Sáng kiến kinh nghiệm - Rèn luyện kĩ năng tính nhẩm - Năm học 2010-2011 - Lê Văn Thăng

 Phòng Giáo Dục và Đào Tạo Mỹ Đức
Trường THCS Tuy Lai
 ---------------@&?---------------
Sáng Kiến Kinh Nghiệm
Đề tài:
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH NHẨM
********
Họ và tên giáo viên: Lê văn Thăng
Tổ chuyên môn: Khoa học tự nhiên
Năm học: 2010 - 2011
I. KHÁI QUÁT NỘI DUNG CHÍNH .
 A. ĐẶT VẤN ĐỀ 
- Vai trò, tác động của toán học với đời sống, với các ngành khoa học kỹ thuật .
- Vị trí của môn toán trong trường THCS.
- Khả năng học toán của các em ở trường THCS hiện nay.
- Do yêu cầu của đổi mới phương pháp: “Thầy chủ đạo , trò chủ động”.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
 1. Ý tưởng đi nghiên cứu đề tài từ một bài toán thực tế với cách giải độc đáo được đúc rút từ sự vận dụng linh hoạt của các nội dung cơ bản của chương trình.
 2. Phương pháp dạy học của thầy, cách tìm tòi thực nghiệm để đúc rút ra các dạng vận dụng kiến thức cơ bản vào làm phép tính nhẩm.
 3. Mười dạng bài tập khác nhau, mỗi dạng đều nêu ví dụ cụ thể, cơ sở của cách làm, tại sao làm như vậy.
Dạng 1 : Nhẩm bình phương của một số có chữ số tận cùng là 5.
Dạng 2 : Vận dụng hằng đẳng thức ( a + b )2 vào làm phép tính nhẩm.
Dạng 3 : Nhẩm bình phương của một số lớn hơn 50 một chút.
Dạng 4 : Nhẩm căn bậc hai của một số chính phương. 
Dạng 5 : Nhẩm tích hai số nhỏ hơn 100 một chút.
Dạng 6 : Nhân nhẩm tích của hai số lớn hơn 100.
Dạng 7 : Nhẩm tích của hai số có bốn chữ số mà chữ số hàng nghìn, hàng trăm giống nhau. Tổng chữ số hàng chục và hàng đơn vị của hai thừa số là 100.
Dạng 8 : Tính nhanh một số biểu thức.
Dạng 9 : Dãy các phân thức viết theo quy luật.
Dạng 10 : Nhận xét, đề xuất cách giải một số dạng toán khác.
C. KẾT QUẢ THỰC HIỆN - BÀI HỌC KINH NGHIỆM .
 - Kết quả qua 1 số năm giảng dạy gần đây.
 - Bài học rút ra qua đề tài.
II. NỘI DUNG CHI TIẾT .
 A. ĐẶT VẤN ĐỀ
 Trong thời đại công nghiệp hoá, hiện đại hoá ngày nay, một trong những điểm đáng chú ý của cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật đang diễn ra nhanh như vũ bão hiện nay là sự thâm nhập ngày càng nhiều của máy tính điện tử, của công nghệ thông tin vào các ngành khoa học khác mà chìa khoá của nó là toán học.
 Toán học không chỉ xâm nhập vào các ngành khoa học tự nhiên và kỹ thuật mà còn vào cả sinh học, ngôn ngữ học, tâm lý học, xã hội học.
