Tích lũy chuyên môn Toán

TÍCH LŨY CHUYÊN MÔN- M«n To¸n
I PHÉP ĐẾM
Trong những giai đoạn sơ khai của loài người, con người hầu như chưa biết đếm. Họ chỉ phân biệt được tập hợp hai vật và ba vật, mọi tập hợp nhiều vật hơn thì người ta gộp chung lại là “nhiều”. Hoạt động của con người ngày càng phức tạp dần, nhu cầu về đếm người, súc vật, hoa quả, đếm các thành phẩm săn bắt, hái lượm được ngày càng nảy sinh Người ta dùng những vật gặp ở xung quanh làm công cụ đếm: khắc vào cây, gậy, buộc nút ở sợi dây, xếp các viên đá thành đống Các ngón tay của con người đặc biệt quan trọng. Công cụ này không lưu lại kết quả của phép đếm, nhưng luôn có trong tay và rất linh hoạt. Kết quả của phép đếm là các số một, hai, ba  Tên gọi các số lớn thường được xây dựng trên cơ sở số 10 là số lượng ngón của hai bàn tay.
Thời gian đầu, số lượng các số được hình thành và phát triển chậm. Đầu tiên, người ta chỉ đếm được vài chục, mãi về sau mới đếm được đến hàng trăm. Phép đếm đạt tới một giới hạn mới: hàng chục của chục và tên gọi cho số 100 đã được hình thành. Về sau các số nghìn, vạn, triệu cũng mang ý nghĩa đó.
II HỆ NHỊ PHÂN VÀ MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ
Về nguyên tắc thì có thể chọn mỗi số tự nhiên lớn hơn 1 làm cơ số cho một hệ ghi số. Lấy cơ số 2, thì ta được hệ nhị phân. Trong hệ này, để biểu diễn các số, người ta dùng hai chữ số là 0 và 1. Hệ nhị phân là hệ ghi số theo vị trí, nghĩa là ở mỗi kí hiệu ghi số hệ nhị phân cùng với giá trị của chữ số còn có giá trị vị trí được biểu diễn bằng lũy thừa của cơ số 2, nghĩa là giá trị của một vị trí gấp 2 lần của vị trí liền ngay bên phải nó.
Chẳng hạn số 11012 ghi theo hệ nhị phân, có nghĩa:
11012 = 1.23 + 1. 22 + 1.21 + 1.20 là số 13 trong hệ thập phân.
Do việc sử dụng hai chữ số, hệ nhị phân rất thích hợp với các máy tính điện tử. Trong các thiết bị máy tính hai chữ số 0 và 1 tương ứng với trạng thái khác nhau là không có dòng điện hoặc có dòng điện. Như vậy là ta đã có một hệ quy tắc được lựa chọn thích hợp để biểu thị thông tin nhờ một bộ kí hiệu. Một hệ quy tắc này được gọi là một mã và việc biểu thị thông tin nhờ một mã gọi là mã hoá những thông tin đó. Trong mãy tính điện tử, người ta dùng mã nhị phân: máy tính điện tử có thể lưu trữ , xử lý thông tin dưới dạng tổ hợp những tín hiệu điện hai loại khác nhau được kí hiệu bởi hai chữ số 0 và1. Một thông tin bất kỳ được biểu diễn một dãy hai chữ số đó. Trong phần lớn các máy tính điệïn tử, mỗi kí tự (chữ, chữ số, dấu % ) được viết thành một nhóm 8 chữ số. Chẳng hạn chữ A được mã hoá thành 01000001, chữ M được mã hoá thành 01001101  Các số , các hình cũng được mã hoá thành những dãy các chữ số 0 và 1.
III KÍ HIỆU CÁC PHÉP TÍNH CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA
Các dấu của phép tính “+”, “-” đã thấy trong các sách ở Đức, Ý vào cuối thế kỉ XV của Lêona Đờ Vinxi, Viđơman.
Dấu phép tính “X” đã thấy trong tác phẩm của nhà bác học Anh Oitởit năm 1691. Còn dấu phép tính “.” đã thấy năm 1698, dấu của phép tính “:” đã thấy năm 1684 trong tác phẩm của nhà toán học Đức Lepnitdơ.
Các dấu ( ), [ ], đã thấy trong các tác phẩm của các nhà toán học Ý vào thế kỉ XVI.
IV CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT
Dấu hiệu chia hết cho 4.
Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4 và ngược lại các số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng tạo thành một chia hết cho 4.
Ví dụ:
2500 và 35124 đều chia hết cho 4 vì hai chữ số tận cùng của mỗi số tạo thành các số 00 và 24 đều chia hết cho 4.
Số 1945 không chia hết cho 4 vì hai chữ số tận cùng tạo thành số 45 không chia hết cho 4.
