Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán học Lớp 6 - Phần Số học, Chuyên đề: So sánh - Năm học 2010-2011

A. Phần I. so sánh hai luỹ thừa
I. Một số t/c cần lưu ý:
1. Để so sánh hai luỹ thừa , ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
- Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. Nếu m > n thì am > bn (a > 1)
- Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì luỹ thừa nào có cơ số hơn sẽ lớn hơn. . Nếu m > n thì am > bn (a > 1)
2. Ngoài 2 cách trên ta còn sử dụng t/c bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân.
II. Bài tập
1. So sánh : 
a. 1619 và 825	 b. 2711 và 818 	c. 6255 và 1257	
d. 536 và 1124	 	 e. 32n và 23n (n )	f. 3111 và 1714	k. 3500 và 7300 
Giải
a. 1619 = (24)19 = 276
 825 = (23)25 = 275
Vì 276 > 275 1619 > 825	
b. 
c. 
d. 
e. 32 = 9; 23 = 8 . Vì 9 > 8 . 32 > 23 (32)n > ( 23)n hay 32n > 23n (n )
f. 3111 < 1714	; k. 3500 < 7300 
2. So sánh các số sau, số nào lớn hơn ? 
a) 523 và 6.522	b) 216 và 7.213	
c) 2115 và 275.498 	d) 85 và 3.47	
Giải
a) 523 = 5.522 < 6.522
b) 216 = 23 .213 = 8. 213 > 7.213	
c) 2115 = (3.7)15 = 315 .715; 275.498 =(33)5.(72)8 =315 .716 
315 .716 > 315 .715 275.498 > 2115 
d) 85 = 215 = 2.214 ; 3.47 = 3.214
3.214 > 2.214 ) 3.47 > 85 
3. So sánh các số sau, số nào lớn hơn ? 
a) 19920 và 200315	b) 339 và 1121
Giải
a) 19920 < 20020= (8.25)20 = (23 .52 )20 = 260.540
 200315 > 200015= (16.125)15 = (24 .53 )15 = 260.545
Vì 260.540 > 260.545 nên 200315 > 19920	
b) 339 < 340 = (34)10 = 8110
 1121 > 1120 (112)10 = 12110
Vì 12110 > 8110 nên 1121 > 339
4. So sánh hai hiệu, hiệu nào lớn hơn : và 
HD
5. Cho .Hãy so sánh S với 5.28
Giải
2S – S = 210 – 1 hay S = 210 – 1 < 210 = 22.28 = 4. 28 < 5.28
6. So sánh các số sau, số nào lớn hơn ? 
a) 9920 và 999910	b) 321 và 231 	c) 202303 và 303202
d) 3500 và 7300	e) 111979 và 371320 	f) 1010 và 48.505
k) 199010 + 19909 và 199110
Giải
A. Phần I. so sánh hai phân số
	ẹeồ so saựnh 2 phaõn soỏ, tuứy theo moọt soỏ trửụứng hụùp cuù theồ cuỷa ủaởc ủieồm caực phaõn soỏ, ta coự theồ sửỷ duùng nhieàu caựch tớnh nhanh vaứ hụùp lớ. Tớnh chaỏt baộc caàu cuỷa thửự tửù thửụứng ủửụùc sửỷ duùng (), 
trong ủoự phaựt hieọn ra moọt soỏ trung gian ủeồ laứm caàu noỏi laứ raỏt quan troùng. 
PHAÀN I : CAÙC PHệễNG PHAÙP SO SAÙNH .
I/CAÙCH 1: Quy ủoàng maóu dửụng roài so saựnh caực tửỷ: tửỷ naứo lụựn hụn thỡ phaõn soỏ ủoự lụựn hụn 
	Vớ duù : So saựnh ?
	Ta vieỏt : ; 
Chuự yự :Phaỷi vieỏt phaõn soỏ dửụựi maóu dửụng .
II/CAÙCH 2: Quy ủoàng tửỷ dửụng roài so saựnh caực maóu coự cuứng daỏu “+” hay cuứng daỏu “-“: maóu naứo nhoỷ hụn thỡ phaõn soỏ ủoự lụựn hụn .
Vớ duù 1 : 
Vớ duù 2: So saựnh ?
Ta coự : ; 	
	Vớ duù 3: So saựnh ? 
Ta coự : ; 	
	Chuự yự : Khi quy ủoàng tửỷ caực phaõn soỏ thỡ phaỷi vieỏt caực tửỷ dửụng .
III/CAÙCH 3: (Tớch cheựo vụựi caực maóu b vaứ d ủeàu laứ dửụng )
 	+Neỏu a.d > b.c thỡ 
+ Neỏu a.d < b.c thỡ ; 
+ Neỏu a.d = b.c thỡ 
Vớ duù 1: 
Vớ duù 2:
 Vớ duù 3:So saựnh Ta vieỏt ; 
Vỡ tớch cheựo –3.5 > -4.4 neõn 
Chuự yự : Phaỷi vieỏt caực maóu cuỷa caực phaõn soỏ laứ caực maóu dửụng 
vỡ chaỳng haùn do 3.5 < -4.(-4) laứ sai 
IV/CAÙCH 4 : Duứng soỏ hoaởc phaõn soỏ laứm trung gian .
1/ Duứng soỏ 1 laứm trung gian:
Neỏu 
Neỏu maứ M > N thỡ 
M,N laứ phaàn thửứa so vụựi 1 cuỷa 2 phaõn soỏ ủaừ cho .
Phaõn soỏ naứo coự phaàn thửứa lụựn hụn thỡ phaõn soỏ ủoự lụựn hụn.
Neỏu maứ M > N thỡ 
M,N laứ phaàn thieỏu hay phaàn buứ ủeỏn ủụn vũ cuỷa 2 phaõn soỏ ủoự.
Phaõn soỏ naứo coự phaàn buứ lụựn hụn thỡ phaõn soỏ ủoự nhoỷ hụn.
Baứi taọp aựp duùng :
Baứi taọp 1: So saựnh 
Ta coự : ; 
Baứi taọp 2: So saựnh 
Ta coự : ; 	
 Baứi taọp 3 : So saựnh Ta coự 
2/ Duứng 1 phaõn soỏ laứm trung gian:(Phaõn soỏ naứy coự tửỷ laứ tửỷ cuỷa phaõn soỏ thửự nhaỏt , coự maóu laứ maóu cuỷa phaõn soỏ thửự hai)
Vớ duù : ẹeồ so saựnh ta xeựt phaõn soỏ trung gian .
	Vỡ 
*Nhaọn xeựt : Trong hai phaõn soỏ , phaõn soỏ naứo vửứa coự tửỷ lụựn hụn , vửứa coự maóu nhoỷ hụn thỡ phaõn soỏ ủoự lụựn hụn (ủieàu kieọn caực tửỷ vaứ maóu ủeàu dửụng ).
*Tớnh baộc caàu : 
Baứi taọp aựp duùng :
Baứi taọp 1: So saựnh 
-Xeựt phaõn soỏ trung gian laứ , ta thaỏy 
-Hoaởc xeựt soỏ trung gian laứ , ta thaỏy 
Baứi taọp 2: So saựnh 
Duứng phaõn soỏ trung gian laứ
Ta coự : 
Baứi taọp 3: (Tửù giaỷi) So saựnh caực phaõn soỏ sau:
 e) 
 f) 
 g) 
 h) 
(Hửụựng daón : Tửứ caõu ac :Xeựt phaõn soỏ trung gian.
 	Tửứ caõu dh :Xeựt phaàn buứ ủeỏn ủụn vũ )
Duứng phaõn soỏ xaỏp xổ laứm phaõn soỏ trung gian.
Vớ duù : So saựnh 
Ta thaỏy caỷ hai phaõn soỏ ủaừ cho ủeàu xaỏp xổ vụựi phaõn soỏ trung gian laứ.
Ta coự : 
Baứi taọp aựp duùng :
Duứng phaõn soỏ xaỏp xổ laứm phaõn soỏ trung gian ủeồ so saựnh :
V/ CAÙCH 5: Duứng tớnh chaỏt sau vụựi m0 : 
Baứi taọp 1: So saựnh 
Ta coự : (vỡ tửỷ < maóu) 
Vaọy A < B .
Baứi taọp 2: So saựnh 
Ta coự : Coọng theo veỏ ta coự keỏt quaỷ M > N.
Baứi taọp 3: So saựnh ?
Giaỷi: (aựp duùng )
Baứi taọp 4: So saựnh 
Ta coự 
Vỡ . Vaọy A > B .
