Tài liệu ôn thi vào 10 năm học 2010

Phần I : Đại số
I – Căn bậc hai.
Dạng I : Căn bậc hai - Định nghĩa , kí hiệu.
Ví dụ 1 : Tìm x biết x2 = 8.
 Giải : x = 
Ví dụ 2 : Tìm x biết 
 Giải : Ta có 
Ví dụ 4 : Tính 
Giải : 
Bài tập tự giải :
Tìm x biết 
Tính 
So sánh 
Tìm giá trị nhỏ nhất của y biết:
a)y = x2 – 2x +3 b)y = 
Dạng 2 : Căn thức bậc hai- điều kiện tồn tại- hằng đẳng thức 
Ví dụ 1 : a) Tìm x để biểu thức có nghĩa ?
 Giải : Ta có có nghĩa khi 
b) Tìm x để có nghĩa?
 Giải : Ta thấy nên có nghĩa với mọi x.
Ví dụ 2 : Giải phương trình : 
Giải : Pt 
Ví dụ 3 : Tính 
Giải : Ta có : 
Bài tập tự giải :
Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa :
Rút gọn biểu thức :
Giải phương trình: x2+2x = 3-
Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
Dạng 3 :Quy tắc khai phương.
Ví dụ 1 : Tính .
Ví dụ 2 : Tính 
Giải : a)
 b)
Ví dụ 3 : Tính a) 
Giải : a)
b)
c)
Ví dụ 4 : Tính 
a) b)
Giải :
 a)
 b)
Bài tập :
Rút gọn biểu thức 
 a)	b)
Rút gọn và tính giá trị biểu thức :
Tính : a) 	b)(1+
c)	d)
e)
4)Tính a) b)
5)Tìm x biết:
a) b) c)
6)Tìm x biết:
a) b)
7) Phân tích thành tích:
a) b) c) d)
 e) f) 
Dạng 4 : Các phép toán về căn bậc hai :
Ví dụ 1 :
Ví dụ 2 :
Ví dụ 3 :
Bài tập :
So sánh 
Khử mẫu :
Tính :
4) Tính 
 b)
c)
Rút gọn biểu thức:
 b)
II : Hàm số bậc nhất - Định nghĩa – Tính chất.
Dạng 1 : Hàm số bậc nhất
Ví dụ 1 : Các hàm số sau, hàm số nào đồng biến , nghịch biến ?
a) y = 2x- 3	b) y = 1 – 2x	c) y = (1 - 
Giải : a) a= 2 > 0 : Đồng biến
a = - 2 < 0 : Nghịch biến
a = 1 - < 0 : Nghịch biến.
Ví dụ 2 : Tìm m để hàm số sau đồng biến , nghịch biến ?
y = ( 2m – 1 ) x + m – 2 
Giải : Hàm số đồng biến khi 2m – 1 > 0 
Hàm số nghịch biến khi 2m – 1 < 0 
Ví dụ 3 : Cho hàm số y = -2x + b . Tìm b biết khi x = 2 thì y = -1?
Giải : Thay x =2 , y = -1 vào ta có : -2 . 2 +b = -1 
vậy y = -2x + 3.
Ví dụ 4 : Cho hàm số y = mx – 3 . Tìm m biết khi x=2 thì y=1?
Giải : Thay x=2 , y=1 vào ta có : m.2 – 3 = 1 => m= 2 ; vậy y=2x- 3.
Ví dụ 5 : Cho hàm số y= ( m-1)x + 3.
Tìm m để đồ thị hàm số song song đường thẳng y=2x?
Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ tam giác cân?
Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành 1 góc 450?
Giải :
m-1=2 => m=3 vậy y =3x+3
Đồ thị cắt Oy tại (0;3) , cắt Ox tại nên 
Để thì hay 
Ví dụ 6 : Tìm m để các đường thẳng sau song song?
y=(m-3)x + 2 , y=(3m – 7)x – 3 .
