Giáo án tự chọn môn Toán Lớp 7- Đỗ Đình Thuần

Chuyên đề 1 Các phép tính trong Q ( 6tiết)
I . Mục tiêu
 - Củng cố các kiến thức về các phép tính trong Q và các kiến thức liên quan
 - Rèn luyện kĩ năng tính toán của HS , kĩ năng tính nhanh trong các BT 
II. Chuẩn bị 
 - GV : Hệ thống các kiến thức đã học về số hữu tỉ, các BT luyện tập 
 - HS :Ôn tập các kiến thcs về số hữu tỉ và các phép tính trong Q, các kiến thức về GTTĐ và luỹ thừa 
III. Các hoạt động dạy học 
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
HĐ1 : Ôn tập lí thuyết 
GV cho HS nhắc lại các kiến thức ( bằng hệ thống câu hỏi tương ứng) 
GV gợi ý và hướng dẫn HS trả lời 
- GV giới thiệu thêm số nghịch đảo của một số hữu tỉ 
GV cho HS nhắc lại GTTĐcủa một số hữu tỉ 
HS : Trả lời các câu hỏi của Gv 
1) ĐN số hữu tỉ : x=
2) Các phép tính 
 * Phép cộng , phép trừ 
* Tính chất phép cộng 
- Giao hoán x + y = y + x
- kết hợp x +( y + z) = (x+ y) + z
- Cộng với 0 x+0 = 0 + x = x
- Cộng với số đối x + (-x) = 0
 - Các quy tắc chuyển vế , dấu ngoặc giống trong Z
* Phép nhân, chia số hữu tỉ 
* x thì x’=hay x.x’=1thì x’ gọi là số nghịchđảo của x
*các t/c của phép nhân 
 với x,y,z ta luôn có :
x.y=y.x ( t/c giao hoán)
(x.y)z= x.(y,z) ( t/c kết hợp )
x.1=1.x=x
x. 0 =0
x(y+z)=xy +xz (t/c phân phối của phép nhân đối với phép cộng 
* 
*
( dấu = xảy ra khi và chỉ khi ab 0)
Phần bài tập 
GV : cho HS làm các BT
BT1: tính giá trị các BT(một cách hợp lí)
BT2:Tìm x biết 
a) –1,52 +-x =3
b)x+3,5 -
c) 
d)(
BT3: tìm x biết 
BT4: tìm x biết :
BT5 Rút gọn các biểu thức sau:
HS : làm BT1
BT2
a) x=
b) x=-
c) x= 
d) x= -
e) x = 
f) x =
BT3
không có GT nào của x để vì 
BT4
e)xét t/h x-1,3 khi đó x+1,30 ; 4,1-x0
ta có:
xét t/hkhi đó x +1,30; 4,1-x>0
ta có :vô lí
xét t/h x 4,1 khi đó x +1,30 ; 4,1-x0
ta có : 
Vậy giá trị cần tìm của x là x= 0,9 ; x = 1,9
f) giải tương tự câu e
BT5
a)
* xét t/h x<2,5 khi đó x –4,1 < 0, và x – 2,5 <0
* xét t/h 2,5x<4,1 khi đó x –4,1 <0; x – 2,50
* xét t/h x 4,1khi đó x –4,10 ; x – 2,5 > 0
b) ( giải tương tự câu a)
III) Phần bổ xung
Chuyên đề 2 Luỹ thừa của một số hữu tỉ
I ) Mục tiêu 
- Củng cố các kiến thức về luỹ thừa 
- Các phép tính về luỹ thừa 
- Cách so sánh các luỹ thừa 
II/ Chuẩn bị 
- Các kiến thức về luỹ thừa 
- Các BT về luỹ thừa 
III) Các hoạt động dạy học 
Phần lí thuyết 
GV hệ thống lại các kiến thức cần nắm về luỹ thừa qua hệ thông các câu hỏi 
HS trả lời các câu hỏi của GV 
1) ĐN luỹ thùa 
xn =x .x . x . x ....( có n thừa số bằng nhau và bằng x) trong đó xQ , n N, n> 1
nếu x=thì xn =()n= ( a,b Z, b0)
2) Các phép tính về luỹ thừa 
với x , yQ ; m,nN* thì :
xm . xn =xm+n
xm : xn =xm –n (x0, mn )
(xm)n =xm.n
(x.y)n =xn .yn
3) Mở rộng 
-Luỹ thừa với số mũ nguyên âm
x-n=
- So sánh hai luỹ thừa 
a) Cùng cơ số 
Với m>n>0
Nếu x> 1 thì xm > xn
 x =1 thì xm = xn
 0< x< 1 thì xm< xn
b) Cùng số mũ 
Với n N* 
Nếu x> y > 0 thì xn >yn
 x>y x2n +1>y2n+1
Phần Bài tập
Bài 1:Thực hiện các phép tính sau:
GV nhận xét bài làm của HS và lưu ý HS khi tính toán với các biểu thức chứa luỹ thừa cần phải đưa về luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ 
Bài 2: Viết các biểu thức sau về dạng luỹ thừa.
a) 2 . 4 . 16 . 32 . 23 . 64 . 128
b) 9 . 33 . 
c) (4 : 22)5 : (
Bài 3. 
Tính gọn các biểu thức sau:
Bài 4. Tìm x biết :
Bài 5: Tìm xẻZ biết
 (x-7)x+1 – (x-7)x+11 = 0
Bài 6:
So sánh các số sau 
a) 1020 và 910 
b) (-5)30 và (-3)50
c) 648 và 16 12 
d)(và (
HS giải BT1 
HS làm BT2 theo nhóm , đối chiếu với nhau và trả lời kết quả 
a) 228
b)3-2
c)22
d)
e)252
f)34
g)35
Bài 3. 
Bài 5
 (x-7)x+1 – (x-7)x+11 = 0
 (x-7)x+1 = (x-7)x+11 
x –7 = 0 hoặc x – 7 = 1 
x = 7 hoặc x = 8
Bài 6
a) Ta có 1020 > 9 20 >910
b) Ta có (-5)30 = (53 )10= 12510
 (-3)50 = ( 35)10 = 24310
 ta có 24310> 12510 nên (-5)30 < (-3)50
c) Ta có : 648 = 248 ; 1612 =248 nên 648 = 16 12
d) Ta có : (=
 (=
do 240 (
Chuyên đề 3 tỉ lệ thức – dãy tỉ số bằng nhau
I. Mục tiêu
- Củng cố các kiến thức về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau.
- Rèn luyện các bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau.
- Rèn luyện khả năng tư duy của HS
II. Chuẩn bị :
- GV: Hệ thống các câu hỏi ôn tập, các bài củng cố.
- HS : Ôn tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau.
III. Hoạt động dạy học.
- GV: cho HS nêu định nghĩa tỉ lệ thức, các t/c của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau
- GV chốt lại
- HS:
Trả lời câu hỏi của GV:
-Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số bằng nhau.hoặc a : b = c : d (a,b,c,d ẻ Q; b,d ạ 0)
- Các số a,d là ngoại tỉ .
 b,c là ngoại tỉ .
- T/c 1: Nếu 
- T/c 2 :Nếu ad = bc (a,b,c,d ạ 0)
-( các mẫu khác 0)
-TQ:
Bài 1: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:
a) (3x – 2) : 
- Giải bài tập 1
a) Từ (3x – 2) : 
c) x = 9 hoặc x = -9
d) x = hoặc x = 
Bài 2 Tìm 2 số x,y biết
Bài 3 :Tìm 3 số x,y,z biết 
b)2x = 3y = 5z và x – y – z =23
c)10x = 15y = 6z và 10x – 5y + z = -33
và x2 + y2 – z2 = 585
Bài 4 
CMR : nếu thì 
Bài 5: Cho 
c,b,a 
Bài 6
Cho ạ1 và c ạ 0
CMR:
Bài 7.Tìm 3 p/s tối giản biết tổng của chúng là , tử của chúng tỉ lệ với 2,3,5 còn mẫu tỉ lệ với 5,4,6
Bài 8
Năm lớp 7A; 7B; 7C ; 7D; 7Enhận chăm sóc vừon trừơng có tổng diện tích 300m2 . Trong đó lớp 7A nhận 15% diện tích , lớp 7B nhận 20% diện tích còn lại . Phần còn lại sau khi hai lớp đã nhận được chia cho ba lớp 7C, 7D, 7E theo tỉ lệ .Tính diện tích vườn giao chomỗi lớp 
Với loại toán chia tỉ lệ thì ta chú ý cần phải lập và áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau
Bài 9: Một trường có ba lớp 6. Biết rằng số học sing lớp 6A bằng số học sinh lớp 6B và số học sinh lớp 6C. Lớp 6C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh hai lớp kia là 57 bạn. Tính số học sinh mỗi lớp
Bài10: Một ôtô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi đượcquãng đường thì ôtô tăng vận tốc lên 20%, do đó đến B sớm hơn 10 phút. Tính thời gian ôtô đi từ A đến B
Bài 2:
a) áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau
b) Đặt 
ta có
 hoặc k = -4
Với k = 4ị x = 12 : y = 16
Với k = - 4ị x = -12;y = -16
c) Đặt 
 hoặc 
Với 
Với 
d) x = 8; y = 12
Bài 3:
a) áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau 
Ta có :
b)Từ 2x = 3y
Từ 3y = 5z 
c) x = 3; y = 2; z = 5
d) Từ 
mặt khác dễ thấy
x,y,z cùng dấu nên ta có các bộ 3 số(15;21;9) và (-15;-21;-9)
Bài 4
Đặt 
mà 
hay 
Bài 5:Từ 
(a+b).(c-2d) = (c + d).(c-2b)
 ac – 2ad + bc – 2bd = ab – 2bc + 2bd
 -3ab = -3bc
 ad = bc 
Bài 6
a) Từ
mà 
Bài 7:
Gọi các p/s phải tìm là x,y,z.Vì các tử tỉ lệ với 2;3;5 còn mẫu tỉ lệ với 5;4;6 nên
y = ; 
Bài 8
Diện tích vườn trường lớp 7A đã nhận là :
 300.15% = 45(m2)
Diện tích vườn trườngcòn lại sau khi lớp 7A đã nhận là :
 300 – 45 = 225 (m2)
Diện tích vườn trường lớp 7B đã nhận là:
 225 . 20% = 51( m2)
Diện tích vườn trườngcòn lại sau khi lớp 7A .7B đã nhận là :
300 – (45 + 51)= 204 (m2)
Gọi diện tích vườn mà các lớp 7C, 7D, 7E đã nhận lần lượt là a, b, c.
Theo bài ra ta có : và a+ b +c =204
áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
=
2a =192 a =96
 4b = 192b = 48c =60
Vậy diện tích vườn trường mà năm lớp đã nhận lần lượt là : 45;51 ;96 ; 48; 60 mét vuông
Bài 9.
Gọi x,y,z lần lượt là số học sinh của các lớp 6A,6B,6C ( x,y,zẻN*).
Ta có :
 và x + y – z = 57
Chia mỗi tỉ số trên cho 12 ( BCNN của 2,3 và 4) ta được :
hay
áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
=
suy ra x=54; y =48; z=45
Vậy số h/s của các lớp 6A; 6B; 6C lần lượt là :
 54 ; 48; 45
Bài 10: Gọi C là trung điểm của AB. Ôtô đến sớm hơn dự định là nhờ tăng vận tốc từ C.
Gọi vận tốc dự định là x, vận tốc mới tăng là y.Đi từ C đến B với vận tốc x mất một thời gian là t1; đi với vận tốc y thì mất thời gian là t2.
Ta biết rằng :xt1 = yt2. Do đó :mà nên hay 
Suy ra t2 = 50 phút 
Suy ra thời gian đi từ A đến B là 110 phút
Chuyên đề Hai tam giác bằng nhau
I Mục tiêu 
- Củng cố , luyện tập về các t/h bằng nhau của tam giác 
- Rèn luyện kĩ năng giải và trình bày các bài toán hình học 
- phát triển khả năng tư duy của HS
II ) chuẩn bị 
Gv hệ thống các BT về tam giác bằng nhau 
HS Ôn tập các kiến thức về tam giác và các t/h bằng nhau của tam giác 
III ) Các hoạt động dạy học 
Phần lí thuyết 
Gv cho Hs nêu đ/n hai tam giác bằng nhau 
- cho HS nêu các t/h bằng nhau của tam giác và các t/h bằng nhau của tam giác vuống suy ra từ các t/h bằng nhau của tam giác 
- Gv Để c/m hai đoạn thẳng bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau thì ta phải làm thế nào ?
- GV cho HS nhắc lai ĐN tam giác cân , tam giác vuông cân , tam giác đều , và các t/c của nó
Phần bài tập
Bài tập 1 Cho tam giác ABC ( AB=AC). Gọi D là TĐ của BC c/m:
a) 
b) AD là tia phân giác của góc A
c) 
Gv cho Hs vẽ hình và ghi GT ,Klcủa bài toán
GV hai tam giác ADB và ADC đã có những yếu tố nào bằng nhau?
Hai tam giác ADC và ADB bằng nhau ta suy ra được điều gì ?
Bài tập 2
Cho ABC có AC > AB . Trên AC lấy điểm E sao cho CE = AB . Gọi O là 1 điểm sao cho OA = OC , OB = OE .C/m : 
a) AOB = COE
b) So sánh các góc OAB và góc OCA
GV cho Hs phân tích tìm lời giải
Bài tập 3. Cho tam giác ABC có B = 500. Từ đỉnh A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia phân giác của góc B ở E.
a) Chứng minh tam giác AEB là tam giác cân;
b) Tính BAE
Bài tập 4. Cho tam giác cân ABC 
(AB = AC). Gọi Am là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh A cuat yam giác đó.
 Chứng minh Am // BC.
Bài tập 5. Cho tam giác cân ABC
 ( AB = AC) . Trên các cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm D và E sao cho AD = AE. Gọ M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng :
a) DE // BC;
b) MBD = MCE;
c) AMD = AME.
Bài tập 6. Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D, cắt AC ở E.
Chứng minh rằng DE = BD + CE.
Bài tập 7. Cho tam giác đều ABC.Trên tia đối của các tia AB, BC,CA lần lượt lấy các điểm D,E,F sao cho AD = BE = CF . 
C/m DEF đều 
Bài tập 8 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Trên đáy BC lấy hai điểm M,N soa cho BM = CN =AB .
a) c/m tam giác AMN là tam giác cân 
b) Tính 
Bài tập 9 : Cho tam giác ABC. Kẻ BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (ẺAC, FẻAB). Gọi O là giao điểm của BE và CF. Biết OC = AB. Tính ACB.
Bài tập 10 : Cho tam giác ABC có A = 600. Vẽ ra phúa ngoài của tam giác hai tam giác đều AMB và ANC.
a) Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng;
b) Chứng minh BN = CM.
Bài tập 11 : Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh:
a) DE // BC;
b) BE = CD;
c) BED = CDE.
Bài tập 12 : Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Vẽ ra phía ngoài của tam giác hai tam giác đều ABD và ACE. 
a) Chứng minh BE = CD;
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. Tính BIC.
Bài tập 13. Cho tam giác ABC, O là một điểm nằm trong tam giác. Chứng minh rằng BOC = BAC + ABO + ACO.
Bài tập 14. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E, trên tia đối của tia AC lấy điểm D. Các tia phân giác của các góc ACB và AED cắt nhau ở F.
 Chứng minh rằng EFC =
Bài tập 15. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi M là trung điểm của BC. Biết AH, AM chia góc ở đỉnh A thành ba góc bằng nhau. Tính các góc của tam giác ABC.
Bài tập 16. Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Trên tia AC lấy hai điểm D và E sao cho AC = CD = DE. Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho A là trung điểm của BH. Đường thẳng vuông góc với AB ở H, với AE ở C cắt nhau ở K
a) Chứng minh tam giác BKE vuông cân ở K.
b) Chứng minh ADB + ACB = 450.
Bài tập 17. Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia ED lấy điểm F sao cho
 EF = ED. Chứng minh rằng:
a) BD = CF.
b) DE // BC và DE = BC.
GV : Giới thiệu đường TB của tam giác và t/c của đường TB 
Bài tập 18. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy hai điểm D và E sao cho 
AD = DE = EB. Vẽ DG và EF song song với BC ( G, F AC)
a) Chứng minh AG = GF = FC;
b) Giả sử DG = 3cm, tính BC.
Bài tập 19. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD = BC. Từ B và C vẽ đường thẳng BE và CF vuông góc với đường thẳng AD. Chứng minh DF = DE.
HS Nêu đ/n hai tam giác bằng nhau
- Nêu các t/h bằng nhau của hai tam giác : C-C-C; C-G- C; G –C –G
Nêu các hệ quả về sự bằng nhau của hai tam giác vuông 
HS : chúng ta gắn chúng vào hai tam guíac nào đó mà ta có thể c/m được hai tam giác đó bằng nhau ( khi đó hai đoạn thẳng hoặc hai góc cần c/m ở các vị trí tương ứng )
HS Nêu các ĐN tam giác cân, vuông cân , đều và các t/c 
GT ABC; AB = AC
 DBC ; BD =DC
KL b) AD là tia phân giác của góc A
 c) 
a) xét ABD; ACD có :AB =AC (gt)
 BD = DC (gt)
 AD là cạnh chung
Suy ra ABD = ACD (c –c – c)
b) Theo câu a ta có ABD = ABD 
 hay AD là tia p/g của góc A
c) Theo câu a ta có ABD = ABD 
( góc tương ứng )
mà 
hay 
Bài tập 2
 ABC ; AC > AB
 EAC ; AB = CE
GT OA = OC ; OB = OE
 a) AOB = COE
KL b) So sánh các góc OAB và góc OCA
HS phân tích tìm lời giải theo nhóm 
a) Xét AOB và COE có 
AB =CE ( gt) ; 
AO = CO ( gt) ;
 OB = OE (gt)
AOB = COE (c-c-c)
b) theo câu a thì AOB = COE
nên ( góc tương ứng)
Bài tập 3. 
a) 
Vì BE là tia phân giác của góc B(gt) nên B1 = B2 = B = 250(1)
Vì AE // BC(gt) nên E = B1 = 250(2)
Từ (1) và (2) suy ra E = B1 = 250. Vởy tam giác ABE cân tại A.
b) Tam giác ABE cân ở A có E = 250 nên BAE = 1800 – 250 – 250 = 1300.
Bài tập 4
Am là tia phân giác của góc Cax, do đó A1 = A2(1)
Góc CAx là góc ngoài ở đỉnh A của tam giác ABC nên CAx = B + C; ABC cân ở A(gt) nên B = C (3). 
Từ (1), (2) và (2) suy ra B = A2 (hoặc A1 = C). Trong cả hai trường hợp ta đều có Am // BC.
Bài tập 5
a)AD = AE(gt). Tam giác ADE cân ở A, do đó ADE = 
Tam giác ABC cân ở A(gt), do đó
 ABC = 
Từ (1) và (2) suy ra ADE = ABC. Vậy DE//BC.
b) ABC cân ở A(gt), nên B = C.
AB = AC mà AD = AE(gt) nên BD = CE;
MB = MC(gt). Do đó
 MBD = MCE(c – g – c)
c) AMD = AME.( c – c – c)
Bài tập 6
DI // BC(gt), nên B1 = I1(hai góc so le trong).
B1 = B2 vì BI là phân giác của gócB(gt) suy ra I1 = B2. Mặt khác tam giác BDI cân ở D do đó BD =BI (1)
C/M tương tự ta cũng có tam giác CEI cân ở E suy ra EC =EI (2) . Từ (1) và (2) suy ra DE =BD + CE.
Bài tập 7
ABC đều (gt), nên:
AB = BC = CA = à mà AD = BE = CF(gt) do đó BD = CE = AF.
BAC = ABC = ACB = 600
mà BAC + CAD = 1800, ABC + ABE = 1800, ACB + BCF = 1800(hai góc kề bù), suy ra 
DAF = FAC = EBD = 1200
EBD = DAF (c – g – c), do đó ED = Df.
EBD = FCE (c – g – c), do đó ED = EF.
Va^.y ED = DF = FE. Tam giác Dè là tam giác đều.
Bài tập 8.
a) Tam giác ABC vuông cân ở A(gt) nên B = C = 450.
BM = BA(gt). Tam giác AMB cân ở B, do đó AMB = = 670=30’
Chứng minh tương tự ANC cân ở C và ANC = 67030’.
Tam giaacs AMN có hai góc AMN = ANM, do đó AMN cân ở A.
b) MAN = 1800 AMN + ANM) = 1800 – 1350.
Bài tập 9 
Ta có B1 + O11 = 900 mà O1 = O2(hai góc đối đỉnh ) nên B1 = C1
EAB = EOC(cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhâu), do đó BE = EC.
Khi đó tam giác BEC vuông cân ở đỉnh E, suy ra ACB = 450
Bài tập 10 
a) Các tam giác AMB và ANC là tam giác đều (gt) nên MAB = 600, NAC = 600. Vậy MAB + BAC + CAN = 1800.
Ba điểm M, A, N thẳng hàng.
b) MAC = MAB + BAC = 1200. 
ABN = AMC(c – g – c), suy ra BN = CM.
Bài tập 11
a) AE = AD(gt). Tam giác AED cân ở A do đó AED =(1)
Tam giác cân ABC cân ở A (gt) do đó mà EAD = BAC(hai góc đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra CED = ECB, do đó DE//BC.
b) AEB = ADC(c – g – c), suy ra BE = CD.
c) Vì AB = AC, AD = AE, do đó BD = BE.
BED = CDE(c – c – c). 
Bài tập 12
a) Ta có :
DAC = DAB + BAC = 600 + 900 = 
1500, BAE = BAC + CAE = 900 + 600 = 1500.
Suy ra DAC = BAE(=1500)
DAC = BAE(c – g – c), do đó BE = CD.
b) Các tam giác ABE và ADC là các tam giác cân ở A, có góc ở đỉnh bằng 1500 suy ra ABE = ACD = 150, do đó BEC = DBC = 300.
Gọi I là giao điểm của BE và CD, ta có BIC = 1800 – 300 – 300 = 1200.
Bài tập 13
Tia CO cắt AB ở D.
BOC là góc ngoài ở đỉnh D của tam giác BOD nên BOC = ODB + DBO(1)
BDC là góc ngoài ở đỉnh D của tam giác ADC nên:
ODB = DAC + ACD(2)
Tử (1) và (2) suy ra BOC = BAC + ABO + ACO.
Bài tập 14
Góc BMF là góc ngoài ở đỉnh M của các tam giác BMC và EMF nên.
 BMF = B + C1,
 BMF = F + E1. 
Suy ra B + C1 = F + E1(1).
Góc DNF là góc ngoài ở đỉnh N của các tam giác DNF và CNF. Chứng minh tương tự ta có:
D + E2 = F + C2(2)
Từ (1) và (2) suy ra 2F = B + D + E2 + C1 – E1 – C2.
Mà E1 = E2, C1 = C2(gt), do đó 2F = B + D.
Vậy CEF = 
 Bài tập 15 
AHB = AHM(cạnh góc vuông và một góc nhọnhk bằng nhau), suy ra 
HB = HM = MC.
Từ E kẻ tia EI (IMC) sao cho E1 = C.
Khi đó EIC cân ở I nên IC = IE.
Ta lại có E1 + E2 = 900 và C + M1 = 900, suy ra E2 = M1 do đó MIE cân ở I
Suy ra IE = IM. Mà ME = MC vì thế tam giác MIE là tam giác đều, ta có M1 =600 nên C = 300. Từ đây dễ dàng chứng minh được góc B = 600 và A = 900.
Bài tập 16.
a) AHK = KCA (cạnh huyền và một cạnh góc vuông bằng nhau), suy ra KH = KC.
HBK = CEK ( hai cạnh góc vuông bằng nhau) suy ra KB = KE và K1 = K3.
Ta lại có K2 = B1 (hai góc sole trong)
do đóK2 +K3 = B1 + K1 = 900
Vậy tam giác EBK vuông cân ở K.
b) Vì BKE vuông cân ở K nên E1 + E2 = 450.
Ta lại có ADB = CEK( hai cạnh góc vuông bằng nhau) nên D1 = E2
Từ đó suy ra D1 + E1 = 450 hay ADB + AEB = 450
Bài tập 17
a) AED = CEF (c – g – c) suy ra CF = AD mà AD = BD (gt), do đó CF = BD.
b) AED = CEF (câu a) nên ADE = F suy ra AD // CF hay AB // CF, do đó BDC = FCD (so le trong). Vậy BDC = FCD (g – c – g).
Vì BDC = FCD(cmt) nên D1 = C1, suy ra DE // BC.
Lại do BDC = FCD nên DF = BC mà DE =DF, do đó DE = BC.
Bài tập 18
a) Xét tam giác AEF có AD = ED và DG // EF nên theo bài 36, ta có AG = GF(1).
Gọi giao điểm của BG với è là M. Xét tam giác DBG có ED = EB và EM // DG, cũng theo bài ta 36, ta có MG = MB. Khi đó lại theo bài36, từ tam, giác BGC ta có GF = GC (2)
 Từ (1) và (2) suy ra AG = GF = FC.
b) - EF = 2DG = 2.3 = 6(cm)
BC = 2EF = 2.6 = 12(cm)
Bài tập 19
Gọi M là trung điểm của BD thì Bm = MD = DC.
Từ M vẽ MN vuông góc với AD, ta có MN//BE. Khi đó theo 36 đối với tam giác BDE ta có NE = ND (1).
NDM = FCD (cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau) nên DN = DF (2).
Từ (1) và (2) suy ra DF = DE