Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Toán học Lớp 6

Bài 1: Tìm số nguyên tố P để P + 6; P + 8; P + 12; P +14 đều là các số nguyên tố.
Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = 5,5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM bằng 3 cm.
Tính độ dài BM.
Biết góc BAM bằng 800; góc BAC bằng 600. Tính góc CAM?
Tính độ dài BK thuộc đoạn BM, biết CK bằng 1cm.
Bài 3: Viết biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa ( bằng nhiều cách nếu có). 
a) 410 . 815 b) 82 . 253
Bài 4 Viết biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa. 
	( 2a3x2y) . ( 8a2x3y4) . ( 16a3x3y3) 
Bài 5: Chứng tỏ rằng mỗi tổng ( hiệu) sau đây là một số chính phương. 
	a) 32 + 42
	b) 132 -52 
	c) 13 + 23 + 33 + 43
Bai 6: Tính giá trị biểu thức sau. 
	33 . 9 - 34 . 3 + 58. 50 - 512 : 252 
Bài 7: Tính tổng. 	A = 1 + 2 + 22+...+ 2100 ; 	B = 3 - 32 + 33 - ... - 3100
Bai 8 Tính tổng : 	a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200 	b) B = 7 - 74 + 74 -...+ 7301 
Bai 9 Tìm x biết : a) 4x = 2x+1 ; b) 16 = (x -1)4
Bai 10 So sánh A và B biết. 
a) A = ; 	B = 
b) 	; B = 
c) A = ; B = 
Bai 11:Cho A = 1 + 3 +32 +...+311
 Chứng minh: a) A ∶ 13 ; b) A ∶ 40
Bai 12: Cho 10k - 1 ∶ 19 ( k ẻ N) 
Chứng minh: a) 102k - 1 ∶ 19 ; b) 103k - 1 ∶ 19 
Bai 13 :Tìm nẻN biết 2n + 7 chia hết cho n + 1.
Bai 14 Cho 2 tập hợp 
a) Tìm giao của 2 tập hợp.
b) Có bao nhiêu tích ab (Với được tạo thành, cho biết những tích là ước của 6.
Bai 15 a) Cho C = 3 + 32 + 33 + 34........+ 3100 Chứng tỏ C chia hết cho 40.
b) Cho các số 0,1,3,5,7,9. Hởi có thể thiết lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ 6 chữ số đã cho.
Bai 16 :Tính tuổi của anh và em biết rằng 5/8 tuổi anh hơn 3/4 tuổi em là 2 năm và 1/2 tuổi anh hơn 3/8 tuổi em là 7 năm.
Bai 17: a) Cho góc xoay có số đo 1000. Vẽ tia OZ sao cho góc ZOY = 350. Tính góc XOZ trong từng trường hợp.
b) Diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng các cách khác nhau.
Bai 18 Liệt kê các phân tử của 2 tập hợp 
a) A = {0,1,2,3}; B = {-2,-1,0,1,2} 0,5đ
 0,5đ
b) Có 20 tích được tạo thành 0,5đ
-2
-1
0
1
2
0
0
0
0
0
0
1
-2
-1
0
1
2
2
-4
-2
0
2
4
3
-6
-3
0
3
6
Những tích là ước của 6: 0,5đ
Câu 2: 
a) B = (3 + 32 + 33 + 34) +......+(397 + 398 + 399 + 3100 ) 0,5đ
= 3(1+3+32+33) +......+ 397(1+3+32+33) 0,5đ
= 40.(3+35+39+.......+ 397):40 0,5đ
b) Mỗi số có dạng abc0, abc5 0,5đ
- Với abc0
+ Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn (Vì chữ số hàng nghìn không phải là số 0) 0,5đ
+ Có 6 cách chọn chữ số hàng trăm 0,5đ
+ Có 6 cách chọn chữ số hàng chục 
Vậy 5.6.6 = 180 số. 0,5đ
- Với abc5 Cách chọn tương tự và cũng có 180 số. Vậy ta thiết lập được 360 số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ 6 chữ số đã cho. 0,5đ
Câu 3: 1/2 Tuổi anh thì hơn 3/8 tuổi em là 7 năm. Vậy tuổi anh hơn 6/8 tuổi em là 14 năm 0,5đ
Mà 5/8 tuổi anh lớn hơn 3/4 tuổi em là 2 năm.
nên 1-5/8 = 3/8 tuổi anh = 14-2 = 12 năm. 1đ
Vậy tuổi anh là 12:3/8 = 32 tuổi. 0,5đ
3/4 tuổi em = 32-14 = 18 tuổi 0,5đ
3/4 tuổi em là: 18:3/4 = 24 tuổi. 0,5đ
Câu 4: 
a) Có 2 cách vẽ tia OZ(có hình vẽ)
Góc XOZ = 650 hoặc 1350 1,0 đ
b) Có thể diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng 3 cách khác nhau 
M là trung điểm của đoạn thẳng AB 
Các phân số sau có bằng nhau không? Vì sao?