Baứi taọp 5: So saựnh 
. Vỡ 
Baứi taọp 6: So saựnh 
Baứi taọp 7: So saựnh 
Giaỷi: maứ 
VI/ CAÙCH 6: ẹoồi phaõn soỏ lụựn hụn ủụn vũ ra hoón soỏ ủeồ so saựnh :
 +Hoón soỏ naứo coự phaàn nguyeõn lụựn hụn thỡ hoón soỏ ủoự lụựn hụn.
	+Neỏu phaàn nguyeõn baống nhau thỡ xeựt so saựnh caực phaõn soỏ keứm theo
Baứi taọp 1: Saộp xeỏp caực phaõn soỏ theo thửự tửù taờng daàn.
Giaỷi: ẹoồi ra hoón soỏ : 
Ta thaỏy: neõn .
Baứi taọp 2: Saộp xeỏp caực phaõn soỏ theo thửự tửù taờng daàn.
Giaỷi: Xeựt caực phaõn soỏ nghũch ủaỷo: , ủoồi ra hoón soỏ laứ : 
Ta thaỏy: 
Baứi taọp 3: So saựnh caực phaõn soỏ : ?
Hửụựng daón giaỷi: Ruựt goùn A=1 , ủoồi B;C ra hoón soỏ A<B<C.
Baứi taọp 4: So saựnh 
Hửụựng daón giaỷi:-Ruựt goùn 
( Chuự yự: 690=138.5&548=137.4 )
Baứi taọp 5: (Tửù giaỷi) Saộp xeỏp caực phaõn soỏ theo thửự tửù giaỷm daàn.
PHAÀN II: CAÙC BAỉI TAÄP TOÅNG HễẽP 
	Baứi taọp 1: So saựnh caực phaõn soỏ sau baống caựch hụùp lyự:
	(Gụùi yự: a) Quy ủoàng tửỷ c) Xeựt phaàn buứ , chuự yự :
	d)Chuự yự: Xeựt phaàn buứ ủeỏn ủụn vũ 
	e)Chuự yự: phaàn buứ ủeỏn ủụn vũ laứ:)
Baứi taọp 2: Khoõng thửùc hieọn pheựp tớnh ụỷ maóu , haừy duứng tớnh chaỏt cuỷa phaõn soỏ ủeồ so saựnh caực phaõn soỏ sau: 
Hửụựng daón giaỷi:Sửỷ duùng tớnh chaỏt a(b + c)= ab + ac
+Vieỏt 244.395=(243+1).395=243.395+395
+Vieỏt 423134.846267=(423133+1).846267=
+Keỏt quaỷ A=B=1
(Gụùi yự: laứm nhử caõu a ụỷ treõn ,keỏt quaỷ M=N=1,P>1)
Baứi taọp 3: So saựnh 
Gụùi yự: 7000=7.103 ,ruựt goùn 
Baứi taọp 4: So saựnh 
Gụùi yự: Chổ tớnh 
Tửứ ủoự keỏt luaọn deó daứng : A < B
Baứi taọp 5:So saựnh ?
Gụùi yự: 1919=19.101 & 191919=19.10101 ; Keỏt quaỷ M > N
	Mụỷ roọng : 123123123=123.1001001 ;..
 Baứi taọp 6: So saựnh 
	Gụùi yự: +Caựch 1: Sửỷ duùng ; chuự yự : 
	 +Caựch 2: Ruựt goùn phaõn soỏ sau cho 101.
	 Baứi taọp 7: Cho a,m,n N*. Haừy so saựnh : 
	 Giaỷi: 	
	 Muoỏn so saựnh A & B ,ta so saựnh & baống caựch xeựt caực trửụứng hụùp sau:
Vụựi a=1 thỡ am = an A=B
Vụựi a0:
Neỏu m= n thỡ am = an A=B
Neỏu m< n thỡ am < an A < B
Neỏu m > n thỡ am > an A >B
	Baứi taọp 8: So saựnh P vaứ Q, bieỏt raống: ?
	Vaọy P = Q
	Baứi taọp 9 : So saựnh 
	Giaỷi: 
Ruựt goùn 
Vaọy M = N
	Baứi taọp 10: Saộp xeỏp caực phaõn soỏ theo thửự tửù taờng daàn ?
