Toán học - Chuyên đề 2: Đường và phương trình đường

 CHUYÊN ĐỀ 2 
ĐƯỜNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG 
 Các bài toán về phần đường và phương trình đường thường yêu cầu xác định quỹ tích 
các điểm trong mặt phẳng tọa độ theo những điều kiện cho trước, quỹ tích này là một đường 
mà ta phải tìm phương trình của nó dựa vào định nghĩa: 
 F(x, y) = 0 là phương trình của đường (L) nếu ta có : 
 M( , ) ∈ (L) F( , ) = 0 Mx My ⇔ Mx My
 Nếu M ∈ (L) và M có tọa độ phụ thuộc tham số t: 
( )
( )
x f t
y g t
=⎧⎪⎨ =⎪⎩
 (t ∈ R) 
 thì đó là phương trình tham số của đường (L). 
 Từ phương trình tham số, ta khử t thì có thể trở về dạng 
 F(x, y) = 0 
 Lưu ý việc giới hạn của quỹ tích tuỳ theo các điều kiện đã cho trong đầu bài. 
Ví du1: 
 Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, 1), B(–3, 2). Tìm quỹ tích điểm M để 
 ( MA + 
JJJJG
MB
JJJJG
) AB
JJJG
 = 1 
Giải 
 Gọi (L) là quỹ tích phải tìm. 
 M( , ) ∈ (L) Mx My ⇔ ( MA
JJJJG
 + MB
JJJJG
) AB
JJJG
 = 1 
 [ (2 – ) + (–3 – ) ] (–3 – 2) + (1 – + 2 – ) (2 – 1) = 1 ⇔ Mx Mx My My
 5 + 10 + 3 – 2 = 1 ⇔ Mx My
 10 – 2 + 7 = 0 ⇔ Mx My
 M( , ) có tọa độ thỏa phương trình ⇔ Mx My
 F(x, y) = 10x – 2y + 7 = 0 
 Vậy quỹ tích phải tìm là đường thẳng (L) có phương trình 
 10x – 2y + 7 = 0. 
 1
Ví dụ 2: 
Lập phương trình quỹ tích tâm của những đường tròn tiếp xúc với trục Ox và đi qua 
điểm A(1, 2). 
Giải 
Gọi (L) là quỹ tích những tâm đường tròn tiếp xúc với trục Ox và đi qua điểm A(1, 2). 
I( , ) ∈ (L) I là tâm đường tròn qua A(1, 2) và tiếp xúc với Ox tại M Ix Iy ⇔
 ⇔ IM Ox tại M
IM = IA
⊥⎧⎨⎩
 ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
0 0M I M
M I M I A I A I
x x và y
x x y y x x y y
− = =⎧⎪⎨ − + − = − + −⎪⎩
2 
 – 2 – 4 + 5 = 0 ⇔ 2Ix Ix Iy
 I( , ) có tọa độ thỏa phương trình ⇔ Ix Iy
 F(x, y) = x2 – 2x – 4y + 5 = 0 
 Đó là phương trình của quỹ tích phải tìm (Parabol). 
* * * 
 2