Tài liệu Toán Lớp 8 - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung - Năm học 2006-2007 - Trường THCS Hòa Bắc

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG
	III/ NHỮNG SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI KHI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG:
	1 . Tìm nhân tử chung sai hoặc thiếu .
	2 . Không biến đổi đa thức để làm xuất hiện nhân tứ chung .
	3 . Phân tích thành nhân tử chưa triệt để.
	4 . Tìm và xác định các số hạng trong ngoặc sau nhân tử chung sai .
	5 . Khi nhân tử chung là một đa thức học sinh cha rằng đó không phải là nhân tử chung .
IV/ PHƯƠNG PHÁP TÌM VÀ XÁC ĐỊNH NHÂN TỬ CHUNG :
	Bước 1 : Hệ số của nhân tử chung chính là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử .
	Bước 2 : Biến (nếu có ) của nhân tử chung phải có mặt trong tất cả các hạng tử , với số mũ nhỏ nhất 
	Bước 3 : Lập tích các hệ số và biến chung có ở trên .
V / Một số minh họa về các sai lầm :
	 1/ 	33x5y3 + 15 x3y +3xy = 3xy (11x4y2+5x2)
	 2/ 	7x(3y-5) – 8 (5-3y)	không tìm được nhân tử chung .
	 3/ 	24x(x+5) – 39(x+5) = (x+5)(24x – 39) 
	4/ 	24x5y4 + 30x3y2 – 42x2y7 = 3xy2(8x4y2 +10x2y – 14xy5 )
	5/	9z2 (2xy2 – 3y + 8 ) + 4z (2xy2 – 3y + 8 )+5(2xy2 – 3y + 8 ).
VI / BÀI TẬP RÈN LUYỆN :
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC 
I/ LÝ THUYẾT :
	Liệt kê 7 hằng đẳng thức :
	1/ 	A 2 + 2AB + B2 = (A + B)2 .
	2/ 	A 2 – 2AB + B2 = (A – B)2 .
	3/	 (A – B ) (A + B) = A2 – B2 .
	4/ 	 (A + B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 .
	5/	 (A – B)3= A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 .
	6/ 	 (A – B ) (A2 + AB + B 2) = A3 – B3 .
	7/ 	 (A + B ) (A2 – AB + B 2) = A3 + B3 .
Để phân tích một đa thức thành nhân tử nhờ phương pháp vận dụng hằng đẳng thức trước tiên ta quan sát và xác định đa thức đó thuộc vào dạng nào trong 7 hằng đẳng thức đã học sau đó áp dụng theo .
	Bài 1 : Hoàn thiện các hằng đẳng thức sau :
	A 2 + 2AB + B2 = 	
	A 2 – 2AB + B2 = 	
	A2 – B2 =	
	A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 =	
	A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 =	
	A3 – B3 =	
	A3 + B3 = 	
 Ví dụ : Phân tích đa thức x2 – 6x + 9 thành nhân tử
	Đa thức x2 – 6x + 9 thuộc dạng hằng đẳng thức A 2 – 2 A B + B2 
	Biến đổi	 x 2 – 6x + 9 = x2 –2 . x . 3 + 32 = ( x – 3)2
	A 2 – 2.A .B + B2 = (A – B)2
	Xác định A ,B trong biểu thức x2 –2 . x . 3 + 32 ?
Ví dụ : Phân tích đa thức 4x2 – 9 thành nhân tử 
	Đa thức 4x2 – 9 có dạng hằng đẳng thức A2 – B2 
	Đa thức 4x2 – 9 = (2x)2 – 32 = (2x – 3 )(2x + 3).
Ví dụ : Phân tích đa thức 8x3 – y3 thành nhân tử
	1/ 8x3 – y3 = (2x)3 – y 3 = (2x – y )[ (2x)2 +2x . y + y2] .
	2/ 8x3 – y3 = (2x)3 – y 3 = (2x – y )( 2x2 +2x . y + y2) .
 Trong hai cách phân tích trên , hãy xác định cách làm đúng ? Chỉ rõ chỗ sai trong cách làm sai ?
