Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất lượng cao môn Toán - Nguyễn Đức Trường

Sở giáo dục đào tạo
hà nội
Kì thi học sinh giỏi thành phố
Năm học 1994- 1995
Môn thi :Toán 9 ( Vòng 1 )
Thời gian: 150 phút không kể chép đề
Ngày thi :5 tháng 01 năm 1995
Bài 1 (4 điểm)
Xét số A = và B = 1644428
Hỏi số A có chia hết cho số B hay không , tại sao ?
Bài 2 (4 điểm)
Bạn Việt nói với bạn Nam : “Nếu một tứ giác có hai góc đối bàng nhau đồng thời có một đường chéo đi qua trung điểm của đường chéo kia thì tứ giác đó là hình bình hành. ”. Bạn Nam nói “Điều bạn nói là sai rồi !”. Ai nói đúng , ai nói sai . Tại sao ?
Bài 3 (4 điểm)
Giải phương trình :
Bài 4 (4 điểm)
Cho DABC vuông tại A. Một đường tròn (O) thay đổi luôn luôn đi qua hai điểm A, B và cắt các cạnh AC, BC tại các điểm thứ hai tương ứng D, E. Gọi F là điểm đối xứng với E qua OD và I là giao điểm của BF với đường trung trực của AF . Tìm quĩ tích điểm I.
Bài 5 ( 4 điểm)
 Trên mặt phẳng có 1994 điểm tô xanh sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có thể kẻ được hai đường thẳng cắt nhau tạo thành cặp góc đối đỉnh sao cho với mỗi cặp góc đối đỉnh đó, số điểm xanh trên miền trong góc này bằng số điểm xanh trên miền trong góc kia.
Sở giáo dục đào tạo hà nội
Kì thi học sinh giỏi thành phố
Năm học 1994- 1995
Môn thi :Toán 9 ( Vòng 2 )
Thời gian: 180 phút không kể chép đề
Ngày thi :13 tháng 01 năm 1995
Bài 1 (4 điểm)
 Xét 1995 số tự nhiên a1 , a2, .... a1995 có tổng bằng 1994x1995. 
 Đặt P = a13 +a23 +a33 + .....a19953. Chứng minh rằng P chia hết cho 3.
Bài 2 (4 điểm)
Cho ngũ giác ABCDE nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, EA. Biết AB = CD =DE = R. Chứng minh rằng DBMN đều.
Bài 3(4 điểm)
 Giải phương trình :(x+2)2+ (x+3)3+ (x+4)4= 2
Bài 4(4 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi A/B/C/D/ là ảnh của tứ giác ABCD trong phép quay tâm D. Chứng minh rằng các đường thẳng AA/, BB/ , CC/ , DD/ đồng qui tại một điểm.
Bài 5 (4 điểm)
Cho lục giác đều ABCDEF, các điểm M, N, P theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng: AB với CD; CD với EF ; EF với AB. Người ta tô các điểm A,B,C,D,E,F,M,N,P hoặc xanh hoặh đỏ. Hỏi có cách nào tô sao cho bất cứ ba điểm nào cùng mầu đều không phải là ba đỉnh của mọt tam giác vuông hay không , tại sao ?
Sở giáo dục đào tạo hà nội
Kì thi học sinh giỏi thành phố
Năm học 1994- 1995
Môn thi :Toán 9 ( Vòng 3 )
Thời gian: 180 phút không kể chép đề
Ngày thi :14 tháng 01 năm 1995
Bài 1 (4 điểm )
Xét biểu thức N = a1995 + b1995 + c1995 + d1995
Trong đó a, b, c, d là các số tự nhiên sao cho ab = cd ạ 0. Chứng minh rằng N là hợp số .
Bài 2 ( 4 điểm )
 Cho hai đường tròn (O), (O/) cắt nhau tại A, B , hai cát tuyên MAN, PAQ bằng nhau (M, P ẻ(O); N, Q (O/)). Gọi I, K lần lượt là giao điểm của các đường thẳng MN, PQ với OO/. So sánh BI với BK.
