Sáng kiến kinh nghiệm - Tìm hai số tự nhiên qua UCLN, BCNN và mối quan hệ đặc biệt giữa UCLN với BCNN

Bài toán
Tìm hai số tự nhiên qua UCLN, BCNN và mối quan hệ đặc biệt giữa UCLN với BCNN
A. Đặt v ấn đề.
Môn toán là mộ bộ môn giúp học sinh phát triển tư duy lô gíc, lý luận chặt chẽ, nó cũng là bộ môn cơ bản giúp học sinh phát triển trí thông minh, khả năng sáng tạo và linh động trong lúc giải các bài toán.
Trong chương trình toán THCS, đặc biệt là chương trình số học 6, sau khi học các khái niệm, kiến thức về ƯCLN, BCNN chúng ta sẽ gặp dạng toán tìm 2 số tự nhiên biết một số yếu tố có liên quan đến ƯCLN, BCNN hoặc biết mộ số yếu tố có liên quan đến ƯCLN, BCNN hoặc biết mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN với BCNN. Chẳng hạn bài toán:
	Tìm hai số tự nhiên biết: a + 2b = 48 và ƯCLN (a,b) + 3BCNN (a, b) = 144 hoặc bài toán: Tìm hai số tự nhiên: BCNN (a, b) + ƯCLN (a,b) = 55 và rất nhiều bài toán nữa. Với những bài toán dạng trên học sinh gặp phải khó khăn và lúng túng trong cách giải, thậm chí không giải được. Để giúp các em giải quyết vấn đề này chúng ta phải làm gì?
Không có con đường nào khác là giáo viên phải hướng dẫn cho học sinh các cách giải những loại bài toán này một cách hợp lý thì học sinh mới giải quyết được những khó khăn và lúng túng mắc phải, từ đó thêm yêu thích và say mê học tập.
	Trong quá trình giảng dạy môn toán 6 tôi nhận thấy: Trong chương trình chính khoá không đề cập đến dạng toán này, có chăng chỉ ở bài tập. Trong giảng dạy giáo viên và học sinh cũng không có thời gian đề cập đến. Trong khi đó dạng toán này lại xuất hiện trong các kỳ thi, trong chương trình giải toán qua mạng internet và đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi huyện, tỉnh 
	Do đó tôi nhận thấy cần phải làm gì giúp các em không gặp khó khăn lúng túng khi đứng trước những bài toán đó. Đặc biệt hơn là qua đó để phát triển và bồi dưỡng những em có năng khiếu toán học là nhân tài tương lai cho đất nước.
	Vì vậy ở đây tôi xin đề cập đến một số dạng toán cơ bản có liên quan đến ƯCLN, BCNN và mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN với BCNN để bạn đọc tham khảo và mong muốn lớn hơn là giúp học sinh áp dụng để giải được các bài toán tương tự dạng trên từ đó các em thêm say mê nghiên cứu và yêu thích toán học.
b. giải quyết vấn đề.
i. Cơ sở lý luận
Dạng toán mà tôi nói ở trên là một phương tiện giúp học sinh phát triển tư duy lôgíc, rèn luyện các kỷ năng phân tích, tổng hợp Đặc biệt khi giải các bài toán này học sinh phải vận dụng các kiến thức của môn học từ đó khơi dậy tính hứng thú cho học sinh trong học tập.
Qua việc dạy toán, dạy nâng cao và bồi dưỡng học sinh giải toán 6. Qua nhiều cuộc thi học sinh giỏi các năm, qua giải toán trên mạng internet tôi nhận thấy dạng toán này thường được đề cập đến. Đặc biệt là có nhiều bài toán khó. Vì vậy tôi chọn đề tài này để viết thành sáng kiến kinh nghiệm.
Ii. Cơ sở thực tiễn.
1. Thực trạng
Để giải những dạng toán nói trên đối với học sinh các em gặp khó khăn lúng túng không giải được vì các em chưa biết cách giải. Trong chương trình học chính khoá của các em cũng chưa hướng dẫn cách giải cho dạng toán này. Do đó khi đưa ra bài toán: Tìm 2 số tự nhiên biết a + 2b = 48 và ƯCLN (a,b) + 3.BCNN(a,b) = 114. Học sinh nhiều em không giải được và cũng không có hướng giải quyết vấn đề này.