 Trong sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá ở nước ta hiện nay, toán học giữ một vị trí nổi bật. Nó có tác dụng rất lớn đối với các nghành khoa học khác, đối với kỹ thuật, sản xuất, chiến đấu. Trong trường THCS môn toán có vị trí vô cùng quan trọng. Nó có khả năng to lớn để thực hiện mục tiêu giáo dục: “Nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân lực, đào tạo nhân tài”. Môn toán là công cụ thiết yếu giúp các em học tốt môn học khác, giúp các em phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ. Chúng ta đều biết: Một trong những yêu cầu của việc dạy học sinh học toán là tạo cho các em có phương pháp tư duy, óc sáng tạo, khả năng lập luận, kỹ năng tính toán hợp lý, trình bày bài khoa học, rõ ràng. Tuy nhiên trong các trường THCS hiện nay, đặc biệt là các vùng nông thôn tình trạng các em học yếu toán, sợ toán không phải là ít, kiến thức toán học hời hợt, thiếu vững chắc. Nhiều em nghĩ toán học khô khan, hóc búa, học toán đau đầu. Trước một bài toán nhiều em không biết bắt đầu từ đâu? Làm thế nào? Nếu giáo viên càng thuyết trình thì học sinh càng thụ động. Do đó các em càng sợ, càng yếu, không nắm được các kiến thức cơ bản.
 Trước yêu cầu của đổi mới phương pháp: “Thầy chủ đạo, trò chủ động”, làm thế nào để củng cố đào sâu suy nghĩ và rèn luyện tư duy toán học. Làm thế nào để giúp các em độc lập suy nghĩ, xây dựng ý thức tự giác trong học tập? Câu hỏi này luôn làm tôi băn khoăn suy nghĩ để rồi qua đó tự tìm hiểu, nghiên cứu cách thức phương pháp, trong đó tôi thấy phương pháp sử dụng phép tính nhẩm là tâm đắc. Tôi đem trao đổi cùng anh chị em đồng nghiệp, cùng họ mang đi thực nghiệm trong thực tế giảng dạy. Và chúng tôi đều thấy kết quả thu được rất khả quan. 
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
1a) Khi bồi dưỡng cho các em giỏi toán, tôi đã cho các em làm bài tập sau : 
 Tính giá trị của biểu thức : 
 A = + - .
 Trong khi đại đa số các em khác dùng máy tính để tính giá trị của biểu thức A . Tôi quan sát không thấy em Kiên làm bài mà chỉ ngồi suy ngẫm, sau đó em hỏi tôi ngay: “Thưa Thầy A = 1”. Nhiều em ngỡ ngàng không tin vì em nói ngay đáp số mà không cần dùng máy tính, không làm nháp. Em trình bày nhận xét của mình:
 Em nhận thấy và 0,8 là hai số nghịch đảo của nhau vì : 
 = ; 0,8 = => = 1 .
	* 20,04 . 2211 = 2004 . 22,11 => = 1
	* 2,003 : 95,9 = 20,03 : 959 => = 1
 Do đó A = 1 +1 -1 => A = 1
 Qua lời giải trên đã xác định được sự linh hoạt của em Kiên dựa vào những kiến thức cơ bản và vận dụng một cách sáng tạo những nội dung sau đây của toán học:
 + Quan hệ giữa các thừa số với kết quả của phép nhân ( chia ).
 + Quy tắc biểu diễn hỗn số bằng phân số.
 + Rút gọn phân số.
 + Quy tắc nhân phân số ( xác định số nghịch đảo của nhau ).
 + Thứ tự thực hiện các phép tính .
1b) Khi luyện tập giải toán : Không phải em nào cũng thấy ngay vai trò của phép tính nhẩm, không phải thích thú ngay với phép tính nhẩm. 
 Nhiều em cho rằng trong thời đại công nghệ thông tin điện tử chỉ cần bấm máy tính là xong, không cần tính nhẩm làm gì cho đau đầu. Để giúp các em bỏ quan điểm này tôi yêu cầu các em nghiên cứu để giải các bài toán mà nhiều khi tính nhẩm còn nhanh hơn bấm máy. Chẳng hạn những bài toán sau:
 	 1) Tìm a Î N biết : = 36 .
	2) Tính tích : +/ ( a2+ a + 1 ) ( a2 - a - 1 ) .
	 +/ ( a + 1 )(	 + ) .
