) : 2 + 1 phần tử.
Tập hợp các số từ số c đến số d là dãy số các đều, khoảng cách giữa hai số liên tiếp của dãy là 3 có (d – c ): 3 + 1 phần tử.
Bài 3: Cha mua cho em một quyển số tay dày 256 trang. Để tiện theo dõi em đánh số trang từ 1 đến 256. HỎi em đã phải viết bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sổ tay?
Hướng dẫn:
- Từ trang 1 đến trang 9, viết 9 số.
- Từ trang 10 đến trang 99 có 90 trang, viết 90 . 2 = 180 chữ số.
- Từ trang 100 đến trang 256 có (256 – 100) + 1 = 157 trang, cần viết 157 . 3 = 471 số.
Vậy em cần viết 9 + 180 + 471 = 660 số.
Bài 4: Các số tự nhiên từ 1000 đến 10000 có bao nhiêu số có đúng 3 chữ số giống nhau.
Hướng dẫn:
- Số 10000 là số duy nhất có 5 chữ số, số này có hơn 3 chữ số giống nhau nên không thoả mãn yêu cầu của bài toán.
Vậy số cần tìm chỉ có thể có dạng: , , , với a b là cá chữ số.
- Xét số dạng , chữ số a có 9 cách chọn ( a 0) có 9 cách chọn để b khác a.
Vậy có 9 . 8 = 71 số có dạng .
Lập luận tương tự ta thấy các dạng còn lại đều có 81 số. Suy ta tất cả các số từ 1000 đến 10000 có đúng 3 chữ số giống nhau gồm 81.4 = 324 số.
Chủ đề 2: PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN – PHÉP TRỪ VÀ PHÉP CHIA	
 I. Bài tập
Dạng 1: Các bài toán tính nhanh
Bài 1: Tính tổng sau đây một cách hợp lý nhất.
a/ 67 + 135 + 33
b/ 277 + 113 + 323 + 87
ĐS: a/ 235	b/ 800
Bài 2: Tính nhanh các phép tính sau:
a/ 8 x 17 x 125
b/ 4 x 37 x 25
ĐS: a/ 17000	b/ 3700
Bài 3: Tính nhanh một cách hợp lí:
a/ 997 + 86
b/ 37. 38 + 62. 37
c/ 43. 11; 67. 101; 423. 1001
d/ 67. 99; 998. 34
Hướng dẫn
a/ 997 + (3 + 83) = (997 + 3) + 83 = 1000 + 80 = 1083
Sử dụng tính chất kết hợp của phép cộng.
Nhận xét: 997 + 86 = (997 + 3) + (86 -3) = 1000 + 83 = 1083. Ta có thể thêm vào số hạng này đồng thời bớt đi số hạng kia với cùng một số.
b/ 37. 38 + 62. 37 = 37.(38 + 62) = 37.100 = 3700.
Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
c/ 43. 11 = 43.(10 + 1) = 43.10 + 43. 1 = 430 + 43 = 4373.
67. 101= 6767
423. 1001 = 423 423
d/ 67. 99 = 67.(100 – 1) = 67.100 – 67 = 6700 – 67 = 6633
998. 34 = 34. (100 – 2) = 34.100 – 34.2 = 3400 – 68 = 33 932
Bái 4: Tính nhanh các phép tính:
a/ 37581 – 9999
b/ 7345 – 1998
c/ 485321 – 99999
d/ 7593 – 1997
Hướng dẫn:
a/ 37581 – 9999 = (37581 + 1 ) – (9999 + 1) = 37582 – 10000 = 89999 (cộng cùng một số vào số bị trừ và số trừ
b/ 7345 – 1998 = (7345 + 2) – (1998 + 2) = 7347 – 2000 = 5347
c/ ĐS: 385322	
d/ ĐS: 5596
Dạng 2: Các bài toán có liên quan đến dãy số, tập hợp
Bài 1: Tính 1 + 2 + 3 +  + 1998 + 1999
Hướng dẫn
- Áp dụng theo cách tích tổng của Gauss
- Nhận xét: Tổng trên có 1999 số hạng
Do đó 
S = 1 + 2 + 3 +  + 1998 + 1999 = (1 + 1999). 1999: 2 = 2000.1999: 2 = 1999000
Bài 2: Tính tổng của:
a/ Tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số.
b/ Tất cả các số lẻ có 3 chữ số.
