Tài liệu Số học Lớp 9 - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số - Năm học 2008-2009 - Huỳnh Trung Kiên

Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số 
 1 
A. ĐẶT VẤN ĐỀ: 
Xuất phát từ yêu cầu của Bộ GD- ĐT, từ thực tiễn dạy học môn toán ở 
trường THCS Hiệu trưởng trường THCS Đức Hòa, và nhóm toán trường chúng tôi 
đã bàn bạc, thảo luận cho phép tôi biên soạn chủ đề: “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị 
nhỏ nhất của một biểu thức đại số”, nhằm dạy cho đối tượng học sinh khá giỏi 
và dạy tự chọn cũng như phục vụ cho việc giảng dạy học tập hằng ngày. Đây là 
một trong những mảng kiến thức khó của toán học phổ thông cơ sở mà các em 
thường gặp một số ít trong sách giáo khoa. Khi gặp các bài tập dạng này, học sinh 
thường lúng túng không biết bắt đầu phải giải như thế nào? Với mong muốn giúp 
các em làm quen và nắm được cách giải toán dạng này, tôi biên soạn thành một 
chuyên đề để các em tham khảo và có một kĩ năng nhất định khi giải toán dạng 
này. 
B. CƠ SỞ KHOA HỌC: 
- Các kiến thức thường sử dụng là: 
+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: 
2
a b
ab+ ≥ ; 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”. 
+ Bất đẳng thức: ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2ac bd a b c d+ ≤ + + (BĐT: Bunhiacopxki); 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b
c d
= . 
+ a b a b+ ≥ + ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0. 
+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 
Nếu [ ]2( )y a f x= + thì min y = a khi f(x) = 0. 
Nếu [ ]2( )y a f x= − thì max y = a khi f(x) = 0. 
+ Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2). 
.. 
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số 
 2 
C. NỘI DUNG: CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI 
• Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC 
Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức: 
a) 24 4 11A x x= + + 
b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) 
c) 2 22 4 7C x x y y= − + − + 
Giải: 
a) ( )22 24 4 11 4 4 1 10 2 1 10 10A x x x x x= + + = + + + = + + ≥ 
⇒ Min A = 10 khi 1
2
x = − . 
b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) 
= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 ≥ -36 
⇒ Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5. 
c) 2 22 4 7C x x y y= − + − + 
 = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2 ≥ 2 
⇒ Min C = 2 khi x = 1; y = 2. 
Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức: 
a) A = 5 – 8x – x2 
b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y 
Giải: 
a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 ≤ 21 
⇒ Max A = 21 khi x = -4. 
b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y 
= -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7 
= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7 ≤ 7 
⇒ Max B = 7 khi x = 1, 1
2
y = − . 
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số 
 3 
Bài toán 3: Tìm GTNN của: 
a) 1 2 3 4M x x x x= − + − + − + − 
b) ( )22 1 3 2 1 2N x x= − − − + 
Giải: 
a) 1 2 3 4M x x x x= − + − + − + − 
 Ta có: 1 4 1 4 1 4 3x x x x x x− + − = − + − ≥ − + − = 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x) ≥ 0 hay 1 4x≤ ≤ 
2 3 2 3 2 3 1x x x x x x− + − = − + − ≥ − + − = 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x) ≥ 0 hay 2 3x≤ ≤ 
Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi 2 3x≤ ≤ . 
b) ( ) 222 1 3 2 1 2 2 1 3 2 1 2N x x x x= − − − + = − − − + 
Đặt 2 1t x= − thì t ≥ 0 
Do đó N = t2 – 3t + 2 = 232
1( )
4
t − − 
1
4
N⇒ ≥ − . 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3 30
2 2
t t− = ⇔ = 
Do đó 1
4
N = − khi 
3 52 13 3 2 42 1
3 12 2 2 1
2 4
x x
t x
x x
 
− = = 
= ⇒ − = ⇒ ⇒ 
 
− = − = −
  
Vậy min 1 5
4 4
N x= − ⇔ = hay 1
4
x = − . 
Bài toán 4: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3. 
Giải: 
M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2 
22 2 2 2
2 21 ( )
2 2 2 2 2 2 2
x y x y x y
xy x y  = + + − + = + + − 
 