	3) Tính giá trị của biểu thức :
 A = 
 B = ( 100 - 12 ) ( 100 - 22 ) ( 100 - 252)
 Lời giải bài toán trên thực ra không có gì khó nếu như không có yêu cầu tính nhẩm, tìm tòi lời giải nhanh nhất, đơn giản nhất. Để giúp các em thực hiện được các yêu cầu đề ra tôi yêu cầu các em thực hiện đúng quy trình sau:
	+ Ở nhà : Cá nhân tự nghiên cứu, đề xuất cách giải .
	+ Đến lớp : Tiết 1 : Thảo luận cách giải trong từng nhóm.
	 Tiết 2 : Thảo luận cách giải hay của từng nhóm. 
	 Tiết 3 : Áp dụng cách giải hay đó vào các bài toán 
 khác.
 Chẳng hạn vào ba ví dụ sau đây .
 * Ví dụ 1 : Tính nhẩm nghiệm nguyên, dương của phương trình có dạng x ( x + 1 ) = p hay ( x - 1 ) x = q 
 Cụ thể : Tính nhẩm nghiệm nguyên, dương của phương trình:
 ( x - 3 ) ( x + 5 ) = 65. 
 Ta thấy x nguyên , dương nên x + 5 > x - 3; 
 5 . 13 = 65 
 Þ x - 3 = 5 ( hoặc x + 5 = 13 ) 
 => x = 8.
 * Ví dụ 2 : Phân tích đa thức 12a2 - 15 ab + 3b2 ra thừa số để từ đó rút ra cách phân tích đa thức có dạng : Số hạng ở giữa có hệ số là đối của tổng các hệ số của hai số hạng còn lại hoặc tích các hệ số của hai số hạng bằng tích các hệ số của hai số hạng còn lại.
 * Ví dụ 3 : Áp dụng công thức nhân nhanh : chẳng hạn áp dụng 
 a2 = ( a - b ) ( a + b ) + b2 vào tính nhẩm 1152 , 352 ,
 Trong mỗi bài tập tôi luôn yêu cầu các em tự đặt ra và trả lời câu hỏi: “Tại sao làm như vậy?” , “Còn có cách nào ngắn hơn không?”
2. Không phải mọi học sinh đều tự giác làm bài, chịu khó suy nghĩ tìm lời giải hay. Bản thân người dạy phải lựa chọn phương pháp giảng dạy cho phù hợp để hướng các em vào mục tiêu do mình đề ra. Qua nghiên cứu và thực nghiệm, tôi đã lựa chọn phương pháp dạy như sau:
 + Để các em đào sâu suy nghĩ, tự giác học tập, người thầy cần dạy, đúng trọng tâm, kiến thức chính xác, ngôn ngữ truyền đạt trong sáng, có sức thuyết phục, phải xây dựng được không khí thầy trò cùng làm việc “Thầy chủ đạo, trò chủ động”.
 + Thầy trò cùng mạn đàm trao đổi để rồi thực hiện theo đúng quy trình đã được thống nhất trong tập thể. Cụ thể:
	a) Khi được cung cấp bài toán, trò cần tạo thói quen suy nghĩ: 
 bắt đầu từ đâu? (với đề bài toán). Phải làm gì? (Thấy được bài
 toán càng rõ ràng , càng sáng sủa càng tốt). Làm như thế tiện lợi
 gì? ( quen với bài toán ) .
	b) Khi hiểu rồi, cần đi sâu nghiên cứu xây dựng chương trình 
 ( Thầy dùng lời nhắc nhở, kiên nhẫn ).
	c) Thực hiện chương trình.
	d) Nhìn lại cách giải.
	e) Tìm cách giải khác. Các em cần luôn đặt câu hỏi: “Còn cách
 nào hợp lý hơn không ? Cách nào ngắn hơn ?”.
 Với bài 1 ở phần 1(b) : = 36 =>a( a - 1 ) = 72 
 => a2 - a - 72 = 0 
 + Ta có thể dùng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn này.
 + Tôi cho các em nhận xét a và a - 1 là hai số nguyên dương. Đó là hai số tự nhiên liên tiếp nhau và trong bảng nhân 9 ta có 9.8 = 72 
 => a = 9.
