Giáo án Số học Lớp 11 - Giới hạn hàm số

Giới hạn hàm số 1
Bài
Giới hạn hàm số
A. Mục đích, yêu cầu
Mục đích: Trang bị cho sinh viên những kiến thức về giới hạn hàm số: định nghĩa, tính
chất và các giới hạn đặc biệt.
Yêu cầu: Sinh viên nắm được các định nghĩa và tính chất của giới hạn, vận dụng định
nghĩa và các tính chất để tìm giới hạn của hàm số.
B. Nội dung bài giảng
1 Định nghĩa
Định nghĩa 1. Cho f : A −→ R; x0 ∈ A hoặc x0 =∈ A.
Ta nói f có giới hạn b tại x0 nếu ∀" > 0; ∃(") > 0 sao cho ∀x ∈ A : 0 < |x− x0| < 
ta có |f(x)− b| < "
Ký hiệu lim
x→x0
f(x) = b hoặc f(x) −→ b khi x −→ x0
Viết gọn là
lim
x→x0
f(x) = b⇔ ∀" > 0;∃(" > 0) : ∀x ∈ A : 0 < |x− x0| < ; |f(x)− b| < "
Ví dụ 1. Chứng minh lim
x→1
(2x− 1) = 1
Vì |2x− 1− 1| = 2 |x− 1| < "⇔ |x− 1| < ".
∀" > 0; chọn  = "
2
khi đó với mọi x thỏa mãn |x− 1| <  thì
|2x− 1− 1| < "
Vậy lim
x→1
(2x− 1) = 1
Ví dụ 2. Chứng minh lim
x→x0
x2 = x20
Xét |x2 − x20| = |x+ x0| × |x− x0| ≤ (|x|+ |x0|)× |x− x0|
Do x→ x0 coi x ∈ (x0 − 1; x0 + 1)⇒ |x|+ |x0| ≤ 2 |x0|+ 1
Cho (2 |x0|+ 1): |x− x0| < "⇔ |x− x0| < "
2 |x0|+ 1
∀" ta chọn  = "
2 |x0|+ 1 khi đó với mọi x thỏa mãn |x− x0| <  thìx2 − x20 < "
Vậy lim
x→x0
x2 = x20
Định nghĩa 2. Tiêu chuẩn tương đương
lim
x→x0
f(x) = b⇔ ∀{xn} ⊂ A; xn → x0; n→∞ ta có lim
n→∞
f(xn) = b
Giới hạn hàm số 2
Thường dùng định nghĩa này chứng tỏ hàm không có giới hạn: Nếu tìm được 2 dãy
(xn); (x
′
n) −→ x0 mà f(xn); f(x′n) dần tới 2 số khác nhau.
Chú ý.
1.@ lim
x→x0
f(x) = b⇔ ∃xn : xn → x0 nhưng lim
n→∞
f(xn) ̸= b
2. Giới hạn của hàm số là duy nhất.
Ví dụ 3. Tìm giới hạn của hàm số f(x) = cos
1
x
Ta lấy 2 dãy xn =
1
2n
yn =
1

2
+ 2n
với n = 1; 2; 3 · · ·
Rõ ràng lim
n→∞
xn = lim
n→∞
yn = 0.
Nhưng lim
n→∞
f(xn) = lim
n→∞
cos 2n = 1
lim
n→∞
f(yn) = lim
n→∞
cos
(
2
+ 2n
)
= 0
Vậy theo định nghĩa giới hạn theo ngôn ngữ dãy không tồn tại lim
x→0
cos
1
x
Định nghĩa 3. Giới hạn hai phía
a. Số b gọi là giới hạn phải của f(x) khi x −→ x0 nếu ∀" > 0;∃ > 0 : ∀x ∈ A; x ∈
{0 < x− x0 < } thì |f(x)− b| < "
Kí hiệu b = lim
x→x+0
f(x)
b. Số b gọi là giới hạn trái của f(x) khi x −→ x0 nếu ∀" > 0; ∃ > 0 : ∀x ∈ A; x ∈
{0 < x0 − x < } thì |f(x)− b| < "
Kí hiệu b = lim
x→x0
f(x)
Mệnh đề 4. Hàm f có giới hạn tại x0 khi và chỉ khi hàm f có giới hạn phải, trái tại x0
và hai giới hạn này bằng nhau.
Ví dụ 4. f(x) =
|x|
x
; x ∈ R{0}.
f(x) = signx(hàm dấu)
Ta có: lim
x→0+
f(x) = 1
lim
x→0
f(x) = −1
Định nghĩa 5. Giới hạn vô cùng
a. Ta nói f có giới hạn +∞ tại x0 nếu ∀M > 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại một số  > 0
sao cho ∀x ∈ A; |x− x0| M . Kí hiệu lim
x→x0
f(x) = +∞
b. Ta nói f có giới hạn −∞ tại x0 nếu ∀M > 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại một số  > 0
sao cho ∀x ∈ A; |x− x0| <  ta có f(x) < −M . Kí hiệu lim
x→x0
f(x) = −∞
Định nghĩa 6. Giới hạn tại vô cùng
Giới hạn hàm số 3
a. Hàm số f(x)có giới hạn là b khi x dần tới dương vô cùng nếu với ∀" < 0; tìm được
N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì |f(x)− b| < " và viết là lim
x→+∞
f(x) = b
b. Hàm số f(x)có giới hạn là b khi x dần tới âm vô cùng nếu với ∀" < 0; tìm được
N > 0 đủ lớn sao cho khi x < −N thì |f(x)− b| < " và viết là lim
x→−∞
f(x) = b
2 Các tính chất của giới hạn.
Định lý 7. Giả sử lim
x→x0
f(x) = a lim
x→x0
g(x) = b. Khi đó
a) lim
x→x0
C:f(x) = C:a, C là hằng số
b) lim
x→x0
[f(x)± g(x)] = a± b
c) lim
x→x0
[f(x):g(x)] = a:b
d) lim
x→x0
f(x)
g(x)
=
a
b
; b ̸= 0
Chú ý.
i) Nếu Pn(x) là một đa thức bậc n đối với x, Pn(x) = a0 + a1x + · · · + anxn; an ̸= 0
thì lim
x→x0
Pn(x) = lim
x→x0
(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) = a0 + a1x0 + · · ·+ anxn0 = Pn(x0)
Tổng quát: Nếu R(x) =
Pn(x)
Qm(x)
thì lim
x→x0
R(x) = lim
x→x0
Pn(x)
Qm(x)
=
Pn(x0)
Qm(x0)
ii) Khử dạng vô định ∞−∞; 0:∞; 0
0
;
∞
∞ thuộc loại phân thức hữu tỷ.
Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau
a) lim
x→−1
x+ 1√
6x2 + 3 + 3x
= lim
x→−1
(x+ 1)(
√
6x2 − 3x)
6x2 + 3− 9x2
= lim
x→−1
(x+ 1)(
√
6x2 − 3x)
3(1 + x)(1− x)
= lim
x→−1
√
6x2 − 3x
3(1− x)
=1
b) lim
x→

4
sin 2x− cos 2x− 1
cosx− sinx = lim
x→

4
(sin 2x− 1)− cos 2x
cosx− sin x
= lim
x→

4
−(cosx− sinx)2 − (cos2 x− sin2 x)
cosx− sinx
= lim
x→

4
(cosx− sinx)(−(cosx− sinx)− (cosx+ sinx))
cos x− sinx
= lim
x→

4
(−2 cos x)
=−√2
Giới hạn hàm số 4
c) lim
x→+∞
√
x+
√
x√
x+ 1
= 1
d) lim
x→+∞
(√
x+
√
x−√x
)
= lim
x→+∞
x+
√
x− x√
x+
√
x+
√
x
=
1
2
Định lý 8. Tiêu chuẩn kẹp
Cho f; g; h là các hàm số xác định trên trên lân cận U(x0) của x0. Giả sử f(x) ≤
g(x) ≤ h(x)∀x ∈ U(x0) và lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
h(x) = b. Khi đó tồn tại lim
x→x0
g(x) = b
Định lý 9. Giới hạn của hàm số đơn điệu
Cho f là hàm số xác định trên R
Nếu f tăng và bị chặn trên thì tồn tại lim
x→+∞
f(x)
Nếu f giảm và bị chặn trên thì tồn tại lim
x→−∞
f(x)
3 Một số giới hạn đặc biệt
a) lim
x→0
sin x
x
= 1
0
1
M
A
T
P
-1
-1
1
Xét 0 < x <

2
Dựa vào hình vẽ ta có:
S△OAM < S quạt OAM < S△OAT
=⇒ 1
2
sinx <
1
2
x <
1
2
tanx
=⇒ 1 < x
sinx
<
1
cos x
=⇒ cos x < sin x
x
< 1 (1)
Xét −
2
< x < 0⇒ 0 < −x < 
2
Giới hạn hàm số 5
Vì cos(−x) = cosx; sin(−x)−x =
sinx
x
nên suy ra (1) vẫn đúng.
Mặt khác lim
x→0
cosx = 1 và lim
x→0
1 = 1
Do đó lim
x→0
sinx
x
= 1
Tương tự: lim
x→0
tanx
x
= 1
b) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
= e
Ta có lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n
= e
Khi đó ∀{nk} ⊂ {1; 2; · · · ; n; · · · } lim
nk→∞
(
1 +
1
nk
)nk
= e
Đặt nk = [xk]
⇒ nk ≤ xk < nk + 1⇒ 1
nk + 1
<
1
xk
≤ 1
nk
⇒
(
1 +
1
nk + 1
)nk
<
(
1 +
1
xk
)xk
≤
(
1 +
1
nk
)nk+1
Mặt khác
lim
k→∞
(
1 +
1
nk + 1
)nk
= lim
k→∞
(
1 +
1
nk + 1
)nk+1
: lim
k→∞
(
1 +
1
nk + 1
)−1
= e
lim
k→∞
(
1 +
1
nk
)nk+1
= lim
k→∞
(
1 +
1
nk
)nk
: lim
k→∞
(
1 +
1
nk
)1
= e
⇒ lim
k→∞
(
1 +
1
xk
)xk
= e
=⇒ lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
= e
c) lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)x
= e
d) lim
x→0
(1 + x)
1
x = e
e) lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1
Ví dụ 6. a) lim
x→+∞
(
x+ 1
x− 1
)x+2
= lim
x→+∞
(
1 +
2
x− 1
)2:x1
2
+3
= lim
x→+∞
(
1 +
2
x− 1
)2:x1
2
:
(
1 +
2
x− 1
)3
=
lim
x→+∞
[(
1 +
2
x− 1
)x1
2
]2
: lim
x→+∞
(
1 +
2
x− 1
)3
= e2:1 = e2
Giới hạn hàm số 6
b) lim
x→0
(1 + sinx)
1
2x
= lim
x→0
[
(1 + sinx)
1
sin x
] sin x
2x
= e
1
2
C. Bài tập luyện tập
Bài 1. Dùng định nghĩa hãy chứng minh rằng:
a) lim
x→1
(3x− 2) = 1
b) lim
x→0
(x+ cos x) = 1
c) lim
x→1
x− 1√
x− 1 = 2
d) lim
x→
6
sin x =
1
2
Bài 2. Chứng minh các giới hạn sau không tồn tại
a) lim
x→0
2
1
x
b) lim
x→∞
sin x
c) lim
x→0
cos

x
Bài 3. Tìm các giới hạn sau
a) lim
x→1
x3 − 3x+ 2
x4 − 4x+ 3
b) lim
x→2
√
x+ 7− 3√2x− 3
3
√
x+ 6− 2 3√3x− 5
c) lim
x→

6
sin
(
x− 
6
)
√
3− 2 cos x
d) lim
x→∞
3
√
x2 + 1
x+ 1
e) lim
x→+∞
√
x√
x+
√
x+
√
x
f) lim
x→
2
(
tanx− 1
cos x
)
g) lim
x→∞
x+ 3
√
1− x3
Giới hạn hàm số 7
h) lim
x→−∞
x:
(
2
+ arctanx
)
k) lim
x→
sin 2x: cot x
l) lim
x→∞
(
x− 1
x− 3
)x+2
m) lim
x→e
lnx− 1
x− e
Bài 4. Cho hàm số f(x) có các tính chất
0 0
f(x+ h)[1− f(x)] ≥ 1
4
;∀h > 0
Tính lim
x→+∞
f(x)
Củng cố
Khái niệm giới hạn của hàm số là bao hàm khái niệm giới hạn của dãy số thể hiện qua
định nghĩa của nó, đặc biệt là qua định lý về mối liên hệ với dãy số. Giới hạn là một khái
niệm khó nên các tính chất của hàm có giới hạn, các điều kiện cần, điều kiện đủ phải
hiểu chính xác. Ngoài ra cần phải nắm được giới hạn đặc biệt.