Hướng dẫn:
a/ S1 = 100 + 101 +  + 998 + 999 
Tổng trên có (999 – 100) + 1 = 900 số hạng. Do đó
S1= (100+999).900: 2 = 494550
b/ S2 = 101+ 103+  + 997+ 999 
Tổng trên có (999 – 101): 2 + 1 = 450 số hạng. Do đó
S2 = (101 + 999). 450 : 2 = 247500
Bài 3: Tính tổng
a/ Tất cả các số: 2, 5, 8, 11, , 296
b/ Tất cả các số: 7, 11, 15, 19, , 283
ĐS: 	a/ 14751
	b/ 10150 
Các giải tương tự như trên. Cần xác định số các số hạng trong dãy sô trên, đó là những dãy số cách đều.
Bài 4: Cho dãy số:
a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19.
b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29.
c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, 
Hãy tìm công thức biểu diễn các dãy số trên.
ĐS:
a/ ak = 3k + 1 với k = 0, 1, 2, , 6
b/ bk = 3k + 2 với k = 0, 1, 2, , 9
c/ ck = 4k + 1 với k = 0, 1, 2,  hoặc ck = 4k + 1 với k N
Ghi chú: Các số tự nhiên lẻ là những số không chia hết cho 2, công thức biểu diễn là , k N
Các số tự nhiên chẵn là những số chia hết cho 2, công thức biểu diễn là , k N
Dạng 3: Ma phương 
9
19
5
7
11
15
17
3
10
Cho bảng số sau:
Các số đặt trong hình vuông có tính chất rất đặc biệt. đó là tổng các số theo hàng, cột hay đường chéo đều bằng nhau. Một bảng ba dòng ba cột có tính chất như vậy gọi là ma phương cấp 3 (hình vuông kỳ diệu)
15
10
17
16
14
12
11
18
13
15
10
12
Bài 1: Điền vào các ô còn lại để được một ma phương cấp 3 có tổng các số theo hàng, theo cột bằng 42.
Hướng dẫn:
4
9
2
3
5
7
8
1
6
1
4
2
7
5
3
8
6
9
Bài 2: Điền các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vào bảng có 3 dòng 3 cột để được một ma phương cấp 3?
Hướng dẫn: Ta vẽ hình 3 x 3 = 9 và đặt thêm 4o ô phụ vào giữa các cạnh hình vuông và ghi lại lần lượt các số vào các ô như hình bên trái. Sau đó chuyển mỗi số ở ô phụ vào hình vuông qua tâm hình vuông như hình bên phải.
8
9
24
36
12
4
6
16
18
Bài 3: Cho bảng sau
10
a
50
100
b
c
d
e
40
Ta có một ma phương cấp 3 đối với phép nhân. Hãy điền tiếp vào các ô trống còn lại để có ma phương? 
ĐS: a = 16, b = 20, c = 4, d = 8, e = 25
Chủ đề 3: LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN	
I. Bài tập
Dạng 1: Các bài toán về luỹ thừa
Bài 1: Viết các tích sau đây dưới dạng một luỹ thừa của một số:
a/ A = 82.324
b/ B = 273.94.243
ĐS: a/ A = 82.324 = 26.220 = 226. hoặc A = 413
b/ B = 273.94.243 = 322
Bài 2: Tìm các số mũ n sao cho luỹ thừa 3n thảo mãn điều kiện: 25 < 3n < 250
Hướng dẫn
Ta có: 32 = 9, 33 = 27 > 25, 34 = 41, 35 = 243 250
Vậy với số mũ n = 3,4,5 ta có 25 < 3n < 250
Bài 3: So sách các cặp số sau:
a/ A = 275 và B = 2433
b/ A = 2 300 và B = 3200
Hướng dẫn
a/ Ta có A = 275 = (33)5 = 315 và B = (35)3 = 315
 Vậy A = B
b/ A = 2 300 = 33.100 = 8100 và B = 3200 = 32.100 = 9100
Vì 8 < 9 nên 8100 < 9100 và A < B.