Bài 3( 4 điểm )
 Giải phương trình : 
Bài 4( 4 điểm )
Cho góc xOy có độ lớn bằng a (00< a < 450) và điểm P ởbên trong góc ấy. Dựng góc x/Oy/ có độ lớn bằng 2a ; Px/ cắt Ox tại điểm A; Py/ cắt Oy tại điểm B sao cho hai tam giác OPA, OPB có diện tích bằng nhau.
Bài 5 ( 4 điểm )
Người ta dùng m mầu để tô các mặt của hai hình lập phương sao cho trong mỗi hình không có hai mặt nào cùng mầu, đồng thời không có ba mầu nào đôi một kề nhau trong cả hai hình (hai mầu kề nhau trong một hình nếu chúng được tô trên hai mặt kề nhau của hình ấy). Hãy tìm số m bé nhất . 
Sở giáo dục đào tạo
 hà nội
Kì thi học sinh giỏi thành phố
Năm học 1995- 1996
Môn thi :Toán 9 ( Vòng 1 )
Thời gian: 150 phút không kể chép đề
Ngày thi :5 tháng 01 năm 1996
Bài 1 (4 điểm) 
Giải phương trình : 4x4 – x3 – 16x2 + 4x –1995 = 0 với x ẻ N
Bài 2 (4 điểm)
Cho hai đường tròn (O,r),(O/;) tiếp xúc trong với nhau tại điểmA.Kẻ đường kính AB của đường tròn(O). Dây BC của đường tròn (O) cắt đường tròn (O/) tại hai điểm D, E. Tính BC theo r, biết rằng E là trung điểm của DC.
Bài 3(4 điểm)
Cho bốn số a,b,c,d có tổng bằng 1996. Chứng minh rằng trong ba số m=ab+cd; n=ac+bd; P=ad+bc phải có ít nhất một số bé hơn 500 000.
Bài 4( điểm)
Cho tam giác ABC với điểm M nằm giữa B,C.
Dựng đường tròn qua A,M cắt AB, AC tại các điểm thứ hai tương ứng PQ sao cho PQ//BC
Bài 5(4 điểm)
Người ta tô đỏ 7 cạnh của một hình lập phương một cách hú hoạ .Mõi đỉnh kề với ít nhất hai cạnh đỏ dều được gọi là đỉnh đỏ.Chứng minh rằng có ít nhất một mặt của lập phương đó chứa ít nhất 3đỉnh đỏ.
Sở giáo dục đào tạo hà nội
Kì thi học sinh giỏi thành phố
Năm học 1997- 1998
Môn thi :Toán 9 ( Vòng 2 )
Thời gian: 150 phút không kể chép đề
Ngày thi :15 tháng 01 năm 1998
Câu 1(5 điểm )
Cho x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình x2 – 2x – 1 = 0 
Chứng minh rằng x12k + x22k + 2 là số chính phương với mọi số tự nhiên chẵn k .
Cho m, n là hai số tự nhiên thoả mãn :
Chứng minh rằng m1997
Câu 2 (4 điểm)
Hãy giải và biện luận phương trình :
 x4 – 4x3 + x2 + 6x – m = 0
Theo tham số m
Câu 3 (3 điểm)
Cho biểu thức , với 0< x < 1
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Câu 4 (4 điểm)
 Cho 37 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng, nằm bên trong hình vuông có cạnh bằng 1. Chứng minh rằng luôn tìm được 5 điểm trong 37 điểm đã cho thoả mãn : Các tam giác được tạo bởi 3 điểm bất kì trong 5 điểm đó có diện tích S .