2 21 ( )
2
M x y⇒ ≥ + 
Ngoài ra: x + y = 1 ⇒ x2 + y2 + 2xy = 1 ⇒ 2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1 
=> 2(x2 + y2) ≥ 1 
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số 
 4 
Do đó 2 2 1
2
x y+ ≥ và 2 2 1 1
2 2
x y x y+ = ⇔ = = 
Ta có: 2 21 ( )
2
M x y≥ + và 2 2 1 1 1 1( ) .
2 2 2 4
x y M+ ≥ ⇒ ≥ = 
Do đó 1
4
M ≥ và dấu “=” xảy ra 1
2
x y⇔ = = 
Vậy GTNN của 1 1
4 2
M x y= ⇔ = = 
Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: 
(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0. 
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2. 
Giải: 
 (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0 
⇔ [(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0 
⇔ x
4
 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0 
⇔ x
4
 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0 
⇔ x
4
 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2 
⇔ (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2 
Đặt t = x2 + y2. Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2 
Suy ra: t2 – 3t + 1 ≤ 0 
2
2
3 9 52. . 0
2 4 4
3 5 3 5
2 4 2 2
5 3 5
2 2 2
3 5 3 5
2 2
t t
t t
t
t
⇔ − + − ≤
 
⇔ − ≤ ⇔ − ≤ 
 
⇔ − ≤ − ≤
− +
⇔ ≤ ≤
Vì t = x2 + y2 nên : 
 GTLN của x2 + y2 = 3 5
2
+
 GTNN của x2 + y2 = 3 5
2
−
Bài toán 6: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: 
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số 
 5 
P = a + b + c – ab – bc – ca. 
Giải: 
Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca 
= (a – ab) + (b - bc) + (c – ca) 
= a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 0 (vì 0 , , 1a b c≤ ≤ ) 
Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = b = c = 0 
Vậy GTNN của P = 0 
Theo giả thiết ta có: 1 – a ≥ 0; 1 – b ≥ 0; 1 – c ≥ 0; 
⇒ (1-a)(1-b)(1-c) = 1 + ab + bc + ca – a – b – c – abc ≥ 0 
⇒ P = a + b + c – ab – bc – ac 1 1abc≤ − ≤ 
Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý [ ]0;1∈ 
Vậy GTLN của P = 1. 
Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1. 
Tìm GTLN và GTNN của x + y. 
Giải: 
Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 ≥ (x + y)2 
⇔ 2(x2 + y2) ≥ (x + y)2 
Mà x2 + y2 = 1 ⇒ (x + y)2 ≤ 2 
2 2 2x y x y⇔ + ≤ ⇔ − ≤ + ≤ 
- Xét 2x y+ ≤ 
 Dấu “=” xảy ra 2
22
x y
x y
x y
=
⇔ ⇔ = =
+ =
- Xét 2x y+ ≥ − 
 Dấu “=” xảy ra 2
22
x y
x y
x y
=
−
⇔ ⇔ = =
+ = −
 Vậy x + y đạt GTNN là 2− 2
2
x y −⇔ = = . 
Bài toán 8: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 ≤ 27. 
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx. 
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số 
 6 
Giải: 
Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 ≥ 0 ⇔ 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx ≥ 0 
⇒ (x + y + z)2
= x
2
 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx) ≤ 3(x2 + y2 + z2) ≤ 81 
⇒ x + y + z ≤ 9 (1) 
Mà xy + yz + zx ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 27 (2) 
Từ (1) và (2) => x + y + z + xy + yz + zx ≤ 36. 
Vậy max P = 36 khi x = y = z = 3. 
Đặt A = x + y + z và B = x2 + y2 + z2 
2 2( 1) 1 1
2 2 2 2
A B A B BP A − + + +⇒ = + = − ≥ − 
Vì B ≤ 27 ⇒ 1
2
B +
− ≥ -14 ⇒ P ≥ -14 
Vậy min P = -14 khi 2 2 2
1
27
x y z
x y z
+ + = −