Ghi chú: Trong hai luỹ thừa có cùng cơ số, luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn thì lớn hơn.
Dạng 2: Bình phương, lập phương
Bài 1: Cho a là một số tự nhiên thì:
a2 gọi là bình phương của a hay a bình phương
a3 gọi là lập phương của a hay a lập phương
k số 0
a/ Tìm bình phương của các số: 11, 101, 1001, 10001, 10001, 1000001, , 
k số 0
b/ Tìm lập phương của các số: 11, 101, 1001, 10001, 10001, 1000001, , 
Hướng dẫn
k số 0
 k số 0
k số 0
Tổng quát 2 = 100020001
k số 0
k số 0
k số 0
k số 0
3 = 1000300030001
- Cho HS dùng máy tính để kiểm tra lại.
Bài 2: Tính và so sánh
a/ A = (3 + 5)2 và B = 32 + 52
b/ C = (3 + 5)3 và D = 33 + 53
ĐS: a/ A > B	; b/ C > D
Lưu ý HS tránh sai lằm khi viết (a + b)2 = a2 + b2 hoặc (a + b)3 = a3 + b3
Dạng 3: Ghi số cho máy tính - hệ nhị phân
- Nhắc lại về hệ ghi số thập phân
VD: 1998 = 1.103 + 9.102 +9.10 + 8
 trong đó a, b, c, d, e là một trong các số 0, 1, 2, , 9 vớ a khác 0.
- Để ghi các sô dùng cho máy điện toán người ta dùng hệ ghi số nhị phân. Trong hệ nhị phân số có giá trị như sau: 
Bài 1: Các số được ghi theo hệ nhị phân dưới đây bằng số nào trong hệ thập phân?
a/ 	b/ 
ĐS: A = 93	B = 325
Bài 2: Viết các số trong hệ thập phân dưới đây dưới dạng số ghi trong hệ nhị phân:
a/ 20	b/ 50 	c/ 1335
ĐS: 20 = 	50 = 1355 = 
GV hướng dẫn cho HS 2 cách ghi: theo lý thuyết và theo thực hành.
Bài 3: Tìm tổng các số ghi theo hệ nhị phân:
a/ 11111(2) + 1111(2)
b/ 10111(2) + 10011(2)
  +
0
1
0
0
1
1
1
10
Hướng dẫn
a/ Ta dùng bảng cộng cho các số theo hệ nhị phân 
Đặt phép tính như làm tính cộng các số theo hệ thập phân
1
1
1
1
1(2)
+
1
1
1
1(2)
1
0
1
1
1
0(2)
b/ Làm tương tự như câu a ta có kết quả 101010(2)
Dạng 4: Thứ tự thực hiện các phép tính - ước lượng các phép tính
- Yêu cầu HS nhắc lại thứ tự thực hiện các phép tính đã học.
- Để ước lượng các phép tính, người ta thường ước lượng các thành phần của phép tính
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
A = 2002.20012001 – 2001.20022002
Hướng dẫn
 A = 2002.(20010000 + 2001) – 2001.(20020000 + 2002)
	= 2002.(2001.104 + 2001) – 2001.(2002.104 + 2001)
 = 2002.2001.104 + 2002.2001 – 200 ... gt; x = 2
c). 52x-3 – 2.52 = 52.3
ó52x: 53 = 52.3 + 2.52
ó52x: 53 = 52.5
ó52x = 52.5.53
ó 52x = 56 => 2x = 6 => x=3
Bµi 2. V× lµ mét sè tù nhiªn víi mäi a Z nªn tõ < 5 ta 
=> = {0,1,2,3,4}.