* Từ nhận xét này các em có thể dễ dàng giải phương trình dạng
 ( x - n )( x + m) = q . 
 Với bài 3 ở phần 1 (b) : 
 Tính ( a2 + a + 1 ) ( a2 - a - 1 ) . Vận dụng nhân hai đa thức các em có thể tính được kết quả . Nhưng nếu quan sát giữa các hạng tử ở hai đa thức đó ta có thể tính nhanh hơn 
 [ a2 + ( a + 1 ) ] [ a2 - ( a + 1 ) ] = a4 - a2 - 2a - 1 . 
 Tương tự : 
( a + 1 ) ( + ) = + = với a ¹ 1
 Thông qua bài tập ta thấy được tác dụng của phép tính nhẩm trong việc giúp các em đào sâu suy nghĩ, rèn luyện tư duy toán học. Làm thế nào để các em tự đề suất cách giải nhanh? Đây là vấn đề nan giải, nó tuỳ thuộc vào sự linh hoạt, nhanh nhẹn, sáng tạo của trò. Tuy vậy để phần nào tạo ra sự linh hoạt, sự hứng thú với môn toán tôi đã cung cấp cho các em một số thủ thuật để các em có thể tính nhẩm được. Các thủ thuật đó được rút ra dưới một số dạng sau đây:
Dạng 1: Nhẩm bình phương của những số có chữ số tận cùng là 5 . 
 Ví dụ : 152 = 225 .	1052 = 11025 .
	 352 = 1225 .	1152 = 13225 .
	 652 = 4225 .	1552 = 24025 .
	Nhận xét các kết quả trên :
	 + Hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị bao giờ cũng là 25 .
	 + Các chữ số còn lại là tích của các số trước số 5 với số tự nhiên liên tiếp đứng đằng sau nó .
	Chẳng hạn số 3 có số liên tiếp đằng sau nó là 4 => 3.4 = 12 
 => 352 = 1225 .
	Số 10 có số liên tiếp đằng sau nó là 11 => 10.11 = 110 
 => 1052 = 11025 .
 Dạng 2: Vận dụng hằng đẳng thức ( a + b )2 vào làm phép tính nhẩm 
 1) Ví dụ 1 
 a) Tính 112 .
	 Ta có ( 1 + 1 )2 = 1 + 2 + 1
 	 Ta xoá các dấu cộng đi . Vậy 112 = 121 .
 b) Tính 132 . Ta có ( 1+3 )2 = 1 + 6 + 9 .
 	 => 132 = 169 .
 	 Tại sao làm được như vậy ?
 Sở dĩ ta làm được như vậy vì ta đã áp dụng : 
 ( )2 = ( 10a + b)2 = 100a2 + 10. 2ab + b2 .
	 Như vậy ta có b2 đơn vị , 2ab chục , a2 trăm. các dấu cộng mà ta xoá đi chính là vì ta đã biết nó thuộc hàng nào rồi .
2) Ví dụ 2
 a) Tính 232 
	Ta có ( 2 + 3 )2 = 4 + 12 + 9 .	 
 Nếu cứ máy móc ghi 232 = 4129 là sai? Tại sao sai? 
 Ta đã biết trong tập hợp các số tự nhiên, các chữ số thuộc một hàng nào đó phải nguyên dương, nhỏ hơn hoặc bằng 9. Nếu nó lớn hơn hoặc bằng 10 thì phải chuyển lên hàng đứng trước nó. Với ví  ... thì lưu ý hiệu hai số liên tiếp nhau luôn bằng 2 . 
 Ngoài ra muốn tính xem có bao nhiêu số lẻ ( hay chẵn ) chẳng hạn từ 1 đến 99 có bao nhiêu số lẻ ta làm như sau : + 1 = 50 số lẻ .
 3. Nếu gặp tích của nhiều thừa số, muốn tính nhanh ta áp dụng các tính chất cơ bản của phép nhân .
 4. Khi gặp một biểu thức có nhiều phép tính ta cần nhận xét các thành phần tham gia trong phép tính có gì chung , có gì đặc biệt  rồi áp dụng ba nhận xét trên vào tính toán cho hợp lý .