Dấu hiệu chia hết cho 8.
Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 8 thì số đó chia hết cho 8 và ngược lại các số chia hết cho 8 thì ba chữ số tận cùng tạo thành một chia hết cho 8.
Ví dụ:
+ Số 345 120 chia hết cho 8 vì ba chữ số tận cùng tạo thành số 120 chia hết cho 8.
+ Số 456 004 không chia hết cho 8 vì ba chữ số tận cùng tạo thành số 004 không chia hết cho 8.
Tổng quát: Các số có n chữ số tận cùng tạo thành chia hết cho 2n thì số đó chia hết cho 2n.
Dấu hiệu chia hết cho 6.
Các số chia hết cho 2 và chia hết cho 3 thì chia hết cho 6, nếu không thì không chia hết cho 6.
Ví dụ: 
534 vừa chia hết cho 2 (chữ số tận cùng là 4) vừa chia hết cho 3 (5 + 3 + 4 = 12, 12 3) nên 5346
Số 544 không chia hết cho 6 vì 544 3 (5 + 4 + 4 = 13; 133).
Số a chia hết cho các số b1, b2, b3  (đôi một nguyên tố cùng nhau) thì 
a b1. b2. b3 
Dấu hiệu chia hết cho 11.
Các số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ (hiệu của tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn) kể từ phải qua trái là một số chia hết cho 11 thì số đó chia hết cho 11. trong những trường hợp khác thì không chia hết cho 11.
Ví dụ:
+ Số 6 172 639 chia hết cho 11 vì tổng các chữ số hàng lẻ là 6 + 7 + 6 + 9 = 28 và tổng chữ số hàng chẵn là 1 + 2 + 3 = 6, hiệu của hai tổng bằng 28 – 6 = 22 là một số chia hết cho 11.
+ Số 45 729 không chia hết cho 11 vì tổng các chữ số hàng lẻ là 4 + 7 + 9 = 20 và tổng các chữ số hàng chẵn là 5 + 2 = 7, hiệu hai tổng bằng 20 – 7 = 13 không chia hết cho 11.
Dấu hiệu chia hết cho 10; 100; 1000  10n (n )
Các số tận cùng là 0 thì chia hết cho 10, các số có hai chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho 100, các số có ba chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho 1000, các số có n chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho 10n.
Dấu hiệu chia hết cho 25.
Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 25 (tức là có hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50 hay 75) thì số đó chia hết cho 25. Các trường hợp còn lại không chia hết cho 25.
Ví dụ:
+ Số 8150 chia hết cho 25 vì hai chữ số tận cùng tạo thành số 50 chia hết cho 25.
+ Số 7132 không chia hết cho 25 vì hai chữ số tận cùng tạo thành số 32 không chia hết cho 25.
V LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN SỐ ÂM
Từ thế kỉ II trước công nguyên, các nhà toán học Trung Quốc đã đặt ra một số quy tắc phép tính về số âm. Bây giờ, khái niệm và quy tắc tính về số âm chưa hoàn chỉnh. Họ coi số âm là số biểu thị số tiền nợ, còn số dương là số tiền có. Quy tắc về phép tính cùng lập luận như đối với món tiền nợ. Ví dụ: một món nợ thêm một món nợ khác , thì kết quả là một món nợ chứ không phải món tiền có. Khi đó còn chưa biết dấu âm, người Trung Quốc dùng màu mực khác để viết các số chỉ các món tiền nợ để phân biệt với các món chỉ tiền có. Các số âm phải chen chân một cách khó khăn vào toán học. tuy rằng các nhà bác học có tránh không muốn gặp số âm, nhưng thực tế đời sống đặt ra trước khoa học hết bài toán này đến bài toán khác mà các bài toán ấy lại càng hay đưa đến kết quả là số âm, ở Trung Quốc , ở Ấn Độ cũng như các nước châu Âu.
Các số âm phải khẳng định địa vị của mình một cách khó khăn và lâu dài, bởi vì coi số âm là một món nợ thì khái niệm này không đủ để giải thích các phép tính về số âm, chẳng hạn khi nhân hai số âm với nhau.
Đến thế kỉ XIII, nhà toán học người Ý Lêôna Phibônasi đã đi đến khái niệm về số âm là số đối của của số dương. Sau đó vài thế kỉ nữa, các số âm mới được công nhận. Năm 1544, nhà toán học người Đức Mikhai Stiphen, trong cuốn “Số học toàn tập”, lần đầu tiên đưa ra khái niệm số âm như là các số nhỏ hơn 0. Đó là một bước tiến lớn để đặt cơ sở cho số âm.