+ + =
Hay 13; 13; 1x y z= − = = − . 
Bài toán 9: 
Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 . Tìm giá trị của x và 
y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN. Tìm GTNN ấy. 
Giải: 
Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + 1 
Đặt t = xy thì: 
x
2
 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t 
x
4
 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100 
Do đó: P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101 
= (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2
 + 45 
45P⇒ ≥ và dấu “=” xảy ra ⇔ x + y = 10 và xy = 2. 
Vậy GTNN của P = 45 ⇔ x + y = 10 và xy = 2. 
Bài toán 10: 
Cho x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + y2. 
Giải: 
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số 
 7 
Ta có: x + y = 2 ⇒ y = 2 – x 
Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2 
= x
2
 + 4 – 4x + x2 
= 2x2 – 4x + 4 
= 2( x2 – 2x) + 4 
= 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2 
Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1. 
• Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC 
Bài toán 1: 
Tìm GTLN và GTNN của: 2
4 3
1
xy
x
+
=
+
. 
Giải: 
* Cách 1: 
2
2 2
4 3 ax 4 3
1 1
x x ay a
x x
+ − + + −
= = +
+ +
Ta cần tìm a để 2ax 4 3x a− + + − là bình phương của nhị thức. 
Ta phải có: 1' 4 (3 ) 0
4
a
a a
a
= −∆ = + − = ⇔ 
=
- Với a = -1 ta có: 
2 2
2 2
4 3 x 4 4 ( 2)1 1
1 1 1
x x xy
x x x
+ + + +
= = − + = − +
+ + +
1.y⇒ ≥ − Dấu “=” xảy ra khi x = -2. 
Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2. 
- Với a = 4 ta có: 
2 2
2 2
4 3 -4x 4 1 (2 1)4 4 4
1 1 1
x x xy
x x x
+ + − −
= = + = − ≤
+ + +
Dấu “=” xảy ra khi x = 1
2
. 
Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1
2
. 
* Cách 2: 
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số 
 8 
Vì x2 + 1 ≠ 0 nên: 22
4 3 yx 4 3 0
1
xy x y
x
+
= ⇔ − + − =
+
 (1) 
y là một giá trị của hàm số ⇔ (1) có nghiệm 
- Nếu y = 0 thì (1) 3
4
x⇔ = − 
- Nếu y ≠ 0 thì (1) có nghiệm ⇔ ' 4 ( 3) 0y y∆ = − − ≥ ( 1)( 4) 0y y⇔ + − ≤ 
1 0
4 0
y
y
+ ≥
⇔ 
− ≤
 hoặc 1 0
4 0
y
y
+ ≤

− ≥
 1 4y⇔ − ≤ ≤ 
Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2. 
Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1
2
. 
Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của: 
2
2
1
1
x xA
x x
− +
=
+ +
. 
Giải: 
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm: 
2
2
1
1
x x
a
x x
− +
=
+ +
 (1) 
Do x2 + x + 1 = x2 + 2. 1
2
.x + 
21 3 1 3 0
4 4 2 4
x
 
