Tài liệu bồi dưỡng môn Toán học

 1 
Chương I 
ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG 
ĐƯƠNG 
I . Tính chất cơ bản: 
a. 
 khi 0
 khi 0 
ax bx x
a b
ax bx x
> >
> ⇔ 
< < 
b. 
a x
a b x y
b y
>
⇒ + > +
>
 Chú ý 
a x
b y
>

>
a b x y
ab xy
a x
b y

 − > −

>

 >

c. 
0
0
a x
ab xy
b y
> ≥
⇒ >
> ≥
d. 2 2a b a b> ≥ 0⇒ > 
Hệ quả: 2 2a b a b> ⇔ > 
e. 
1 1
a b
a b
> > 0⇒ < 
1 1
a b
a b
f. 0A > 
• x A A x A< ⇔ − < < 
• 
x A
x A
x A
< −
> ⇔ 
>
II. Vài bất đẳng thức thông dụng: 
 Với a, b, c, tùy ý ( , , ...a b c R∈ ) 
a. 2 2 2a b ab+ ≥ ( Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a b= ) 
b. 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + + ( Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a b c= = ) 
c. Với , 0a b > ta có: 
1 1 1 1 4
( ) 4a b
a b a b a b
 + + ≥ ⇔ + ≥  + 
III. Các ví dụ: 
Ví dụ 1: Cho , ;
4 4
x y
pi pi ∈ − 
 
. Chứng minh bất đẳng thức: 
tan tan
1
1 tan tan
x y
x y
−
<
−
Giải: 
 , ;
4 4
x y
pi pi ∈ − 
 
thì 2 21 tan ; tan 1; 0 tan , tan 1x y x y− < < ≤ < 
 Ta có: 
tan tan
1
1 tan tan
x y
x y
−
<
−
⇒
 2 
 tan tan 1 tan tanx y x y⇔ − > − 
 2 2 2 2tan tan 2 tan tan 1 2 tan tan tan tanx y x y x y x y⇔ + − < − + 
 2 2 2 2tan tan tan tan 1 0x y x y⇔ + − − < 
 2 2 2tan (1 tan ) (1 tan ) 0x y y⇔ − − − < 
 2 2(1 tan )(tan 1) 0y x⇔ − − < ( Luôn đúng , ;
4 4
x y
pi pi ∀ ∈ − 
 
) 
Ví dụ 2: 
 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = thì: 
1 1 1
3.
3 3 3 3 3 3a b c a b c
a b c + + ≥ + + 
 
Giải: 
 Vì hàm số 
1
3x
 giảm nên ta có: 
1 1
0 ( )
3 3 3 3 3 3a b b a a b
a b a b
a b
 ≥ − − ⇒ + ≥ + 
 
 Tương tự ta có: 
3 3 3 3c b b c
b c b c
+ ≥ + ; 
3 3 3 3a c c a
c a c a
+ ≥ + 
 Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ( chú ý rằng 1a b c+ + = ), ta được: 
1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3a b c a b c a b c
a b c a b c   + + − + + ≥ 2 + +   
   
1 1 1
3
3 3 3 3 3 3a b c a b c
a b c ⇔ + + ≥ + + 
 
 (đpcm) 
Ví dụ 3: 
a. Cho 0, 0x y> > và 1xy ≤ . Chứng minh: 
2 1 1
1 11 x yxy
≥ +
+ ++
 (1) 
b. Cho 0 a b c d< ≤ ≤ ≤ và 1bd ≤ . Chứng minh: 
4
4 1 1 1 1
1 1 1 11 a b c dabcd
≥ + + +
+ + + ++
Giải: 
a. Vì 0, 0x y> > nên bất đẳng thức (1) tương đương với: 
 2(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )x y xy y xy x+ + ≥ + + + + + 
 2 2 2 2 1 1x y xy xy y y xy xy x x xy⇔ + + + ≥ + + + + + + + 
 ( ) 2 ( ) 2x y xy xy x y xy⇔ + + ≥ + + 
 ( ) ) 2(x y xy x y xy xy⇔ + − ( + + − ) ≥ 0 
 ( )(1 2x y xy xy xy⇔ + − )+ ( −1) ≥ 0 
 (1 2xy x y xy⇔ − )( + − ) ≥ 0 
 3 
 (1 xy x y 2⇔ − )( − ) ≥ 0 (2) 
 Vì: 
2( ) 0
1 1 0
x y
xy xy
 − ≥

≤ ⇒ − ≥
 nên (2) đúng (đpcm) 
b. 
, , , 0
1
a b c d
a b c d
bd
>

≤ ≤ ≤
 ≤
 nên 
, , , 0
1
a b c d
a b
c d
bd
>
 ≤

≤
 ≤
 1ac db⇒ ≤ ≤ 
 Theo kết quả câu a, ta có: 
1 1 2
 ( , 0; 1)
1 1 1
1 1 2
 ( , 0; 1)
1 1 1
a c ac
a c ac
b d bd
c d bd
 + ≤ > ≤ + + +

 + ≤ > ≤
 + + +
1 1 1 1 1 1
2.
1 1 1 1 1 1
2
 2.
1 .
a b c d ac bd
ac bd
 
⇒ + + + ≤ + + + + + + + 
≤
+
4
1 abcd
=
+
 (đpcm) 
Ví dụ 4: 
 Cho , , [ 1;2]a b c∈ − thỏa mãn điều kiện 0a b c+ + = . Chứng minh: 
 2 2 2 6a b c+ + ≤ 
Giải: 
• [ 1;2] 1 2 1)( 2) 0a a a a∈ − ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ( + − ≤ 
 2 22 0 2a a a a⇔ − − ≤ ⇔ ≤ + (1) 
• Tương tự ta cũng có 
2
2
 (2)
2 (3)
b b c
c c
 ≤ +

≤ +
 Cộng (1), (2), (3) ta có: 
 2 2 2 ) 6 6a b c a b c+ + ≤ ( + + + = (đpcm) 
Ví dụ 5: 
 Cho , , [0;2]x y z∈ và 3x y z+ + = . Chứng minh rằng: 
 2 2 2x y z+ + ≤ 5 
Giải: 
 Ta có: , , 2 ( 2)( 2)( 2) 0x y z x y z≤ ⇒ − − − ≤ 
 2( ) 4( ) 8 0xyz xy yz zx x y z⇔ − + + + + + − ≤ 
 2( ) 4.(3) 8 0xyz xy yz zx⇔ − + + − − ≤ 
 2( ) 4xyz xy yz zx⇔ ≤ + + − ( vì 3x y z+ + = ) 
 2 2 2 2( ) ( ) 4xyz x y z x y z⇔ ≤ + + − + + − 
 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 4 3 ( ) 4xyz x y z x y z x y z⇔ ≤ + + − + + − = − + + − 
 4 
 2 2 2 5x y z xyz⇔ + + ≤ − ( Vì 3x y z+ + = ) 
 2 2 2 5x y z⇒ + + ≤ ( Vì 0xyz ≥ ) (đpcm) 
Ví dụ 6: 
 Cho 0, 0, 0x y z> > > và 1xyz = . Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
a. 
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1x y y z z x
+ + ≤
+ + + + + +
 (1) 
b. 
1 1 1
1
1 1 1x y y z z x
+ + ≤
+ + + + + +
 (2) 
Giải: 
a. Đặt T = vế trái của bất đẳng thức (1) ( ta cần chứng minh T 1≤ ) 
 Ta có: 3 3 2 2( )( )x y x y x y xy+ = + + − 
 Mà 
2 2 2 22
0 ( Vì 0, 0)
x y xy x y xy xy
x y x y
 + ≥ ⇔ + − >

+ > > >
 Nên 2 2( )( ) ( )x y x y xy x y xy+ + − ≥ + hay 3 3 ( )x y xy x y+ ≥ + 
 3 3 ( )x y xy x y xyz⇒ + +1≥ + + ( Vì 1xyz = ) 
 3 3 ( ) 0x y xy x y z⇔ + +1≥ + + > 
3 3
1 1
1 ( )x y xy x y z
⇔ ≤
+ + + +
 (a) 
 Tương tự ta có: 
3 3
3 3
1 1
 (b)
1 ( )
1 1
 (c)
1 ( )
y z xy x y z
z x xy x y z
 ≤ + + + +
⇔ 
 ≤
 + + + +
 Cộng vế theo vế (a), (b), (c), ta có: 
1 1 1 1 1
T 1
( )
x y z
x y z xy yz zx x y z xyz
   + +
≤ + + = =   + + + +   
 ( Vì 1xyz = ) (đpcm) 
b. Đặt S bằng vế trái của bất đẳng thức (2) ( ta cần chứng minh S ≤1) 
 Đặt 
3
3
3
x a
y b
z c
 =

=
 =
 mà 
3 3 3
, , 0 , , 0
1 1
x y z a b c
xyz a b c abc
> ⇒ >

= ⇒ ⇔ =
 , , 0a b c > và 1abc = nên theo kết quả câu a, ta có: 
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1a b b c c a
+ + ≤
+ + + + + +
1 1 1
1
1 1 1x y y z z x
⇔ + + ≤
+ + + + + +
 (đpcm) 
Ví dụ 7: 
 Cho , 0a b > và , 0b c > . Chứng minh: 
 ( ) ( )a c c b c c ab− + − ≤ (1) 
 5 
Giải: 
 Bất đẳng thức (1) tương đương với: 
 2( ) ( ) 2 ( )( )c a c b c c c a c b c ab− + − + − − ≤ 
 2 2 2 ( )( ) 0c c ac ab bc c a c b c⇔ + − + − − − − ≥ 
 2 ( ) ( ) 2 ( )( ) 0c a b c c b c c a c b c⇔ + − − − − − − ≥ 
 2 ( )( ) 2 ( )( ) 0c a c b c c a c b c⇔ + − − − − − ≥ 
2
( )( ) 0c a c b c ⇔ − − − ≥  đây là bất đẳng thức đúng (đpcm) 
Ví dụ 8: 
 Chứng minh rằng đối với mọi , ,a b c R∈ , ta có: 
2
2 2 2
4
a
b c ab ac bc+ + ≥ − + (1) 
Giải: 
 Bất đẳng thức (1) tương đương với: 
 2 2 24 4 4 8 4a b c ac bc ac+ + − − + ≥ 0 
 22 2 ) 0a b c⇔ ( − + ≥ đây là bất phương trình đúng (đpcm) 
Ví dụ 9: 
 Cho 3 36a > và 1abc = . Chứng minh: 
2
2 2
3
a
b c ab bc ca+ + > + + (1) 
Giải: 
 Bất đẳng thức (1) tương đương với: 
2
2( ) 2 ( )
3
a
b c bc a b c bc+ + − > + + 
2
2( ) ( ) 3 0
3
a
b c a b c bc⇔ + − + + − > 
2
2 3( ) ( ) 0
3
a
b c a b c
a
 
⇔ + − + + − > 
 
( Vì 
1
bc
a
= ) 
 22 ( )3( ) 0
3
x b c
aa
f x x ax
a
= +

⇔   = − + − > 
 
 Xét tam thức bậc hai 
2
2 3( ) ( )
3
a
f x x ax
a
= − + − có: 
2 3
2 3 364 0
3 3
a a
a
a a
  −
∆ = − − = < 
 
 ( Vì 3 36a > ) 
 ( ) 0, ( )f x x R a⇒ > ∀ ∈ ⇒ đúng (đpcm) 
Ví dụ 10: 
 Cho 1 1x− . Chứng minh: 
 6 
 2(1 ) (1 ) 2n nx n− + + < 
Giải: 
Vì 1 1x− < < nên cos (0x α α= < < pi) lúc đó: 
 (1 ) (1 ) (1 cos (1 cos )n n n nn n α α+ + − = + ) + − 
 2 22cos 2sin
n n
α α   = +   2 2   
 2 2 2 22 cos sin 2 cos sin 2
n n
n n nα α α α      = + < + =      2 2 2 2       
 (đpcm) 
* Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương cần: 
1. Chú ý xem kĩ giả thuyết đề cho, vì trong một số trường hợp có thể biến đổi giả thuyết đề cho 
thành bất đẳng thức cần chứng minh ( như ở ví dụ 4, 5). 
2. Trong một số trường hợp có thể biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất đẳng thức 
luôn đúng ( được nêu ở ví dụ 1, 3, 7, 8). 
3. Nên thuộc lòng và bất đẳng thức thông dụng được giới thiệu ở phần II. 
IV. Bài tập tương tự: 
1. Chứng minh rằng: nếu 0 x y z< ≤ ≤ thì: 
 ( ) ( )1 1 1 1 1y x z x z
x z y x z
   + + + ≤ + +   
   