 II/ BÀI TẬP :
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ
Dùng các tính chất : giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức ta kết hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác phân tích thành nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích chung đối với các nhóm .
 AC – AD + BC – BD = (AC – AD ) + (BC – BD ) = A(C – D ) + B (C –D )= (C –D )(A +B).
*Một số sai lầm khi sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử :
+ Sau khi nhóm các nhóm đều phân tích tiếp được nhưng các nhóm không có nhân tử chung .
+
*Lưu ý nhóm những hạng tử thích hợp :
+ Trước tiên ta xét các hệ số sau đóta quan tâm đến các biến z , y. Nếu có tích xy ,xz ,yz thì ta nhóm các hạng tử có chứa x , y hoặc x, z hoặc y, z lại thành từng nhóm .
+ Mỗi nhóm có thể phân tích được .
+ Sau khi phân tích mỗi nhóm thì quá trình phân tích đa thức đã cho tiếp tục được .
+ Nghĩa là nhóm những hạng tử thích hợp để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức sau đó lại xuất hiện nhân tử chung một lần nữa .
+ Khi các hạng tử của đa thức đã cho không có nhân tử chung hoặc không có dạng hằng đẳng thức thì ta mới dùng phương pháp nhóm .
+ Khi dùng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cần phân tích triệt để .
+ Khi đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc thì trong ngoặc không cón nhân tử chung nữa và chỉ được viết (nhân tử chung )một lần .
********************************************************************
Phương pháp đặt nhân tử chung :
	Dùng ví dụ minh họa :
+	5a + 10b – 5c = 5 (a + 2b – c ).
+	7x5 y4 + 25x4y6 – 10x3y3 = x3y3 (7x2y + 25xy3 – 10 ).
+	 8x – 16y + 8 = 8( x – 2y + 1 ).
+	3x4y3 – 15x2y5 + 24xy2z = 3xy2( x3y – 5xy3 + 8z ).
+	x(x – 3 ) + 11 ( x – 3 ) = ( x – 3 )(x + 11).
+	5x3 (2x +1 ) – 6x2 (2x + 1) + (2x + 1) = (2x + 1)( 5x3 – 6x2 + 1).
Như vậy :	+ Khi nhân tử chung là biến thì biến đó phải có mặt trong tất cả các hạng tử và chỉ lấy với số mũ nhỏ nhất .
	+ Khi đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc thì trong ngoặc không cón nhân tử chung nữa và chỉ được viết (nhân tử chung )một lần .
Phương pháp dùng hằng đẳng thức :
Ta biến đổi các đa thức về dạng cơ bản của hằng đẳng thức và áp dụng hằng đẳng thức để đưa về vế còn lại của hằng đẳng thức mà có dạng tích như :
	A 2 + 2AB + B2 = (A + B )2
	A 2 – 2AB + B2 = (A – B )2
	A2 – B2 = (A – B) (A + B)
	A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3
	A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = (A – B )3
	A3 – B3 = (A – B )(A2 + AB + B2 )
	A3 + B3 = (A +B)(A2 – AB +B2 ).
Như vậy khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức trước tiên ta cho học sinh nhận dạng xem đa thức đó có dạng của hằng đẳng thức nào rồi sau đó biến đổi theo dạng đó (của hằng đẳng thức ).
Ví dụ : Phân tích đa thức x2 + 6x + 9 thành nhân tử .
Ta thấy đa thức x2 + 6x + 9 có dạng của hằng đẳng thức A 2 + 2A B + B2 nên ta phân tích : 	x2 = (x)2 ¾® A là x 	còn 9 = 32 ¾® B là 3 và 6x = 2 . x . 3
Hay 	x2 + 6x + 9 = 	(x)2 + 2 . x . 3 + (3)2 = (x + 3 )2
	A2 + 2 . A . B + B2 = ( A + B )2 
Ví dụ : Phân tích đa thức 4x2 – 9 thành nhân tử .
Đa thức 4x2 – 9 có dạng hằng đẳng thức A2 – B2
	Đa thức	 4x2 – 9 = (2x)2 – 32 = (2x – 3 )(2x + 3).