 Ví dụ 1 : Tính nhanh kết quả các biểu thức :
 a) 1272 + 146 . 127 + 732
 b) 98 . 28 - ( 184 + 1 ) ( 184 - 1 ) .
 c) 1002 - 992 + 982 - 972 +  + 22 - 12 .
 d) (202 + 182 + 162 +  +42 + 22 ) - (192 + 172 + 152 +  +32 + 12 ).
 e) 
 Ta làm như sau :
 a) Nhận xét 146 = 2 . 73 => Biểu thức chính là dạng khai triển của hằng đẳng thức : = a2 + 2ab + b2 
 1272 + 146 . 127 + 732 = 1272 + 2 . 127 .73 + 732 = (127 + 73 )2 
 = 2002 = 40 000 
 b) 98 . 28 - ( 184 + 1 ) ( 184 - 1 ) = (9 . 2 )8 - ( 188 - 1 )
	 = 188 - 188 + 1 = 1 .
 c) c) 1002 - 992 + 982 - 972 +  + 22 - 12 
= (1002 - 992)+ (982 - 972)+  + (22 - 12)
 =( 100 - 99 )( 100 + 99 ) + ( 98 - 97 )( 98 + 97) +...+ (2 - 1 )( 2 + 1 )
 = 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + 95 +  + 2 + 1 = 5050 .
 d) (202 + 182 + 162 + +42 + 22 ) - (192 + 172 + 152 + +32 + 12 ).
 = (202 - 192 ) + ( 182 - 172 ) + ( 162 - 152 ) +  + ( 22 -12 )
 = 20 + 19 + 18 + 17 +  + 2 + 1 = 210 .
 e)= = = 14
Ví dụ 2 : Tính nhanh
 a) 99 + 98 + 97 + 96 +  + 91 .
 b) 315 + 16 + 385 + 54 .
 c) 15768 - 13992 .
 d) 1 + 3 + 5 +  + 997 + 999 
 e) 99 - 97 + 95 - 93 +  + 7 -5 + 3 - 1 
 Ta làm như sau : 
 a) Cộng từng cặp số : 99 + 91 = 98 + 92= 97 + 93 = 96 + 94 = 190 được 4 cặp.
 Vậy 99 + 98 + 97 + 96 +  + 91 = 4 . 190 + 95 = 855.
 b) 315 + 385 = 700 ; 16 + 54 = 70 . 
 Vậy 315 + 16 + 385 + 54 = 770 .
 c) Áp dụng tính chất " hiệu của hai số không đổi khi ta cộng cùng một số vào số bị trừ và số trừ " . 
 => 15768 - 13992 = ( 15768 + 8 ) - (13992 + 8 ) =
	 = 15776 - 14000 = 1776 .
 d) 1 + 3 + 5 +  + 997 + 999 
 Các số hạng của tổng đều là số lẻ 
	999 + 1 = 997 + 3 =  = 499 + 501 = 1000 .
	Từ 1 đến 999 có 500 số lẻ tức là có tất cả 250 cặp số lẻ .
	Vậy 1 + 3 + 5 +  + 997 + 999 = 1000 . 250 = 250 000 .
 e) 99 - 97 + 95 - 93 +  + 7 -5 + 3 - 1 
Ta nhận thấy rằng hiệu của hai số lẻ liên tiếp bằng nhau và bằng 2 .
	Nghĩa là : 99 - 97 = 95 - 93 =  = 7 - 5 = 3 - 1 .
	Từ 1 đến 99 có 50 số lẻ chia làm 25 cặp .
	Vậy 99 - 97 + 95 - 93 +  + 7 -5 + 3 - 1 = 25 . 2 = 50 .