* Hướng dẫn: 
 Tìm bất đẳng thức tương đương bằng cách quy đông mẫu số, ước lược số hạng ( )x z+ , chuyển 
vế, biến đổi vế trái thành dạng tích số, 
2. a, b, c, d là năm số thức tùy ý, chứng minh bất đẳng thức: 
 2 2 2 2 2a b c d e ab ac ad ac+ + + + ≥ + + + 
 Khi nào đẳng thức xảy ra? 
* Hướng dẫn: 
 Tìm bất đẳng thức tương đương bằng cách biến đổi bất đẳng thức đã cho về dạng: 
2 2 2 2
0
2 2 2 2
a a a a
b c d e
       − + − + − + − ≥       
       
3. a, b, c, là độ dài ba cạnh của tam giác ABC, chứng minh: 
 2 2 2 2( )a b c ab bc ca+ + < + + 
* Hướng dẫn: 
 2 , ...a b c a ab ac b a c< + ⇒ < + < + ⇒ 
4. Chứng minh: 
 2 2 2 , , Ra b ab a b+ ≥ ∀ ∈ 
 Áp dụng a, b, c là ba số thực tùy ý, chứng minh: 
 4 4 4 ( )a b c abc a b c+ + ≥ + + 
 7 
* Hướng dẫn: 
 Dùng công thức 2 2 2( ) 0 ...a b a b− ≥ ⇔ + ≥ 
 Áp dụng kết quả trên. 
5. Chứng minh [ 1;1]t∀ ∈ − ta có: 
 2 21 1 1 1 2t t t t+ + − ≥ + + ≥ − 
* Hướng dẫn 
• Với [ 1;1]t∀ ∈ − , ta luôn có: 
 2 2(1 ) 2 (1 )(1 ) (1 ) 1 2 1 (1 )t t t t t t− + − + + + ≥ + − + − 
 Biến đổi tương đương suy ra 21 1 1 1t t t+ + − ≥ + + 
• Từ: 20 1 1t≤ − ≤ 
 2 21 1 2t t⇒ + + ≥ − 
Chương II 
BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI (CAUCHY) 
I. Phương pháp giải toán 
1) Cho 2 số a,b > 0, ta có: 
2
a b
ab
+
≥ 
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b. 
2) Cho n số 1 2 3, , ,..., 0na a a a ≥ ta có: 
 1 2 3 1 2 3
...
...n n n
a a a a
a a a a
n
+ + + +
≥ 
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 3 ... na a a a= = = = 
3) Bất đẳng thức côsi suy rộng 
 Phát biểu: Với các số thực dương 1 2 3, , ,..., na a a a và 1 2 3, , ,..., nx x x x là các số 
thực không âm và có tổng bằng 1, ta có: 
 31 21 1 2 2 3 3 1 2 3... ...
nx xx x
n n na x a x a x a x a a a a+ + + + ≥ 
 8 
 Tổng quát: Cho n số dương tùy ý ai, i = 1,n và n số hữu tỉ dương qi, i = 1,n 
thỏa 
1
1
n
i
i
q
=
=∑ khi đó ta luôn có: 
11
.i
n n
q
i i i
ii
a q a
==
≤∑∏ 
 Dấu “=” xảy ra 
II. Các ví dụ 
Ví dụ 1: Cho n số dương ai, i = 1,n . Chứng minh rằng: 
2
1 2 3
1 2 3
1 1 1 1
( ... ) ...n
n
a a a a n
a a a a
 