Giải : để 2 đường thẳng song song thì m-3 = 3m – 7 => m= 2
Ví dụ 7 : a) Chứng minh 3 đường thẳng sau đồng quy : y=2x + 1 (1), y=-x+1 (2) y= 
b) m=? để các đường thẳng sau đồng quy : : y=mx + 2 (1), y=-x + 3 (2) , y=2x – 1 (3) ?
Giải : 
Giao của (1) và (2) là (0;1) thay vào (3) thoả mãn .Vậy 3 đường đồng quy .
Giao của (2) và (3) là (4/3;5/3) thay vào (1) được m=2.
Ví dụ 8: CMR đường thẳng y = mx+3 - m luôn đi qua 1 điểm cố định ?
Giải : 
y = mx+3 - m => m(x-2) = y-3 ,không phụ thuộc m khi x=2,y=3.Từ đó đường thẳng luôn đi qua điểm cố định ( 2;3) với mọi m.
Ví dụ 9 : Tìm m để 2 đường thẳng sau vuông góc ? y = 2x - 3 ; y = (m-2)x + 3 
Giải : 2 đường thẳng vuông góc khi tích 2 hệ số góc bằng 1 tức là 2(m-2) = 1 suy ra m=5/2.
Ví dụ 10 :
 Viết phương trình đường thẳng di qua A(1;3) và song song đường thẳng y = 2x – 1 (1) ?
Giải : PT đường thẳng qua A có dạng y = ax + b, ta có a.1 + b = 3 , mặt khác đường thẳng song song (1) => a = 2 từ đó b = 1 . Vậy y = 2x + 1.
Dạng 2 . Hệ phương trình.
Ví dụ 1 : giải hệ phương trình :
Giải : 
Ví dụ 2 : Cho hệ phương trình :
Giải hệ khi m=1
Tìm m để hệ có 1 nghiệm , VSN , VN ?
Giải :
m=1 ta có hệ :
Hệ đã cho 
(*) , Từ đó :
Phương trình có 1 nghiệm khi 
Phương trình VSN :không xảy ra.
Phương trình VN khi m-4=0 tức là m = 4.
Ví dụ 3 : Lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm A(1;2) và B(-1;3) ?
Giải : Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (a).
Đường thẳng đi qua A,B nên ta có hệ phương trình :
Bài tập :
Giải hệ phương trình 
Tìm a,b để hệ có nghiệm x=2 , y=5 ? 
Tìm a để hệ có nghiệm âm ? 
Cho hệ phương trình :
Tìm m để hệ có nghiệm (x=1;y=1)
Tìm m để hệ có VSN ; VN ?
Giải hệ phương trình :
6) Lập phương trình đường thẳng đi qua :
a) A(1;2) , B(1;3)
b) A(2;3) , B(-1;3)
c) A(-1;4) , B(2;5).
III - Phương trình bậc hai, quy về bậc hai.
Ví dụ 1 : Giải Pt : 9x2-30x+225=0.
Giải : 
Phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2 : Giải Pt : 3x2+10x - 48= 0.
Giải : 
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
Ví dụ 3 : Với giá trị nào của k thì phương trình :
2x2+kx – k2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt?
25x2+mx+2 = 0 có nghiệm kép?
5x2+18x+m = 0 vô nghiệm?
Giải :
phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi 
Phương trình có nghiệm kép khi 
Phương trình vô nghiêm khi 
Ví dụ 4 : Với giá trị nào của b thì phương trình (b -1)x2 - (b+1)x- 72=0 có 1 nghiệm bằng 3 ? Tìm nghiệm còn lại?
Giải : Thay x=3 vào phương trình ta có :
 (b-1).9 – (b+1).3 – 72 = 0
 =>b=14.
Thay b=14 vào ta có : 13x2-15x-72=0 , theo Viet ta có x1.x2=-72/13 từ đó x2=-72/39. 
Ví dụ 5: Cho phương trình x2+3x-1=0. Không giải phương trình hãy tính ?
Giải : Theo Viet ta có 
Ví dụ 6 : Cho phương trình x2- 2(m-1)x-2(m+5) = 0.