 Ví dụ 3 : Tính giá trị của các biẻu thức sau đây bằng phương pháp nhanh nhất .
 a) 36 ( 143 + 57 ) + 64 ( 143 + 57 ) .
 b) 28 . 101 .
 c) 491 ( 263 + 57 ) - 491 ( 153 + 67 ) .
 d) 12345 . 678910 ( 234234 . 233 - 233233 . 234 ) .
 e) 
 g) 
 h) 
 Tìm tòi lời giải : 
 a) Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng ta có thể viết : 36 ( 143 + 57 ) + 64 ( 143 + 57 ) = ( 143 + 57 ) ( 36 +64 ) .	 = 200 . 100 = 20 000 .
 b) Áp dụng tương tự ta có 28 .101 = 28 ( 100 +1 ) = 2800 + 28 
 = 2828
 c) 491 ( 263 + 57 ) - 491 ( 153 + 67 ) = 491 ( 263 + 57 - 153 - 67 ) .	 = 49 100 .
 d) Nhận xét các số hạng trong dấu ngoặc :
 234234 . 233 - 233233 . 234 = 234 . 1001 . 233 - 233 . 1001. 234 = 0 . Vậy 12345 . 678910 ( 234234 . 233 - 233233 . 234 ) = 0 .
 e) So sánh các hạng tử ở tử và mẫu :	 
= = 	
	= = = 76 .
 g) Nhận xét mỗi số hạng của tử đều gấp 3 lần số hạng tương ứng ở mẫu: 
 = 
 = = 3 
 h) Các số hạng ở tử , ở mẫu là bội của nhau :
 =	= 	 
 = = .
 Dạng 9 : Dãy các phân thức viết theo quy luật .
 Đây là dạng bài khó với các dãy phân thức có thể rút gọn phân thức , cũng có khi chứng minh hằng đẳng thức . Với dạng này tôi yêu cầu các em nhận xét để tìm mối liên quan giữa các thành phần tham gia phép tính để tìm ra quy luật chung giữa chúng . Qua đó có cách giải cho phù hợp . 
 Ví dụ 1 : Rút gọn các biểu thức sau đây : 
 A = . .  . ( n ³ 2 ) . 
 B = + + +  + 
Tôi đã hưóng dẫn các em làm như sau : 
 A = . . .  . 
 = . . .  .
 = . . . .
 = . 
 = . = .
 B = + + +  + 
 = - + - +  + - = 1 - = .
 Ví dụ 2 : Chứng minh các đẳng thức sau :
 a) + +  + = Với n ³ 1 .
 b) . +  + = . 
 Nhận xét - = .
 Đặt A = + + +  + 
 => 2A = + + +  + .
 = - + - + - +  + - 
	 = 1 - = => A = (n ³ 1) .
 Vế trái bằng vế phải . 
 Vậy đẳng thức đã được chứng minh . 
 b) Nhận xét:
 - = .
 Đặt B = + +  + 
 => 2B = + + +  + .
 = - + - +  + - .
 = - = = .
 Þ B = 
 Vế trái bằng vế phải . Vậy đẳng thức được chứng minh . 
 Dạng 10 : Nhận xét , đề xuất cách giải quyết một số dạng khác
 Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau : 
 a) + = + 
 b) + = + .
 c) + + + + 4 = 0
 Với các phương trình dạng này ta nhân hai vế của phương trình với mẫu số chung theo đúng thứ tự các bước giải phương trình thì rất phức tạp. Nên với các phương trình dạng này nếu cộng hoặc trừ số 1 vào mỗi phân thức thì các phân thức đó đều có tử số bằng nhau .
 a) + = + 
 =>( + 1 ) + ( + 1 ) = ( + 1) + ( + 1 ) .
 => + = + 
 => ( x + 2005 ) ( + - - ) = 0 .
 Vì + - - ¹ 0 => x+ 2005 = 0 
 	 Vậy x = - 2005
 b) + = + 
=> ( - 1 ) + ( -1) = ( -1 ) + ( - 1 ) 
 => + = + 
 => ( x - 2004 ) ( + - - ) = 0 . 
 Vì + - - ¹ 0 => x - 2004 = 0 . 
