Giáo ám bồi dưỡng Số học Lớp 6 - Chuyên đề 1: Dãy số tự nhiên viết theo quy luật

 Chuyên đề 1: DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT
Tiết 1: 	 DÃY CỘNG 	
1) Ví du 1ï: Xét các dãy số sau:
Dãy số tự nhiên: 0; 1; 2; 3; 
Dãy số lẻ: 1; 3; 5; 
Dãy các số chia cho 3 dư 1: 1; 4; 7; 10;.
Trong các dãy số trên, mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, đều lớn hơn số hạng đứng liền trước nó cùng một số đơn vị, số đơn vị này là 1 ở dãy a), là 2 ở dãy b), là 3 ở dãy c). Ta gọi các dãy trên là dãy cộng.
2) Khái niệm:
 Dãy cộng là dãy số có mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) đều lớn hơn số hạng đứng liền trước nó cùng một số đơn vịù 
Xét dãy cộng 4; 7; 10; 13; 16; 19; . 
	Hiệu giữa hai số liên tiếp của dãy là 3. số hạng thứ 6 của dãy là 19 = 4 + (6 - 1).3; số hạng thứ 10 của dãy là: 4 + ( 10 – 1).3 = 31. 
Tổng quát 1:
Nếu một dãy cộng có số hạng đầu là a1 và hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là d thì số hạng thứ n của dãy ( kí hiệu là an) bằng: an = a1 + (n – 1).d
Ví dụ2: a) Tìm số hạng thứ 100 của dãy số: 1, 3, 5, 7, ..
	 b) Tìm số hạng thứ 80 của dãy số : 4, 7, 10, 13, 
Giải: a) Số hạng thứ 100 của dãy số: 1, 3, 5, 7, .. là: a100 = 1 + (100 – 1).2 = 199
	b) Số hạng thứ 80 của dãy số: 4, 7, 10, 13, là: a80 = 4 + (80 – 1).3 = 241
Tổng quát 2: 
Nếu một dãy cộng có n số hạng, số hạng đầu là a1, số hạng cuối là an Thì tổng của n số hạng đó là: S = 
Chú ý; 
Dãy các số tự nhiên liên tiếp từ a đến b có: (b – a ) + 1 số
 Dãy các số tự nhiên lẽ (chẳn) từ m đến n có: (n – m): 2 + 1 số
Ví dụ 3: Tính tổng các số hạng của dãy cộng sau: 4 + 7 + 10 +. + 25 + 28 + 31 (gồm 10 số)
Giải: S = 
Ví dụ 4: a) Bạn Tâm phải dùng bao nhiêu chữ số để đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 -> 100. 
 b) Bạn Lâm đánh số trang một cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẳn 2, 4, 6, 8,.
 Biết mỗi chữ số viết mất 1 giây. Hỏi bạn Lâm cần bao nhiêu phút để đánh số trang sách?
Giải: a) Bạn Tâm phải dùng: 9 + 90.2 + 1.3 = 192 chữ số.
 b) Dãy 2, 4, 6, 8 có 4 số, gồm 4 chữ số.
Dãy 10, 12, 14, 16,.98 có: (98 – 10): 2 + 1 = 45 (số) có hai chữ số, gồm 45.2 = 90 chữ số.
Dãy 100, 102, 104, 284 có: (284 – 100): 2 + 1 = 93(số) có 3 chữ số, gồm 93.3 = 279 (chữ số) 
Do đó bạn Lâm phải viết tất cả: 4 + 90 + 279 = 373 (chữ số), hết 373 giây hay 6 phút13 giây.
Tiết 2: LUYỆN TẬP
Bài 1: Tính tổng sau: 6 + 12 + 18 +.. + 1992
Giải: Tổng 6 + 12 + 18 +.. + 1992 có : (1992 - 6): 6 + 1 = 332 số hạng.
 Vậy tổng: 6 + 12 + 18 +.. + 1992 = 
Bài 2: Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang của một cuốn sách có tất cả là:
358 trang.	1031 trang.
Giải: 
a) Muốn đánh số từ 1 đến 358( kể cả 358), Ta phải dùng:
	9 số có một chữ số.
	(99 -10) + 1 = 90 số có hai chữ số.
	Và (358 – 100) + 1 = 259 số có ba chữ số.
	Vây ta phải dùng: 9 + 90.2 + 259. 3 = 966 (chữ số).
b) Tương tự, Ta phải dùng: 9 + 90 .2 + 900 .3 + 32 .4 = 3017 chữ số để đánh số trang của một cuốn sách có 1031 trang. 
Bài 3: Người ta viết liền nhau dãy các số tự nhiên 12345..Hỏi chữ số chỉ đơn vị của số :
53 đứng ở hàng thứ mấy?
328 đứng ở hàng thứ mấy?
1587 đứng ở hàng thứ mấy?
Giải: a) Từ số 1 đến số 53 ( kể cả 53) Có: 9 + (53 -10 +1).2 = 97 chữ số . Vậy 3 ở hàng thứ 97.
 b) Vậy 8 ở hàng thứ 876.
	c) Vậy 7 ở hàng thứ 5241.
Bài 4: Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang của một cuốn sách có tất cả là:
752 trang.	b)1251 trang.
Giải: HS tự giải
Đáp số: a) 2148 chữ số. 	b)3897 chữ số.
Bài 5: Tính số trang của một cuốn sách. Biết rằng để đánh số trang của cuốn sách đó người ta phải dùng 3897 chữ số?
Giải: Phải dùng 9 + 90.2 + 900.3 = 2889 chữ số để viết tất cả các trang có 1, 2, và 3 chữ số. Vì 2889 < 3897 nên số phải tìm là số có 4 chữ số. Tất cả các số có 4 chữ số đã viết là: (số).
Số thứ nhất có 4 chữ số là 1000, vậy số thứ 252 có 4 chữ số là:1000 + 252 – 1 = 1251.
 Vậy cuốn sách có 1251 trang.
Bài 6*: Bạn Lâm đánh số trang một cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẳn 2, 4, 6, 8,.
 Giải:
Chữ số 300 của dãy số trên là chữ số nào?
Viết dãy số chẵn từ 2 đến 98 phải dùng: 4 + 90 = 94 (chữ số), còn lại 300 - 94 = 206 (chữ số) để viết các số chẵn có ba chữ số kể từ 100. 
Ta thấy: 206:3 = 68 dư 2. Số chẵn thứ 68 kể từ 100 là: 100 + (68 – 1) . 2 = 234. hai chữ số tiếp theo là 2 và 3 thuộc số 236. Vậy chữ số thứ 300 của dãy là chữ số 3 thuộc số 236.
Tiết 3: CÁC DÃY KHÁC
Ghi nhớ:
Tổng của n số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 bằng: 
 1 + 2 + 3 + .+ n = 
Ví dụ: Tìm số hạng thứ 100 của các dãy số được viết theo quy luật:
3, 8, 15, 24, 35, (1)
3, 24, 63, 120, 195, (2) 
1, 3, 6, 10, 15,. (3)
2, 5, 10, 17, 26, (4)
Giải: a) Dãy (1) có thể viết dưới dạng: 1.3, 2.4, 3.5, 4.6, 5.7,
	Mỗi số hạng của dãy (1) là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 2, 3, 4, 5, ; Dãy này có số hạng thứ 100 là 100.
Số hạng thứ 100 của dãy (1) bằng: 100.102 = 10200.
	b) Dãy (2) có thể viết dưới dạng: 1.3, 4.6, 7.9, 10.12, 13.15,
Số hạng thứ 100 của dãy 1, 4, 7, 10, 13, là: 1 + (100 – 1 ).3 = 298.
Số hạng thứ 100 của dãy (2) bằng: 298 . = 89400.
c) Dãy (3) có thể viết dưới dạng: 
Số hạng thứ 100 của dãy (3) bằng: 	
	d) Dãy (4) có thể viết dưới dạng:
	1 + 12 , 1 + 22, 1 + 32, 1 + 42, 1 + 52.
Số hạng thứ 100 của dãy (4) bằng: 1 + 1002 = 10001
Bài tập: 
Để đánh số trang một cuốn sách người ta phải dùng tất cả 600 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? 
Giải: 99 trang đầu cần dùng 9.1 +90.2 = 189 Chữ số.
 999 trang đầu cần dùng: 9.1 + 90.2 + 900.3 = 2889 chữ số 
 Vì: 189 < 600 < 2889 nên trang cuối cùng phải có 3 chữ số. Số chữ số để đánh số các trang có 3 chữ số la: ø 600 – 189 = 411 (chữ số)
 Số trang có 3 chữ số là 411: 3 = 137 trang.
 Vậy quyễn sách có tất cả là: 99 +137 = 236 trang.
Tiết 4: LUYỆN TẬP CHUNG 
1/ a) Tính tổng các số lẽ có hai chữ số.
 b) Tính tổng các số chẳn có hai chữ số.
2/ Tính tổng: A = 3 + 7 + 11 + 15 + . + 407
 B = 2 + 9 + 16 + 23 + .. + 709
3/ Viết liên tiếp dãy số tự nhiên từ 1 đến 100 tạo thành một số A. Tính tổng các chữ số của A.
Giải:
 1/ a) Tập hợp các số lẽ có hai chữ số có: (99 – 11):2 + 1 = 45 số.
 Vậy tổng của chúng là: S = 
 b) Tập hợp các số chẳn có hai chữ số có: (98 – 10 ):2 + 1 = 45 số
 Vậy tổng của chúng là: S = 
2/ Tổng A có (407 – 3 ):4 +1 = 102 số hạng. Tổng B có: (709 – 2):7 + 1 = 102 số hạng.
 Vậy: 
3/ Theo đề bài ta có: A = 123456789101112..9899100. Hay A = 0123456789101112.9899100.
 Từ 0 đến 99 có 100 số ghép thành 50 cặp số (0 và 99), (1 và 98),.; Mỗi cặp có tổng các chữ số bằng 18. Tổng các chữ số của 50 cặp số đó bằng 18.50 = 9.2.50 = 900. Thêm số 100 có tổng các chữ số bằng 1. Vậy tổng các chữ số của số A là: 900 + 1 = 901
* C¸c bµi to¸n vỊ d·y sè viÕt theo quy luËt.
Bµi to¸n 1: TÝnh c¸c tỉng sau.
	a) b) 
	c) d) 
	e) 2+5+8++2010 g) 1+5+9+.+2011
Bµi to¸n 2: TÝnh nhanh tỉng sau: 
Bµi to¸n 3: a) TÝnh tỉng c¸c sè lỴ cã hai ch÷ sè
	 b) TÝnh tỉng c¸c sè ch½n cã hai ch÷ sè.
Bµi to¸n 4: a) Tỉng 1+2+3+.+n cã bao nhiªu sè h¹ng ®Ĩ kÕt qu¶ cđa tỉng b»ng 190.
	 b) Cã hay kh«ng sè tù nhiªn n sao cho 
	 c) Chøng minh r»ng: kh«ng chia hÕt cho 10 
Bµi to¸n 5: a) TÝnh nhanh 
b) ¸p dơng kÕt qu¶ phÇn a) tÝnh nhanh 
c) TÝnh nhanh : 
H·y x©y dùng c«ng thøc tÝnh tỉng a) vµ c) trong tr­êng hỵp tỉng qu¸t.
Bµi to¸n 6: T×m sè h¹ng thø 100, sè h¹ng thø n cđa c¸c d·y sè sau:
	a) b) c) 	d) e) g) 
Bµi to¸n 7: Cho d·y sè 
Hái trong d·y sè trªn cã sè nµo cã ch÷ sè tËn cïng lµ 2 kh«ng ? T¹i sao ?.
Bµi to¸n 8: Cho . TÝnh .
Bµi to¸n 9: TÝnh b»ng c¸ch hỵp lý.
a) b) c) 
I. §iỊn thªm sè h¹ng vµo sau, gi÷a hoỈc tr­íc mét d·y sè
C¸ch gi¶i. Tr­íc hÕt cÇn x¸c ®Þnh quy luËt cđa d·y sè.
Nh÷ng quy luËt th­êng gỈp lµ :
+ Mçi sè h¹ng ( kĨ tõ sè h¹ng thø hai ) b»ng sè h¹ng ®øng tr­íc nã céng (hoỈc trõ) víi mét sè tù nhiªn d.
+ Mçi sè h¹ng ( kĨ tõ sè h¹ng thø hai ) b»ng sè h¹ng ®øng tr­íc nã nh©n ( hoỈc chia) víi mét sè TN q kh¸c 0.
+ Mçi sè h¹ng ( kĨ tõ sè h¹ng thø ba ) b»ng tỉng hai sè h¹ng ®øng tr­íc nã .
+ Mçi sè h¹ng ( kĨ tõ sè h¹ng thø t­ ) b»ng tỉng cđa sè h¹ng ®øng tr­íc nã céng víi sè TN d céng víi sè thø tù cđa sè h¹ng Êy.
+ Sè h¹ng ®øng sau b»ng sè h¹ng ®øng tr­íc nh©n víi sè thø tù.
Vvv.....
Bµi 1. ViÕt tiÕp ba sè h¹ng vµo d·y sè sau :
a) 1; 3; 4; 7; 11; 18;...
b) 0; 2; 4; 6; 12; 22;...
c) 0 ; 3; 7; 12;...
d) 1; 2; 6; 24;...
Lêi gi¶i: 
a) NhËn xÐt :
4 = 3 + 1; 7 = 3 + 4; 11 = 4 + 7;....
Tõ ®ã rĩt ra quy luËt cđa d·y sè ®ã lµ: Mçi sè h¹ng ( kĨ tõ sè h¹ng thø ba ) b»ng tỉng cđa hai sè h¹ng ®øng tr­íc nã. ViÕt tiÕp ba sè h¹ng, ta ®­ỵc d·y sè sau:
1; 3; 4; 7; 11; 18; 29; 47; 76;...
b) T­¬ng tù phÇn a, ta t×m ra quy luËt cđa d·y sè lµ: Mçi sè h¹ng ( kĨ tõ sè h¹ng thø t­ ) b»ng tỉng cđa ba sè h¹ng ®øng tr­íc nã. ViÕt tiÕp ba sè h¹ng, ta ®­ỵc d·y sè sau:
0; 2; 4; 6; 12; 22; 40; 74; 136;.....
c) Ta nhËn xÐt :
Sè h¹ng thø hai lµ : 3 = 0 + 1 + 2
Sè h¹ng thø ba lµ : 7 = 3 + 1 + 3
Sè h¹ng thø t­ lµ : 12 = 7 + 1 + 4......
Tõ ®ã rĩt ra quy luËt cđa d·y lµ: Mçi sè h¹ng ( KĨ tõ sè h¹ng thø hai ) b»ng tỉng cđa sè h¹ng ®øng tr­íc nã céng víi 1 vµ céng víi sè TT cđa sè h¹ng Êy. ViÕt tiÕp ba sè h¹ng ta ®­ỵc d·y sè sau :
0 ; 3; 7; 12;18; 25; 33;...
d) Ta nhËn xÐt :
Sè h¹ng thø hai lµ: 2 = 1 2
Sè h¹ng thø ba lµ : 6 = 2 3
Sè h¹ng thø t­ lµ : 24 = 6 4
.....
Tõ ®ã rĩt ra quy luËt cđa d·y sè lµ : Mçi sè h¹ng ( kĨ tõ sè h¹ng thø hai ) b»ng tÝch cđa sè h¹ng ®øng liỊn tr­íc nã nh©n víi sè thø tù cđa sè h¹ng Êy. ViÕt tiÕp ba sè h¹ng ta ®­ỵc d·y sè sau :
1; 2; 6; 24;120; 720; 5040;....
Bµi 2 : T×m sè h¹ng ®Çu tiªn cđa c¸c d·y sè sau :
a).....; 17; 19; 21.
b)......: 64; 81; 100.
BiÕt r»ng mçi d·y cã 10 sè h¹ng.
Lêi gi¶i :
a) Ta nhËn xÐt :
Sè h¹ng thø m­êi lµ 21 = 2 10 + 1
Sè h¹ng thø chÝn lµ 19 = 2 9 + 1
Sè h¹ng thø t¸m lµ 17 = 2 8 + 1
......
Tõ ®ã suy ra quy luËt cđa d·y sè trªn lµ : Mçi sè h¹ng cđa d·y b»ng 2 nh©n víi sè thø tù cđa sè h¹ng trong d·y råi céng víi 1.
VËy sè h¹ng ®Çu tiªn cđa d·y lµ: 2 1 + 1 = 3.
b) T­¬ng tù nh­ trªn ta rĩt ra quy luËt cđa d·y lµ : Mçi sè h¹ng cđa d·y b»ng sè thø tù nh©n víi STT cđa sè h¹ng ®ã.
VËy sè h¹ng ®Çu tiªn cđa d·y lµ: 1 1 = 1.
Bµi 3 : ViÕt tiÕp hai sè h¹ng cđa d·y sè sau :
a) 100; 93; 85; 76;.....
b) 10; 13; 18; 26;...
II. X¸c ®Þnh sè a cã thuéc d·y ®· cho hay kh«ng
C¸ch gi¶i:
- X¸c ®Þnh quy luËt cđa d·y.
- KiĨm tra sè a cã tho¶ m·n quy luËt ®ã hay kh«ng.
Bµi 1: H·y cho biÕt:
a) C¸c sè 50 vµ 133 cã thuéc d·y 90; 95; 100;...hay kh«ng ?
b) Sè 1996 thuéc d·y 2;5;8;11;... hay kh«ng ?
c) Sè nµo trong c¸c sè 666; 1000; 9999 thuéc d·y 3; 6; 12; 24;... hay kh«ng ?
Gi¶i thÝch t¹i sao ?
Lêi gi¶i : 
a) C¶ hai sè 50 vµ 133 ®Ịu kh«ng thuéc d·y ®· cho, v× :
- C¸c sè h¹ng cđa d·y ®Ịu lín h¬n 50.
- C¸c sè h¹ng ®· cho ®Ịu chia hÕt cho 5 mµ 133 kh«ng chia hÕt cho 5.
b) Sè 1996 kh«ng thuéc d·y ®· cho, v× mäi sè h¹ng cđa d·y khi chia cho 3 ®Ịu d­ 2 mµ 1996 chia cho 3 th× d­ 1.
c) C¶ 3 sè 666; 1000 vµ 9999 ®Ịu kh«ng thuéc d·y ®· cho, v× :
- Mçi sè h¹ng cđa d·y (kĨ tõ sè h¹ng thø hai) b»ng sè h¹ng liỊn tr­íc nh©n víi 2. Cho nªn c¸c sè h¹ng ( kĨ tõ sè h¹ng thø ba ) cã sè h¹ng ®øng liỊn tr­íc lµ sè ch½n mµ 666 : 2 = 333 lµ sè lỴ.
- C¸c sè h¹ng ®Ịu chia hÕt cho 3 mµ 1000 kh«ng chia hÕt cho 3.
- C¸c sè h¹ng cđa d·y ( kĨ tõ sè h¹ng thø hai ) ®Ịu ch½n mµ 9999 lµ sè lỴ. 
III. T×m sè sè h¹ng cđa d·y
C¸ch gi¶i:
- §èi víi d¹ng to¸n nµy, ta th­êng sư dơng ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n kho¶ng c¸ch (gi¶i to¸n trång c©y). Ta cã c«ng thøc sau :
Sè c¸c sè h¹ng cđa d·y = Sè kho¶ng c¸ch + 1.
- §Ỉc biƯt, nÕu quy luËt cđa d·y lµ : Mçi sè h¹ng ®øng sau b»ng sè h¹ng liỊn tr­íc céng víi sè kh«ng ®ỉi d th×:
Sè c¸c sè h¹ng cđa d·y = ( Sè h¹ng LN - Sè h¹ng BN ) :d + 1.
Bµi1. Cho d·y sè 11; 14; 17;.....;65; 68.
a) H·y x¸c ®Þnh d·y sè trªn cã bao nhiªu sè h¹ng?
b) NÕu ta tiÕp tơc kÐo dµi c¸c sè h¹ng cđa d·y sè ®ã th× sè h¹ng thø 1996 lµ sè mÊy?
Lêi gi¶i : 
a) Ta cã : 14- 11= 3; 17 – 14 = 3;....
VËy quy luËt cđa d·y sè ®ã lµ mçi sè h¹ng ®øng liỊn sau b»ng sè h¹ng ®ømg liỊn tr­íc céng víi 3. Sè c¸c sè h¹ng cđa d·y sè ®ã lµ:
( 68 – 11 ) : 3 + 1 = 20 ( sè h¹ng )
b) Ta nhËn xÐt :
Sè h¹ng thø hai : 14 = 11 + 3 = 11 + ( 2-1 ) 3
Sè h¹ng thø ba : 17 = 11 + 6 = 11+ ( 3-1 ) 3
Sè h¹ng thø hai : 20 = 11 +9 = 11 + ( 4-1 ) 3
VËy sè h¹ng thø 1996 lµ : 11 + ( 1996-1 ) 3 = 5996
 §¸p sè : 20 sè h¹ng vµ 59996.
Bµi 2 . Trong c¸c sè cã ba ch÷ sè, cã bao nhiªu sè chia hÕt cho 4?
Lêi gi¶i: 
Ta nhËn xÐt : Sè nhá nhÊt cã ba ch÷ sè chia hÕt cho 4 lµ 100 vµg sè lín nhÊt cã ba ch÷ sè chia hÕt cho 4 lµ 996. Nh­ vËy c¸c sè cã ba ch÷ sè chia hÕt cho 4 lËp thµnh mét d·y sè cã sè h¹ng BN lµ 100, sè h¹ng lín nhÊt lµ 996 vµ mçi sè h¹ng cđa d·y ( kĨ tõ sè h¹g thø hai ) b»ng sè h¹ng ®øng kỊ tr­íc céng víi 4.
VËy sè cã ba ch÷ sè chia hÕt cho 4 lµ :
( 996 – 100 ) : 4 = 225 ( sè )
Bµi 3: Cã bao nhiªu sè : cã 3 ch÷ sèkhi chia cho 5 d­ 1? D­ 2 ?
IV. T×m tỉng c¸c sè h¹ng cđa d·y sè
C¸ch gi¶i:
 NÕu sè h¹ng cđa d·y sè c¸ch ®Ịu nhau th× tỉng cđa d·y sè ®ã lµ:
( SLN + SBN ) Sè sè h¹ng : 2
Bµi 1 . TÝnh tỉng cđa 50 sè lỴ ®Çu tiªn .
Lêi gi¶i: 
D·y 100 sè lỴ ®Çu tiªn lµ : 1; 3; 5; ........; 97; 99. VËy ta ph¶i t×m tỉng sau:
1 + 3 + 5 +......+ 97 + 99 
VËy tỉng ph¶i t×m lµ : ( 99 + 1 ) 50 : 2 = 2500
Bµi 2: T×m tỉng cđa :
a) C¸c sè cã 2 ch÷ sè chia hÕt cho 3.
b) C¸c sè cã 2 ch÷ sè chia cho 4 d­ 1.