Toán học - Chuyên đề 6: Hypebol

 CHUYÊN ĐỀ 6 
HYPEBOL 
Để giải các bài toán có liên quan đến đường hypebol ta cần nắm vững các vấn đề cơ 
bản sau: 
Hypebol (H) có tâm O, hai trục đối xứng là x′x, y′y. 
Phương trình 
chính tắc 
. Hypebol có tiêu điểm 
trên x′x 
2
2
x
a
 – 
2
2
y
b
 = 1 
. Hypebol có tiêu điểm t 
rên y′y 
2
2
x
a
 – 
2
2
y
b
 = –1 
 với c2 = a2 + b2 với c2 = a2 + b2 
Tiêu điểm 
Tiêu cự 
Trục thực, độ dài 
Trục ảo, độ dài 
Đỉnh 
Tiệm cận 
Tâm sai 
Bán kính 
M(xM, yM) ∈ (H) 
F1(–c, 0), F2(c, 0) 
2c 
Ox, 2a 
Oy, 2b 
A1(–a, 0), A2(a, 0) 
y = ± b
a
x 
e = c
a
1 1
2 2
M
M
r FM ex a
r F M ex a
= = +⎧⎨ = = −⎩
 (xM a)≥
1
2
M
M
r ex
r ex
a
a
= − −⎧⎨ = − +⎩
(xM ≤ – a)
F1(0, –c), F2(0, c) 
2c 
Oy, 2b 
Ox, 2a 
A1(0, –b), A2(0, b) 
y = ± a
b
x 
e = c
b
1 1
2 2
M
M
r FM ey b
r F M ey b
= = +⎧⎨ = = −⎩
 (yM ≥ b)
1
2
M
M
r ey
r ey
b
b
= − −⎧⎨ = − +⎩
(yM ≤ – b)
 1
Đường chuẩn 
Phương trình tiếp 
tuyến tại tiếp 
điểm M0(x0, y0) ∈ (H) 
x = ± a
e
0
2
x x
a
 – 02
y y
b
 = 1 
y = ± b
e
0
2
x x
a
 – 02
y y
b
 = –1 
Ngoài ra ta cũng cần lưu ý: 
. Điều kiện để: 
(D) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (H) : 
2
2
x
a
 – 
2
2
y
b
 = 1 là 
 a2A2 – b2B2 = C2 > 0 
(D) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (H) : 
2
2
x
a
 – 
2
2
y
b
 = –1 là 
 a2A2 – b2B2 = –C2 < 0 
Ví dụ : 
 Cho hypebol (H) : 4x2 – y2 = 4 
1) Xác định tiêu điểm, đỉnh, tâm sai, các đường tiệm cận và đường chuẩn của (H) 
2) Viết phương trình tiếp tuyến với (H) tại điểm M(1, 0) 
3) Viết phương trình tiếp tuyến với (H) phát xuất từ điểm N(1, 4) tìm tọa độ tiếp điểm. 
Giải 
1) Các phần tử của hypebol (H) 
(H) : 4x2 – y2 = 4 x2 – ⇔
2
4
y = 1 có dạng 
2
2
x
a
 – 
2
2
y
b
 = 1 với 
a2 = 1 a = 1, b2 = 4 ⇒ b = 2 và c2 = a2 + b2 = 5 ⇒
 Vậy hypebol (H) có 2 tiêu điểm F1( 5− , 0), F2( 5 , 0) ; hai đỉnh A1(–1, 0), A2(1, 0) ; 
tâm sai e = c
a
 = 5 ; hai đường tiệm cận phương trình y = ± 2x và hai đường chuẩn phương 
trình 
 x = ± a
e
 = ± 1
5
 2
 2) Phương trình tiếp tuyến với (H) tại tiếp điểm M(1, 0) 
 Ta có M(1, 0) ∈ (H) : 4x2 – y2 = 4 
⇒ Phương trình tiếp tuyến với (H) tại tiếp điểm M(1, 0) là 
 4xMx – yMy = 4 
⇔ 4x – 0y = 4 x = 1 ⇔
3) Phương trình tiếp tuyến với (H) phát xuất từ N(1, 4). Hai tiếp tuyến cùng phương với 
0y là x = a = 1. Vậy x=1 là một tiếp tuyến qua N(1, 4). ± ±
Tiếp tuyến ( qua N(1, 4) không cùng phương với 0y có dạng: )Δ
 : y – 4 = k(x – 1) ( )Δ ⇔ kx – y + 4 – k = 0 
( )Δ tiếp xúc với hypebol (H) : 2
1
x – 
2
4
y = 1 
⇔ k2 . 12 – 4(–1)2 = (4 – k)2 
⇔ k2 - 4 = 16 – 8k + k2 
⇔ k = 20 5
8 2
= .Vậy : ( )Δ 5
2
x – y – 4 – 5
2
 = 0 
 ⇔ 5x – 2y – 13 = 0 
Tóm lại có hai tiếp tuyến qua điểm N(1, 4) là x = 1, và 5x – 2y – 13 = 0. 
* * * 
 3