Giải phương trình khi m=2.
Trong trường hợp phương trình có 2 nghiệm x1,x2 , hãy lập 1 hệ thức giữa chúng không phụ thuộc vào m?
Tìm giá trị nhỏ nhất của A=x12+x22
Giải :
m=2 ta có phương trình : x2-2x-14=0
Ta có x1+x2=-2(m-1)
x1x2=-2(m+5)
=> x1+x2- x1x2=7 là hệ thức cần tìm.
c)A=(x1+x2)2-2x1x2 = 4(m-1)2+4(m+5) = 4m2+2424 , vậy Amin=24 m=0
Ví dụ 7 : Cho phương trình x2+(m+5)x+6-m=0
Gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình , tìm m để 2x1+3x2=13 ?
Giải :Ta có :
Giải ra được x1=-3m-28,x2=23+2m thay vào ta có 3m2+62m+319=0 từ đó m=11 và m=29/3.
Ví dụ 8 . Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là 2/3 và 4/3?
Giải : ta có 2/3+4/3=2
 2/3.4/3=8/9
Vậy chúng là nghiệm của phương trình bậc hai x2-2x+8/9=0 hay 9x2-18x+8=0.
Ví dụ 9.Giải các phương trình :
(2x2-x-1)2-(x2-7x+6)2=0 b) 2x4-7x2-4=0 c) 
(y2+2y)2-3(y2+2y)+2=0 d)y2+2y-2+1=0
Giải :
Biến đổi phương trình thành (3x2- 8x+5)(x2- 6x-7)=0 , giải ra được x1=1,x2=5/3,x3=-7.
Đặt x2=t0 ,ta có phương trình 2t2 – 7t – 4 = 0, giải ra được t = 4 vậy x = .
đk : x, quy đồng và khử mẫu được phương trình x2= - 1 , phương trình vô nghiệm.
Đặt y2+2y=t , ta có phương trình t2-3t+2=0; t1=1,t2=2 , từ đó có 2 phương trình :
 y2+2y-1=0 và y2+2y-2=0 giải ra được y=-1 và y=-1.
Đặt =t0 , ta có phương trình t2-2t+1=0, giải ra được t=1 vậy y2+2y-1=0 ,
 từ đó y=-1 .
IV- Quan hệ giữa đường thẳng và đường cong.
Ví dụ 1 . Tìm giao điểm của (d):y=và (P):y=
Giải : Ta giải phương trình = hay x2- 2x – 8 = 0. Giải ra được x1=4,x2=-2 =>y1=4,y2=1.
Vậy giao điểm là A(4;4), B(-2;1).
Ví dụ 2 . Cho đường thẳng (d):y=mx-2 và đường cong (P):y=x2. Tìm m để (d) và (P) không cắt nhau, tiếp xúc nhau, cắt nhau tại hai điểm?
Giải : Xét phương trình x2=mx-2 => x2-mx+2=0.
Để 2 đường không cắt nhau thì <0 hay <m<
Để 2 đường tiếp xúc nhau thì =0, m=.
Để 2 đường cắt nhau tại hai điểm thì >0, m>hoặc m<.
Bài tập tự giải:
Cho đường thẳng (d) có phương trình y = (m-1)x + m và parabol (P) : y = x2. Tìm điều kiện của m để :
a) (d) đi qua điểm có hoành độ –2 trên (P).
b) (d) tiếp xúc (P).
c)* Giải BPT (m-1)x + m > x2.
V- Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Dạng 1 . Toán chuyển động
Một ô tô dự định đi từ A đến B trong 1 thời gian nhất định . Nếu xe chạy với vận tốc 35Km/h thì đến muộn 2 giờ . Nếu xe chạy với vận tốc 50Km/h thì đến sớm 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu?
Giải: Gọi quãng đường AB là x (Km) , x>0; thời gian dự định đi là y(giờ),y>2.
Nếu xe chạy với vận tốc 35Km/h thì hết thời gian x/35 giờ và đến muộn 2 giờ nên ta có phương trình : x/35 – y = 2.