 Þ x = 2004 .
c)++++4=0
= > (+1)+(+ 1 ) +(+1) +(+1) = 0 
 = > + + + = 0 
 = > (2003 - x ) ( + + + ) = 0 . 
 Vì + + + ¹ 0 
 => 2003 - x = 0 .
 = > x = 2003 
Ví dụ 2 : Tính giá trị của các biểu thức sau : (câu 3 phần 1b )
	 A = 
 B = ( 100 - 12) ( 100 - 22)  ( 100 - 252) .
 Ta đi nhận xét : Vì trong các số mũ của A có tích 1.9.5.0 = 0 nên 
	 A = 20040 = 1 .
 B = 0 vì trong các tích có thừa số 100 - 102 = 0 .
Ví dụ 3 : a) Các tích sâu đây có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 .
	 A = 1 . 2 . 3 . 4 .  . 9.10 .
 B = 1.3.5.7.9.11 .
 b) Tích tất cả các số tự nhiên từ 7 đến 71 có tận cùng bằng
 chữ số nào .
 Nhận xét : Đặt C = 1 . 2. 3 . 4 . 6 .7 .8 .9 không thể có tận cùng là 
 chữ số 0 .
 Tích của C . 5 có tận cùng là 1 chữ số 0 . 
 C . 5 . 10 có tận cùng là 2 chữ số 0 .
 Vậy A = 1 . 2 . 3 . 4 .  . 9.10 có tận cùng là 2 chữ số 0 .
 B = 1.3.5.7.9.11 gồm toàn các số lẻ nên không thể có tận cùng là chữ số 0 .
 b) Trong tích 7.8.9.  .71 có thừa số có tận cùng là 0 như 10 , 20 , 30  nên tích này có chữ số hàng đơn vị là 0 .
 Ví dụ 4 : Tìm hai chữ số tận cùng của biểu thức :
 A = 75 ( 42003 + 42002 + + 42 + 4 + 1 ) + 25 .
 Giải : Để tìm hai chữ số tận cùng của A ta lấy A là tích của bội 25và các luỹ thừa của 4 . Mà 25 . 4 = 100, nên ta làm thế nào để xuất hiện 25.4. 
Ta phân tích như sau :
 A = 25 . 3 ( 42003 + 42002 + + 42 + 4 + 1 ) + 25 .
 = 25( 4 - 1 ) ( 42003 + 42002 + + 42 + 4 + 1 ) + 25 .
 = 25( 42004 + 42003 + + 42 + 4 - 42003 - 42002 -  - 42 - 4 - 1 ) + 25 .
 = 25 (42004 - 1 ) + 25 .
 = 25 (42004 - 1 + 1)
 = 100 . 42003 chia hết cho 100 .
Vậy 2 chữ số tận cùng của biểu thức A là hai chữ số 0
Ví dụ 5 : Chứng tỏ các số sau là số nguyên :
 và 
93 chữ số 0
94 chữ số 0
 Giải : Vì 1094 + 2 = + 2 = 2 3 .
 ( Vì tổng các chữ số chia hết cho 3 ) . Vậy là số nguyên .
93 chữ số 0
 Tương tự ta cũng có 1094 + 8 = 18 9 .
( Vì tổng các chữ số chia hết cho 9 )
 Nên là số nguyên . 
Ví dụ 6 : So sánh các số :
 a) A = 2003 . 2005 Và B = 20042 .
 b) A = và B = Với x > y > 0 .
 c) A = ( 3 + 1 ) (+ 1 ) (+ 1 ) ( + 1 )( + 1) Và B = - 1.
 Giải :
 a) Đặt x = 2004 , => B = 
 A = ( x - 1) ( x + 1 ) = -1 
 Vậy A < B .
 b) A = = = y > 0 . 
 Vậy A< B
c) ( 3 - 1 ) A = ( 3 - 1 ) ( 3 + 1 ) (+ 1 ) (+ 1 ) ( + 1 )( + 1)	 2A = - 1 = B.
 => A = = ;
 Vậy B = 2A hay B lớn gấp đôi A
C. KẾT QUẢ THỰC HIỆN VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
 Để giúp các em có hứng thú học bộ môn Toán, xây dựng ý thức tự giác trong học tập, củng cố đào sâu suy nghĩ, rèn luyện tư duy toán học tôi đã sử dụng và kết hợp nhiều phương pháp khác nhau trong giảng dạy. Với việc sử dụng phép tính nhẩm, phân dạng bài tập, tôi đã giúp các em thấy được các bài toán tưởng chừng phức tạp nhưng nếu biết quan sát, nhận xét sử dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản thì sẽ trở nên dễ dàng hơn. Nội dung trong bài viết tôi đã sử dụng trong nhiều năm với nhiều lớp được phân công giảng dạy: Qua thực nghiệm đều thấy rằng chất lượng học tập của các em được nâng lên rõ rệt. Không những các em vận dụng tính nhẩm trong Toán mà còn ở cả các môn: Lý, Hoá, Do vậy thi học sinh giỏi của các khối, lớp trường Tuy Lai trong nhiều năm gần đây đạt được kết quả tương đối khả quan tỷ lệ học sinh giỏi Toán được nâng lên, ý thức học tập được nâng cao, không khí lớp học sôi nổi, các em không còn thụ động nghe giảng mà đã chủ động học tập nghiên cứu dưới sự dẫn dắt của thầy. Sau đây là kết quả cụ thể bộ môn Toán trong một số năm gần đây:
Nội dung bài viết chỉ là một số thủ pháp áp dụng cho một số dạng bài tập. Để áp dụng nội dung bài viết vào bài học, các em cần nắm vững nội dung kiến thức toán học cơ bản, có ý thức tự giác học tập, linh hoạt, tư duy tốt. Đôi khi có những bài toán không theo quy luật nào cả nên không thể áp dụng nội dung bài viết. Song với nội dung đề tài tôi đã nghiên cứu và thực nghiệm đặc biệt là sử dụng phép tính nhẩm tôi thấy có tác dụng rất nhiều đến việc phát huy trí lực cho các em, là nền tảng giúp các em trở thành nhân tài cho đất nước. 
 Mỗi phép tính nhẩm đều tạo cho các em một điều mới lạ, giúp các em có hứng thứ đi sâu tìm hiểu môn toán và dần dần thấy toán học là thú vị không khô khan. Toán học là sáng tạo, mới lạ và hấp dẫn. Mỗi dạng nhẩm khác nhau đều kích thích các em đi sâu tìm hiểu xem còn dạng nào nữa không, rồi các em đố nhau, cùng nhau sưu tầm, tự tìm ra các giải độc đáo khác. Như vậy chỉ với phép tính nhẩm giáo viên đã thúc đẩy ý thức tự giác học tập trong các em, giúp các em đào sâu suy nghĩ sau mỗi bài học, mỗi môn học. 
KIẾN NGHỊ
 - Phòng giáo dục nên tổ chức thường xuyên các lớp chuyên đề, các cuộc hội thảo chuyên đề để giáo viên các trừờng có thể trao đổi, bàn luận nhất là vấn đề rèn luyện kỹ năng tính nhẩm để nâng cao chất lượng giáo dục, thay đổi thứ hạng về giáo dục của huyện nhà so víi các quận huyện thị khác trong thµnh phố. 
Trên đây là một số nội dung được tích luỹ và kiểm nghiệm thông qua giảng dạy của bản thân tôi và anh, chị em trong trường THCS Tuy Lai . 
 Những điều nêu trong bài viết chưa thể gọi là tổng quát, là duy nhất khi rèn luyện tư duy toán học cho các em cấp II. Và trong nội dung bài viết không thể tránh khỏi những điểm khiếm khuyết. Mong được sự góp ý của các anh, chị em đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn !
 Mỹ Đức , ngày 06-05-2011
 Người viết:
 Lê Văn Thăng