	 A2 – B2 = (A – B) (A + B)
	Ví dụ : Phân tích đa thức 8x3 – y3 thành nhân tử
	1/ 8x3 – y3 = (2x)3 – y 3 = (2x – y )[ (2x)2 + 2x . y + y2] .
	2/ 8x3 – y3 = (2x)3 – y 3 = (2x – y )( 2x2 + 2x . y + y2) .
 Trong hai cách phân tích trên , hãy xác định cách làm đúng ? Chỉ rõ chỗ sai trong cách làm sai ? Tìm biểu thức A,biểu thức B trong hằng đẳng thức trên ?
	Phương pháp nhóm hạng tử :
	Để phân tích một đa thức thành nhân tử trước tiên ta xét các phương pháp đặt nhân tử chung trước rồi đến phương pháp dùng hằng đẳng thức nếu đa thức không sử dụng được hai phương pháp trên thì ta xét đến phương pháp nhóm hạng tử .
	 Đặc điểm của phương pháp nhóm hạng tử là đa thức phải có từ 4 hạng tử trở lên . Dùng các tính chất : giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức ta kết hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp ,sau khi nhóm hạng tử thì mỗi nhóm phải xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức và tất cả các nhóm sau khi phân tích phải xuất hiện nhân tử chung chẳng hạn như . 
AC – AD + BC – BD = (AC – AD ) + (BC – BD ) = A(C – D ) + B (C –D )= (C – D )(A +B).
+Ví dụ : Phân tích đa thức 4ax – 4bx – a + b thành nhân tử .
Ta có 4ax – 4bx – a + b = (4ax – 4bx) – (a – b ) = 4x (a – b ) – (a – b )= (a – b )( 4x – 1).
+Ví dụ : Phân tích đa thức x2 + 6x – y2 + 9 thành nhân tử .
Ta có x2 + 6x – y2 + 9 = (x2 + 6x + 9)– y2 = (x + 3 )2 – y2 =( x + 3 – y )( x + 3 + y)
+ Ví dụ : Phân tích đa thức x2 – xz – 9y2 +3yz thành nhân tử .
Ta có x2 – xz – 9y2 +3yz = (x2 – 9y2) – (xz – 3yz) =(x – 3y )( x + 3y) – z(x – 3y) =
= (x – 3y )( x + 3y – z).
********************************************************************
Để phân tích một đa thức thành nhân tử , ngoài các phương pháp thông thường người ta còn sử dụng một vài phương pháp khác như : tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; thêm ,bớt cùng một hạng tử thích hợp ; xét giá trị riêng ( trị số riêng ); dùng hệ số bất định ; tìm nghiệm của đa thức ; đổi biến;
Trong khuôn khổ chuyên đề này, để phục vụ cho mục đích rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử bằng những phương pháp được học trên lớp chúng tôi chỉ bổ sung thêm phương pháp :
* Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:
- Đối với đa thức là tam thức bậc hai một ẩn ax2 + bx + c : 
+Ta thường tách hạng tử ở giữa thành hai hạng tử dựa vào hằng đẳng thức sau : mpx2 + ( mq + np )x + nq = (mx + n )(px + q) . Như vậy trong tam thức ax2 + bx + c , hệ số b được tách thành b1 + b2 sao cho b1 . b2 = ac . Trong thực hành ta làm như sau : 
1. Tìm tích ac.
2. Phân tích ac ra thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách .
3. Chọn hai thừa số mà tổng bằng b .
Ví dụ : Phân tích đa thức 6x2 – 11x +3 thành nhân tử .
Trong đa thức 6x2 – 11x + 3 thì a = 6, b = – 11 ,c = 3 .
	Bước 1 : Tích ac = 6.3 = 18 
	Bước 2 : Phân tích 18 ra tích hai thừa số cùng dấu và cùng âm ( để tổng bằng 11).
	Bước 3 : Chọn hai thừa số mà tổng bằng –11 , đó là –2 và –9.