+ = + + ≠ 
 
Nên (1) ⇔ ax2 + ax + a = x2 – x + 1 ⇔ (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2) 
• Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0. 
• Trường hợp 2: Nếu a ≠ 1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là 0∆ ≥ , 
tức là: 
2( 1) 4( 1)( 1) 0 ( 1 2 2)( 1 2 2) 0
1(3 1)( 3) 0 3( 1)
3
a a a a a a a
a a a a
+ − − − ≥ ⇔ + + − + − + ≥
⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤ ≠
Với 1
3
a = hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là ( 1) 1
2( 1) 2(1 )
a a
x
a a
− + +
= =
− −
Với 1
3
a = thì x = 1 
Với a = 3 thì x = -1 
Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có: 
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số 
 9 
GTNN của 1
3
A = khi và chỉ khi x = 1 
GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1 
Bài toán 3: 
a) Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 
2 2 4( 1)( )A a b a b
a b
= + + + +
+
. 
b) Cho m, n là các số nguyên thỏa 1 1 1
2 3m n
+ = . Tìm GTLN của B = mn. 
Giải: 
a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b2 
2 2 2 22 2 2a b a b ab+ ≥ = = (vì ab = 1) 
2 2 4 4 4( 1)( ) 2( 1) 2 ( ) ( )A a b a b a b a b a b
a b a b a b
⇒ = + + + + ≥ + + + = + + + + +
+ + +
Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và 4
a b+
. 
Ta có: (a + b) + 4 42 ( ). 4a b
a b a b
≥ + =
+ +
Mặt khác: 2 2a b ab+ ≥ = 
Suy ra: 42 ( ) ( ) 2 4 2 8A a b a b
a b
≥ + + + + + ≥ + + =
+
Với a = b = 1 thì A = 8 
Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1. 
b) Vì 1 1 1
2 3m n
+ = nên trong hai số m, n phải c ...  1 4 1 4 1 8 1 16a a a a− − − + + − − − + 
 = ( ) ( )2 21 2 1 4a a− − + − − 
Điều kiện để M xác định là a – 1 0 1a≥ ≥ 
Ta có: 1 2 1 4M a a= − − + − − 
Đặt x = 1a − điều kiện x 0≥ 
Do đó: M = 2 4x x− + − 
Ta xét ba trường hợp sau: 
1) Khi x 2≤ thì ( )2 2 2x x x− = − − = − 
 Và ( )4 4 4x x x− = − − = − 
 => M = 2 – x + 4 – x = 6 – 2x 6 2.2 2≥ − = 
 Vậy x < 2 thì M 2≥ 
2) Khi x 4≥ thì 2 2x x− = − và x-4 =x-4 
 => M = 2 4 2 6 2 4 6 2x x x− + − = − ≥ ⋅ − = 
 Vậy x > 4 thì M 2≥ 
3) Khi 2 < x < 4 thì 2 2x x− = − và 4 4x x− = − 
 => M = x – 2 + 4 – x = 2 (không phụ thuộc vào x) 
 Trong trường hợp này thì: 2 1 4a≤ − < 
 4 1 16a≤ − ≤ 
 5 17a≤ ≤ 
Cả ba trường hợp cho ta kết luận: 
GTNN của M = 2 tương ứng với: 5 17a≤ ≤ 
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số 
 20 
D. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 
Bài 1: 
Tìm GTNN của biểu thức: A = (2x – 3)2 – 7 với x 1≤ − 
hoặc x 3≥ . 
Gợi ý: 
- Xét 2 trường hợp: x ≥ 3 và x ≤ -1 
- Kết luận: Min A = 2 x = 3 
Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 – 7 7≥ − . Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = 3
2
nhưng giá trị không thỏa mãn x 1≤ − , không thỏa mãn x 3≥ . Do đó không thể kết 
luận được GTNN của A bằng – 7. 
Bài 2: 
Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình: 
x
2
 – (2m – 1) x + (m – 2) = 0 
Tìm các giá trị của m để 2 21 2x x+ có giá trị nhỏ nhất 
Gợi ý: 
∆ = 4(m - 1 )2 + 5 > 0. Phương trình đã cho có nghiệm với mọi m theo hệ thức Vi-
ét, ta có: 
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) 2 (2 1) 2( 2) 4 6 5x x x x x x m m m m+ = + − = − − − = − + 
 = 
23 11 112
2 4 4
m
 