	 Gụùi yự: Quy ủoàng tửỷ roài so saựnh .
	 Baứi taọp 11: Tỡm caực soỏ nguyeõn x,y bieỏt: ?
	 Gụùi yự : Quy ủoàng maóu , ta ủửụùc 2 < 3x < 4y < 9
	 Do ủoự x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2.
	 Baứi taọp 12: So saựnh 
	 Giaỷi: Aựp duùng coõng thửực: 
	 Choùn laứm phaõn soỏ trung gian ,so saựnh > C > D.
	 Baứi taọp 13: Cho 
	a)Chửựng minh: M < N 
	b) Tỡm tớch M.N 
	c) Chửựng minh: 
	 Giaỷi: Nhaọn xeựt M vaứ N ủeàu coự 45 thửứa soỏ
	a)Vaứ	 neõn M < N
	b) Tớch M.N
	c)Vỡ M.N maứ M < N neõn ta suy ra ủửụùc : M.M <<
	tửực laứ M.M < . M < 
	 Baứi taọp 14: Cho toồng : .Chửựng minh: 
Giaỷi: Toồng S coự 30 soỏ haùng , cửự nhoựm 10 soỏ haùng laứm thaứnh moọt nhoựm .Giửừ nguyeõn tửỷ , neỏu thay maóu baống moọt maóu khaực lụựn hụn thỡ giaự trũ cuỷa phaõn soỏ seừ giaỷm ủi. Ngửụùc laùi , neỏu thay maóu baống moọt maóu khaực nhoỷ hụn thỡ giaự trũ cuỷa phaõn soỏ seừ taờng leõn.
	 Ta coự : 
	hay tửức laứ: Vaọy (1)
	 Maởt khaực: 
	 tửực laứ : Vaọy (2).
	 Tửứ (1) vaứ (2) suy ra :ủpcm.
II. CÁCH NHẬN DẠNG ĐỂ SO SÁNH HAI PHÂN SỐ 
1. So sỏnh hai phõn số cú cựng tử số hoặc cựng mẫu số.
 Vớ dụ 1: So sỏnh hai phõn số
 và 
 Trờn cơ sở học sinh đó biết cỏch so sỏnh hai phõn số cựng mẫu số ( hoặc cựng tử số) , giỏo viờn hướng dẫn học sinh đưa về dạng hai phõn số cú cựng tử số hoặc cựng mẫu số
Nhận xột:
- Tử số của hai phõn số cú quan hệ với nhau như thế nào? ( 12 = 6x2)
- Vậy phõn số bằng phõn số nào cú tử số là 12 ( = )
- Ta so sỏnh 2 phõn số nào với nhau ( và )
Cỏch giải: Ta thấy = 
 Vỡ > nờn > 
Vớ dụ 2: So sỏnh hai phõn số và 
Nhận xột: 
- Mẫu số của 2 phõn số cú quan hệ với nhau như thế nào? ( 75=25x3)
- Phõn số bằng phõn số nào cú mẫu số là 75 (=)
- Ta so sỏnh 2 phõn số nào với nhau ( và )
Cỏch giải: Ta thấy = 
Vỡ > nờn > 
2. So sỏnh với 1:
 Vớ dụ: So sỏnh hai phõn số và 
 Trờn cơ sở học sinh đó biết cỏch so sỏnh phõn số với 1. Giỏo viờn hướng dẫn học sinh so sỏnh như sau:
Vỡ 1 nờn < 
3. So sỏnh phần bự:
 Vớ dụ 3: So sỏnh hai phõn số và 
Nhận xột: = 1- 
 Mà 1- < 1- 
 Để so sỏnh hai phõn số trờn ta so sỏnh hai hiệu với nhau. Hai hiệu cú cựng số bị trừ nờn ta chỉ cần so sỏnh số trừ, số trừ càng lớn thỡ hiệu càng nhỏ và ngược lại.
 Vỡ > nờn 1- < 1- hay < 
 Từ cỏch giải trờn ta cũn cú cỏch giải khỏc. Phần bự tới 1 đơn vị của phõn số là: 1- = 
 Phần bự tới 1 đơn vị của phõn số là 1- = 
 Vỡ > nờn < ( phần bự càng lớn thỡ phõn số càng bộ và ngược lại)
Bài 1: So sánh .
 a) và ; b) và 
 Hướng dẫn : 
 a) = = 1 - ; = 1 - 
 b) = 1 + = 1 + ; = 1 + 
 Bài 2: Cho a , b , m N*. Hãy so sánh với .