 ; ; ; 
Câu 2:( 2 điểm ) 
 Tính giá trị của biểu thức sau:
 A = ( + - ):( + - + . . ) + 1:(30. 1009 – 160)
Câu 3 :( 2 điểm )
a, Tìm số tự nhiên x , biết :
 ( + + . . . + ) . x = 
b,Tìm các số a, b, c , d N , biết :
 = 
 Câu 4 : ( 1 điểm ) 
 Một số tự nhiên chia cho 120 dư 58, chia cho 135 dư 88. Tìm a, biết a bé nhất ?
Câu5( 2 điểm ) : Góc tạo bởi 2 tia phân giác của 2 góc kề bù, bằng bao nhiêu? Vì sao?
a, Ta thấy; 
Vậy; 
b, Ta phải chứng minh , 2. x + 3 . y chia hết cho 17, thì 9 . x + 5 . y chia hết cho 17
 Ta có 4 (2x + 3y ) + ( 9x + 5y ) = 17x + 17y chia hết cho 17
Do vậy ; 2x + 3y chia hết cho 17 4 ( 2x +3y ) chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17
Ngược lại ; Ta có 4 ( 2x + 3y ) chia hết cho 17 mà ( 4 ; 17 ) = 1 
 2x + 3y chia hết cho 17
Câu 2 ; Ta viết lại A như sau :
A= + 
 = + = 1
Câu 3; a, ( ) . x = 
 . x = x = 2
b, = 
=> a =1 ; b = 2 ; c = 3 ; d = 4
Câu 4; Ta có (q1, q2 N ) 
Từ ( 2 ) , ta có 9 . a = 1080 . q2 + 704 + a ( 3 )
Kết hợp ( 1 ) với ( 2 ) , ta được a = 1080 . q – 180
Vì a nhỏ nhất, cho nên, q phải nhỏ nhất y t
 => q = 1 => a = 898
B- Phần hình học
Câu 5; Gọi Ot , Ot, là 2tia phân giác của 2 t,
kề bù góc xOy và yOz
Giả sử , xOy = a ; => yOz = 180 – a
Khi đó ; tOy = a t,Oy = ( 180 – a) z x
=> tOt, = = 900 O 
Câu 6; Giả sử trong 20 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, số đường thẳng vẽ được là; 19 . 20:2 = 190
Trong a điểm, giả sử không có 3 điểm nào thẳng hàng.Số đường thẳng vẽ được là ; (a – 1 ) a : 2 . Thực tế, trong a điểm này ta chi vẽ được 1 đường thẳng. Vậy ta có ; 190 – ( a- 1)a : 2 + 1 = 170
 => a = 7
2. Có thể rút gọn (n ẻ Z) cho những số nguyên nào ?
Rút gọn 
1) Tìm số nguyên tố P sao cho số nguyên tố P + 2 và P +10 là số 
 nguyên tố
2) Tìm giá trị nguyên dương nhỏ hơn 10 của x và y sao cho 3x - 4y = - 21
3)Cho phân số: 
 a) Tìm n để A nguyên. 
 b) Tìm n để A tối giản . 
 Cho điểm O trên đường thẳng xy, trên một nửa mặt phẳng có bờ là xy, vẽ tia Oz sao cho góc xOz nhỏ hơn 900.
a) Vẽ các tia Om, On lần lượt là tia phân giác của các góc xOz và góc zOy. Tính góc MON ?
b) Tính số đo các góc nhọn trong hình nếu số đo góc mOz bằng 350.
1) Tìm các giá trị của a để số 
a) Chia hết cho 15
b) Chia hết cho 45
 Tia OC là phân giác của góc AOB, vẽ tia OM sao cho góc BMO = 200. Biết góc AOB = 1440.
a) Tính góc MOC.
b) Gọi OB’ là tia đối của tia OB, ON là phân giác của góc AOC. Chứng minh OA là phân giác của góc NOB’.
2) Biết ƯCLN(a, b) = 7 và BCNN(a, b) = 210 thì tích a.b là:
A. 1470 ; B. 217 ; C. 2107 ; D. 30
Cho góc xOy bằng 1000 , góc yOz bằng 1300.
a) Vẽ tia phân giác Ot của góc xOy, Oz của góc yOz.
b) Tính góc tOv.
Câu 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng: chia hết cho 81 (n là số tự nhiên).
Cho 
a) Tính tổng A.
b) Chứng minh rằng .