− + ≥ 
 
=> Min ( ( )2 21 2 114x x+ = với m = 
3
4
Bài toán 3: 
Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. Tìm GTNN của E = x2 + 2y2 
Gợi ý: 
Rút x theo y và thế vào E 
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số 
 21 
Bài toán 4: 
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x2 + y2 
Biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = 4 
Gợi ý: 
Từ x2 + y2 – xy = 4 2x2 + 2y2 – 2xy = 8 
 A + (x – y)2 = 8 
 Max A = 8 khi x = y 
Mặt khác: 2x2 + 2y2 = 8 + 2xy 
 3A = 8 + (x + y)2 8≥ 
 => A 8
3
≥ => min A = 8
3
 khi x = - y 
Bài toán 5: 
Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25. 
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: M = x + 2y. 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki 
(x +2y)2 2 2( 4 )x y≤ + (12 + 12) = 50 
 2 50 50 50x y M+ ≤ − ≤ ≤ 
Vậy Max M = 50 khi x = 5 5;
2 2 2
y = 
Min M = -5 2 khi x = - 5
2
 ; y = - 5
2 2
Bài tóan 6: 
Cho x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = 1. Tìm GTLN của biểu thức: 
A = 4 2 2 4
x y
x y x y
+
+ +
Gợi ý: 
Từ (x2 – y2) 4 2 20 2x y x y≥ => + ≥ 
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số 
 22 
 => 4 2 2
1
2 2
x x
x y x y
≤ =
+
Tương tự: 4 2
1
2
y
y x
≤
+
 => A 1≤ => Max A = 1 khi 
2
2 1
1
x y
y x x y
xy
 =

= = =

=

Bài tóan 7: 
Tìm GTNN của biểu thức: 
A = ( ) ( )2 1 1 2 1 1x x x x+ + + + + − + 
Gợi ý: 
B = 1 1 1 1x x+ + + − + => Min B = 2 khi - 1 0x≤ ≤ 
Bài toán 8: Tìm GTNN của biểu thức: 
B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước. 
Gợi ý: 
Biểu diễn B = ( ) ( )
22
2 2 23.
3 3
a b ca b c
x a b c
+ ++ + 
− + + + − 
 
=> GTNN của B = (a2 + b2 + c2) - ( )
2
3
a b c+ +
Bài toán 9: Tìm GTNN của biểu thức: 
P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45 
Gợi ý: 
Biểu diễn P = (x – 6 – y)2 + 5(y – 1)2 + 4 
Vậy Min P = 4 khi y = 1 ; x = 7 
Bài toán 10: Tìm GTLN của biểu thức: 
E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3 
Gợi ý: 
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số 
 23 
Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – 3 (y – 2)2 
=> GTLN của E = 10 
 y = 2 ; x = 3 
Bài toán 11: Tìm GTLN của biểu thức: P = 2 4 5x y z+ + ⋅ 
Biết x, y, z là các biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169 
Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki 
Max P = 65 khi 














=
=
=
⇔==
5
513
5
52
5
26
542
z
y
x
zyx
Bài toán 12: 
Tìm GTNN của biểu thức sau: 
a) A = 
2 1
2
x
x
+
+
b) B = 2 83 2x
−
+
c) C = 
2
2
1
1
x
x
−
+
Gợi ý: 
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta: 
A = (x + 2) + 5 4 2 5 4
2x
− ≥ −
+
 b) B = 2 8 43 2x
− ≥ −
+
 (vì 21 1)3 2 2x ≤+ 
 c) C = 
2
2
21 1
1
x
x
− + ≥ − =>
+
 Min C = - 1 khi x = 0 
Bài toán 13: 
Tìm GTNN của biểu thức A = 
2
2
2 2000
;( 0)x x x
x
− +
≠ 
Gợi ý: 
A = 
2 2 2 2
2 2
2000 2 2000 2000 ( 2000) 1999
2000 2000
x x x x
x x
− ⋅ + − +
= 
= 
2
2
( 2000) 1999 1999
2000 2000 2000
x
x
−
+ ≥ 
Với x 0≥ 
Với mọi x 
 Với mọi x 
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số 
 24 
Vậy Min A = 1999
2000
 Khi x = 2000 
Bài toán 14: 
Tìm GTNN của biểu thức: 
P = 
4 3 2
2
4 16 56 80 356
2 5
x x x x
x x
+ + + +
+ +
Gợi ý: 
Biểu diễn P = 4 2 2
256( 2 5) 64
2 5
x x
x x
⋅ + + + ≥
+ +
 (áp dụng BĐT Côsi) 
=> Min P = 64 khi x = 1 hoặc x = -3 
Bài toán 15: 
Tìm GTNN của A = 
2 4 4x x
x
+ +
 với x > 0 
 B = 
2
1
x
x −
 với x > 1 
 C = 
2
2
2
1
x x
x x
+ +
+ +
 D = 1(1 ) 1x
x
 