2. Số liệu điều tra,
Khi đưa ra bài toán trên cho học sinh giải. Kết quả cho thấy như sau:
Lớp
Tổng số HS
Giải được
Không giải được
6A 
32
1%
99%
6B 
31
0%
100%
iii. các giải pháp
Để giúp học sinh giải được bài toán trên và các bài toán có dạng tương tự trên, bản thân tôi đã tiến hành như sau:
1. Cung cấp cho học sinh các kiến thức có liên quan.
a) Kiến thức ở sách giáo khoa toán 6 có liên quan.
- Bội – ước: Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b ta nói a là bội của b, còn b là ước của a.
* Ước chung (ƯC): Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
* Bội chung (BC): Bội chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
* ƯCLN của 2 hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ƯC của các số đó.
* Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.
b) Kiến thức nâng cao:
+ Cho ƯCLN (a, b) = d. Nếu chia a và b cho d thì thương của chúng là những số nguyên tố cùng nhau.
* Mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN của 2 số a, b (kí hiệu (a,b)) và BCNN của 2 số a, b (kí hiệu [a, b]) với tích của 2 số a và b là:
	a . b = (a, b) . [a, b].
* Chứng minh: Đặt (a, b) = d ị a = md và b = nd. Với m, n ẻ N*, (m. n) = 1. Từ (I) ị ab = mnd2; [a, b] = mnd ị (a, b) . [a, b] = d . (mnd) = mnd2 = ab. 
Vậy ab = (a, b) [a, b].	(ĐPCM)
2. Giải một số bài toán mẫu:
Dạng 1: Biết (a, b) và [a, b] tìm a và b.
Bài 1: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết (a, b) = 15; [a, b] = 300
Giải
	Sử dụng mối quan hệ giữa a.b = (a, b) . [a, b] ta có:
	Ab = 300 . 15 = 4500	(1)
* Do vai trò của a, b như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a < b. Vì (a, b) = 15 nen a = 15m, b = 15n (m, n) = 1 và m < n.
	Từ (1) suy ra: 15m . 15n = 4500 nên m . n = 20.
	Lập bảng ta có:
m
n
a
b
1
20
15
300
4
5
60
75
Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 15 vf 300; 60 và 75
Dạng 2: Biết tích của 2 số a và b và [a, b] hoặc (a, b).
Bài 2: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: ab = 216 và (a, b) = 6
Giải
Giả sử a >b vì (a, b) = 6 ị a = 6m; b = 6n với m, n ẻ N*, (m, n) = 1; m < n khi đó ab = 6m . 6n = 36mn, do ab = 216 nên 216 = 36mn ị mn = 6
	Lập bảng
m
n
a
b
1
6
6
36
2
3
12
18
	Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 6 và 36; 12 và 18
	Bài 3: Tìm 2 số tự nhiên a và ba biết: ab = 180; [a, b] = 60
Giải
	Từ ab = (a,b) [a, b] ị (a, b) = 
	Giả sử a < b, vì (a, b) = 3 nên a = 3m, b = 3n với m, n ẻ N*
	(m, n) = 1 vaf m < n. Suy ra ab = 3m . 3n = 9mn vì ab = 180 nên 180 = 9mn ị mn = 20.
	Lập bảng:
m
n
a
b
1
20
3
60
4
5
12
15
	Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 3 và 60; 12 và 15.
	Dạng 3: Biết tổng hoặc hiệu của 2 số a, b và [a, b] hoặc (a, b)
	Bài 4: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a + b = 128 và (a, b) = 16
Giải
	Giả sử a < b khi đó a = 16m; b = 16n với m, n ẻ N*, (m, n) = 1; m < n vì a + b = 128 nên 16m + 16n = 128 ị 16 (m + n) = 128 ị m + n = 8.
