Tài liệu ôn tập học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Số chính phương - Tôn Nữ Bích Vân

 Tôn Nữ Bích Vân
Số chính phương là bình phương của một số nguyên
Số chính phương chỉ có thể tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9, không thể tận cùng bằng 2, 3, 7, 8
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa các thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
Số ước số của một số chính phương là số lẻ. Đảo lại, một số có số ước số lẻ thì số đó là số chính phương
Với kiến thức lớp 6, ta chứng minh được một số tính chất sau:
Thật vậy:
Tính chất 2: Giả sử N = k2 và k = ax by cz...(a, b, c... là số nguyên tố) thì
 N = (ax by cz...)2 = a2x b2y c2z...
Suy ra: 
Số chính phương a M 2 Þ a M 4
Số chính phương a M 3 Þ a M 9
Số chính phương a M 5 Þ a M 25 ; ...
Tính chất 3: N = axbycz... thì số ước số của nó bằng (x+1)(y+1)(z+1)...
- Nếu N là số chính phương thì x, y, z... chẵn nên x+1, y+1, z+1... lẻ, do đó số ước số của N là số lẻ.
- Nếu số ước số của N là số lẻ thì (x+1) (y+1) (z+1)... lẻ nên các thừa số x+1, y+1, z+1... đều lẻ, suy ra x, y, z,... chẵn. 
 Đặt x = 2m, y = 2n, z = 2p (m, n, p Î N) thì N = a2mb2nc2p = (am bn cp)2 nên N là số chính phương.
Bài tập 1: Cho 4 chữ số 0, 2, 3, 4. Tìm số chính phương có 4 chữ số gồm cả 
4 chữ số trên
Giải:
 Gọi số chính phương cần tìm là n2
Số chính phương không tận cùng bằng 2, bằng 3.
Nếu số chính phương tận cùng bằng 0 thì phải tận cùng bằng một số chẵn chữ số 0.
Do đó : n2 lập bởi 4 chữ số 0, 2, 3, 4 phải tận cùng bằng 4, suy ra: n2 
Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4, do đó n2 tận cùng bằng 04 hoặc 24.
Xét các số 2304; 3204; 3024 ta có : 2304 = 482
Vậy: Số phải tìm là 2304.
Bài tập 2: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng khi nhân nó với 135 ta được
 một số chính phương
Giải:
Gọi số phải tìm là A, ta có 135A = a2 (a Î N) hay 33.5.A = a2. Số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên A = 3 . 5 . k2 (k Î N)
Với k = 1 thì A = 15
k = 2 thì A = 60
k ³ 3 thì A ³ 135, có nhiều hơn 2 chữ số nên loại.
Vậy: Số phải tìm là 15 hoặc 60
Bài tập 3: Các số sau có chính phương không ?
a) A = 3 + 32 + 33 + ... + 32008
b) M = 112001 + 112002 + 112003 + 112004 + 112005 + 112006 + 112007
Giải:
a) Ta biết rằng số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9.
A chia hết cho 3 nhưng chia cho 9 dư 3
(vì A = 3 + 32 (1 + 3+ 32 + ... + 32006) )
Do đó A không là số chính phương.
b) Ta coï có tận cùng là 1 nên mỗi số hạng của tổng đều tận cùng bằng 1
Do đóï M = + + + + + + có tận cùng bằng 7 nên không là số chính phương.
Bài tập 4: Tìm số nguyên tố (a > b > 0) sao cho - là số chính phương
Giải:
 - = (10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9 (a - b) = 32 (a - b)
Do - là số chính phương nên a-b là số chính phương.
Mặt khác 1 £ a - b £ 8 nên a - b Î {1; 4}
- Với a - b = 1 thì Î {21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98}
Loại các hợp số 21 M 3, 32 M 2; 54 M 2; 65 M 5; 76 M 2; 87 M 3; 98 M 2 còn 43 là số nguyên tố.
- Với a - b = 4 thì Î {51; 62; 73; 84; 95}
Loại các hợp số 51 M 3; 62 M 2; 84 M 2; 95 M 5, còn 73 là số nguyên tố.
Vậy = 43 hoặc 73. Khi đó - = 43 - 34 = 9 = 32
 hoặc - = 73 - 37 = 36 = 62
Bài tập 5: Tìm tất cả các số có 4 chữ số sao cho mỗi số vừa là số chính phương vừa là một lập phương. 
Giải:
Gọi số chính phương phải tìm là 
(a, b, c, d Î N, 0 £ b, c, d £ 9, 0 < a £ 9)
Ta có: = x2 = y3 	 (1)
Với x, y ÎN và 31< x < 100; 10£ y £ 21 (2)
Từ (1) ta suy ra y cũng là một số chính phương và từ (2) ta suy ra y = 16
Do đó : = 163 = 4096 = 642
Vậy số phải tìm là 4096
Xin mời thử sức với các bài toán sau:
1. Tìm số chính phương có 4 chữ số gồm cả 4 chữ số 2, 0, 3, 5
2. Các tổng sau có là số chính phương không ?
a) 1010 + 8
c) 1010 + 5
3. Chứng tỏ các số sau không là số chính phương
a) 
b) 
c) 
4. Tìm số nguyên tố sao cho + là số chính phương.
5. Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 101 làm thành số A
a) A có là hợp số không?
b) A có là số chính phương không?
c) A có thể có 35 ước số không?
Còn nhiều bài tập về số chính phương rất thú vị dành cho học sinh lớp 7; 8; 9.
Hẹn gặp ở kỳ sau. Chúc các em học tốt!