+ + 
 
 với x > 0 
 E = 5
1
x
x x
+
−
 với 0 < x < 1 
 F = 2
2 1
x
x
+
−
 với x > 1 
Gợi ý: 
 A = x+ 4 44 2 4 8x
x x
+ ≥ ⋅ + = (vì x > 0) 
=> Min A = 8 khi x = 2 
 B = 
2 1 1 12 ( 1) 2 2 4
1 1
x
x
x x
− +
= + − + ≥ + =
− −
 (vì x > 1) 
=> Min B = 4 x = 2 
 C = 
2 2
2 2
( 1) 1 2 1 2
1 1
x x x x
x x x x
+ + + ⋅ + +≥ =
+ + + +
 D = (1 + x) 1 11 2 .2. 4x
x x
 
+ ≥ = 
 
 (vì x > 0) 
 E = ( ) ( )5 1 5 15 5 5 5 2 5 2 5 5
1 1 1
x xx x x x x
x x x x x x
− −
− +
+ = + + ≥ ⋅ + = +
− − −
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số 
 25 
 F = 1 1 2 1 2 1 1 2 12
2 1 2 1 2 2 1 2
x x x
x x x
− + − −
+ = + + ≥ ⋅ +
− − −
 = 
1 32
2 2
+ = => Min F = 3
2
 khi x = 3. 
Bài 16: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: 
 P = 
2
2 2
8 6x xy
x y
+
+
Gợi ý: 
P = 9 - 
2
2 2
( 3 ) 1 1y x
x y
+
− ≥ −
+
 P = 9 - 
2
2 2
( 3 ) 9x y
x y
− ≤
+
Bài 17: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y = 10 
 Tìm GTNN của biểu thức S = 1 1
x y
+ 
 Gợi ý: S = yx 11 + = 10(10 )
x y
xy x x
+
=
−
 S có GTNN x(10-x) có GTLN x = 5. 
 => GTNN của S = 2
5
 khi x = y = 5. 
Bài 18: Tìm GTNN của biểu thức: 
 E = 2 21 1x x x x+ + + − + 
Gợi ý: 
 Ta có E > 0 với mọi x 
 Xét E2 = 2 (x2 + 1 + 4 2 1) 4x x+ + ≥ 
 => Min E = 2 khi x = 0 
Bài 19: Cho a và b là hai số thỏa mãn: a 3≥ ; a + b 5≥ 
 Tìm GTNN của biểu thức S = a2 + b2 
Gợi ý: 
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số 
 26 
 a+ b 5 2 2 10 3 2 13a b a b≥ => + ≥ => + ≥ (vì a 3)≥ 
 => 132 ( ) ( )2 2 23 2 13a b a b≤ + ≤ + 
 => Min S = 13 
Bài 20: 
Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – 2 = 0 
Tìm m để cho 1 2x x− đạt GTNN. 
Gợi ý: 
' 2(2 1) 1 0m∆ = − + > => phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2. 
Theo định lý vi-ét ta có: 
1 2
2
1 2
2
. 3 4 2
x x m
x x m m
+ =

= − + −
 Do đó ( )21 2 4 2 4 4 2x x m− = − + ≥ = m R∈ 
 GTNN của 1 2x x− là 2 khi m = 
1
2
Bài 21: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
 y = 1 2 ... 1998x x x− + − + + − 
Gợi ý: 
 y = ( ) ( )1 1 1998 2 1997x x x x− + − + − + − + + ( )998 999x x− + − 
Ta có: 1 1998x x− + − nhỏ nhất bằng 1997 khi x [ ]1;1998∈ 
 2 1997x x− + − nhỏ nhất bằng 1995 khi x [ ]2;1997∈ 
 998 1999x x− + − nhỏ nhất bằng 1 khi x [ ]999;1000∈ 
Vậy y đạt GTNN bằng 1 + 3 + + 1997 
Số các số hạng của 1 + 3 +  + 1997 là (1997 – 1) : 2 + 1 = 999 
Vậy Min y = 9992 khi 999 1000x≤ ≤ 
Bài 22: 
Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2 
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số 
 27 
Với x, y, z, t là các số nguyên không âm , tìm gia strị nhỏ nhất của M và các giá trị 
tương ứng của x, y, z, t. Biết rằng: 
2 2 2
2 2 2
21
3 4 101
x y t
x y z
 − + =

