Chuyên đề dãy số có quy luật

Chuyên đề dãy số có quy luật 
Xuất phát từ một bài Toán trong sách giáo khoa như sau:
    Tính: A = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100
    Ta thấy tổng A có100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, mỗi nhóm có tổng là 101 như sau:
         A = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (50 + 51) = 101 + 101 + ... + 101 = 50.101 = 5050.
    Đây là bài Toán mà lúc lên 7 tuổi nhà Toán học Gauxơ đã tính rất nhanh tổng các số Tự nhiên từ 1 đến 100 trước sự ngạc nhiên của thầy giáo và các bạn bè cùng lớp.
    Như vậy bài toán trên là cơ sở đầu tiên để chúng ta tìm hiểu và khai thác thêm rất nhiều các  bài tập tương tự, được đưa ra ở nhiều dạng khác nhau, được áp dụng ở nhiều thể loại toán khác nhau nhưng chủ yếu là: tính toán, tìm số, so sánh, chứng minh. Để giải quyết được các dạng toán đó chúng ta cần phải nắm được quy luật của dãy số, tìm được số hạng tổng quát, ngoài ra cần phải kết hợp những công cụ giải toán khác nhau nữa.
    Các bài toán được trình bày ở chuyên đề này được phân ra hai dạng chính, đó là:
    - Dạng thứ nhất: Dãy số với các số hạng là số nguyên, phân số (hoặc số thập phân) cách đều
    - Dạng thứ hai: Dãy số với các số hạng không cách đều.
    Sau đây là một số bài tập được phân thành các thể loại, trong đó đã phân thành
Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đều.
Bài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99
            Nhận xét: Nếu học sinh nào có sự sáng tạo sẽ thấy ngay tổng: 2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99 có thể tính hoàn toàn tương tự như bài 1, cặp số ở giữa vẫn là 51 và 50, (vì tổng trên chỉ thiếu số 100) vậy ta viết tổng B như sau:
            B = 1 + (2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99). Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (51 + 50) = 49.101 = 4949, khi đó B = 1 + 4949 = 4950
            Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp (mỗi cặp có 2 số hạng thì được 49 cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 49 thì gồm 2 số hạng nào? Số hạng dư là bao nhiêu?), đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc.
    Ta có thể tính tổng B theo cách khác như sau:
            Cách 2:
B   =  1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99
+
B   =  99 + 98 + ... +   3 + 2 + 1
2B = 100 + 100 + ... + 100 + 100 + 100
 2B =100.99  B = 50.99 = 4950
Bài 2: Tính C = 1 + 3 + 5 + ... + 997 + 999
Lời giải:
            Cách 1: Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ. Áp dụng các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + ... + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng trên có 250 cặp số)
            Cách 2: Ta thấy:
1
=
2.1
-
1
3
=
2.2
-
1
5
=
2.3
-
1
...
999
=
2.500
-
1
    Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác định được số các số hạng của dãy số C là 500 số hạng.
Áp dụng cách 2 của bài trên ta có:
C   =  1 + 3 + ... + 997 + 999
+
C   =  999 + 997 + ... +  3 + 1
2C = 1000 + 1000 + ... + 1000 + 1000
 2C = 1000.500  C = 1000.250 = 250.000
Bài 3. Tính D = 10 + 12 + 14 + ... + 994 + 996 + 998
            Nhận xét: Các số hạng của tổng D đều là các số chẵn, áp dụng cách làm của bài tập 3 để tìm số các số hạng của tổng D như sau:
            Ta thấy:
10
=
2.4
+
2
12
=
2.5
+
2
14
=
2.6
+
2
...
998
=
2.498
+
2
 Tương tự bài trên: từ 4 đến 498 có 495 số nên ta có số các số hạng của D là 495, mặt khác ta lại thấy: 
hay
            số các số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách rồi cộng thêm 1
    Khi đó ta có:
D   =  10 + 12 + ... + 996 + 998
+
D   =  998 + 996 + ... +  12 + 10
2D = 1008 + 1008 + ... + 1008 + 1008
2D = 1008.495  D = 504.495 = 249480
Thực chất  
    Qua các ví dụ trên , ta rút ra một cách tổng quát như sau: Cho dãy số cách đều       
u1, u2, u3, ... un (*), khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của dãy là d,
 Khi đó số các số hạng của dãy (*) là:  (1)
 Tổng các số hạng của dãy (*) là 
Đặc biệt từ công thức (1) ta có thể tính được số hạng thứ n của dãy (*) là:  
                               un = u1 + (n - 1)d
  Hoặc khi u1 = d = 1 thì  
Bài tập:
Bài 1:
Bài 2: Tính
Bài 3: Tìm số tự nhiên x thỏa mãn:
Bài 4: Chứng minh với mọi n là số tự nhiên thì:
a) 
b)  
Bài 5: Chứng minh rằng: thì:
Bài 6: Cho  . Chứng minh: 
Kiến thức cơ bản về phần nguyên 
  Định nghĩa:
- Phần nguyên của một số thực x, ký hiệu 
 là số nguyên lớn nhât không vượt quá x
    hay  là số nguyên thoả mãn: 
- Phần lẻ của một số x, Ký hiệu 
 là số: Do đó: 
         Ví dụ:   ; ; 
        Tính chất:
- Nếu và  thì  
- Nếu 
   với mọi 
    với mọi 
 Bài 1: Tìm  
Hướng dẫn:
        Từ điều kiện bài ra ta có:        
 Bài 2: 
Tìm   biết: 
Hướng dẫn:
Từ điều kiện suy ra:  Suy ra 
Bài 3: 
Tìm  biết: 
Hướng dẫn:
Ta có:
Bài 4:
Tìm  biết: 
Hướng làm:
Đánh giá: 
Bài 5:
Tìm  biết:
(có n dấu căn)
Hướng dẫn:
Ta sẽ chứng minh được: 
Bài 6: Tìm  biết:
Bài 7: Tìm  biết:
  (n dấu căn)
Ta sẽ chỉ ra số nguyên y sao cho:
Ta có: