Giáo án tự chọn nâng cao môn Toán Lớp 6 - Bài 5: Số nguyên tố

BÀI 5- SỐ NGUYÊN TỐ
I/ TÓM TẮT:
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có 2 ước là 1 và chính nó. Mọi số tự nhiên >1 bao giờ cũng có ước nguyên tố .
Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước 
Tập hợp số nguyên tố là vô hạn
Số 0 và 1 không phải là số nguyên tố; cũng không là hợp số 
Số nguyên tố chắn duy nhất là 2
Số avà b gọi là 2 số nguyên tố cùng nhau
P là số nguyên tố; p > 2 co ùdạng : p = 4n + 1 hoặc p= 4n+3
P là số nguyên tố; p > 3 có dạng : p =6n +1 hoắc p =6n + 5
Ước nguyên tố nhỏ nhất của hợp số N là 1 số không vượt quá 
sốá nguyên tố Mecxen có dạng 2p -1 (p là số nguyên tố )
Số nguyên tố Fecma có dạng 
 Khi n=5. Euler chỉ ra 22.5 +1 = 641.6700417 (hợp số )
------------------**********---------------------
II/ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM:
Câu 56: Tích 4 số tự nhiên liên tiếp có thể là 1 số nguyên tố 
 a) dúng b) sai 
câu 57: Tỏng của 4 số tự nhiên liên tiếp có thể là 
 a)số nguyên tố b) số chẵn c) hợp số d) b;c đúng 
câu 58: Số nguyên tố nào khi nhân với 9 thì tích là 1 số có 3 chữ số giống nhau a) 111 b) 37 c) 73 d) KQ khác 
câu 59: Tìm số nguyên tố p để p2 +44 là số nguyên tố 
 a) 3 b) 5 c) 7 d) vô số 
câu 60: Số N = 2001.2002.2003.2004 +1 là;
 a) sốnguyên tố b) số lẻ c) hợp số d) b;c đúng 
câu 61: Số tự nhiên có 4 chữ số giống nhau và chỉ có 2 ước nguyên tố là 
 a) 1111 b) 2222 c) 3333 d) 4444
câu 62 Hai số 2n - 1 và 2n + 1 có thể đồng thời là 2 số nguyên tố 
 a) đúng b) sai 
câu 63: Tìm một số nguyên tố có 3 chữ số , nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số là lập phương của số tự nhiên 
 a) 512 b) 521 c) 343 d) 729 
câu 64: Một só nguyên tố chia cho 30 dư là r . Tìm r ? biết r không phải là số nguyên tố 
 a) 25 b) 18 c) 9 d) 1
câu 65: Một số nguyên tố p chia cho 42 dư là r và r là hợp số . Thì r là:
 a) 9 b) 15 c) 21 d) 25
-----------------********-----------------
TRẢ LỜI C ÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
b
d
đ
a
d
a
b
b
đ
d
TÓM TẮT:
 Câu 57: tổng 4 số tự nhiên liên tiếp có 2 số chẵn và 2 số lẻ, nên tổng là số chẵn >2 ,nên là hợp số 
Câu 58: các số có 3 chữ số giống nhau là111,222,333,444,555,666,777,
888,999, chỉ có 333,666,999 là bội 9. do đó 333=9.37 ; 666=9.74 và
999=9.111 vâïy chỉ có 37 là số nguyên to
Câu 59:á khi p =3 thì 32 +44 =53 là số n/tố. Khi p>3 thì p2 +44 (h/số)
Câu 61: N=aaaa=1111a; Khi a =1 thì N = 1111=11.101
Câu 62: Xet 3số 2n -1; 2n ; ø 2n +1 chỉ có 1 số chia hết cho 3; mà 2n không
Chia hết cho 3; nên 2 số còn lai có 1 số chia hết cho 3
Câu 63: 53=125; 63=216 ; 73= 343; 83= 512; 93 =729 ; chỉ có 125 la ø 521
Câu 64: p=30K +r = 2.3.5.K+r ( 0<r<30) mà dư không chia hết cho 2,3,5 và không là số nguyên tố nên chỉ còn là r = 1
Câu 65: p =42K + r = 2.3.7 K + r ; ( 0<r<42) ; suy ra số dư không chia hết cho 2,3,7 và hợp số nên r là : r= 0;1;9; 15;21;25;27;33;35;39 < 42. Vậy chỉ có r = 25 là thích hợp 
----------------------*********-----------------------
III/ BÀI TẬP
Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho 2p + 1là lập phương 1 số tự nhiên
Bài giải :
P khác 2: vì p =2 thì 2p+1=5( không là lập phương số tự nhiên nào)