+ + + + + + + + ≥ 
 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số 1 2 3
1 2 3
1 1 1 1
, , ,..., , , , ,...,n
n
a a a a
a a a a
Ta có: 
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
... ...
1 1 1 1
...
...
n
n n
n
n n
a a a a n a a a a
n
a a a a a a a a
+ + + + ≥
+ + + + ≥ 
Nhân 2 vế tương ứng ta được bất đẳng thức cần chứng minh và dấu “=” xảy ra khi 
1 2 3 ... na a a a= = = = 
Ví dụ 2:Chứng minh với mọi a,b,c dương ta luôn có: 
2
1 1 1 27
( ) ( ) ( ) 2( )a a b b b c c c a a b c
+ + ≥
+ + + + +
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho vế trái: 
3
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) ( )( )( )a a b b b c c c a abc a b a c b c
+  ... , biến đổi vế trái ta được: 
1 3 5 2 1 1 2 1
. . ... .
2 4 6 2 2 2 23 1
n n
n nn
+ +
≤
+ ++
Ta cần chứng minh 
1 2 1 1
.
2 23 1 3 4
n
nn n
+
<
++ +
2
2 1 3 1
2 2 3 4
n n
n n
+ + ⇔ < + + 
 ( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 3 4 2 2 3 1n n n n⇔ + + < + + 
 0 n⇔ < ( luôn đúng) 
Từ đây suy ra đpcm. 
* Phản chứng: 
1. Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện xyz = 1. 
 Chứng minh rằng nếu:
1 1 1
x y z
x y z
+ + > + + thì có một và chỉ một trong ba số này lớn 
hơn 1. 
* Hướng dẫn: 
 Xét tích ( )( )( )1 1 1x y z− − − từ đó suy ra chỉ có một và chỉ một trong ba số 1x − ; 
1y − ; 1z − dương. Nếu cả ba số đều dương thì , , 1x y z > , do đó 1xyz > . Trái giả thiết. Còn 
nếu hai trong ba số này dương thì tích: ( )( )( )1 1 1 0x y z− − − < ; vô lý. Vậy chỉ có một và 
chỉ một trong ba số x, y, z lớn hơn 1. 
2. Chứng minh rằng không tồn tại các số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1), (2), (3): 
 39 
 (1)
 (2)
 (3)
a b c
b c a
c a b
< −
< −
< −
* Hướng dẫn: 
 Bình phương hai vế của (1), (2), (3) sau đó chuyển vế và áp dụng hằng đẳng thức 
( ) ( )2 2A B A B A B− = − + cuối cùng nhân chúng lại với nhau ta được: 
( ) ( )( )
2
0a b c a b c a b c− − + + − + + − > ⇒   vô lý, vậy bài toán đuọc chứng minh. 
3. Cho , , 0a b c > và 1abc = . Hãy chứng minh: a b c+ + ≥ 3 
* Hướng dẫn: 
 Giả sử ngược lại: a b c+ + < 3 (1), nhân thêm ab vào hai vế của (1) rồi biến đổi 
tương đương ta được: ( )2 2 3 1 0ab a a b+ − + < . 
 Đặt ( )2 2( ) 3 1f x ab a a b= + − + xét ∆ của ( )f x ta có ∆ ≤ 0 
 Vì 0 3 ( ) 0
3
abc
a f b
a b c
> 0
⇒ < < ⇒ ≥ ⇒
+ + <
vô lý ⇒ đpcm. 
4. Có tồn tại x R∈ sao cho: 
1 tan3
3
3 tan
x
x
≤ ≤ ? 
* Hướng dẫn: 
 Giả sử tồn tại x R∈ để: 
1 tan3
3
3 tan
x
x
≤ ≤ . Lúc đó: 
, ( )
2 6
1 tan3
3
3 tan
k
x k k k Z
x
x
pi pi pi ≠ pi + pi + ∈ 3