	Lập bảng:
m
n
a
b
1
7
16
112
3
5
48
80
	Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 16 và 112; 48 và 80
	Bài 5: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a + b = 42 và [a, b] = 72.
	Đặt (a, b) = d suy ra a = md, b = nd với m, n ẻ N*; (m, n) = 1. Giả sử a < b khi đó m < n. Do đó a + b = d(m + n) = 42	(1)
	[a, b] = dmn = 72	(2)
	Từ (1) vf (2) ị d ẻ ƯC (42, 72) mà ƯCLN (42, 72) = 6 ị d ẻ Ư(6) nên d ẻ {1; 2; 3; 6}.
	Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có d = 6 là thoả mãn.
	Suy ra: m + n = 7 và m . n = 12
	Chỉ có m = 3 và n = 4 là thoả mãn. Khi đó a = 18 và b = 24. Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 18 và 24.
	Bài 6: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a,b < 200 và a-b = 90; (a, b) = 15.
Giải
	Vì (a, b) = 15 nên a = 15m, b = 15n với (m, n) = 1 và m > n
	Do a = 15m < 200 nên m < 14.
	Ta lại có a – b = 90 ị 15 (m – n) = 90 ị m – n = 6
	Lập bảng:
m
n
a
b
13
7
195
105
11
5
165
75
7
1
105
15
	Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: a = 195	a = 165	a = 105
	b = 105	b = 75	b = 15
	Bài 7: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a – b = 7 và [a, b] = 140
Giải
	Đặt (a, b) = d suy ra a = md, b = nd với m,n ẻ N*; (m, n) = 1
	Do đó:	a – b = d (m – n) = 7	(1) (a > b ị m > n)
	[a, b] = mnd = 140	(2)
	Từ (1) và (2) ị d ẻ ƯC (7, 140) mà ƯCLN (7, 140) = 7 ị d ẻ Ư(7) = {1, 7}.
ị
	Thay các giá trị của d và (1) và (2) để tính m, n ta được kết quả duy nhất: d = 7 và m – n = 1	m = 5	khi đó	a = 35
	 m.n = 20	n = 4	b = 28
	Vậy 2 số tự nhiên cần tìm là: a = 35; b = 28
	Dạng 4: Biết thương của a, b và ƯCLN hoặc BCNN
	Bài 8: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết và (a, b) = 5
	Do (a, b) = 5 ị a = 5m, b = 5n với m, n ẻ N*, (m, n) = 1 nên vì (m,n) = 1 nên m = 13, n = 5. Khi đó a = 13.5 = 65; b = 5.5 = 25
	Vậy 2 số cần tìm là: a = 65; b = 25
	Bài 9: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: và [a, b] = 140
Giải
	Đặt (a, b) = d ị a = m.d, b = nd với (m, n) = 1 . m,n ẻ N*
	ị
	Và (m,n) = 1 ị m = 4; n = 5
	Mặt khác: [a, b] = m.nd ị 140 = 4.5.d ị d = 7
	Lúc đó a = 4.7 = 28; b = 5.7 = 35
	Vậy 2 số cần tìm là a = 28; b = 35
Dạng 5: Tổng hợp
Bài 10: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a + 2b = 48 và (a, b) + 3 [a, b] = 114.
Giải
	Đặt (a, b) = d ị a = dm; b = dn với (m, n) = 1 và [a, b] = dmn.
	a + 2b = 48 ị d (m + 2n) = 48	(1)
	(a, b) + 3 [a, b] ị d (1 + 3mn) = 144	 	(2)
	ị Từ (1) và (2) ị d ẻ ƯC (48, 144) mà ƯCLN (48, 144) = 6
	ị d ẻ Ư(6) = {1; 2; 3; 6} lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và 92) ta thấy chỉ có d = 6 là thoả mãn.
	Lập bảng:
m
n
a
b
2
3
12
18
6
1
36
6
	Vậy 2 số cần tìm là: a = 12 và b = 18; a = 36 và b = 6
	Bài 11: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: [a, b] + (a, b) = 55
Giải
	Đặt (a, b) = d khi đó: a = dm, b = dn (m, n) = 1
	Giả sử a < b ị m < n
	Từ ab = (a, b) [a, b] ị [a, b] = 
	Theo bài ra ta có: dmn + d = 55 hay d(mn + 1) = 55 ị mn + 1 ẻ Ư(55).