Khi p>2 ta có 2p+1 = t3 ; nên 2p = t3-1= (t-1)(t2 +t+1) (1)
Mà 2p chẵn ; t2 +t+1= t(t+1)+1 (lẻ) nên t-1 (chẵn ) 
Do đó t -1 = 2 nên t = 3 thì 2p= 2.13=26 vậy p=13
Bài 2: Cho p và 2p+1 là số nguyên tố lớn hơn 3
 Chứng minh 4p+1 là hợp số
 Bài giải 
 Cách 1: ta có 4p(4p+1)(4p+2) chia hết cho 3
 Nên 8p(4p+1)(2p+1) chia hết cho 3
 Vì (8p;3) = (2p+1;3) = 1 ( mà p >3 là số n/tố)
 Do đó 4p+1 chia hết cho 3; nên 4p+1 là hợp số
 Cách 2: vì P>3 nên p =3k+1; 3k+2
 - Khi p = 3k+1 thì 2p+1= 2(3k+1)+1 = 6k+3 chia hết cho 3( trái gt)
 -nên p = 3k+2 để 2p+1 là số nguyên tố 
 Do đó 4p +1 = 4(3k+2)+1 = 12k+93
 Vậy 4p+1 là hợp số 
Bài 3: Chứng minh rằng : với p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì 
Bài giải:
 Ta có 24= 23.3 và p2 – 1= (p+1)(p-1)
Vì p>3 nên có dạng p = 3k+1;3k-1
khi p=3k+1 thì p-1= 3k 
khi p=3k-1 thì p+1=3k ( t/tự)
 vậy (1)
 vì p >3 nên p lẻ nên p-1(chẵn); và p+1(chẵn)
p2-1 = (p+1)(p-1)= 4k.2k’=8k.k’8 (2) (vì 2 số chẵn liên tiếp)
 Từ (1) và (2) ta có ( vì (3;8)=1 )
Bài 4: Tìm số nguyên tố p sao cho p+10 và p+14 đều là số nguyên tố
Bài giải :
Khi p=2 thì p+10=12; và p+14=16 (loại )
Khi p=3 thì p+10=13 và p+14=17 ( nhận 
Khi p>3; thì p=3k+1; 3k-1
khi p=3k+1 thì p+14 =3k+15 chia hết cho 3(loại)
khi p=3k-1 thì p+10 = 3k+9 chia hết cho 3(loại)
 Vậy khi p=3 thỏa mãn dè bài 
Bài 5: Tìm số nguyên dương n để số a = n3-n2+n-1 là số nguyên tố 
Bài giải:
Ta có a= (n-1)(n2+1)
Để a là số nguyên tố thì a chỉ có 2 ước là 1 và chính nó
Do đó n-1=1 nên n =2 ( khi đó a =5 là số nguyên tố )
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để là số nguyên tố 
Bài giải:
Cách 1:Ta có = (n-1) /5.(n2+n+1); vì là số n/tố nên (n-1)/5 = 1
 Do đó n =6 . nên =(63-1)/5 = 43
Cách 2: 
 = k’(25k’2+15k’+3) là số nguyên tố
 Do đó k’=1 nên n=5k’+1= 6; vậy n = 6
Bài 7: Cho p và q là số nguyên tố ; mà p > q > 3
 Chứng minh p2 – q2 chia hết cho 24
Bài giải:
 T/tự : bài 3 ta có: (p2 – 1) – (q2-1) 
Bài 8: Tìm số nguyên tố p để 4p+1 là số chính phương 
Bài giải:
 Ta có 4p+1 = y2 (1) nên y2 lẻ do đó y lẻ
 Ta đặt y = 2m+1; thay vào (1) ta có 
 4p+1 = (2m+1)2 = 4m2+4m +1; nên 4p = 4m(m+1)
 Do đó p =m(m+1) ( số chẵn); vậy p = 2
Bài 9: Cho p và p2 +2 là số nguyên tố
 Chứng minh : p3 +2 cũng là số nguyên tố 
Bài giải:
 Giả sử p >3 thì p = 3k+1; 3k-1
Thì p2+2 
Do đó p là số nguyên tố thì p2 +2 là hợp số ( trái giả thiết)
 Cho nên p = 2; 3
khi p =2 thì p2 +2 = 6 ( không là số nguyên tố) 
khi p = 3 thì p2 +2 = 11 ( là số nguyên tố )
Khi đó p3 +2 = 33 +2 = 29 ( thỏa mãn )
Bài10: Tìm các số nguyên tố x; y sao cho x2 – 2y2 = 1
Bài giải:
Ta có thể viết 2y2 = (x+1)(x-1)
Vì 2y2 chẵn ;nên (x+1)( x-1) chẵn ; do đó x+1 ; và x-1 cùng chẵn 
Thì 2y2 = (x+1)(x-1) = 2k.2k’= 4k.k’
Và x2 = 2y2 +1= 8+1= 9; nên x=3 (vì x ; y là số nguyen tố )
Vậy ( x = 3; y = 2) thỏa mãn
Bài11: Tìm các số nguyen tố x; y; z thỏa mãn phương trình xy +1 = z
Bài giải:
 Ta thấy xy +1 = z 
nếu x>2 (nguyên tó ) thì x lẻ; do đó xy lẻ (loại)
nếu x=2 (nguyên tố ) thì 2y ( chẵn): ta xét
 * khi y =2 thì 22 +1 = 5 vậy ( x=2;y=2;z=5)
 * khi y>2 (lẻ)thì 2y +1=(2+1)(2y-1+..+y+1)=z
 Nên z nên z là hợp số ( trái gt)
 Vậy (x=2; y=2; z=5 )
Bài 12: Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp a;b;c 
 Biết a2 + b2 +c2 cũng là số nguyên tố .