Câu 5 (5 điểm )
 Cho DABC vuông ở C. Một đường thẳngd đi qua A không song song với BC và cắt đường trung trực của đoạn AB tại E. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên d, K là hình chiếu vuông góc của E trên BC. Hãy dựng đường thẳng d thoả mãn góc CHK bằng 303.
Đề thi thuyển sinhvào lớp 10
trường quốc học huế
năm học 2004
thời gian làm bài 120 phút
 (THTT 5 - 2005)
Bài 1( 1,5 điểm) 
Cho biểu thức : 
Tìm điều kiện đối với a, b để biểu thức A được xác định .
Rút gọn biểu thức A.
Bài 2( 2 điểm)
Giải hệ phương trình : 
Giải bất phương trình : 
x + ỗx - 1ỗ > 5
Bài 3( 1,5 điểm)
Chứng minh rằng, nếu phương trình 
X2 + 2mx + n = 0 (1) 
có nghiệm, thì phương trình : 	(2) 
cũng có nghiệm. (m, n, k là các tham số : k ạ 0)
Bài 4( 1,5 điểm) 
Cho hàm số y = ax+ b có đồ thị (D) và hàm số y = kx2 có đồ thị (P).
tìm a, b biết rằng (D) đi qua A(-1; 3) và B(2; 0)
Tìm k (k ạ 0) sao cho (P) tiếp xúc với đươừng thẳng (D) vờa tìm được . Viết phương trình của (P).
Bài 5( 3,5 điểm)
 Cho DABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Hai đường cao AI, BE cắt nhau tại H.
Chứng minh : Góc CHI = góc CBA.
Chứng minh : EI ^ CO.
Cho góc ACB = 600. Chứng minh CO = CH.
đề thi tuyển sinh lớp 10 khối THPT chuyên
trường đại học sư phạm vinh 2005
(dành cho mọi thí sinh . Thòi gan làm bài 150 phút)
THTH 10 –2005
Vòng 1
Câu1 . 
Rút gọn biểu thức sau : 
Giải phương trình : 
Câu2 .
Chứng minh rằng (n3 + 17n)6 với mọi số tự nhiên n.
Câu3 .
Giả sử phương trình x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ,
Trong đó m là tham số. Tìm m để biểu thức ỗx1 - x2ỗ đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu4 .
Cho hình vuông ABCD. Hai điểm I, J lần lượt thuộc hai cạnh BC, CD sao cho góc IAJ = 450 . Đường chéo BD cắt AI, AJ tương ứng tại H, K. Tính tỉ số 
Câu5 .
Cho hai đường tròn (O1;R1)và (O2;R2)có R1 > R2 tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn(O1;R1) tại M và cắt đường tròn (O2;R2) tại N (Các điểm M, N khác A).
Xác định vị trí của đường thẳng d để độ dài đoạn thẳng MN lớn nhất.
Tìm tập hợp các trung điểm I của các đoạn thẳng MN khi đường thẳng d quay quanh điểm A.
Vòng 2
Câu6 .
Câu7 .
Câu8 .
Câu9 .
Câu10 .
Sở giáo dục và đào tạo
hà nội
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10
Trường Chu Văn An & Amsterdam
Năm học `1991 -1992
* Môn Toán * Ngày thi 6/8/1991	 * Thời gian 150 phút
Bài 1: 
 Trên một đường giao thông đi qua ba tỉnh A, B, C ( B nằm giữa A, C) có hai người chuyển động đều : M xuất phất từ A đi bằng ô tô và N xuất phát từ B đi bằng xe đạp. Họ xuất phát cùng một lúc và đi về phía C. Đến C thì M quay trở lại A ngay và về đến B đúng vào lúc N đến C.Tính quãng đường AC biết rằng quãng đường BC dài gấp đôi quãng đường AB và khoảng cách giữa hai địa điểm họ gặp nhau trên đường đi (một lần khi họ đi cùng chiều , một lần khi họ đi ngược chiều) là 8 km.