	Mặt khác mn + 1 > 2. Ta có bảng
d
mn + 1
mn
m
n
a
b
11
5
4
1
4
11
44
5
11
10
1
10
5
50
2
5
10
25
1
55
54
1
54
1
54
2
27
2
27
	Vậy các cặp số tự nhiên a và b cần tìm là: (11, 44), (5, 10); (10, 25), (1, 54), (2, 27)
	Bài 12: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a + b = 30, [a, b] = 6(a, b)
Giải
	Đặt (a, b) = d thì a = em, b = dn với (m,n) = 1. Do đó ab = d2mn
	ị d.6d = d2mn ị m.n = 6
	Giả sử a < b thì m < n
	Ta có bảng:
m
n
1
6
2
3
	Mặt khác: a + b = d(m + n) nên
	30 = d(m+n) do đó m + n là ước của 30.
	Nên chỉ có m = 2, n = 3 khi đó 30 = d (2 + 3) ị d = 6
	Do đó a = 6 . 2 = 12; b = 6 . 3 = 18
	Vậy 2 số cần tìm là 12 và 18.
Bài tập tự giải
	(1) tìm 2 số tự nhiên a và b, biết.
	a) 1 b = 360, [a, b] = 60
	b) (a, b) = 12, [a, b] = 72
	c) (a, b) = 6, [a, b] = 180
	d) (a, b) = 15, [a, b] = 2100 (a, b)
	e) ab = 180, [a, b] = 20 (a, b)
	(2). Tìm phân số có giá trị bằng
	a) , biết BCNN (a,b) = 300
	b) , biết ƯCLN (a, b) = 30
	c) , biết ƯCLN (a, b) BCNN (a, b) = 3549
	(3). Tìm 2 số tự nhiên a và b biết:
	a) [a, b] – (a, b) = 5
	b) [a, b] – (a, b) = 35
	iv. kết quả.
	Với việc áp dụng kinh nghiệm này vào dạy nâng cao và bồi dưỡng học sinh giỏi, trong các năm học qua tôi thấy thực sự có hiệu quả. Từ các toán mẫu học sinh đã giải được thành thạo các bài toán dạng tương tự thường gặp qua đó nâng cao được kỷ năng.
	Cụ thể:
	Trong dạy nậng cao 2 lớp 6A, 6B và bồi dưỡng học sinh giỏi. Sau khi tôi đã hướng dẫn cho học sinh cách giải và qua bài tập mẫu thì nhiều học sinh biết áp dụng và giải được các bài toán trên và cá bài toán tương tự.
	Kết quả thu được:
Lớp
Số học sinh
Giải được
Không giải được
6A
32
53%
47%
6B
31
41%
59%
c. kết luận
	Trên đây là một số dạng bài toán tìm 2 số tự nhiên biết ƯCLN, BCNN hoặc biết một số yếu tố liên quan đến mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN với BCNN. Mặc dù đây là một dạng toán khó, nhiều em không giải được nhưng sau khi hướng dẫn học sinh giải theo cách trên và phân loại chúng thành từng dạng liên kết thành một chuỗi thì nhiều em đã giải được. Với kinh nghiệm này chắc chắn nó sẽ giúp các em ham đọc làm giàu thêm vốn kiến thức của mình.
Tuy nhiên với thời gian có hạn, vốn kinh nghiệm còn ít chắc chắn không tránh khỏi sai sót. Do đó tôi rất mong đón nhận được nhiều ý kiến đóng góp của bạn đọc để hoàn chỉnh hơn kinh nghiệm của mình.
Phòng giáo dục - đào tạo lộc hà
Sáng kiến kinh nghiệm
Đề tài : 
Bài toán: Tìm hai số tự nhiên qua ưcln, bcnn và mối quan hệ đặc biệt giữa ưcln với cbnn
_____ Tháng 04 năm 2010 _____