Nếu xe chạy với vận tốc 50Km/h thì hết thời gian x/50 giờ và đến sớm 1 giờ nên ta có phương trình : x/50 – y = -1.
Kết hợp 2 phương trình ta có hệ phương trình 
Giải hệ được x=350,y=8 (thoả mãn).
Vậy quãng đường AB dài 350Km, thời gian dự định đi lúc đầu là 8 giờ.
Một ca nô đi từ bến A đến bến B cách nhau 60Km, cả đi và về hết 12,5 giờ.Biết vận tốc dòng nước là 2Km/h , tính vận tốc thực của ca nô?
Giải : Gọi vận tốc thực của ca nô là x(Km/h),x>2.
Vận tốc ca nô lúc đi là x+2 (Km/h), lúc về là x-2(Km/h).
Thời gian ca nô đi là 60/x+2 giờ; thời gian ca nô về là 60/x-2giờ.
Theo bài ra ta có phương trình: 
Giải ra được x=10(Tm),x=-0,4<0(loại)
Vậy vận tốc thực của ca nô là 10Km/h.
Dạng 2 : Toán về số và chữ số
Tìm hai số tự nhiên lẻ liên tiếp biết tổng các bình phương của chúng bằng 202?
Giải :Gọi số lẻ thứ nhất là n (n là STN) thì số lẻ thứ hai là n+1
Theo bài ra ta có phương trình : n2 + (n+1)2 = 202 hay n2 + 2n – 99 = 0.
Giải ra được n1=9 (TM),n2=-11(loại).
Vậy 2 số lẻ là 9 và 11.
Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số biết tổng các chữ số của nó là 13 và nếu cộng 34 vào tích 2 chữ số thì được chính số đó?
Giải :
Gọi số tự nhiên là 
Theo bài ra ta có hệ phương trình 
Giải hệ ta có a=7,b=6 ( thoả mãn)
Vậy số cần tìm là 76.
Dạng3 : Toán làm chung , làm riêng.
a)Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 12 giờ. Hai đội cùng làm sau 4 giờ thì đội I được điều đi làm việc khác, đội II làm nốt công việc trong 10 giờ . Hỏi đội II làm một mình thì hoàn thành công việc sau bao lâu?
Giải:Gọi thời gian đội II làm xong công việc một mình là x (giờ). x>12.
Mỗi giờ tổ II làm được 1/x công việc.
Hai tổ đã làm chung trong 4 giờ được 1/3 công việc , còn lại 2/3 công việc .
Theo bài ra ta có phương trình : . 
Giải ra được x=15(thoả mãn)
Vậy tổ II làm một mình xong công việc sau 15 giờ.
Trong tháng đầu, hai tổ công nhân làm được 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai , tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20% , nên cuối tháng hai tổ làm được 945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ làm được bao nhiêu chi tiết máy?
Giải :Gọi số chi tiết máy mà tổ I làm được trong tháng đầu là x ( chi tiết)
 số chi tiết máy mà tổ II làm được trong tháng đầu là y ( chi tiết)
ĐK: x,y nguyên,dương,nhỏ hơn 800.
Tháng đầu , hai tổ làm được 800 chi tiết nên ta có phương trình x+y=800.
tổ I vượt mức 15%x chi tiết, tổ II vượt mức 20%y chi tiết nên ta có phương trình 
15%x+20%y=145.
Kết hợp 2 phương trình ta có hệ phương trình 
Giải ra được x= 300, y= 500 (thoả mãn)
Vậy trong tháng đầu tổ I làm được 300 chi tiết máy, tổ II làm được 500 chi tiết máy.
Bài tập tự giải:
 1) Một ôtô đi từ Hà Nội xuống Hải Phòng với vận tốc 50 km/h , lúc về xe chạy với vận tốc nhanh hơn lúc đi 5 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi 12 phút . Tính quãng đường mà xe chạy từ Hà Nội đến Hải Phòng.
