Toán học - Chuyên đề 8: Vectơ trong không gian

 CHUYÊN ĐỀ 8 
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 
 Các định nghĩa và phép toán của vectơ trong không gian cũng giống như trong mặt 
phẳng, ta cần lưu ý đến các vấn đề cơ bản thông dụng như : 
 . Qui tắc 3 điểm : A, B, C thì ∀ ABJJJG + BCJJJG = ACJJJG 
 . Cộng 2 vectơ cùng gốc là một vectơ cùng gốc và là đường chéo hình bình hành có 2 
cạnh là 2 vectơ đã cho. 
 . I là trung điểm đoạn thẳng AB, với điểm M bất kỳ nào ta luôn có: 
 MI = 
JJJG
2
MA MB+JJJJG JJJJG 
 . G là trọng tâm của ΔABC ⇔ GAJJJG + GBJJJG + GCJJJG = 0G . 
 Ngoài ra ta còn có : 
 . Ba vectơ khác gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm 
trong một mặt phẳng . 
0
G
 . Bất kỳ vectơ a 0 nào đồng phẳng với hai vectơ không cùng phương , trong 
không gian, đều có thể phân tích theo 
G ≠ G 1eG 2eG
1e
G
, 2e
G
 có nghĩa: 
 a = G α 1eG + β 2eG (α ,β ∈ R) 
 và sự phân tích trên là duy nhất . 
 . Bất kỳ vectơ a nào trong không gian cũng có thể phân tích được theo 3 vectơ 
không đồng phẳng , , có nghĩa : 
G ≠ 0G
1e
G G G
2e 3e
 a = + βG α 1eG 2eG + γ 3eG (α ,β , γ ∈ R) 
 . G được gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD 
 + + GC + ⇔ GAJJJG GBJJJG JJJG GDJJJG = 0G 
 Ghi chú : 
 1) Nếu một trong 3 vectơ , aG b
G
, cG là 0G thì chúng đồng phẳng. 
 2) a , b , c đồng phẳng ⇔ G G G , . 0a b c⎡ ⎤ =⎣ ⎦
G G G
 1
 3) OA , OB , đồng phẳng 
JJJG JJJG
OC
JJJG ⇔ O, A, B, C cùng nằm trên một mặt phẳng. 
Ví dụ 1: 
 Cho một hình lăng trụ ABCA′ B′ C′ . Gọi I, I′ lần lượt là trọng tâm của ΔABC và 
Δ A′ B′ C′ , O là trung điểm của I I′ . 
 a) Chứng minh rằng 
 + + OBOA
JJJG
OA′JJJJG JJJG + OB′JJJJG + OCJJJG + OC′JJJJG = 0G 
b) Gọi G là trọng tâm của hình tứ diện ABCC′ và M là trung điểm của A′ B′ . Chứng 
minh rằng O, M, G thẳng hàng. 
 c) Tính tỉ số OM
OG
JJJJG
JJJG 
Giải 
a) + OA + + OA
JJJG ′JJJJG OBJJJG OB′JJJJG + OCJJJG + OC′JJJJG = 0G 
 I là trọng tâm của ABC ⇒ Δ IAJJG + IBJJG + ICJJG = 0G 
 ( + ) + ( IO + OB ) + (⇒ IOJJG OAJJJG JJG JJJG IOJJG + OCJJJG ) = 0G 
 OA + + OC = 3OI ⇒ JJJG OBJJJG JJJG JJG
 Tương tự, là trọng tâm của I′ Δ A′ B′ C′ 
 OA + + OC = 3OI⇒ ′JJJJG OB′JJJJG ′JJJJG ′JJJG 
Vậy OA + 
JJJG
OA′JJJJG + OB + JJJG OB′JJJJG + OCJJJG + OC′JJJJG = 
 = 3OI
JJG
 + 3OI′JJJG = 3(OIJJG + OI′JJJG ) 
 = 0
G
 (vì 0 là trung điểm I I′ ) 
b) O, M, G thẳng hàng 
G là trọng tâm của tứ diện ABCC′ 
⇒ GA + + GC + JJJG GBJJJG JJJG GC′JJJJG = 0G 
⇒ ( + OA ) + (GO + ) + (GOJJJG JJJG JJJG OBJJJG GOJJJG + OCJJJG ) + (GOJJJG + OC′JJJJG ) = 0 G
⇒ OA + + OC + OCJJJG OBJJJG JJJG ′JJJJG = 4OGJJJG 
M là trung điểm của A B′ ′ 
⇒ OA + = 2OM ′JJJJG OB′JJJJG JJJJG
⇒ OA + + OC + OCJJJG OBJJJG JJJG ′JJJJG + OA′JJJJG + OB′JJJJG = 4OGJJJG + 2OMJJJJG 
 2
⇒ 0 = 4 + 2OM G OGJJJG JJJJG
⇒ OM = –2 JJJJG OGJJJG
⇒ OM cùng phương với OGJJJJG JJJG 
⇒ OM , OG cùng giá (vì cùng gốc O) JJJJG JJJG
⇒ O, M, G thẳng hàng. 
c) Tỉ số 
JJJJG
JJJGOM
OG
OM
JJJJG
 = –2 OG
JJJG ⇒ OM
OG
JJJJG
JJJG = –2 
Ví dụ 2: 
 Cho hình hộp ABCD.A′ B′ C′ D′ với AA′JJJJG = aG , ABJJJG = bG , /ACJJJJG = . Hãy biểu thị các 
vectơ 
cG
AD
JJJG
, AC′JJJJG JJJJG JJJJG, , theo các vectơ aB D′ BD′ G , bG , cG . 
Giải 
 Ta có với hình hộp ABCD. A′ B′ C′ D′ thì : 
AD
JJJG
 = AC′JJJJG + /C D′JJJJJG + D D′JJJJG
 = cG – b
G
 – aG 
AC′JJJJG = A A′JJJJG + /ACJJJJG + /C CJJJJG
AC′JJJJG = –2aG + cG
B D′JJJJG = B B′JJJJG + BAJJJG + ADJJJG 
 = – aG –b
G
 + cG – – b
G
aG
 = – 2aG – 2b
G
 + cG
 BD′JJJJG = BAJJJG + ADJJJG + DD′JJJJG
 = –b
G
 + ( cG – – a ) + b
G G aG
 = – 2b
G
 + cG 
* * * 
D′ A 
B′ 
′
cG 
B C 
D A 
a
C′ 
G 
b
G
 3