Khi đó 6x2 – 11x + 3 = 6x2 – 2x –9x + 3 = 2x (3x –1) – 3(3x –1) = (3x –1) (2x – 3).
Ngoài ra ta có thể tách một hạng tử thành nhiều hạng tử theo nhiều cách .
Chẳng hạn phân tích x2 – 6x + 8 thành nhân tử ta có thể làm như sau : 
	x2 – 6x + 8 = x2 – 2x – 4x + 8.
	x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9 ) – 1 .
	x2 – 6x + 8 = (x2 – 4 ) – 6x +12 .
	x2 – 6x + 8 = (x2 – 16 ) – 6x + 24 .
	x2 – 6x + 8 = (x2 – 4x + 4 ) – 2x + 4 .
- Đối với đa thức bậc cao một ẩn dạng an xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +  + a1x + a0 :
	Đặt f(x) = an xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +  + a1x + a0 .
+ Nhẩm nghiệm của đa thức tức là nếu a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(a) = 0 và khi đó f(x) = (x – a ).M trong đó M là đa thức .
	- Nếu f(x) có nghiệm nguyên (x = a) thì a là ước của a0 và khi đó ta tách các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung là x – a .
	- Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức f(x) chia hết cho x – 1hay f(x) = (x – 1).M hay x = 1 là nghiệm của đa thức f(x) .
	- Nếu tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì đa thức f(x) chia hết cho x +1 hay f(x) = (x + 1).M hay x = – 1 là nghiệm 
	- Nếu f(x) không có nghiệm nguyên tức là nghiệm của f(x) có dạng x = (tối giản) thì p là ước của a0 còn q là ước của hạng tử có bậc cao nhất an khi đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung là qx – p .
	- Nếu an = 1và các ước của a0 không là nghiệm của f(x) thì đa thức f(x) không có nghiệm (vô nghiệm).
*Ví dụ : Phân tích thành nhân tử : x3 + x2 + 4.
Trước hết ta kiểm tra các ước của 4 là ± 1, ± 2 , ± 4 . Qua kiểm tra ta thấy – 2 là nghiệm của đa thức , do đó ta tách các hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung x + 2 .
Cách 1 : x3 + x2 + 4 = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2 (x + 2 ) – (x2 – 22) =
	= x2 (x + 2 ) – (x + 2 ) (x – 2 ) = (x + 2 ) [x2 – (x – 2 )] = (x + 2 ) (x2 – x + 2 )
Cách 2 : x3 + x2 + 4 = x3 + 8 + x2 – 4 = (x3 + 23) + ( x2 – 22 ) = (x + 2 )(x2 – 2x + 4 ) +
+ (x + 2 ) (x – 2 ) = (x + 2 )[(x2 – 2x + 4 )+ (x – 2 )] = (x + 2 ) (x2 – x + 2 ) .
* Ví dụ : Phân tích đa thức 2x3 – 5x2 + 8x – 3 thành nhân tử .
Kiểm tra các số ± 1, ± 3 không là nghiệm của đa thức . Như vậy đa thức không có nghiệm nguyên , nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ , nghiệm hữu tỉ (nếu có) của đa thức trên là ± . Sau khi kiểm tra ta thấy x = là một nghiệm nên đa thức chứa nhân tử x - hay 2x – 1 do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung 2x – 1 .
2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 2x3 – x2 – 4x2 + 2x + 6x – 3 = (2x3 – x2) – (4x2 – 2x) + (6x – 3 ) =
= x2 (2x – 1) – 2x (2x – 1) + 3 (2x – 1) = (2x – 1) (x2 – 2x + 3 ).
* Ví dụ : phân tích thành nhân tử : x3 + 3x2 – 4 .
Do đa thức có tổng các hệ số bằng 0 nên đa thức có một nhân tử là x – 1 .
Do đó ta có x3 + 3x2 – 4 = x3 – 1 + 3x2 – 3 = (x – 1 )(x2 + x + 1) + 3 (x – 1 ) (x + 1 )= 
= (x – 1 )(x2 + x + 1 + 3x + 3 ) = (x – 1 ) (x2 + 4x + 4) =(x – 1 ) (x + 2 )2 .