Bàigiải:
Giả sử a >b >c >3 vì là số nguyên tố nên có dạng:
Do đó 
- khi (a;b;c) = (2;3;5) thì a2+b2 +c2= 38 (loại)
- khi (a;b;c) = (3;5;7) thì a2+b2 +c2= 83 (số nguyên tố )
 Vậy (a;b;c) = (3 ;5;7)
Bài 13: Chứng minh rằng: số chia hết cho ít nhất là 3 số nguyên tố
Bài giải:
Ta có = 
Bài 14: Tìm số nguyên dương n để số n4 +4 là số nguyên tố 
Bài giải :
Ta có n4 +4 = n4 + 4n2 + 4 – 4n2 = (n2+2)2 –(2n)2 = (n2 – 2n+2)(n2 + 2n +2)
Để n4 +4 là số nguyên tố ; và n >0 nguyên thì : 
Ta có n2 – 2n +2 =1 hay (n-1)2 +1 = 1 do đó n-1 = 0 nên n = 1
vậy khi n =1 thì n4 +4 = 5 là nguyên tố 
Bài 15: Cho số 2m – 1 là số nguyên tố .Chứng minh : m là số nguyên tố 
Bài giải :
Ta C/minh bằng phương Pháp phản chứng như sau: 
Giả sử m là hợp số : nên m = p.q ( với p,q nguyên dương >1 ) 
Thì 2m – 1= 2pq -1 = (2p)q – 1 = (2p -1)( 2p(q-1)+ 2p(q-2)++1)
Ta thấy 2p – 1 >1 ( vì p>1) và thừa số kia >1 
 Vậy 2m – 1 là hợp số ( trái với gt) 
 Nếu m = 0 thì 2m – 1 = 0 ( trái gt)
 Nếu m = 1 thì 2m – 1= 1 ( trái gt)
Do đó: m phải là số nguyên tố để thỏa mãn đề bài .
 Bài 1: Tìm các số nguyên tố x; y; z thỏa mãn phương trình :
 xy + 1 = z (HSG-cấp tỉnh-1994)
Bài giải:
vì x;y;z đều là số nguyên tố nên 
vì z lẻ nên xy +1 lẻ nên xy chẵn do đó x chẵn hay x= 2(số n/ tố)
Khi đó 2y + 1= z (1) thì y chẵn hoặc lẻ
 * nếu y chẵn thì y=2 thì z = 5
 * nếu y lẻ thì y = 2k+1 thay vào (1) ta có 
 z = 22k+1 + 1= (2+1)(22k +22k-1 ++1)
 Do đó z là hợp số (trái gt) 
Vậy (x;y;z) = (2;2;5)
Bài2: Tìm số hữu tĩ x sao cho giá trị của biểu thức x2 +3x + 7
 là số chính phương (thi HSG tĩnh 1995)
Bài giải :
 Đặt x2 +3x+7 = y2 (1) ( với 
 Thay a vào (1) ta có a2 +3a +7 = y2
 Hay 4a2 +12a +28 = 4y2 
 Do đó (2a+ 3)2 +19 = (2y)2
 (2y)2 – (2a+3)2 = 19
 (2y+2a+3)(2y-2a-3) = 19 =19.1=1.19
 ( vì 2y+2a+3+2y-2a-3 = 4y >0; nên 2y+2a+3>0; 2y-2a-3>0 )
 Giải 2 hệ p/t ta có a =3; - 6 nên x = 3 ; - 6
 Thử lại : Khĩ x = 3 thì 32 +3.3 +7 = 52 
 Khi x = - 6 thì (-6)2 +3.(-6) +7 = 52 
 Vậy x = 3; - 6 ( thỏa mãn bài toán)
Bài 3 Giải phương trình nghiệm nguyên dương :
 x2(x+2y) –y2(y+2x) = 1991 
 (HSG-TQ-1991)
Bài giải:
 Khai triển và rút gọn ta có :
 x3 +2x2 y - y3 -2xy2 = 1991 hay (x3 – y3 )+2xy(x-y) = 1991
 hay (x-y)(x2+xy+y2 )+2xy(x-y) = 1991
 do đó (x-y)(x2 +3xy+y2) = 1991 = 1.1991 = 11.181 (1)
 ( vì x;y nguyên dương và (1) nên suy ra : (x-y) >0 
 Và x2 +3xy+y2 =(x-y)2 +5xy ) do đó :
 * Từ hệ (I) (x-y)2 +5xy =1991 hay 5xy=1990 nên xy=378
 Kết hợp p/t kia ta có y2 +y-378=0 ( không có n nguyên dương) 
 * Từ hệ (II) : t/tự suy ra xy= 12 và x =11+y nên ta có 
 y2 +11y -12 =0 giải ra y1 = 1 ; y2 = -12 (loại) nên x = 12
 * Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là 
 (x;y) =( 12;1)