Bài 2 :
 Cho hai số tự nhiên a, b sao cho a.b = 19911992. Hỏi tổng a + b có thể chia hết cho 1992 hay không ? tại sao ?
Bài 3 :
 Cho góc nhọn xAy với tia phân giác Az , một điểm B cố định trên Az (B ạ A). Người ta kẻ một đường tròn tâm O đi qua A, B cắt Ax, Ay lần lượt tại các điểm M, N. Gọi I là trung điểm của MN, dựng hình vuông ACID. Tìm tập hợp C, tập hợp D khi đường tròn (O) thay đổi luôn luôn qua A, B.
Sở giáo dục và đào tạo
hà nội
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10
Trường Chu Văn An & Amsterdam
Năm học `1992 -1993
* Môn Toán * Ngày thi 11/6/1992	 * Thời gian 150 phút
Bài 1 :(2,5 điểm)
Xét biểu thức :
Rút gọn P.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2 : (2,5 điểm)
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 30 Km/h . Sau đó một thời gian , một xe con cũng xuất phát từ A với vận tốc 40 Km/h và nếu không có gì thay đổi thì đuổi kịp ô tô tải tại B. Nhưng ngay sau khi được nửa quãng đường AB thì xe con tăng vận tốc thành 45 Km/h nên sau đó 1 h thì đuổi kịp ô tô tải. Tính quãng đường AB.
Bài 3 : (4 điểm)
Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó có một điểm M. Trên đường kính AB có một điểm C sao cho AC < CB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M, người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB; đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax tại P; đường thẳng qua C vuông góc với CP cắt By tại điểm Q. Gọi D là giao điểm của CP, AM; E là giao điểm của CQ, BM.
Chứng minh rằng các tứ giác ACMP, CDME nội tiếp được.
Chứng minh rằng hai đường thẳng AB, DE song song.
Chứng minh rằng ba điểm P, M, Q thẳng hàng.
Ngoài điểm M ra , các đường tròn ngoại tiếp các tam giác DMP, EMQ còn có điểm chung nào nữa không , tại sao ?
Bài 4 : (1 điểm)
Giải phương trình :
2x4 – x3 – 5x2 + x + 2 = 0
Sở giáo dục và đào tạo
hà nội
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10
Trường Chu Văn An & Amsterdam
Năm học `1992 -1993
* Môn Toán * Ngày thi 12/6/1992	 * Thời gian 150 phút
Bài 1 :(2,5 điểm)
Một gia đình lớn gồm 4 thế hệ, trong đó có 7 cặp ông nội – cháu nội. Biết rằng trong gia đình đó, mỗi người chỉ có nhiều nhất 2 con. Hỏi gia đình đó có ít nhất mấy nam giới ? tại sao ?
Bài 2 :
Trên mặt phẳng cho 9 điểm A1 , A2 ,..., A9 , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Người ta kể tên các tam giác mà các đỉnh là 3 trong 9 điểm đã cho, sao cho bất cứ 2 tam giác nào cũng chỉ có nhiều nhất 1 đỉnh chung.
Hỏi mỗi cách kể tên như trên có nhiều nhất bao nhiêu tam giác ? tại sao ?
Hãy nêu một cách kể tên với số tên tam giác nhất có thể được.
Bài 3 : 
Cho hình lục giác đều ABCDEG. Người ta tô đỏ 2 đỉnh A ... ại ngữ năm 1998
Môn thi : toán
Thời gian: 150 phút
Ngày thi : 19 - 7 - 1998
Câu 1: ( 2,5 điểm)
Cho biểu thức 
Rút gọn A.