NghÜa lµ a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4}. BiÓu diÔn trªn trôc sè c¸cc sè nµy ®Òu lín h¬n -5 vµ nhá h¬n 5 do ®ã -5<a<5.
Bµi 3.NÕu a d­¬ng th× sè liÒn sau còng d­¬ng.
Ta cã: NÕu a d­¬ng th× a>0 sè liÒn sau a lín h¬n a nªn còng lín h¬n 0 nªn lµ sè d­¬ng
b)NÕu a ©m th× sè liÒn tr­íc a còng ©m.
Ta cã: NÕu a ©m th× a<0 sè liÒn tr­íc a nhá h¬n a nªn còng nhá h¬n 0 nªn lµ sè ©m.
Bµi 4 (2®). Trong c¸c sè ®· cho Ýt nhÊt cã 1 sè d­¬ng v× nÕu tr¸i l¹i tÊt c¶ ®Òu lµ sè ©m th× tæng cña 5 sè bÊt kú trong chóng sÏ lµ sè ©m tr¸i víi gi¶ thiÕt.
T¸ch riªng sè d­¬ng ®ã cßn 30 sè chi lµm 6 nhãm. Theo ®Ò bµi tæng c¸c sè cña mçi nhãm ®Òu lµ sè d­¬ng nªn tæng cña 6 nhãm ®Òu lµ sè d­¬ng vµ do ®ã tæng cña 31 sè ®· cho ®Òu lµ sè d­¬ng.
Bµi 5 (2®): V× cã 11 tæng mµ chØ cã thÓ cã 10 ch÷ sè tËn cïng ®Òu lµ c¸c sè tõ 0 , 1 ,2, ., 9 nªn lu«n t×m ®­îc hai tæng cã ch÷ sè tËn cïng gièng nhau nªn hiÖu cña chóng lµ mét sè nguyªn cã tËn cïng lµ 0 vµ lµ sè chia hÕt cho 10.
Bµi 6 (1,5®).Ta cã: vµ tia Ox’ n»m gi÷a hai tia Oy, Oz nªn vËy 
Do tia Ox’ n»m gi÷a hai tia Oy, Oz vµ nªn Ox’ lµ tia ph©n gi¸c cña gãc hîp bëi hai tia Oy, Oz.
T­¬ng tù tia Oy’ (tia ®èi cña Oy) vµ tia Oz’ (tia ®èi cña tia Oz) lµ ph©n gi¸c cña gãc xOz vµ xOy.
ĐỀ SỐ 8
Bµi 1( 8 ®iÓm )
 1. T×m ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè sau: 
 a) 571999 b) 931999
 2. Cho A= 9999931999 - 5555571997
Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 5.
3 . Cho ph©n sè ( a<b) cïng thªm m ®¬n vÞ vµo tö vµ mÉu th× ph©n sè míi lín h¬n hay bÐ h¬n ?
4. Cho sè cã 12 ch÷ sè . chøng minh r»ng nÕu thay c¸c dÊu * bëi c¸c ch­c sè kh¸c nhau trong ba ch÷ sè 1,2,3 mét c¸ch tuú ‎ th× sè ®ã lu«n chia hÕt cho 396.
5. chøng minh r»ng:
a) 
b) 
Bµi 2( 2 ®iÓm )
Trªn tia Ox x¸c ®Þnh c¸c ®iÓm A vµ B sao cho OA= a(cm), OB=b (cm) 
a) TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng AB, biÕt b< a 
b) X¸c ®Þnh ®iÓm M trªn tia Ox sao cho OM = (a+b).
§¸p ¸n: 
 Bµi 1: 
1. T×m ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè sau: ( 1 ®iÓm )
§Ó t×m ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè chØ cÇn xÐt ch÷ sè tËn cïng cña tõng sè :
a) 571999 ta xÐt 71999
Ta cã: 71999 = (74)499.73 = 2041499. 343 Suy ra ch÷ sè tËn cïng b»ng 3 ( 0,25 ®iÓm )
‏VËy sè 571999 cã ch÷ sè tËn cïng lµ : 3
b) 931999 ta xÐt 31999
Ta cã: 31999 = (34)499. 33 = 81499.27
Suy ra ch÷ sè tËn cïng b»ng 7 (0,25 ®iÓm )
2. Cho A = 9999931999 - 5555571997 . chøng minh r»ng A chia hÕt cho 5 
§Ó chøng minh A chia hÕt cho 5 , ta xÐt ch÷ sè tËn cïng cña A b»ng viÖc xÐt ch÷ sè tËn cïng cña tõng sè h¹ng.
Theo c©u 1b ta cã: 9999931999 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 7
T­¬ng tù c©u 1a ta cã: (74)499.7 =2041499.7 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 7 ( 0,25 ®iÓm )
VËy A cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0, do ®ã A chia hÕt cho 5.	 ( 0,25 ®iÓm )
3 (1 ®iÓm )Theo bµi to¸n cho a <b nªn am < bm ( nh©n c¶ hai vÕ víi m) ( 0,25 ®iÓm )
 Þ ab +am < ab+bm ( céng hai vÕ víi ab) ( 0,25 ®iÓm )
Þ a(b+m) < b( a+m) 
Þ 
4.(1 ®iÓm )
Ta nhËn thÊy , vÞ trÝ cña c¸c ch÷ sè thay thÕ ba dÊu sao trong sè trªn ®Òu ë hµng ch½n vµ v× ba ch÷ sè ®ã ®«i mét kh¸c nhau, lÊy tõ tËp hîp nªn tæng cña chóng lu«n b»ng 1+2+3=6.
MÆt kh¸c 396 = 4.9.11 trong ®ã 4;9;11 ®«i mét nguyªn tè cïng nhau nªn ta cÇn chøng minh 
A = chia hÕt cho 4 ; 9 vµ 11.
ThËt vËy :
+A 4 v× sè t¹o bëi hai ch÷ sè tËn cïng cña A lµ 16 chia hÕt cho 4 ( 0,25 ®iÓm )
+ A 9 v× tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 9 :
1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hÕt cho 9 ( 0,25 ®iÓm )
+ A 11 v× hiÖu sè gi÷a tæng c¸c ch÷ sè hµng ch½n vµ tæng c¸c ch÷ sè hµng lÎ lµ 0, chia hÕt cho 11.
{1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0 ( 0,25 ®iÓm )
VËy A 396
5(4 ®iÓm )
a) (2 ®iÓm ) §Æt A= (0,25 ®iÓm )
Þ 2A= (0,5 ®iÓm )
Þ 2A+A =3A = 1- (0,75 ®iÓm )
Þ 3A < 1 Þ A < (0,5 ®iÓm )
b) §Æt A= Þ3A= 1-
 (0,5 ®iÓm )
Þ 4A = 1- Þ 4A< 1- (1) §Æt B= 1- Þ 3B= 2+ (0,5 ®iÓm )
4B = B+3B= 3- < 3 Þ B < (2)
Tõ (1)vµ (2) Þ 4A < B < Þ A < (0,5 ®iÓm )
Bµi 2 ( 2 ®iÓm )
a) (1 ®iÓm )V× OB <OA ( do b<a) nªn trªn tia Ox th× ®iÓm B n»m gi÷a ®iÓm O vµ ®iÓm A. Do ®ã: OB +OA= OA
Tõ ®ã suy ra: AB=a-b.
O
B
A
x
b)(1 ®iÓm )V× M n»m trªn tia Ox vµ OM = 
 = OB + 
Þ M chÝnh lµ ®iÓm thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AM = BM
ĐỀ SỐ 9
C©u 1: (2®)
	Thay (*) b»ng c¸c sè thÝch hîp ®Ó:
	a) 510* ; 61*16 chia hÕt cho 3.
	b) 261* chia hÕt cho 2 vµ chia 3 d­ 1
C©u 2: (1,5®)
	TÝnh tæng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100
C©u 3: (3,5 ®)
	Trªn con ®­êng ®i qua 3 ®Þa ®iÓm A; B; C (B n»m gi÷a A vµ C) cã hai ng­êi ®i xe m¸y Hïng vµ Dòng. Hïng xuÊt ph¸t tõ A, Dòng xuÊt ph¸t tõ B. Hä cïng khëi hµnh lóc 8 giê ®Ó cïng ®Õn C vµo lóc 11 giê cïng ngµy. Ninh ®i xe ®¹p tõ C vÒ phÝa A, gÆp Dòng luc 9 giê vµ gÆp Hïng lóc 9 giê 24 phót. BiÕt qu·ng ®­êng AB dµi 30 km, vËn tèc cña ninh b»ng 1/4 vËn tèc cña Hïng. TÝnh qu·ng ®­êng BC
C©u 4: (2®)
	Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy 2006 ®iÓm kh¸c nhau ®Æt tªn theo thø tõ tõ A ®Õn B lµ A1; A2; A3; ...; A2004. Tõ ®iÓm M kh«ng n»m trªn ®o¹n th¼ng AB ta nèi M víi c¸c ®iÓm A; A1; A2; A3; ...; A2004 ; B. TÝnh sè tam gi¸c t¹o thµnh
C©u 5: (1®)
	TÝch cña hai ph©n sè lµ . Thªm 4 ®¬n vÞ vµo ph©n sè thø nhÊt th× tÝch míi lµ . T×m hai ph©n sè ®ã.
ĐÁP ÁN
C©u 1
a) §Ó 510* ; 61*16 chia hÕt cho 3 th×:
	5 + 1 + 0 + * chia hÕt cho 3; tõ ®ã t×m ®­îc * = 0; 3; 6; 9	(1®)
b) §Ó 261* chia hÕt cho 2 vµ chia 3 d­ 1 th×:
 * ch½n vµ 2 + 6 + 1 + * chia 3 d­ 1; tõ ®ã t×m ®­îc * = 4	(1®)
C©u 2
	 S 	= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100
 3.S 	= (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100).3	 (0,5®)
	 	= 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + 99.100.3	
	= 1.2.3 +2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + ... + 99.100.(101 - 98)	 (0,5®)
	= 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - ... - 98.99.100 + 99.100.101
	 S	= 99.100.101: 3 = 33. 100 . 101 = 333300	 (0,5®)
C©u 3
	Thêi gian ®i tõ A ®Õn C cña Hïng lµ: 11 - 8 = 3 (giê)
	Thêi gian ®i tõ B ®Õn C cña Dòng lµ:	11 - 8 = 3 (giê)
	Qu·ng ®­êng AB lµ 30 km do ®ã cø 1 giê kho¶ng c¸ch cña Hïng vµ Dòng bít ®i 10 km. V× vËy lóc 9 giê Hïng cßn c¸ch Dòng lµ 20 km, lóc ®ã Ninh gÆp Dòng nªn Ninh còng c¸ch Hïng 20 km.
	§Õn 9 giê 24 phót, Ninh gÆp Hïng do ®ã tæng vËn tèc cña Ninh vµ Hïng lµ:
	20 : 
	Do vËn tèc cña Ninh b»ng 1/4 vËn tèc cña Hïng nªn vËn tèc cña Hïng lµ:
	[50 : (1 + 4)] . 4 = 40 (km/h)
	Tõ ®ã suy ra qu·ng ®­êng BC lµ:
	40 . 3 - 30 = 90 (km)
	§¸p sè: BC = 90 km
C©u 4: (2®)
	Trªn ®o¹n th¼ng AB cã c¸c ®iÓm A; A1; A2; A3; ...; A2004 ; B do ®ã, tæng sè ®iÓm trªn AB lµ 2006 ®iÓm suy ra cã 2006 ®o¹n th¼ng nèi tõ M ®Õn c¸c ®iÓm ®ã.
	Mçi ®o¹n th¼ng (vÝ dô MA) cã thÓ kÕt hîp víi 2005 ®o¹n th¼ng cßn l¹i vµ c¸c ®o¹n th¼ng t­¬ng øng trªn AB ®Ó t¹o thµnh 2005 tam gi¸c. 
Do ®ã 2006 ®o¹n th¼ng sÏ t¹o thµnh 2005 . 2006 = 4022030 tam gi¸c (nh­ng l­u ý lµ MA kÕt hîp víi MA1 ®Ó ®­îc 1 tam gi¸c th× MA1 còng kÕt hîp víi MA ®­îc 1 tam gi¸c vµ hai tam gi¸c nµy chØ lµ 1)
Do ®ã sè tam gi¸c thùc cã lµ: 4022030 : 2 = 2011015
C©u 5: (1®)
	TÝch cña hai ph©n sè lµ . Thªm 4 ®¬n vÞ vµo ph©n sè thø nhÊt th× tÝch míi lµ suy ra tÝch míi h¬n tÝch cò lµ - = ®©y chÝnh lµ 4 lÇn ph©n sè thø hai. Suy ra ph©n sè thø hai lµ : 4 = = Tõ ®ã suy ra ph©n sè thø nhÊt lµ:
 : = 
ĐỀ SỐ 10
C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc 
Rót gän biÓu thøc
Chøng minh r»ng nÕu a lµ sè nguyªn th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc t×m ®­îc cña c©u a) lµ mét ph©n sè tèi gi¶n.
C©u 2: (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè sao cho vµ 
C©u 3:a. (1 ®iÓm) T×m n ®Ó n2 + 2006 lµ mét sè chÝnh ph­¬ng
	b. (1 ®iÓm) Cho n lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3. Hái n2 + 2006 lµ sè nguyªn tè hay lµ hîp sè.
C©u 4: (2 ®iÓm) a. Cho a, b, n Î N* H·y so s¸nh vµ 
b. Cho A = ; B = . So s¸nh A vµ B.
C©u 5: (2 ®iÓm) Cho 10 sè tù nhiªn bÊt kú : a1, a2, ....., a10. Chøng minh r»ng thÕ nµo còng cã mét sè hoÆc tæng mét sè c¸c sè liªn tiÕp nhau trong d·y trªn chia hÕt cho 10.
C©u 6: (1 ®iÓm) Cho 2006 ®­êng th¼ng trong ®ã bÊt k× 2 ®­êngth¼ng nµo còng c¾t nhau. Kh«ng cã 3 ®­êng th¼ng nµo ®ång qui. TÝnh sè giao ®iÓm cña chóng.
иp ¸n ®Ò THI HSG to¸n 6
C©u 1: 
Ta cã: = 
§iÒu kiÖn ®óng a ≠ -1 ( 0,25 ®iÓm).
Rót gän ®óng cho 0,75 ®iÓm.
b.Gäi d lµ ­íc chung lín nhÊt cña a2 + a – 1 vµ a2+a +1 ( 0,25 ®iÓm).