 Hướng dẫn : Ta xét ba trường hợp =1 ; 1.
 a) Trường hợp : = 1 a = b thì = = 1
 b) Trường hợp : < 1 a < b a + m = b + m
 = 1 - ; = 1 - 
 c) Trường hợp : > 1 a > b a+m > b + m ...... 
4. So sỏnh phần thừa
Vớ dụ: So sỏnh hai phõn số và 
Cỏch giải: 
Vỡ = 1 + ; = 1 + 
 Để so sỏnh hai phõn số đó cho ta so sỏnh hai tổng. Hai tổng cú một số hạng bằng nhau, tổng nào cú số hạng cũn lại lớn hơn thỡ lớn hơn và ngược lại.
Vỡ > nờn 1 + > 1 + hay là > 
5. So sỏnh với phõn số trung gian:
 Vớ dụ: So sỏnh hai phõn số và 
 Để so sỏnh hai phõn số trờn ta phải tỡm ra một phõn số trung gian cú tử số là tử số của phõn số thứ nhất và mẫu số là mẫu số của phõn số thứ hai ( hoặc ngược lại)
Cỏch giải: Chọn phõn số trung gian là 
Ta thấy: > 
 > nờn > .
 II. CÁCH NHẬN DẠNG:
 1.Nếu hai phõn số và mà b - a = d - c ( hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phõn số bằng nhau) thỡ ta so sỏnh phần bự.
 2. Nếu hai phõn số và mà a - b = c - d (hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phõn số bằng nhau) thỡ ta so sỏnh phần thừa
 3. Nếu hai phõn số và khụng thuộc hai dạng trờn :
 Trong đú a>c và bd (tử phõn số này lớn hơn tử số phõn số kia đồng thời mẫu phõn số này bộ hơn mẫu phõn số kia hoặc ngược lại) thỡ ta chọn phõn số trung gian.
 Khi chọn phõn số trung gian ta cú hai cỏch chọn:
 Cỏch 1: chọn tử số của phõn số thứ nhất làm tử số của phõn số trung gian và mẫu số của phõn số thứ hai làm mẫu số của phõn số trung gian.
 Cỏch 2: chọn tử số của phõn số thứ hai làm tử số của phõn số trung gian và mẫu số của phõn số thứ nhất làm mẫu số của phõn số trung gian.
 4. Nếu hai phõn số và khụng thuộc ba dạng trờn thỡ ta làm như sau:
 + Nhõn cả tử và mẫu của một phõn số với cựng một số tự nhiờn để đưa về cựng tử số, cựng mẫu số để so sỏnh
 + Nhõn cả tử và mẫu của một phõn số với cựng một số tự nhiờn để đưa về ba dạng trờn.
Vớ dụ 1: So sỏnh hai phõn số và 
 Ta thấy hai phõn số này khụng thuộc cỏc dạng trờn. Để so sỏnh dễ dàng ta nhõn cả tử số và mẫu số của phõn số với 4
Ta cú: = 
Ta so sỏnh hai phõn số và 
Chọn phõn số trung gian là hoặc để so sỏnh 
Vớ dụ 2: So sỏnh hai phõn số và 
Ta cú = 
Ta so sỏnh hai phõn số và bằng cỏch so sỏnh phần bự.
 Vớ dụ 3: So sỏnh hai phõn số với 
Ta nhõn cả tử số và mẫu số của với 5
Ta cú = 
Ta so sỏnh với bằng cỏch so sỏnh phần thừa.
