Bài tập ôn thi Đại học môn Toán học - Phạm Đức Quyền

MỤC LỤC
Phần một: ĐẠI SỐ
 Bài 1: Phương trình và bất phương trình	 3
 Bài 2 :Tam thức bậc hai	 6
 Bài 3 : Phương trình – bất phương trình 
 chứa dấu giá trị tuyệt đối	 10
 Bài 4: Phương trình vô tỉ 	 11
 Bài 5: Bất phương trình vô tỉ 	 15
 Bài 6 : Phương trình trình mũ 17
 Bài 7: Bất phương trình mũ	 20
 Bài 8 Phương trình logarit	 21
 Bài 9 : Bất phương trình logarit	 23
 Bài 10 : Hệ phương trình	 25
 Bài 11 : Bất đẳng thức	 35
 Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất
 của hàm số sau: 	 34
Phần hai : LƯỢNG GIÁC
 	 Bài 1 Các công thức lượng giác 	 36
Bài 2 :Phương trình lượng giác 	 40
 Bài 3:.Phương trình bậc hai, bậc ba đối 
 với một hàm số lượng giác 43
 Bài 4 Phương trình bậc nhất đối với 
 s inx và cosx 45
 Bài 5: Phương trình đẳng cấp, thuần nhất 
 bậc hai ,bậc ba đối với sinx và cosx 47
	Bài 6 : Phương trình đối xứngđối với
 sinx và cosx 49
 BÀI 7 Hệ phương trình lượng giác 51 
	BÀI 8: Các bài toán biến đổi tam giác và 
 giải tam giác	52
 BÀI 9: Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của 
 hàm số lượng giác 	 55
 Phần ba : TÍCH PHÂN
 Bài 1 : Đạo hàm 	 	 57
 Bài 2 :Nguyên hàm 	 58
 Bài 3 Nguyên hàm của hàm hữu tỉ 	 61
 Bài 4 Nguyên hàm của hàm lượng giác 63
 	 Bài 5 :Tích phân xác định	 65
 Bài 6: Tích phân bằng phương pháp 
 đổi biến số 	 68
 Bài 7: Tích phân bằng phương pháp 
 từng phần 	 72
 Bài 7: Chứng minh đẳng thức tích phân	 75
 Bài 8: Bất đẳng thức tích phân	 77
 	 Bài 8 Diện tích hình phẳng	 79
 Bài 10 : Thể tích vật thể tròn xoay 82
Phần bốn: BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC VÀ ĐẠI SỐ
 Bài tập lượng giác	 	 83
 Bài tập đại số	 90
 Đại số
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
 I/ Giải phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx+d = 0
Cách giải :phương pháp nhẩm nghiệm
 +Bước 1 : nhẩm nghiệm x0 (thường là ước của d)
 + Bước2: chia ax3+bx2+cx+d cho x- x0 , đưa về phương trình dạng tích (x- x0 )( ax2+ Bx+ C) = 0
 Chia đa thức theo sơ đồ hocner 
a
b
c
d
x0
a
B
C
0
 Với B = a. x0 + b
	 C = B. x0 + c
 Bài tập
 1/ x3–3x2+5x = 0 2/ x3-5x2+2x+2 = 0 3/ 2x3-7x2 +9 = 0
 4/ Cho đa thức:
Tính P(m)
Tìm m để pt P(x)= 0 có 3 nghiệm dương phân biệt
II/ Phương trình bậc bốn:
 1/ Phương trình trùng phương:
 Cách giải: đặt t = x2 , điều kiện: t 0
 2/ Phương trình phản thương loại 1:
 Cách giải: 
 + x = 0 : không là nghiệm
 + : chia hai vế cho x2 , ta được
 Đặt t = , ĐK . Ta được 
 3/ Phương trình phản thương loại 2:
 Cách giải: 
 + x = 0 : không là nghiệm
 + : chia hai vế cho x2 , ta được
 Đặt t = , Điều kiện 
 Ta được 
 4/ Phương trình. Đặt t = x + 
 Ví dụ: 
 5/ Phương trình bậc bốn đầy đủ:
Cách giải: tương tự như phương trình bậc ba:
tìm nghiệm x0 rồi chia vế trái cho (x – x0)
Bài tập: Giải các phương trình sau
(x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 0
Cho đa thức P(x)= 
a) Tính P(1), P(-1)
Tìm m để pt P(x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
 II/ Giải bất phương trình
Cách giải bất phương trình dạng f(x) 0 
 - Giải phương trình f(x) = 0
Xét dấu biểu thức f(x)
Chọn khoảng nghiệm thích hợp 
 Lưu ý: Dấu của đa thưc bậc bất kỳ : khoảng ngoài cùng
bên phải luôn cùng dấu với a, qua nghiệm đơn đổi dấu qua
 nghiệm kép không đổi dấu
 Ví dụ : giải bất phương trình
 1/ x2-3x > 0 2/ x2-4x+4 0 
 3/ x2-5x+7 >0 4/ x3-4x2+80 
 5/ 	 6/ 
 7/ x3-5x2+8x-4 0
Bài 2 :TAM THỨC BẬC HAI
 I/ Tóm tắt giáo khoa
 1/Định lý Viet:
 a.Định lý thuận: cho phươnh trình :ax2+bx+c = 0 có 
 hai nghiệm x1,x2. Ta có 
 b. Định lý viet đảo :Nếu biết 
 thì x, y là nghiệm phương trình X2– SX+ P = 0
 Hệ quả: Dấu các nghiệm số của p trình bậc hai
 Phương trình bậc hai có hai nghiệm 
 Trái dấu 	Cùng dấu 
 Cùng dương 	Cùng âm
 2/Tam thức bâc hai f(x) = ax2+bx+c (a0)
Định lý Thuận về dấu của tam thức bậc hai:
. 0 với mọi x
. = 0 thì af(x) > 0 với mọi x
. > khi đó f(x) có hai nghiệm và
 af(x) > 0 với mọi x ngoài 
 af(x) < 0 với 
Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai: Nếu tồn tại số sao cho a.f() < 0 thì phương trình có hai nghiêm phân biệt và số nằm trong khoảng hai nghiệm đó và 
Điều kiện tam thức không đổi dấu 
 f(x) , 
 f(x) ,
 d. So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số
 	+ 
 	+ f(
 + 
 + 
e. Điều kiện f(x) có nghiệm thoả x > 
 TH 1: f(x) có nghiệm f( 
 TH2: f(x) có nghiệm
 TH3: f(x) có nghiệm 
(làm tương tự cho trường hợp < x và khi xảy ra dấu bằng) IICÁC DẠNG BÀI TẬP Tìm m để các phương trình sau có nghiệm thỏa điều kiêïn:
 1/(m+2)x2-2(m+8)x+5(m-2) = 0 , 	
 2/ (m+1)x2-2(2m-1)x+3(2m-1) = 0 , 
 3/ (m+1)x2-2(m-1)x+m2+4m-5 = 0 , 2
 4/ 3x2-2(m+5)x+m2-4m+15 = 0 , 
 5/ x2-2mx+3m-2 = 0 , 	
 6/mx2-2(1-m)x+m-3 = 0 , 
 7/ x2-2mx+m2-3m+2 = 0 có đúng một nghiệm x
 8/ x2–(m+5)x–m+6 = 0 có hai nghiệm thoả 
 2x1 + 3x2 = 13
 9/ mx2 + (2m-1)x + m-3 = 0, có 2 nghiệm thoả 
 10/Tìm m để phương trình x2 -2(m+4)x + m2+ 8 = 0
 có hai nghiệm dương
 11/ Cho pt 
Tìm m để pt có nghiệm
Tìm m để pt có nghiệm thoả 
Tìm giá trị lớn nhất GTNN của biểu thức
 12/ Cho phương trình 
 Tìm m để 
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt
Phương trình vô nghiệm
 13/ Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt
 14/ Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt 
 lập thành một cấp số cộng: 
 Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm thỏa
 điều kiêïn: 
 15/ -x2+(m+1)x+2m > 0 , 
 16/ mx2-4x+3m+1 > 0 , 
 17/ sin2x + 4sinx + 2m
 18/ x2- (3m+1) + m > 0 , 
 19/ sin2x -2cosx + 2m > 0 , 
 20/ x2-2(m+1)x-m+5
Bài 3 : PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. Một số kiến thưc cần nhớ
1/ Định nghĩa
 2/ Một số tính chất
 + Tính chất 1 :
	 + Tính chất 2: 
 + Tính chất 3:
 + Tính chất 4: 
 + Tính chất 5 :
 + Tính chất 6: dấu băng 
 xảy ra khi và chỉ khi A , B cùng dấu
II. BÀI TẬP
 1) 
 2) ( ĐH Huế 1997-D)
 3) 
 4) ( ĐH Hàng hải,1996)
 5) 	( ĐH SP vinh,1999)
 6) 
 7) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 
 (dùng phương pháp đồ thị) ĐS:m 1
Bài 4:phương trình vô tỉ
 I .TÓM TẮT GIÁO KHOA:
 + 
 + 
 Khi giải phương trình vô tỉ có các cách sau:
 - Bình phương hai vế
 - Đặt ẩn phụ 
 - Đưa về phương trình bậc hai ẩn t, x là tham số
 - Đưa vệ phương trình ẩn x, t
 II.CÁC DẠNG BÀI TẬP:
 1/ x - 
 2/ 
 3/ 	
 4/ 
 5/ 
 6/ 	
 7/ 
 8/ 3 
 9/ (x+3)(1-x)+5
 10/ 
 11/ 
 12/
 13/ (4x-1)	
 14/ 
 15/ 
 16/ 
 17/ 2 
 18/ 
 19/ 
 20/
 21/ (Phương pháp đánh giá)
 22/ (KD-2006)
 23/ (KA-2006)
 24/ 2 (KD-2005)
 15/ (KB-2002)
 Tìm m để các pt sau có nghiệm thỏa điều kiện
	1/ có nghiệm 
	2/
 a.Có nghiệm b. Có hai nghiệm phân biệt
	3/ 
 a.có nghiệm b. Có hai nghiệm phân biệt 
	4/ có nghiệm
	5/ có nghiệm
 (ĐH y-dược TPHCM, 1999)
	6/ có nghiệm
	7/. Tìm m để phương trình
 a. Có nghiệm duy nhất 
 b. Có hainghiệm phân biệt
 8/ m 
 Tìm m để phương trình có nghiệm (KB-2004)
 9/ m có hai nghiệm phân biệt
10/ có nghiệm 
11/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt (KB – 2006)
12/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
 (KA-2007)
13/ Chứng minh với mọi giá trị dương của tham số m phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt
 (KB-2007)
14/ Tìm m để pt sau có nghiệm:
 ( ĐH Thuỷ sản 1998)
Bài tập làm thêm:
 1/ 
 2/ Cho pt 
Giải pt khi a = 3
Tìm a để pt có nghiệm
3/ Cho pt 
 a) Giải pt khi m = 3
 b) Tìm m để pt có nghiệm
4/ 
5/ 2(1-x)
6/ ()
7/ 
 ( Giả sử ; không thoả
 Do đó x > 0 
 Bình phương hai vế ( Đs: x = 8)
8/ (bình phương, Đs :x = )
 9/ (Nhân lượng liên hợp )
 Đs :x = 8
 10/ 
 (Bình phương, Đs x = 1, )
 11/ 
 12/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm
 ( Bình phương, 
 đặt t =, phương pháp hàm số , Đs: )
Bài 5: BẤT phương trình vô Tỉ
I Bất phương trình vô tỉ cơ bản 
 + 
 + 
 + 
 + 
 + 
 Giải các bất phương trình sau :
1/ 	
2/ 
3/ 	
4/ 	
5/ (KA-2004) 
6/ 	
7/ (x+1)(x+4)	
8/ 
9/ (x-3)	
10/ ( (KD-2002)
11/	
12/ 	
13/ 
14/ (KA-2005)
 Tìm m để các bất pt sau có nghiệm thỏa điều kiện:
 14/ có nghiệm
 15/ có nghiệm 
16/ có nghiệm 
17/ có nghiệm 
18/ x+4
19/ 
20/ m 
	Bài 6 : PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH MŨ 
 I.TÓM TẮT GIÁO KHOA:
 1/ Công thức luỹ thừa
 (n số a)
 , 
2/ Phương trình mũ cơ bản
 + 
 + af(x) = c f(x) = logac
 + Chú ý: Phương trình dạng thì
 chia hai vế cho b2x ta được
 A. đặt t = 
 III.CÁC DẠNG BÀI TẬP :
 1/ 
 2/ ( 
 3/ 	
 4/ 	
 5/ 
 6/ 	
 7/ ( 
 8/ 
 9/ 2. 
 10/ 3.
 11/ 
 12/ 
 13/ 7.
 14/ 
 15/ 
 16/ 
 17/ 	
 18/ 
 19/ 	
 20/ 	
 21/ 1+ 
 22/ 3x+x-4 = 0 	
 24/ 
 25/ 
 26/ 3. 	
 27/ 	
 28/ 
 29/ 
 30/ 
Tìm m để các phương trình sau có nghiệm thỏa điều kiện
 1/ 
Có hai nghiệm phân biệt
 Có hai nghiệm phân biệt thỏa x1+x2 = 3 
 2/ m9x+3(m-1) 3x-5m+2 = 0 có hai nghiệm trái dấu 
 3/ Tìm m để phương trình
Có nghiệm
Có 2 nghiệm phân biệt
 4/ Cho phương trình 
Giải pt khi a = 7
Biện luận theo a số nghiệm của pt 
 Bài 7: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
 Bất phương trình mũ cơ bản 
 + Cơ số a > 1 : ax > ab x > b
 ax > c x > logac 
 + Cơ số 0 < a < 1 : 
 ax > ab x < b
 ax > c x < logac
 + 
 Giải các bất phương trình mũ sau 
1/ 
2/ 
3/ ( 
4/(	
5/ ( 
 (Học viện giao thông vận tải năm 1998)
 6/ 
7/ 
8/ ( Chia hai vế cho , đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất)
 Bài 8 PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
I/ Các công thức logarit
1/Định nghĩa logarit : cho a N > 0 Ta có : 
 2/Tính chất : , 
 , , 
 3/ Các phép toán về logarit
 4/ Công thức đổi cơ số
 ; 
 ; 
5/ Phương trình logarit cơ bản
Giải các phương trình logarit sau	
1/ 	
2/ 
3/ 2lg(x-1)+lg(2x+5) = lg(13-2x)	
4/ log5(25x+ 5x +1)+log5(5x –1) = 3x+1
5/ 6/ 
7/ 
8/ 9/ 	
10/ 
11/ 
12/ 
13/ (x-1)
14/ 
15/ 
16/ (x+2)
17/ 	
18/ 
19/ 
20/ 
21/ ( Khối A 2008)
Tìm m để các phương trình sau có nghiệm thỏa điều kiện
1/ lg(x2+mx) – lg(x-3) = 0 có nghiệm 
 2/ có 
 nghiệm thỏa 2 < x1 < ...  ra :
@ Lưu ý : Sử dụng đổi biến loại II khi có mặt và đạo hàm của nó.Chẳng hạn
 = đặt t = lnx .
 Cụ thể : có mặt lnx và thì 
 đặt t = lnx
 3.Bài tập
 1/	
 2/
 3/
 	4/
 	5/ 
6/
 	7/	
	8/
 	9/
	10/
 	11/	
12/
 	13/ 	
	14/ 
 15/
16/ 
17/	
18/ 	
19/
20/	 	
21/
22/	 
23/
24/	
25/
26/	
27/
28/	
29/	
30/ (KA-03)	 Đáp số: 
 	31/ (KA-04)	 Đáp số:
32/ 	(KA-05) Đáp số: 
33/ ( KA-06)	Đáp số: 
 34/ (KB-03)	 Đáp số: 
35/ (KB-04) Đáp số: 
36/ 	(KB-05) Đáp số: 
 37/ 	(KB-06) Đáp số: 
37/ ( BK HN 98)
38/ 	(KD-05)
 Tách ra hai tích phân , Đáp số: 
39/	
40/
41/ 
42/ 	 (KA- 2008)
43/ (KB- 2008)
Tích phân liên kết và kết hợp
1/Cho I = ;
 J = 
 a)Bằng cách đặt x = -t . Chứng minh rằng :I = J
 b) Tính I+J rồi suy ra giá trị của I,J. Aùp dụng:
1) 
2/ CMR nếu f(x) là hàm số lẻ liên tục trên đoạnthì= 0 . Tính:
3/ Cho hàm số f(x) liên tục trên 
 Chứng minh :	
 Aùp dụng tính : 
 Bài 7: TÍCH PHÂN BẰNG
 PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
1.Công thức từng phần : 
2.Chú ý: Công thưc trên cho phép thay việc tính phức tạp bằng một tích phân đơn giản hơn.
3.Hai dạng tích phân từng phần thường gặp
 Dạng1: I = 
 ( Trong đó p(x) là một đa thức theo x)
 Đặt u = p(x) ; dv= phần còn lại
 Dạng 2 : I = 
 Đặt : u = lnx ; dv= phần còn lại
 4.Bài tập: Tính các tích phân sau
 1/	
 2/
 3/ 	
 4/
 5/	
 6/
7/	
8/
9/ 	
10/
 11/	
12/ 	
 13/	
14/ 	
 15/
16) 	(KD-04) Đáp số: 3ln3 –2
17) 	(KD-06) Đáp số: 
18/ 	(KD-07) Đáp số: 
18/ Đ s: 
19/ ( đặt u = dv = 
 thông qua , 
 Đs 
20/ 	(KD- 2008)
BÀI 7: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Cho f(x) liên tục trên đoạn [0, 1]. Chứng minh
 HD:Đặt 
Cho b >0 và f(x) chẵn liên tục trên R. CMR
Chứng minh f(x) là hàm số lẻ liên tục trên đoạn 
[–a, a] thì 
 Tính: 
a) Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn 
[–a, b]. Chứng minh 
b) Tính Đáp số : 
 BÀI 8: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Chứng minh: 
 HD: , 
Chứng minh: 
Chứng minh: 
Chứng minh: 
Chứng minh: 
Chứng minh: 
 BÀI 9 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
DẠNG I
 Bài toán : 
"Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
 y = f(x) ,hai đường thẵng x = a ,x = b và trục Ox "
 Giải 
 Bước 1 : diện tích cần tính là s = 
 Bước 2 : Giải phương trình : f(x) = 0 giả sử được
 nghiệm x = c[a, b]
 Bước 3 : Khi đó 
 s = 
 * Nhận xét: + Việc tách ra2, 3 tích phân, hoặc không tách tuỳ thuộc số nghiệm phương trình f(x) = 0
 + Bước 2 có thể thay bằng việc vẽ đồ thị, hoặc lập bảng xét dấu f(x)
 Chú ý : Nếu bài toán: " Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y) ,hai đường thẵng y = a ,
 y = b và trục Oy " Thì s = 
 Bài Tập : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
 1/ x = -1 , x = 2 , y = 0 , y = x2 - 2x 
 2/ y = sin2xcos3x , y = 0 , và x = 0 ,x = 
 3/ x = 1 , x = e , y = 0 , y = 
 4/ y = , x = 0 , x = 1 , y = 0
 5/ (KB-07) Đsố: 
 6/ parabol y = –x2 –2x +3, tiếp tuyến với (P) tại điểm 
 M (2, -5) và trục tung 	 Đsố : đvdt
DẠNG II
 Bài toán : 
"Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 
 y = f(x) , y = g(x) hai đường thẵng x = a ,x = b "
 Bước 1 : diện tích cần tính là 
 s = 
 Bước 2 : Giải phương trình : f(x) – g(x) = 0 giả sử 
 được nghiệm x = c[a, b]
 Bước 3 : Khi đó 
 s = 
 * Nhận xét: nếu chưa cho hai đường thẳng x = a, x= b
 thì giải phương trình trước , áp dụng công thức 
 tính diện tích sau
 Chú ý : Nếu bài toán: " Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y) ,x = g (y) hai đường thẳng y = a ,y = b " Thì s = 
 Bài tập : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
 1/ y = , y = , x = , x = 
 2/ y = 2x , y = 3-x , x = 0 ( nên vẽ hình )
 3/ (KA-07)
 4/ 	Đsố: đvdt
 5/ y = x2-2x ; y = -x2+4x 
 6/ y2-2y+x = 0 ; x+y = 0
 7/ y = và y = x+3 (KA-02) Đsố:đvdt
 ( vẽ hình )
 8/ y = -x2 +2x ; y = -3x 
9/ y = và y = 
10/ y = x2 , x = y2 Đsố: Đsố: đvdt
 DẠNG III
 Với yêu cầu : "Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , y = g(x) , y = h(x) " 
 Bước 1 : Giải các phương trình f(x) - g(x) = 0 và 
 g(x) - h(x) = 0 ; f(x) - h(x) = 0
 Bước 2 : Thiết lập công thức diện tích
 Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
1/ 2/ 
 3/ Parabol y = -x2+4x-3 và hai tiếp tuyến tại 
 các điểm A(0,-3) và B(3,0) 
BÀI 10 : THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY 
Lý thuyết 
 Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường x= a, x = b,
 y = 0 và y = f(x) .
 Vật thể tròn xoay tạo nên khi quay (H) quanh trục Ox có thể tích là: V=
Bài tập
1/ Cho hình (H) giới hạn bởi các đường x = 0, x = .
 y = 0, y = . Tính thể tích khối tròn xoay
 khi ta quay (H) quanh trục Ox
 HD: Đsố :
2/ Cho hình (H) giới hạn bởi các đường x = -1, x = 2 .
 y = 0, y = .
 a) Tính diện tích của (H) Đsố : 
 b) Tính thể tích khối tròn xoay khi ta quay (H) quanh
 trục Ox	Đsố :
3/ Cho hình (H) giới hạn bởi các đường x = .x =
 y = 0, y = . Tính thể tích khối tròn xoay
 khi ta quay (H) quanh trục Ox
 HD: Đsố :
4/ Tính thể tích khối tròn xoay khi quay phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 vàkhi quay quanh 
 trục Ox ( ĐH Nông nghiệp I ,1998)
5/ Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên khi ta quay
 Chung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các parabol
 y = x2– 4x+6 và y = –x2 – 2x +6
BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC 
cos3x.sin3x + sin3x.cos3x = 
(cần nhớ các biến đổi lượng giác cos4x + sin4x 
= 1 – , cs6x + sin6x = 1 – , cos3x.sin3x + sin3x.cos3x=)
2)1+ sin3x + cos3x = 	 
3) sinx.sin2x + sin3x = 6cos3x
4) tgx + 2sin2x = 3
5) cosx.cos. cos – sinx.sin.sin = 	
6) sin23x = 4cos4x + 3 
7)
8) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = sinx + sin2x + sin3x + sin4 9) cos2x + 2sin10x = 1
10) 2sin3x – = 2coss3x + (Lưu ý các số hạng có chứa thừa số (cosx + sinx) là: cos2x, sin3x + cos3x , sin4x – cos4x , sin3x – cos3x, 1 + tgx, tgx – cotgx. Cũng tương tự cho các số hạng có chứa thừa số (cosx–sinx) la:ø cos2x, sin3x – cos3x , sin4x – cos4x , sin3x + cos3x, 1 – tgx )
11) 3sinx + 2cosx = 3(1 + tgx) – 	
8) cos3(x + ) = cos3x (đặt t = x + )
12) sin4x + cos4x = cotg(x + ).cotg( ) 
 (HD: (x + ) + ( )= 
 => cotg(x + ).cotg( ) = 1 
13) cos2 2x + 2(sinx + cosx)3 – 3sin2x – 3 = 0 
 (HD: cos2 2x = 
 (sinx – cosx)2(sinx + cosx)2,1+sin2x= (sinx+cosx)2
14) 4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1)	
15) sin2x(tgx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3 
16) sinx – 4sin3x + cosx = 0 
17) cos2x – sin2x –sinx – cosx + 4 = 0 
 (HD: cos2x – sin2x = 2 cos(2x+ ), 
 đặt t = x + ) 
 18) 2 + cosx = 2tg 19) tg3 (x – ) = tgx – 1 
 ( HD: đặt t = tgx )
20) sin() = sin() 
 (HD: đặt t = => = – 3t )
21) tgx – 3cotg3x = 2 tg2x 
 (HD: tgx –cotg3x = 2(tgx + cotg3x) 
22) tg2 x = 23) 2tg2x + 3= 24) tg2x -2sin2x = sin2x ( đặt sinx làm nhân tử chung)
25) 6tg2x – 2cos2x = cos2x (đặt t = cos2x )	 
26) tg2x + cotgx = 8 cos2x (đặt cosx làm nhân tử chung)
27) cos2x + 4sin4x = 8cos6x (HD: đặt t = cos2x ) 
28) 3tgx + 2cotg3x = tg2x 
29) sin4x + cos4x = 
30) (1 –tgx)(1 + sin2x) = 1+ tgx 
 (HD : đặt sinx + cosx làm nhân tử chung)
31) tgx + cotg2x = 2cotg4x 	
32) cos7x.cos5x – sin2x = 1 – sin7x.sin5x
33)2cosx(sinx – 1) = cos2x 
34) 3sinx – cos3x = 4sin3x – 1 
35) sin(x – ) + sin (x + ) = 2sin2006x 
 ( HD: (x + ) – (x – ) = )
36) 4 sinx + 6cosx = 
37) sin3x = 2cos3x	 
38) 8 cos3(x + ) = cos3x
39)sin3((x + ) = 2sinx
40)8cosx = 
 41) 1 + tgx = 2	sinx
42) cosx + + sinx + = (đặt t= cosx + sinx ) 43) 2sinx = + 
44) 2sin3x + cos2x + cosx = 0 (cos2x = 1- 2sin2 x, 2sin2x làm
 nhân tử chung, nhân tử mới cosx + 1)
45) (tgx+ 7) tgx + (cotgx+ 7)cotgx + 14 = 0 
 (HD : đặt t = (tgx+ cotgx )
46) 2tgx + tg2x + tg3x 2cotgx + cotg2x +cotg3x = 8 
 ( đặt t = tgx + cotgx)
47) cotgx – tgx = sinx – cosx 
49) sin4x + cos4x = sin2x – 
50) sin4x - cos4x = sin4x – 
51) sin6x – cos6x = cos22x 
52) tgx = cotgx + 2cotg32x (tgx – cotgx = cotg2x )
53) Tìm min, max của hàm số : a) y = 3sin x+ 4 cox – 4 	b) 
 54) 
55) 	
56) 
57) 	58) 	
59) tgx + tg2x + tg3x = 0
60)	 
61)sin4x + cos4x = (3 – cos6x) 
62) cos7x – sin5x = (cos5x – sin7x) 
63)sin3(x + 450) = sinx 
64)cos4x + sin6x = cos2x 
65) (cos5x – cos7x)= cos22x – cos2 3x 
66)sin3x + sinx.cosx + cos3x = 1 
67) sin9x + sin7x + 2sin2x – 1 
68) sin3x + cos3x = 1 – sin2x 
69) sin4x + sin2x + cos4x = 
70) tg3x – tgx = 4sinx 
71) (1 + sin2x) (cosx –sinx) = 1 – 2sin2x 
72) tgx + tg2x = tg3x 
73) (sinx +sin2x)(sinx – sin2x) = sin23x 
74)sin2x – 12(sinx – cosx) +12 = 0 
75) sinx + cosx +sin2x + cos2x = –1
76)cosx – cos3x = cos(– x) – cos ( + x) 
77) cosx – cos2x = sin3x 154)sin4+ cos4 = 
78) 
79) sin4 x– sin2x + 4(sinx + 1) = 0 
80)sin4x + cos22x = 2 
81) 4cos2(2 – 6x) +16cos2(1 – 3x) = 1 
82) 3tg2x + 4tgx + 4cotgx + 3cotg2x + 2 = 0
83) 2 + cosx = 2tg 
84)(sin2x + cos2x)2 – 5 = cos(– 2x) 
85) (1– tgx)(1 + sin2x) = 1 + tgx
86) 
87) cos2x – cos8x + cos6x = 1 
88) 
89) 2sin22x + sin2x.cos3x + 3cos22x = 3 
90) sin2x + 12(1– sinx + cosx) = 0
91) 5cos2x + 7cos(x + ) + 1 = 0 () 
92) 
93) Cho phương trình lượng giác sin4x + cos4x = a
 a) Giải phương trình khi a = 1 b) Tìm a để phương trình vô nghiệm
94) Cho phương trình lượng giác sinx + cosx = m+ sin2x 
 a) Giải phương trình khi m = 1 
 b) Tìm a để phương trình có nghiệm
95) Cho phương trình 
 a) Giải phương trình khi m = 0 
 b) Chứng minh phương trình trên luôn có ù nghiệm
96) Cho phương trình sau đây với x là ẩn số: 
 cos2x + (a+2)sinx –(a + 1) = 0
 a) Giải phương trình khi a = 1 
 b) Tìm a để phương trình có nghiệm
97) cotgx + sinx(1+ tgx.tg) = 4	 
98) tgx + 2cotg2x = sin2x
99) sin4x – cos4x = 1 + 4
100) sin3x+ cos2x = 1 + 2sinx.cos2x
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
1/ 	
 2/ 8x+1 + 8(0.5)3x + 3.2x+3 = 125 – 24(0.5)x 
3/ 
4/ 2x – lg(52x + x – 2) = lg4x 	 
5/ 
6/ 	
7/ 
8/ 2x–1(2x + 3x–1) = 9x–1 
8/ 
9/ 
 10/ 
 11/ 22sinx – 2cosx + 1 – + 52sinx – 2cosx +1 = 0 	
 12/ 	
 	13/ 	 
14/ 	
15/	
16/ 
17/ 	 	
18/ 	 
19/ 
20/ 
 	21) 
 22) 
 21) (KD-02)	
 22) Tìm m để hệ sau có nghiệm 
( KD-04)
 23) Tìm GTLN GTNN của hsố sau trên đoạn [–1;2]
 (D-03) 100) (D-03)
24)2 (D-05) 
 	----- Chúc các em thành công ! –––––––