Tìm m để phương trình A = m –1 có nghiệm x, y thoả mãn 
Câu 2: ( 2,5 điểm)
Tìm m để phương trình sau : x2 – (2m + 1)x + m2 – 1 = 0 có nghiệm x1 ; x2 sao cho : x12 + x22 = 5
Cho hàm số y = x2 - (2m + 1)x + m2 – 1, tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ x1 ; x2thoả mãn x1 0 và x2 > ẵ x1 ẵ
Câu 3: ( 4 điểm)
Cho đường tròn tâm O và điểm A cố định thuộc đường tròn. Hai điểm B và C chuyển động trên đường tròn (O) sao cho góc BAC = a không đổi (a > 900).Qua B dựng một tia song song với tia AC, Qua C dựng một tia song song với tia AB. Hai tia này cắt nhau ở D. Gọi E là trực tâm DBCD, F là trực tâm DABC và I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng :
Độ dài dây BC không đổi.
Điểm E cố định.
Ba điểm E, I, F thẳng hàng.
Điểm I thuộc một đường tròn cố định.
Câu 4: ( 1 điểm)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn : x2 + y2 + z2 ³ 1. Chứng minh rằng :
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 1999
Môn thi : toán
Thời gian: 150 phút
Ngày thi : 25 - 7 - 1999
Câu 1: ( 2 điểm)
Cho biểu thức : 
Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và hãy rút gọn P.
Tìm các số nguyên x để giá trị của biểu thức Q = cũng là số nguyên.
Câu 2: ( 2 điểm)
Cho phương trình : (m - 1)x2 – 2mx + m + 2 = 0	(với m là tham số)
Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Khi đó tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m.
Tìm m để phương trình trên có 2 nghiệm phận biệt x1 ; x2 thoả mãn hệ thức : 
Câu 3: ( 2 điểm)
Cho hàm số y = mx2 + 3(m - 1)x + 2m +1 	(1)
Khi m =1 , hàm số (1) có đồ thị (C). Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(0; 2) và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (C).
Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.
Câu 4: ( 3 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính. Đường kính AB cố định. Đường thẳng xy là tiếp tuyến với đường tròn tại B. Đường kính MN quay quanh O (MN khác AB và MN không vuông góc với AB ). Gọi C, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AM, AN với xy.
Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp được trong một đường tròn.
Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNDC và K là trung điểm của CD. Chứng minh AOIK là hình bình hành.
Gọi H là trực tâm DMCD. Chứng min H thuộc một đường tròn cố định.
Câu 5: ( 1 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2000
Môn thi : toán
Thời gian: 150 phút
Ngày thi : 23 - 7 - 2000
Bài 1:( 3 điểm)
Cho biểu thức : 
Tìm các giá trị của x để M có nghĩa, khi đó hãy rút gọn M.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (2000 - M) khi đó x ³ 4.
Tìm các số nguyên x để giá trị của M cũng là số nguyên.
Bài 2:( 1,5 điểm)
Giải phương trình : 	(x - 1)(x+ 2)(x- 6)(x - 3) = 34.
Bài 3:( 1,5 điểm)
 Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm I(0; 1) và cắt Parabol y = x2 tại hai điểm phân biệt M và N sao cho độ dài đượn thẳng MN bằng 
Bài 4:( 3 điểm)
Cho DABC ngoại tiếp đường tròn O. Trên đoạn BC lấy điểm M; trên đoạn BA lấy điểm N , trên đoạn CA lấy P sao cho BM = BN và CM = CP.
Chứng minh rằng O là tâm vòng tròn ngoại tiếp DMNP.
Chứng minh rằng tứ giác ANOP nội tiếp được.
Tìm một vị trí của M, N, P sao cho độ dài NP nhỏ nhất.
Bài 5:( 1 điểm)
Giải hệ phương trình sau với ẩn số x, y :
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2001
Môn thi : toán
Thời gian: 150 phút
Ngày thi : 1 - 7 - 2001
Bài 1: (2 điểm)
Cho biểu thức : 
Tìm điều kiện của x để P có nghiã, Khi đó hãy rút gọn P.
Tìm các số tự nhiên x để là số tự nhiên.