Cho hai tia Oz và Ot là hai tia nằm giữa hai cạnh của góc xOy sao cho xOz = yOt = 400.
a) So sánh góc xOt và yOz.
b) Cho góc zOt = 200 . Tính góc xOy.
Đa bài 3(a) 410. 815 = (22)10 . (23)15 = 220 . 245 = 265 
Ta thấy 265 = (25)13 = 3213 
	 265 = (213)5 = 81925
Vậy ta có 3 cách viết là: 
	410 . 815 = 265
	410 . 815 = 3213
	410 . 815 = 81925
b) 	82 . 253 = (23)2 . (52)3 = 26. 56 = 106
Ta thấy 106 = (102)3 = 1003 ;	 106 = (103)2 = 10002
Vậy ta có 3 cách viết là: 	82 . 253 	= 106 ; 82 . 253 	= 1003 ; 82 . 253 	= 10002
Đa bài 4: 	( 2a3.x3y ) . (8a2x3y4) . ( 16a3x3y3) 
	= (2.8.16) (a3. a2. a3) . ( x2x3 x3) . (y.y4.y3) 	= 28 .a8. x8. y8 = (2axy)8
Đa bai 5 a) 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52
	 b) 132 - 52 = 169 - 25 = 144 = 122
	 c) 13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2 = 102
Đa bai 6	 33 . 9 - 34. 3 + 58 . 50 - 512 : 252 = 35 - 35 + 58- 58 = 0 
Đa bai 7 A = 1 + 2 + 22 + ...+ 2 100
	=> 2A = 2 + 22 + 23 + ...+ 2101 
	=> 2A - A = (2 + 22 + 23 + ...+ 2101 ) – (1 +2 + 22+ ...+2100) 
Vậy	A = 2101 - 1 
	B = 3 - 32 - 33 - ...- 3100
	=> 3B = 32 - 33 + 34 - ...- 3101 
	B + 3B = (3 - 33 + 33) - ...- 3100) + ( 32 - 23 +34 - ... - 3101)
	4B = 3 - 3101
Vậy	B = ( 3- 3101) : 4
Đa bai 8	a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200
	25 A = 52 + 54+ ...+ 5202 ; 25 A - A = 5202 - 1 
Vậy	A = ( 5202 -1) : 24 
	b) Tương tự	B = 
Đa bài 9 : a) 4x = 2x + 1 
(22)x = 2 x + 1 
22x = 2x+ 1 
2x = x +1 
2x- x = 1 
	x = 1 
b) 16 = ( x -1)4
24 = (x -1)4
2= x - 1 
x = 2+1 
x = 3 
Đa bai 10 A = 
Nên 19A = = = 1 + 
B = 
nên 19B = = = 1 + 
Vì > 
Suy ra 1 + > 1 + 
Hay 19A > 19B 
Nên A > B 
b) A = 
nên 22 . A = = = 1 - 
B = 
nên 22.B = = = 1- 
Vì > 
 Suy ra 1 - < 1- 
Hay 22 A < 22 B
Nên A < B 
c) Ta có: 
 A = = 
Tương tự B = 
Từ (1) và (2) Ta có
A = + 5 > 5 > 4 > + 3 =B 
nên A > B 
Đa bai 11a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311
= 1+3 + 32) + (33+ 34+ 35) + ...+ (39+ 310+ 311) 
= ( 1+ 3 +32) + 33 . (1 +3 + 32) + ...+39. (1 + 3 + 32) 
= 13 + 33 . 13 + ...+ 39 . 13 
= 13. ( 1+ 33 + ... + 39 ) ∶ 13 
Hay A ∶ 13 
b) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311
= ( 1 + 3 + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311) 
= ( 1 + 3 + 32+ 33) + 34. (1 + 3 + 32+ 33) + 38(1 + 3 + 32+ 33) 
= 40 + 34 . 40 + 38 . 40 
= 40 . ( 1 + 34 + 38) ∶ 40 
Hay A ∶ 40 
Đa bai 13 a) Ta có: 102k - 1 = ( 102k - 10k) + (10k - 1)
= 10k . ( 10k - 1) + ( 10k - 1) 
= (10k - 1). ( 10k + 1) ∶ 19 vì 10k -1 ∶ 19
 b) 103k - 1 = ( 103k - 102k ) + (102k - 1) 
Vì 10k - 1 ∶ 19 
102k - 1 ∶ 19 ( theo câu a ) 
Đa bai 13: Vì (2n + 7) (n + 1) 	ị [2n + 7 - 2(n + 1)] n + 1
ị 5 n + 1 ị n + 1 là ước của 5
Với n + 1 = 1 ị n = 0
Với n + 1 = 5 ị n = 4 
 Đáp số: n = 0; n = 4