 ≤ ≤

22
2 2
2
8
0
1 3tan 01 3tan
8 tan 1 3tan 0
0
1 3tan
xx
x x
x
 ≥  − > −
⇔ ⇒ ⇒ 
− < ≤
 −
vô lý 
Vậy không tồn tại x R∈ thỏa mãn điều kiện đề bài cho. 
 40 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP 
1. Cho ABC∆ , tìm GTlN của 2cos cos( ) cos 2f C A B C= − − − (A, B, C là 3 góc của 
tam giác) 
A. 
2
3
 B. 0 C. 1 D. 
3
2
2. Tìm GTNN của 8 8sin cosA x x= + 
A. 
1
8
 B. 
1
16
 C. 1 D đáp án khác 
3. Tìm GTLN & GTNN của sin (1 2cos2 )y x x= − lần lượt là: 
A. 
1
; 2
2
 B. 1; 2 C. 3 ; -3 D. đáp án khác 
4. ABC∀∆ , GTLN của 2 2 2sin sin sin
2 2 2
A B C
f = 
A. 27 B. 12 C. 
1
12
 D. đáp án khác 
5. GTNN của 
5
1
x
C
x x
= +
−
 với 0 1x< < 
A. 2 5 B. 5 2 5+ C. 5 2 5− D. đáp ánkhác 
6. a, b, c là 3 cạnh , , ,a b cm m m∆ là 3 đường trung tuyến của a, b, c. bất đẳng thức 
đúng: 
A. 
2 a b c
a b c
m m m a b c
+ +
≤ + + ≤ + + 
B. 
2 a b c
a b c
m m m a b c
+ +
< + + < + + 
C. 
2 a b c
a b c
m m m a b c
+ +
≤ + + < + + 
D. tất cả điều sai 
7. Tứ giác ABCD, đường chéo AC, phát biểu nào đúng: 
A. 
2
AB BC CD DA
AC
+ + +
< 
B. 
2
AB BC CD DA
AC
+ + +
= 
C. 
2
AB BC CD DA
AC
+ + +
≥ 
 41 
D. đáp án khác 
8. a, b, c là độ dài 3 cạnh ∆ , phát biểu nào đúng: 
A. 
2 2 2 2( )a b c ab bc ca+ + > + + 
B. 
2 2 2 2( )a b c ab bc ca+ + < + + 
C. 
2 2 2 2( )a b c ab bc ca+ + ≤ + + 
D. 
2 2 2 2( )a b c ab bc ca+ + ≥ + + 
9. ,a bh h là đường cao ABC∆ , phát biểu nào đúng: 
A. 
1
2ABC a b
S h h≥ 
B. 
1
2ABC a b
S h h≤ 
C. 
1
2ABC a b
S h h< 
D. 
1
2ABC a b
S h h> 
10. , ,a b ch h h là 3 đường cao ABC∆ , phát biểu nào đúng: 
A. ( )231
2ABC a b c
S h h h> 
B. ( )231
2ABC a b c
S h h h< 
C. ( )23
1
2ABC a b c
S h h h≤ 
D. ( )231
2ABC a b c
S h h h≥ 
 11. Bất đẳng thức nào sau đây sai? 
A. 2 2 1a b ab a b+ + ≥ + + B. 2 2 4 2 2a b ab a b+ + ≥ + + 
C. 
2
2 2
4 2 2
a ab ac
b c bc+ + ≥ + + D. 
2 2a b
a b
b a
+ ≥ + 
12: Cho ,a b R∈ , bất đẳng thức nào sai: 
A. 
2 2 2
2 2
a b a b+ +  ≤ 
 