Tím giá trị của P với 
Bài 2: (2 điểm) 
Giải phương trình : 
Bài 3: (2 điểm) 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình ,
 điểm I(0; -2) và điểm M(m; 0) với m là tham số khác 0.
Hãy vẽ Parabol (P).
Viết phương trình đường thẳng ( d) đi qua hai điểm M, I. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có độ dài AB > 4. 
Bài 4: (3 điểm) 
Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định với OA = 2R, đường kính BC quay quanh O sao cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Đường tròn ngoại tiếp DABC cắt đường thẳng OA tại điểm thứ hai I. Đường thẳng AB, AC lại cắt (O, R) lần lượt tại D, E. Nối DE cắt đường thẳng OE tại K.
Chứng minh rằng OI.OA = OB.OC và AK.AI = AE.AC.
Tính độ dài đoạn OI và đoạn AK theo R.
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp DADE luôn đi qua một điểm cố định F Khác A khi BC quay quanh O
Bài 5: (1 điểm)
 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2002
Môn thi : toán
Thời gian: 150 phút
Ngày thi : 30 - 6 - 2002
Bài 1: (2 điểm)
Chứng minh rằng : (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = 3(x + y)(y + z)(z + x)
Chứng minh rằng với mọi a, b, c ẻ Z thì: 
(a + b + c)3 – (a + b –c)3 –(b + c – a)3 – (c+ a-b)3 chia hết cho 24
Bài 2: (2 điểm) 
Giải phương trình : 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+ 12) = 3x2
Bài 3: (2 điểm) 
Chứng minh rằng :
a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca
x4 + y4 + z4 ³ xyz(x + y + z)
Bài 4: (3 điểm) 
 Cho DABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BP, CK cắt nhau tại H.
Chứng minh : gócHAB = góc OAC
Gọi E, M tương ứng là trung điểm của AH, BC. Chứng minh rằng KEPM nội tiếp.
Qua A dựng đường thẳng Ax vuông góc với KP . Chứng minh rằng đường thẳng Ax luôn đi qua điểm cố định khi A, B, C của tam giác thay đổi trên đường tròn (O)
Bài 5: (1 điểm)
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
2x6 – 2x3y + y2 = 64
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2003
Môn thi : toán
Thời gian: 150 phút
Ngày thi : 17 - 6 - 2003
Bài 1 : ( 2,5 điểm)
Cho biểu thức : 
Tìm điều kiện của x để P có nghiã, Khi đó hãy rút gọn P.
Tính A với 
Chứng minh rằng : 
Bài 2 : ( 2 điểm)
Phân tích biểu thức x2 + x – xy – 2y2 – 2y thành nhân tử.
Giải hệ phương trình :
Bài 3 : ( 1,5 điểm)
Cho hàm số 
Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)
Chứng minh rằng y Ê 3. Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu ?
Bài 4 : ( 3 điểm)
 Cho đường tròn (O) và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB; điểm C bất kỳ nằm giữa A và B. Tia MC cắt đường tròn (O) tại D.
Chứng minh MA2 = MC.MD.
Kẻ Bt tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp DBCD. Chứng minh BM và Bt cùng thuộc một đường thẳng.
Gọi O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp DBCD; O2 là tâm đường tròn ngoại tiếp DACD . Chứng minh rằng khi C chuyển động trên AB thì tổng bán kính của hai đường tròn (O1 ) và (O2) không đổi.
Bài 5 : ( 1 điểm)
Cho phương trình (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = m.
Biết rằng phương trình có 4 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 . Chứng minh :
x1 . x2 . x3 . x4 =24 – m
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2004
Môn thi : toán
Thời gian: 150 phút
Ngày thi : 13 - 6 - 2004
Câu 1: (2, 0 điểm )
Cho biểu thức	
Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M.
Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của M ?