Tỡm phần bự, phần thừa tới phõn số trung gian để so sỏnh:
 Vớ dụ 4: So sỏnh hai phõn số và 
Chọn phõn số trung gian là 
 = 
Vỡ < và < nờn < 
Baứi taọp 1: So saựnh caực phaõn soỏ sau baống caựch hụùp lyự:
	(Gụùi yự: a) Quy ủoàng tửỷ c) Xeựt phaàn buứ , chuự yự :
	d)Chuự yự: Xeựt phaàn buứ ủeỏn ủụn vũ 
	e)Chuự yự: phaàn buứ ủeỏn ủụn vũ laứ:)
Baứi taọp 2: Khoõng thửùc hieọn pheựp tớnh ụỷ maóu , haừy duứng tớnh chaỏt cuỷa phaõn soỏ ủeồ so saựnh caực phaõn soỏ sau: 
Hửụựng daón giaỷi:Sửỷ duùng tớnh chaỏt a(b + c)= ab + ac
+Vieỏt 244.395=(243+1).395=243.395+395
+Vieỏt 423134.846267=(423133+1).846267=
+Keỏt quaỷ A=B=1
(Gụùi yự: laứm nhử caõu a ụỷ treõn ,keỏt quaỷ M=N=1,P>1)
Baứi taọp 3: So saựnh 
Gụùi yự: 7000=7.103 ,ruựt goùn 
Baứi taọp 4: So saựnh 
Gụùi yự: Chổ tớnh 
Tửứ ủoự keỏt luaọn deó daứng : A < B
Baứi taọp 5:So saựnh ?
Gụùi yự: 1919=19.101 & 191919=19.10101 ; Keỏt quaỷ M>N
	Mụỷ roọng : 123123123=123.1001001 ;..
Baứi taọp 6: So saựnh 
	Gụùi yự: +Caựch 1: Sửỷ duùng ; chuự yự : 
	 +Caựch 2: Ruựt goùn phaõn soỏ sau cho 101.
Baứi taọp 7: Cho a,m,n N* .Haừy so saựnh : 
	 Giaỷi: 	
	 Muoỏn so saựnh A & B ,ta so saựnh & baống caựch xeựt caực trửụứng hụùp sau:
Vụựi a=1 thỡ am = an A=B
Vụựi a0:
Neỏu m= n thỡ am = an A=B
Neỏu m< n thỡ am < an A < B
Neỏu m > n thỡ am > an A >B
Baứi taọp 8: So saựnh P vaứ Q, bieỏt raống: ?
	Vaọy P = Q
Baứi taọp 9: So saựnh 
	Giaỷi: Ruựt goùn 
	Vaọy M = N
Baứi taọp 10: Saộp xeỏp caực phaõn soỏ theo thửự tửù taờng daàn ?
	 Gụùi yự: Quy ủoàng tửỷ roài so saựnh .
Baứi taọp 11: Tỡm caực soỏ nguyeõn x,y bieỏt: ?
	 Gụùi yự : Quy ủoàng maóu , ta ủửụùc 2 < 3x < 4y < 9
	 Do ủoự x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2.
 Baứi taọp 12: So saựnh 
	 Giaỷi: Aựp duùng coõng thửực: 
	 Choùn laứm phaõn soỏ trung gian ,so saựnh > C > D.
Baứi taọp 13: Cho 
	a)Chửựng minh: M < N b) Tỡm tớch M.N c) Chửựng minh: 
	 Giaỷi: Nhaọn xeựt M vaứ N ủeàu coự 45 thửứa soỏ
	a)Vaứ	 neõn M < N
	b) Tớch M.N
	c)Vỡ M.N maứ M < N neõn ta suy ra ủửụùc : M.M <<
	tửực laứ M.M < . M < 
Baứi taọp 14: Cho toồng : .Chửựng minh: 
Giaỷi: Toồng S coự 30 soỏ haùng , cửự nhoựm 10 soỏ haùng laứm thaứnh moọt nhoựm .Giửừ nguyeõn tửỷ , neỏu thay maóu baống moọt maóu khaực lụựn hụn thỡ giaự trũ cuỷa phaõn soỏ seừ giaỷm ủi. Ngửụùc laùi , neỏu thay maóu baống moọt maóu khaực nhoỷ hụn thỡ giaự trũ cuỷa phaõn soỏ seừ taờng leõn.
	 Ta coự : 
	hay tửức laứ: Vaọy (1)
	 Maởt khaực: 
	 tửực laứ : Vaọy (2).
	 Tửứ (1) vaứ (2) suy ra :ủpcm.
Bài 15: Chứng tỏ rằng: .
 Hướng dẫn:
 Từ .
 =.
 Từ đó ta thấy:
 Có 15 phân số).
 (Có 15 phân số).
 Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài 16: So sánh:
 a, ()7 với ()6. b, ()5 với ()3.
 Hướng dẫn:
 a , (
 (.
 b, 
 .