+ + =
Gợi ý: 
Theo giả thiết: x2 – y2 + t2 = 21 
x
2
 + 3y2 + 4z2 = 101 
 => 2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122 
 => 2M = 122 + t2 
Do đó 2M 122 61M≥ ≥ 
Vậy Min M = 61 khi t = 0 
Từ (1) => x > y 0 0x y x y≥ => + ≥ − ≥ 
Do đó: (x + y )(x – y) = 21.1 = 7.3 
Từ (2) => 3y2 2101 33 0 5y y≤ => ≤ => ≤ ≤ 
Ta chọn x = 5 ; y = 2 => z = 4 
Vậy Min M = 61 tại x = 5 ; y = 2 ; z = 4; t = 0 
Bài 23: 
Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = 0 (1) 
Tìm giá trị của a để nghiệm của phương trình đó: 
a) Đạt GTNN. 
b) Đạt gía trị lớn nhất. 
Gợi ý: 
Gọi m là nghiệm của phương trình (1) thì: 
m
4
 + 2m2 + 2am + a2 + 2a + 1 = 0 (2) 
Viết (2) dưới dạng phương trình bậc hai ẩn a. 
a2 + 2 (m + 1) a + (m4 + 2m2 + 1) = 0 
Để tồn tại a thì '∆ 0≥ 
(1) 
 (2) 
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số 
 28 
Giải điều kiện này được m4 - m2 0≤ m(m – 1) 0 0 1m≤ ≤ ≤ 
Vậy nghịêm của phương trình đạt GTNN là 0 với a = -1 
Vậy nghịêm của phương trình đạt GTLN là 1 với a = -2 
Bài 24: Tìm GTNN, GTLN của t = 
2
2
2 2
1
x x
x
+ +
+
Gợi ý: Vì x2 + 1 > 0 với mọi x 
Đặt a = 
2
2
2 2
1
x x
x
+ +
+
 => (a – 1) x2 – 2 x +a – 2 = 0 (1) 
a là một giá trị của hàm số (1) có nghiệm. 
- Nếu a = 1 thì (1) x = 1
2
−
- Nếu a ≠ 1 thì (1) có nghiệm ' 0∆ ≥ 
Min A = 3 5
2
−
với x = 1 5 3+ 5; ax A = 
2 2
M− − với x = 5 1
2
−
Bài 25: 
 Tìm GTNN, GTLN của A = 
2 2
2 2
x xy y
x xy y
− +
+ +
Gợi ý: Viết A dưới dạng sau với y 0≠ 
 (
2
2
2 2
1
1
1
1
x x
y y a aA
a ax x
y y
 
− + 
− + 
= =
+ + 
+ + 
 
 (đặt x a
y
= ) 
Giải tương tự bài 24 được: 1 3
3
A≤ ≤ 
Còn với y = 0 thì A = 1 
Do đó: Min A = 1
3
 với x = y ; max A = 3 với x = - y 
Bài 26: Cho a + b = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 
 Q = a3 + b3 + ab 
Gợi ý: 
Với Q dưới dạng Q = (a + b) ( )2 3a b ab ab + − +  
 = 1 – 2ab = 1 – 2a (1 – a) 
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số 
 29 
 => Q = 2a2 – 2a + 1 1
2
≥ 
Do đó: Min Q = 1
2
 khi a = b = 1
2
 Kết luận: 
Trên đây là những bài toán bản thân tôi thu thập được trong quá trình giảng 
dạy, với mong muốn giúp cho các em rèn luyện kỹ năng khi giải bài tập dạng này. 
Trong quá trình biên soạn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự góp ý 
chân thành của quí thầy cô và bạn đọc để tài liệu được hoàn thiện hơn. 
Đức Hòa, ngày 20 tháng 10 năm 2008 
 NGƯỜI VIẾT 
 Huỳnh Trung Kiên