Câu 2: (2, 0 điểm )
Giải phương trình : (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) = 24
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = 1 - 5x2 – y2 – 4xy + 2x
Câu 3: (2, 0 điểm )
Giải hệ phương trình 
Câu 4: (3, 0 điểm )
Cho đường tròn (O ) và day cung BC cố định. Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC của đường tròn (O ), (A khác B, C). Tia phân giác của góc ACB cắt đường tròn (O) tại điểm D khác C, lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho DI + DB. Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại K khác điểm B.
Chứng minh DKAC cân.
 Chứng minh đường thẳng AI luôn đi qua một điểm J cố định, từ đó hãy xác định vị trí của A để độ dài AI là lớn nhất.
Trên tia đối của tia AB lấy M sao cho AM = AC. Tìm tập hợp các điểm M khi A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O).
Câu 5: (1, 0 điểm )
Hãy tìm cặp số (x; y) sao cho y nhỏ nhất thoả mãn: x2 + 5y2 + 2y – 4xy – 3 = 0 
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2005
Môn thi : toán
Thời gian: 150 phút
Ngày thi : 12 - 6 - 2005
Câu 1: (2, 0 điểm )
Rút gọn biểu thức :
Cho đẳng thức :
(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = (x + y –2z)2 + ( y+ z –2x)2 + (x + z- 2y)2 
Chứng minh rằng x = y = z
Câu 2: (3, 0 điểm )
Giải phương trình : (x2 – 3x + 3)(x2 – 2x + 3) = 2x2
Cho phương trình : x2 – (m + 5)x – m + 6 = 0	(1) , với m là tham số.
Tìm m để giữa hai nghiệm x1 ; x2 của phương trình (1) có hệ thức 
2x1 + 3x2 = 13
Câu 3: (1, 0 điểm )
 Cho phương trình : (m2 +1)x2 + 2(m2 + 1)x – m = 0 (1) , với m là tham số. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của : A = x12 + x22 với x1 ; x2 là nghiệm của phương trình (1)
Câu 4: (3, 0 điểm )
 Cho DABC nội tiếp đường tròn tâm (O), có các đường phân giác cắt nhau tại I. Các đường thẳng AI, BI, CI cắt đường tròn (O) tương ứng tại các điểm M, N, P.
Chứng minh DNIC cân tại N
Chứng minh rằng điểm I là trực tâm của DMNP.
Gọi E là giao điểm của MN và AC , F là giao điểm của PM và AB. Chứng minh rằng : ba điểm E, I, F thẳng hàng.
Gọi K là trung điểm của BC và giả sử rằng BI vuông góc với IK, BI = 2. IK. Hãy tính góc A của DABC. 
Câu 5: (1, 0 điểm ) Giải phương trình : 5x3 + 6x2+ 12x + 8 = 0
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2006
Môn thi : toán
Thời gian: 150 phút
Ngày thi : 11 - 6 - 2006
Câu 1: (2, điểm )Cho biểu thức : 
tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn biểu thức P.
Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên
Câu 2 : (2 điểm)
a) Giải phương trình :	x4 – 4x3 – 2x2 + 4x + 1 = 0
b) Giải hệ phương trình :	
Câu 3 : (2 điểm)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) có phương trình . Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm I(0; -2) và có hệ số góc k.
Viết phương trình đường thẳng (d). Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi k thay đổi.
Gọi H , K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và B lên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I.
Câu 4 : (3 điểm)Cho đường tròn tâm O, bán kính R và AB là đường kính cố định của đường tròn (O). Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B. MN là đường kính thay đổi của đường tròn (O) sao cho MN không vuông góc với AB và M ạA, M ạ B. Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d tương ứng tại C và D. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD, H là giao điểm của AI và MN. Khi MN thay đổi, chứng minh rằng :
Tích AM.AC không đổi.
Bốn điểm C, M, N, D cùng thuộc một đường tròn.
Điểm H luôn thuộc một đường tròn cố định.
Tâm J của đường tròn ngoại tiếp tam giác HIB luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Câu 5 : (1 điểm)Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện x + y = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :