Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có hướng dẫn chấm và đáp án)

 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8.
 	 	 Môn thi: TOÁN.
	 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
	Bài 1:(2,0 điểm).
Phân tích đa thức thành nhân tử.
	x + 3xy + y - 1
	Bài 2 (1,50 điểm):	 	
Giải phương trình:
	Bài 3 (1,50 điểm): Chứng tỏ rằng không có giá trị nào của x thỏa mãn bất đẳng thức sau:	
Bài 4(1,0 điểm):
	Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là một số nguyên:	
Bài 5(1,0 điểm):(Không sử dụng MTBT tính trực tiếp).
	Tìm chữ số tận cùng của số A = 
	Bài 6 (3,0đ): Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài của tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB với CD, K là giao điểm của AC với BF. Chứng minh rằng:
	a). HA = KA
	b). HA2 = HB.KC
	HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
	 	 	 Môn thi: TOÁN 	
Bài 1:(2,0 điểm).
 x + 3xy + y - 1
= ( x + 3xy + 3xy + y - 1) - 3xy - 3xy + 3xy	(0,50 đ) 	= (x + y) - 1 - 3xy(x + y – 1)	(0,50 đ) 	
= (x + y – 1)(x + 2xy + y +x +y +1 – 3xy)	(0,50 đ) 	
= (x + y – 1)(x - xy + y +x +y +1).	(0,50 đ) 	
Bài 2 (1,50 điểm):
	(0,25 đ)
	(0,25 đ)
	(*)	(0,25 đ)
	Do 	(0,25 đ)
nên: (*) 	(0,25 đ)
 	(0,25 đ) 
Bài 3 (1,50 điểm):
	 Ta có: -2x – x – 3 = -2.	(0,25 đ)	 	 	(0,25 đ)
	 	 (0,25 đ)	 	(0,25 đ)
Với mọi x ta luôn có:	 -2	 	(0,25 đ)
Lại có nên ta có: . Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh là không có giá trị nào của x thỏa mãn BĐT: 	(0,25 đ) 
Bài 4 (1,0 điểm):
	(0,25 đ)
A có giá trị nguyên khi là nguyên, tức là phải có (x – 3) là ước của 7	(0,25 đ)
Do đó: 	x – 3 = - 1 => x = 2	(0,125đ)
	x – 3 = 1 => x = 4	(0,125đ)
	x – 3 = -7 => x = -4	(0,125đ)
	x – 3 = 7 => x = 10	(0,125đ)
Bài 5 (1,0 điểm):
Ta thấy: 	(0,25 đ)
	 = 	(0,25 đ)
Số có chữ số tận cùng bằng 6 dù nâng lên luỹ thừa nào cũng tận cùng bằng 6, do đó 16502 có chữ số tận cùng bằng 6.	(0,25 đ)
Suy ra số A = 22009 = 16502.2 có chữ số tận cùng bằng 2.	(0,25 đ)
	Bài 6 (3,0 đ):
a). (2,25đ)
Gọi các cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt là c, b.
	(0,25 đ)
Tương tự ta cũng có: 	 AB // CF	(0,25 đ)
Theo định lý Talet, ta có:
	(0,25 đ)
	 (vì 	(0,25 đ)
Từ (1):	 	(0,25 đ)
	(0,25 đ)	Từ (2):	 	(0,25 đ)
	(0,25 đ)	 
	Vậy HA = KA = 	(0,25 đ)
b).Từ (1) và (2) ở trên ta có: 	 (0,25 đ)
	mà HA = KA (C/m trên) nên suy ra HA2 = HB.KC	 (0,50 đ)
Lưu ý: 
- Ở các bài toán trên học sinh có thể giải theo các cách khác mà có kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Với bài 6, nếu không có hình vẽ mà chứng minh đúng thì không cho điểm ).