 B. 2 2 2a b ab+ ≥ 
 42 
C. 4 4 2 2a b ab a b+ ≥ + D. 2 2 1a b ab a b+ + < + + 
13: Giá trị lớn nhất của ( )2 6A x x= − biết 0 3x≤ ≤ : 
A. 5 B. 4 
C. 9 D. 0 
14: Giá trị nhỏ nhất của 25 3 14y x x= + − là: 
A. 
289
20
− B. 
17
2
− 
C. 
15
2
− D. 
13
2
− 
15: Giá trị max của 
2
3
4 4 5
y
x x
=
+ +
 là: 
A. 
3
2
 B. 
3
4
C. 
3
7
 D. 
3
7
16: Giá trị nhỏ nhất của 
2
2
6 7
6 12
x x
y
x x
− +
=
− +
 là: 
A. 
3
2
− B. 
3
5
− 
C. 
2
3
− D. 
2
5
− 
17: Với 0, 1x y xy> > = . Giá trị nhỏ nhất của 
2 2x y
A
x y
+
=
−
 là: 
A. 2 2 B. 2 2− 
C. 
2
2
 D. 
2
2
− 
18: Nếu có 0a b c> > > . Xét bất đẳng thức sau: 
a. 
a c b c
b a b a
− −
>
− −
 b. ab ac> c. 
b b
a c
> 
Phát biểu đúng: 
A. Chỉ a B. Chỉ b C. a & b D. b & c 
19: Cho 2 2 , , 0a b a b< ≠ , xét các bất đẳng thức sau: 
a. 
2 2a b
b a
> b. 
2 2
1 1
a b
> c. ( ) ( ) 0a b a b+ − < 
Phát biểu đúng: 
A. Chỉ b đúng B. Chỉ a & b C. Chỉ b & c D. Chỉ a & b 
 43 
20: Giá trị nhỏ nhất của 2 22 4 5 4 2 2A x xy y x y= − + − − + là: 
A. -3 B. -2 C. -1 D. 0 
21: Giá trị lớn nhất của: 
2
2
2 2
2
x x
A
x
−
=
−
 (0 1x< < ) là: 
A. Một số nguyên dương B. Một số nguyên âm 
C. Một số hữu tỉ D. Một số vô tỉ 
22: Tìm mệnh đề đúng: 
A. a b ac bc< ⇒ < B. 
1 1
a b
a b
C. a b c d ac bd< < ⇒ < vaø D. Cả A, B, C đều sai 
23: Tìm mệnh đề sai: 
A. , ,a b a b a b+ ≤ + ∀ B. , ,a b a b a b− ≥ − ∀ 
C. 2 0,a a> ∀ D. ,a a a a− ≤ ≤ ∀ 
24: Cho , , 0a b c > . Xét các bất đẳng thức: 
a. 
a b
b a
+ ≥ 2 b. 
a b c
b c a
+ + ≥ 3 c. 
9a b c
b c a a b c
+ + ≥
+ +
Bất đẳng thức đúng: 
A. a B. b C. c D. Cả a, b, c 
25: Cho 0a b> > và 
2 2
1 1
, 
1 1
a b
x y
a a b b
+ +
= =
+ + + +
. Mệnh đề đúng: 
A. x y C. x y= D. Không xác định được 
26: Cho , 0x y > . Tìm bất đẳng thức đúng: 
A. ( )2 4x y xy+ ≥ B. 1 1
x y x y
4
+ ≥
+
C. 
( )2
1
xy x y
4
≥
+
 D. Cả 3 đều đúng. 
 44 
Hướng dẫn và đáp số: 
1. Chọn D 
2
2 2 2
2
2 2
2 cos cos( ) 2 cos 1
1 1 3
2 cos cos cos( ) cos ( ) 1 cos ( )
4 2 2
3 1 1
2 cos cos ( ) sin ( )
2 2 2
3
2
f C A B C
c C A B A B A B
C A B A B
= − − − +
   = − + − + − − − − +   
 = − + − − −  
≤
2. Chọn A 
( )24 4 4 4
2
2 4
2 4
2 2 2
2 4
cos sin 2 cos sin
1 1
1 sin 2 sin 2
2 8
1
1 sin 2 sin 2
8
1
cos 2 (1 cos 2 )
8
3 1 1
cos 2 cos 2
4 8 8
1
8
A x x x x
x x
x x
x x
x x
x
= + −
 = − − 
 
= − +
= + −
= + +
≥ ∀
3.Chọn C 
 Do 
sin &(1 2cos2 )x x− không đổi dấu nên 
sin 2cos 2 sin
 2sin s in3x
 2 sin s in3x
3 ( sin 1)
3 3
y x x x
x
y x do a b a b
y do x
y
= −
= −
⇒ ≤ + + ≤ +
⇒ ≤ ≤
⇒ − ≤ ≤
 45 
4. Chọn D 
2
1
cos sin sin
2 2 2 2
1 sin 0
2
cos 1
2
1
1 sin 1 sin 2 sin
8 2 2 2
A B C C
f
C
do
A B
C C C
f
 −  = −  
  
 > >

− ≤

   ⇒ ≤ − − −   
   
3
1 2 1
8 3 27
 ≤ = 
 
 (bất đẳng thức côsi cho 3 số dương) 
5. Chọn B 
5(1 )
5 2 5 5
1
x x
C
x x
−
= + + ≥ +
−
6. Chọn C 
 Ta có: 
2 2
2 2
2 2
2
c
a
b
a b c
a b c a b
m
b c a c b
m
a c b a c
m
a b c
m m m a b c
+ − + ≤ <

+ − +
≤ <

+ − +
≤ <
+ +
⇒ ≤ + + < + +
7. Chọn A 
2
AC AB BC
AC CD DA
AB BC CD DA
AC
< +

< +
+ + +
⇒ <
8. Chọn B 
2
2
2
( )
( )
( )
a b c a a b c ab ac
b a c b b a c ab bc
c a a c c a b bc ac
< + ⇒ < + = +
< + ⇒ < + = +
< + ⇒ < + = +
 46 
9. Chọn A 
1
2
1
2
A B C a
b
A B C a b
S a h
a h
S h h
 =

 ≥
⇒ ≥
10. Chọn D 
3 2
23
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1
( )
8
1
( )
2
b ABC a b a
c ABC b b c
a ABC c c a
ABC a b c
ABC a b c
a h S ah h h
b h S bh h h
c h S ch h h
S h h h
S h h h
 ≥ ⇒ = ≥