	Đáp số : ... 
rABC có AI = BC =>rABC vuông tại A hay éBAC =900
3. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO là tia phân giác éBIA; I0’là tia phân giác éCIA . mà hai góc BIA và CIA là hai góc kề bù => I0 ^ I0’=> é0I0’= 900
4. Theo trên ta có r0I0’ vuông tại I có IA là đường cao (do AI là tiếp tuyến chung nên AI ^OO’) 
=> IA2 = A0.A0’ = 9. 4 = 36 => IA = 6 => BC = 2. IA = 2. 6 = 12(cm)
Bài 38 Cho hai đường tròn (O) ; (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, Bẻ(O), Cẻ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắ tiếp tuyến chung ngoài BC ở M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh :
Chứng minh các tứ giác OBMA, AMCO’ nội tiếp .
Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
ME.MO = MF.MO’.
OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’.
Lời giải: 
( HS tự làm)
2. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có MA = MB
=>rMAB cân tại M. Lại có ME là tia phân giác => ME ^ AB (1).
Chứng minh tương tự ta cũng có MF ^ AC (2).
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta cũng có MO và MO’ là tia phân giác của hai góc kề bù BMA và CMA => MO ^ MO’ (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác MEAF là hình chữ nhật 
 3. Theo giả thiết AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn => MA ^ OO’=> DMAO vuông tại A có AE ^ MO ( theo trên ME ^ AB) ị MA2 = ME. MO (4)
Tương tự ta có tam giác vuông MAO’ có AF^MO’ị MA2 = MF.MO’ (5)
Từ (4) và (5) ị ME.MO = MF. MO’
 4. Đường tròn đường kính BC có tâm là M vì theo trên MB = MC = MA, đường tròn này đi qua Avà co MA là bán kính . Theo trên OO’ ^ MA tại A ị OO’ là tiếp tuyến tại A của đường tròn đường kính BC.
 5. (HD) Gọi I là trung điểm của OO’ ta có IM là đường trung bình của hình thang BCO’O 
=> IM^BC tại M (*) .Ta cung chứng minh được éOMO’ vuông nên M thuộc đường tròn đường kính OO’ => IM là bán kính đường tròn đường kính OO’ (**)
Từ (*) và (**) => BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’
Bài 39 Cho đường tròn (O) đường kính BC, dấy AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi ( I ), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K).
Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?.
Chứng minh AE. AB = AF. AC.
Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
Xác định vị trí của H để EF có độ dài lớn nhất.
Lời giải: 
1.(HD) OI = OB – IB => (I) tiếp xúc (O)
 	OK = OC – KC => (K) tiếp xúc (O)
 	 IK = IH + KH => (I) tiếp xúc (K)
2. Ta có : éBEH = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 
=> éAEH = 900 (vì là hai góc kề bù). (1)
éCFH = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 
=> éAFH = 900 (vì là hai góc kề bù).(2)
éBAC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn hay éEAF = 900 (3)
Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông).
3. Theo giả thiết AD^BC tại H nên DAHB vuông tại H có HE ^ AB ( éBEH = 900 ) => AH2 = AE.AB (*)
Tam giác AHC vuông tại H có HF ^ AC (theo trên éCFH = 900 ) => AH2 = AF.AC (**) 
Từ (*) và (**) => AE. AB = AF. AC ( = AH2) 
4. Theo chứng minh trên tứ giác AFHE là hình chữ nhật, gọi G là giao điểm của hai đường chéo AH và EF ta có GF = GH (tính chất đường chéo hình chữ nhật) => DGFH cân tại G => éF1 = éH1 .
DKFH cân tại K (vì có KF và KH cùng là bán kính) => éF2 = éH2.
=> éF1 + éF2 = éH1 + éH2 mà éH1 + éH2 = éAHC = 900 => éF1 + éF2 = éKFE = 900 => KF ^EF .
 Chứng minh tương tự ta cũng có IE ^ EF. Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
e) Theo chứng minh trên tứ giác AFHE là hình chữ nhật => EF = AH Ê OA (OA là bán kính đường tròn (O) có độ dài không đổi) nên EF = OA AH = OA H trùng với O.
Vậy khi H trùng với O túc là dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.
Bài 40 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Trên Ax lấy điểm M rồi kẻ tiếp tuyến MP cắt By tại N.
Chứng minh tam giác MON đồng dạng với tam giác APB.
Chứng minh AM. BN = R2.
Tính tỉ số khi AM = .
Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh cạnh AB sinh ra.
Lời giải: 
1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OM là tia phân giác của góc AOP ; ON là tia phân giác của góc BOP, mà 
 éAOP và éBOP là hai góc kề bù => éMON = 900. hay tam giác MON vuông tại O.
éAPB = 900((nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay tam giác APB vuông tại P.
Theo tính chất tiếp tuyến ta có NB ^ OB => éOBN = 900; NP ^ OP => éOPN = 900 
=>éOBN+éOPN =1800 mà éOBN và éOPN là hai góc đối => tứ giác OBNP nội tiếp =>éOBP = éPNO 
Xét hai tam giác vuông APB và MON có éAPB = é MON = 900; éOBP = éPNO => DAPB ~ D MON
Theo trên DMON vuông tại O có OP ^ MN ( OP là tiếp tuyến ).
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OP2 = PM. PM 
Mà OP = R; AM = PM; BN = NP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ) => AM. BN = R2 
3. Theo trên OP2 = PM. PM hay PM. PM = R2 mà PM = AM = => PM = => PN = R2: = 2R 
=> MN = MP + NP = + 2R = 
Theo trên DAPB ~ D MON => = : 2R = = k (k là tỉ số đồng dạng).
Vì tỉ số diện tich giữa hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng nên ta có: 
 = k2 => = 
Bài 41 Cho tam giác đều ABC , O là trung điển của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho é DOE = 600 .
Chứng minh tích BD. CE không đổi.
Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE
Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE.
Lời giải: 
Tam giác ABC đều => éABC = é ACB = 600 (1); 
é DOE = 600 (gt) =>éDOB + éEOC = 1200 (2).
 DDBO có éDOB = 600 => éBDO + éBOD = 1200 (3) .
 Từ (2) và (3) => éBDO = é COE (4) 
Từ (2) và (4) => DBOD ~ DCEO => => BD.CE = BO.CO mà OB = OC = R không đổi => BD.CE = R2 không đổi.
2. Theo trên DBOD ~ DCEO => mà CO = BO => (5)
Lại có éDBO = éDOE = 600 (6). 
Từ (5) và (6) => DDBO ~ DDOE => éBDO = éODE => DO là tia phân giác é BDE.
3. Theo trên DO là tia phân giác é BDE => O cách đều DB và DE => O là tâm đường tròn tiếp xúc với DB và DE. Vậy đường tròn tâm O tiếp xúc với AB luôn tiếp xúc với DE
Bài 42 Cho tam giác ABC cân tại A. có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C lần lượt cắt AC, AB ở D và E. Chứng minh :
BD2 = AD.CD.
Tứ giác BCDE nội tiếp .
BC song song với DE.
Lời giải: 
1. Xét hai tam giác BCD và ABD ta có éCBD = éBAD ( Vì là góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến với một dây cùng chắn một cung), lại có éD chung => DBCD ~ DABD => => BD2 = AD.CD.
2. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A => éABC = éACB 
=> éEBC = éDCB mà éCBD = éBCD (góc giữa tiếp tuyến với một dây cùng chắn một cung) => éEBD = éDCE => B và C nhìn DE dưới cùng 
 một góc do đó B và C cùng nằm trên cung tròn dựng trên DE => Tứ giác BCDE nội tiếp
3. Tứ giác BCDE nội tiếp => éBCE = éBDE ( nội tiếp cùng chắn cung BE) mà éBCE = éCBD (theo trên ) => éCBD = éBDE mà đây là hai góc so le trong nên suy ra BC // DE.
Bài 43 Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn . Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN cắt (O) tại C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp .
Chứng minh NE ^ AB.
Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp tuyến của (O).
Chứng minh FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).
Lời giải: 1. (HS tự làm)
2. (HD) Dễ thấy E là trực tâm của tam giác NAB => NE ^ AB.
3.Theo giả thiết A và N đối xứng nhau qua M nên M là trung điểm của AN; F và E xứng nhau qua M nên M là trung điểm của EF => AENF là hình bình hành => FA // NE mà NE ^ AB => FA ^ AB tại A => FA là tiếp tuyến của (O) tại A. 
4. Theo trên tứ giác AENF là hình bình hành => FN // AE hay FN // AC mà AC ^ BN => FN ^ BN tại N
DBAN có BM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến ( do M là trung điểm của AN) nên DBAN cân tại B => BA = BN => BN là bán kính của đường tròn (B; BA) => FN là tiếp tuyến tại N của (B; BA).
Bài 44 AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính R ( B, C là tiếp điểm ). Vẽ CH vuông góc AB tại H, cắt (O) tại E và cắt OA tại D.
Chứng minh CO = CD.
Chứng minh tứ giác OBCD là hình thoi.
Gọi M là trung điểm của CE, Bm cắt OH tại I. Chứng minh I là trung điểm của OH.
Tiếp tuyến tại E với (O) cắt AC tại K. Chứng minh ba điểm O, M, K thẳng hàng.
Lời giải: 
1. Theo giả thiết AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O => OA là tia phân giác của éBOC => éBOA = éCOA (1)
OB ^ AB ( AB là tiếp tuyến ); CH ^ AB (gt) => OB // CH => éBOA = éCDO (2) 
Từ (1) và (2) => DCOD cân tại C => CO = CD.(3)
2. theo trên ta có CO = CD mà CO = BO (= R) => CD = BO (4) lại có OB // CH hay OB // CD (5)
Từ (4) và (5) => BOCD là hình bình hành (6) . Từ (6) và (3) => BOCD là hình thoi.
3. M là trung điểm của CE => OM ^ CE ( quan hệ đường kính và dây cung) => éOMH = 900. theo trên ta cũng có éOBH =900; éBHM =900 => tứ giác OBHM là hình chữ nhật => I là trung điểm của OH.
4. M là trung điểm của CE; KE và KC là hai tiếp tuyến => O, M, K thẳng hàng.
Bài 45 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của AC; tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt tia BD tại E. Tia CE cắt (O) tại F.
Chứng minh BC // AE.
Chứng minh ABCE là hình bình hành. 
Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của BC và OI. So sánh éBAC và éBGO.
Lời giải: 1. (HS tự làm)
2. Xét hai tam giác ADE và CDB ta có éEAD = éBCD (vì so le trong ) AD = CD (gt); éADE = éCDB (đối đỉnh) => DADE = DCDB => AE = CB (1)
Theo trên AE // CB (2) .Từ (1) và (2) => AECB là hình bình hành.
3. I là trung điểm của CF => OI ^ CF (quan hệ đường kính và dây cung). Theo trên AECB là hình bình hành => AB // EC => OI ^ AB tại K, => DBKG vuông tại K. Ta cung có DBHA vuông tại H 
=> éBGK = éBAH ( cung phụ với éABH) mà éBAH = éBAC (do DABC cân nên AH là phân giác) => éBAC = 2éBGO.
Bài 46 Cho đường tròn (O) đường kính AB , trên đường tròn ta lấy hai điểm C và D sao cho cung AC = cung AD . Tiếp tuyến với đường tròn (O) vẽ từ B cắt AC tại F 
1. Chứng minh hệ thức : AB2 = AC. AF.
2. Chứng minh BD tiếp xúc với đường tròn đường kính AF.
3. Khi C chạy trên nửa đường tròn đường kính AB (không chứa điểm D ). Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn à chạy trên một tia cố định , xác định tia cố định đó 
 Bài 47 Cho tam giác ABC