* Ví dụ : Phân tích đa thức x2 – 5x – 14 thành nhân tử.
Xét các ước của 14 là ±1, ±2, ±7, ±14 xem số nào là nghiệm của đa thức . Qua kiểm tra ta thấy – 2 là nghiệm nên tách các hạng tử làm xuất hiện x + 2 là nhân tử .
x2 – 5x – 14 = x2 + 2x – 7x – 14 = (x2 + 2x ) – (7x + 14 ) = x (x + 2) – 7 (x + 2) = (x + 2)(x – 7 )
Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích 
	BÀI 1 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử .
a) 2x +	2y .	h) 5x (x – 2y)	+ 2 ( 2y – x ) .
b) 5x +	20y .	i) x2y3 – x4y8 .
c) 6xy – 30y . 	j) a2b4 + a3b – abc .
d) 5x (x – 11 ) – 10y(x – 11 ).	k) – x2y2z – 6x3y – 8x4z2 – 9x5y5z5 .	
e) x3 – 4x2 + x .	l) 7x(y– 4)2 – (4 – y)3.
f) x(x+y) – (2x+2y) .	m) x2 – x + 1 + 7x (x2 – x + 1) .
g) 2x(x+y) – 10x – 10y .	n) 5x5 (y3+3y – 13 ) – 4y (y3+3y – 13 ) – 2x(y3+3y – 13 ).
	Bài 2 : Tính nhanh :
85 . 12,7 + 5 . 3 . 12,7 .
47 . 9,9 + 53 . 9,9 .
52 . 143 – 52 . 39 – 8 . 26 .
13 . 49 + 38 . 49 – 25 . 49 + 49 . 74 .
37 . 80 + 41 . 40 – 40 . 15 .
	Bài 3 : Tính giá trị của các biểu thức sau .
x2 + xy + x	 	 tại x = 77 , y = 22 .
x (x – y) + y (y – x)	 tại x = 53 , y = 3 .
x (x – 6 ) – y (6 – x )	 tại x = 006 , y = 2002 .
5x (x – y) – y (x – y)	 tại x = 60 , y = 5 .
	Bài 4 : Tìm x biết .
x + x2 = 0 .	g) 15y(	4y – 9) – 3 ( 4y – 9 ) = 0.	
x +1 – (x+1)2 = 0.	h) 8(25z + 7) – 27z ( 25z + 7) = 0 .
x 3 + x = 0 .	i) 13y ( x – 8 ) – 2y + 16 = 0 .
 2x ( x – 9 ) + 3 ( x – 9 ) = 0 .	j) –10x (y + 2) – y – 2 = 0 .
6x2 – 3x = 0 .	k) (6x + 11)(5y – 12) – 42x + 66 = 0 . 
5x3 (7x + 1) – 10x2 (7x + 1) = 0 .	l) x (x + 19)2 – (x + 19)2 = 0.
	Bài 5 : Chứng minh rằng .
	432 + 43 .17 chia hết cho 60 .
	n 2 (n+1) + 2n (n+1) 	luôn chia hết cho 6 với mọi n Ỵ Z .
25n (n – 1) – 50 ( n – 1) luôn chia hết cho 150 với mọi n là số nguyên .
Sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức để phân tích .
	Bài 1 : vận dụng hằng đẳng thức ( A + B )2 để phân tícch đa thức thành nhân tử 
x2 + 10x + 25 .	e) x2 + 6xy + 9y2 .
x2 + 14x + 49 .	f) 16x2 + 24xy +9y2 .
4x2 + 4x + 1 .	g) ( 2x +1)2 +12 (2x + 1) + 36 .
9x2 + 30x +25 .	h) (x2 + 2x)2 + 2(x2 + 2x) + 1 .
Bài 2 : Hoàn thiện vào chỗ trống để có kết quả đúng .
x2 + .. + 81 = ( + )2 .
+ 8x + 16 = (.+ .)2 .
y 2 – 20 y + = (.– .)2 .
z4 + .+ 64 = (.+ .)2 .
25x2 – +  = (.+ 7.)2 .
 36 y2 – 49 z2 =(.)2 – (..)2 = (..– .. )( + .) 
m3 – 125 = m3 – 3= (..– . )(.. ++..)
8x3 + 12x2 + 6x +1 = (.)3 +3 (.)2 .. + 3 . + .3 = (.+.)3
1 + x3 = ..3 + (..)3 = (. + .)( – .. + .)
Bài 3 : Tính giá trị của biểu thức sau .
A = x2 + 12x + 36	tại x = 64.
B = x2 + 4xy +4y2 	 	khi biết x = 2,8 ; y = 3,6 .
C = y 2 + 2yz + z 2 	khi biết y = 4,19 ; z = 5,81 .
D = (3x – 7 )2 +10(3x – 7 ) +25	 biết x = 16.
E = 8x3 – 12x2 + 6x – 1	tại x = - .
G= (1 – 2x )2 – (3x + 1)2	tại x = – 2 
	Bài 4 . Phân tích đa thức thành nhân tử .
x2 + 6xy + 9y2	+ 	4a4 – 4a2b2 + b4	
x6 + y2 – 2x3y	+ 	(x + y)3 – (x – y )3	
25x4 – 10x2y2 + y4 	+	
– a2 – 2a – 1 
27b3 – 8a3
x3 + 9x2y+ 27xy2 + 27y3 
16x2 – 9 (x + y)2
(a – b)2 – 1
a6 –b6 .
Dùng phương pháp nhóm hạng tử 
Bài 1 : Tính nhanh :
	3,71 . 34 + 66 .3,71 .
36 . 28 + 36 . 82 + 64 . 69 + 64 . 41.
	13,5 . 5,8 – 8,3 . 4,2 – 5,8 . 8,3 + 4,2 . 13,5 .
4,8 . 13,3 + 4,8 . 6,7 + 5,2 . 13,3 + 5,2 . 6,7 .
7,8 . 55,1 + 92,2 . 55,1 – 7,8 . 5,1 – 92,2 . 5,1
170 . 22,89 – 128,9 . 17 .
452 + 402 – 152 + 80 . 45 .
Bài 2 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử .
2x2 + 4x + xy +2y .	+ a(x – y ) + bx – by .
x2 +xy – 7x – 7y .	+ ac + bc + a + b .
x2 + 2xy + y2 – 4 .	+ 5a2 – 5ax – 7a + 7x .
1 – y3 + 6xy2 – 12x2y + 8x3 .	+ 7z2 – 7yz – 4z + 4y.
b2c + bc2 + ac2 – a2 c – ab (a + b ).	+ x3 + 3x2 + 3x + 9.
2a2b + 4ab2 – a2c – 2abc + ac2 + 2bc2 – 4b2c – 2abc .	+ 30ax – 34bx – 15a + 17b .
x3 – x2 – 5x + 125 .	+ x3 – x2y - x2z – xyz .
x3 + 2x2 – 6x – 27 .	+ pq – p2 – 5(p – q ).
12x3 + 4x2 – 27x – 9 .	+ y(a - b) – 2a + 2b .
x4 – 25x2 + 20x – 4 .	+ y2 + 1+ 2y – 49.
x2(x2 – 6 ) – x2 + 9.	+ 36 a2 – c2 – 9b2 – 6bc .
x6 – x4 + 2x3 + 2x2 . 	+ ab(a –b )+ b2c – bc2 + c2a – ca2.
	Bài 3 : Tìm x biết .
4x2 – 25 – (2x – 5 )(2x + 7) = 0 
x3 + 27 + (x + 3)(x – 9 ) = 0 .
2x3 + 3x2 + 2x + 3 = 0
x2(x + 7) – 4 (x + 7) = 0 
	Bài 4 : Chứng minh đẳng thức
Cho x + y + z = 0 . Chứnh minh rằng : x3 + x2z + y2z – xyz + y3 = 0 .
(a + b +c )3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a).
a3+ b3 + c3 = 3abc với a+ b + c = 0.