≥ ⇒ = ≥


≥ ⇒ = ≥
⇒ ≥
⇒ ≥
11 .Chọn D 
 Sử dụng bất đẳng thức 2 2 2x y z xy yz zx+ + ≥ + + ⇒A, B, C đúng. 
12. Chọn D 
 Áp dụng bất đẳng thức 2 2 2x y z xy yz zx+ + ≥ + + ta được: 2 2 1a b ab a b+ + ≥ + + 
13. Chọn C: 
( ) ( )2 26 9 3A x x x x x= − = − + lại có: ( )20 3 9 0, 3 9x x x x≤ ≤ ⇒ − < ≤ nên 9A ≤ . 
14. Chọn A: 
 2 2
9 289
5 3 14 5 3
20 20
y x x x x= + − = + + − 
2
3 289 289
5
20 202 5
x
 
= + − ≥ − 
 
15: Chọn B: 
( )22
3 3 3
4 4 5 42 1 4
y
x x x
= = ≤
− + − +
16: Chọn D: 
( )
2
22 2
6 7 5 5 5 2
1 1 1
6 12 6 9 3 3 33 3
x x
y
x x x x x
− + − −
= = + = + ≥ − + = −
− + − + + − +
 47 
17: Chọn A: 
( )22 2 2 2
2 2 2 2
x y xyx y xy
x y xy
x y x y x y
− ++
= = − + ≥ ≥
− − −
18: Chọn B: 
 a. Do 0 0
a c b c
a b b a a c b c a b
b a b a
− −
> > ⇒ − ⇔ − < − ⇔ <
− −
 ( ta có gt) 
 b. Do 0a ⇔ > ( đúng gt) 
 c. Do 0b < nên 
b b
a c
a c
> ⇔ < ( trái gt) 
19: Chọn C: 
 a. 
2 2a b
a a
> đúng với 0a > . 
 b. 2 2
2 2
1 1
a b
a b
> ⇔ < ( đúng). 
 c. ( ) ( ) 2 2 2 20a b a b a b a b+ − = − < ⇔ < ( đúng). 
20: Chọn A: 
 2 22 4 5 4 2 2A x xy y x y= − + − − + 
 ( ) ( ) ( )2 2 22 2 1 3 3x y x y= − + − + − − ≥ − ⇒ giá trị nhỏ nhất là -3. 
21: Chọn C: 
2
2
2 2
 (0 1)
2
x x
A x
x
−
= < <
−
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 12
2 2 2
x x
x x
x x
+ −
−
= ≤ =
− −
22: Chọn D: 
 A. Đúng với 0c > 
 B. Đúng với , 0a b > 
 C. Đúng với , , , 0a b c d > 
23: Chọn C: 
 2 0,a a≥ ∀ 
24: Chọn D: 
 Sử dụng bất đẳng thức côsi: 
 a. 2. . 2
a b a b
b a b a
+ ≥ = b. 3 . . 3
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ 3 = 
 48 
 c. Dùng bất đẳng thức B.C.S: ( ) ( )21 1 1 1 1 11 1 1a b c
a b c a b c a b c
9 + + + + ≥ + + ⇔ + + ≥  + + 
25: Chọn A vì 0x y− > 
26: Chọn D: 
 A. ( ) ( )2 24x y xy x y+ ≥ ⇔ − ≥ 0 ( đúng). 
 B. Áp dụng bất đẳng thức B.C.S: ( ) ( )21 1 1 11 1x y
x y x y x y
  4
+ + ≥ + ⇔ + ≥  + 
 C. 
( )
( )22
1
4x y xy
xy x y
4
≥ ⇔ + ≥
+
 ( giống câu A) 
 49 
Mục lục 
Chương I: ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG 
 ĐƯƠNG 
Chương II: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI (CAUCHY) 
Chương III: BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC 
 BUNHIACOPXKI ( B.C.S) 
Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC TRÊ – BƯ – SEP (TCHEBYCHEV) 
Chương V: BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI 
Chương VI: ÁP DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Chương VII: ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 
Chương VIII: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG QUY NẠP HOẶC
 PHẢN CHỨNG 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP 
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 
Trang 
01 
07 
12 
19 
23 
25 
31 
33 
40 
43