V× a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 lµ sè lÎ nªn d lµ sè lÎ
MÆt kh¸c, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] d
Nªn d = 1 tøc lµ a2 + a + 1 vµ a2 + a – 1 nguyªn tè cïng nhau. ( 0, 5 ®iÓm)
VËy biÓu thøc A lµ ph©n sè tèi gi¶n. ( 0,25 ®iÓm)
C©u 2: 
	= 100a + 10 b + c = n2-1	(1)
 = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4	(2) (0,25 ®iÓm)
Tõ (1) vµ (2) Þ 99(a-c) = 4 n – 5 Þ 4n – 5 99 (3) (0,25 ®iÓm)
MÆt kh¸c: 100 [ n2-1 [ 999 Û 101 [ n2 [ 1000 Û 11 [n[31 Û 39 [4n – 5 [ 119 (4) ( 0, 25 ®iÎm)
 Tõ (3) vµ (4) Þ 4n – 5 = 99 Þ n = 26
VËy: = 675 ( 0 , 25 ®iÓm)
C©u 3: (2 ®iÓm)
a) Gi¶ sö n2 + 2006 lµ sè chÝnh ph­¬ng khi ®ã ta ®Æt n2 + 2006 = a2 ( aÎ Z) Û a2 – n2 = 2006Û (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 ®iÓm).
+ ThÊy : NÕu a,n kh¸c tÝnh chÊt ch½n lÎ th× vÕ tr¸i cña (*) lµ sè lÎ nªn kh«ng tháa m·n (*) ( 0,25 ®iÓm).
+ NÕu a,n cïng tÝnh ch½n hoÆc lÎ th× (a-n)2 vµ (a+n) 2 nªn vÕ tr¸i chia hÕt cho 4 vµ vÕ ph¶i kh«ng chia hÕt cho 4 nªn kh«ng tháa m·n (*) (0,25 ®iÓm).
VËy kh«ng tån t¹i n ®Ó n2 + 2006 lµ sè chÝnh ph­¬ng. (0,25 ®iÓm).
b) n lµ sè nguyªn tè > 3 nªn kh«ng chia hÕt cho 3. VËy n2 chia hÕt cho 3 d­ 1 do ®ã n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hÕt cho 3.
VËy n2 + 2006 lµ hîp sè. ( 1 ®iÓm).
Bµi 4: Mçi c©u ®óng cho 1 ®iÓm 
Ta xÐt 3 tr­êng hîp 	 	 (0,5 ®iÓm).
TH1: 	 Û a=b th× th× = =1. (0 , v× ,5 ®iÓm).
TH1: 	 Û a>b Û a+m > b+n. 
Mµ cã phÇn thõa so víi 1 lµ 
	 cã phÇn thõa so víi 1 lµ , v× < nªn < (0,25 ®iÓm).
TH3: <1 Û a<b Û a+n < b+n.
Khi ®ã cã phÇn bï tíi 1 lµ , v× (0,25 ®iÓm).
 b) Cho A = ; 
râ rµng A Þ A< 	(0,5 ®iÓm).
Do ®ã A< = 	(0,5 ®iÓm).
V©y A<B.
Bµi 5: LËp d·y sè .
§Æt B1 = a1.
	 B2 = a1 + a2 .
	B3 = a1 + a2 + a3 
	...................................
	B10 = a1 + a2 + ... + a10 .
NÕu tån t¹i Bi ( i= 1,2,3...10). nµo ®ã chia hÕt cho 10 th× bµi to¸n ®­îc chøng minh. 	( 0,25 ®iÓm).
NÕu kh«ng tån t¹i Bi nµo chia hÕt cho 10 ta lµm nh­ sau: 
Ta ®en Bi chia cho 10 sÏ ®­îc 10 sè d­ ( c¸c sè d­ Î { 1,2.3...9}). Theo nguyªn t¾c Di-ric- lª, ph¶i cã Ýt nhÊt 2 sè d­ b»ng nhau. C¸c sè Bm -Bn, chia hÕt cho 10 ( m>n) Þ §PCM.
C©u 6: Mçi ®­êng th¼ng c¾t 2005 ®­êng th¼ng cßn l¹i t¹o nªn 2005 giao ®iÓm. Mµ cã 2006 ®­êng th¼ng Þ cã : 2005x 2006 giao ®iÓm. Nh­ng mçi giao ®iÓm ®­îc tÝnh 2 lÇn Þ sè giao ®iÓm thùc tÕ lµ:
(2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao ®iÓm.