Thế kỉ XVII, nhà bác học Pháp Rơnê Đềcac đề nghị biểu diễn số âm trên trục số bên trái số 0. việc này đối với chúng ta không có gì phức tạp, nhưng phải trải qua 18 thế kỉ các số âm mới giành được vị trí đúng đắn và hợp lý đó.
VI VÀI NÉT LỊCH SỬ VÊ PHÂN SỐ 
Phải trải qua hàng ngàn năm, nhân loại mới đi đến các số tự nhiên 1, 2, 3  rồi lại phải trải qua hàng ngàn năm nữa, người ta mới chia đơn vị thành những phần bằng nhau, nghĩa là đề cập đến khái niệm phân số.
Năm 1872, ở một căn hầm trong kim tự tháp Kêôp (được áp dụng cách đây 5000 năm) tại thành phố Mem – Phit nước Ai Cập, người ta tìm được một cuộn giấy rất dai được chế tạo một cách đặc biệt. Cuộn giấy đó gọi là di cảo cố đại, bản di cảo rộng 33cm, dài 544cm được viết cách hơn 4000 nămvà hiện đang đặt tại một bảo tàng của ở thủ đô Luân Đôn nước Anh. Ngoài ra còn có nhiều bản di cảo khác. Bản di cảo cổ đại nhất về toán học Ai Cập để ở bẩo tàng đồ gốm tại Maxcơva dài 544cm, rộng 8cm. Người đầu tiên tìm ra di cảo là viện sĩ Sturaep vào năm 1917, nhưng mãi đến năm 1927 viện sĩ Sturơve mới nghiên cứu tỉ mĩ. Chẳng hạn, có bài toán sau đây: “Xác định độ dài các cạnh của một hình chữ nhật nếu biết tỉ số của chúng và diện tích của hình”.
Trong các di cảo của ngưới Ai Cập cổ thì cách biểu thị phân số không như chúng ta biết ngày nay. Họ không dùng dấu gạch ngang để phân biệt tử và mẫu.
Bây giờ người Ai Cập chỉ dùng phân số có tử là đơn vị và phân số Đối với những phân số có tử lớn hơn đơn vị thì người Ai Cập biểu thị bằng tổng các phân số có tử là đơn vị. Chẳng hạn:
Người Ai Cập còn lập các bảng đặc biệt dùng để thực hiện các phép tính với những phân số đó.
Cách viết phân số có dấu gạch ngang như ngày nay đã trải qua quãng thời gian dài để có thừa nhận. Trong bản di cảo của người Ấn Độ vào thế kỉ IV phân số được viết 1 (không có dấu gạch ngang). Sau đó, vào thế kỉ XIII, nhà bác học An Khatxa là 
 3
một người đầu tiên dùng dấu gạch ngang để viết phân số, tiếp theo nhà bác học Ý Lêôna Pindanki đã thường xuyên sử dụng dấu gạch ngang trong phân số và sau đó được dùng ở mọi nơi. 
VI PHÂN SỐ THẬP PHÂN – SỐ THẬP PHÂN
Thế kỉ XVI, khi việc tính toán phức tạp về phân số được ứng dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực của đời sống thì người ta bắt đầu dùng đến phân số có mẫu là lũy thừa của 10. Đó là phân số thập phân. Người đầu tiên đưa ra phân số thập phân là nhà bác học người Xamaccan Ghiaxetddin Djemsit al – Kasi. Sau đó, ở châu Âu nhà bác học Hà Lan Ximông Xtêvin đã đưa vào trong thực hành. Ưu điểm của phân số thập phân so với phân số có mẫu ở hệ thống khác là ở chỗ chúng được xây dựng trên cùng một cơ sở với phép đếm thập phân và cách viết những số nguyên. Nhờ đó, cách viết và các quy tắc tính toán đối với phân số thập phân vẫn như trường hợp số nguyên.
Để tiện lợi khi kí hiệu các phân số thập phân, người ta không cần biểu thị mẫu: căn cứ vào vị trí của các chữ số tương ứng thì biết mẫu đó. Trước hết, ta viết phần nguyên của số, rồi đánh dấu phẩy vào bên phải phần nguyên, chữ số thứ nhất sau dđ©u phẩy chỉ số phần mười (tức là phần mười của đơn vị) chữ số thứ hai chỉ số phần trăm, chữ số thứ ba chỉ số phần nghìn  Chẳng hạn:
VII VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA ĐẠI SỐ
Đại số nghiên cứu các phương trình và các vấn đề về phát triển từ lí thuyết phương trình. Đại số đã xuất hiện từ thời cổ xưa.
Cách đây khoảng 4000 năm, các nhà bác học Babilon đã giải thành thạo phương trình bậc hai, nhờ đó đã giải quyết được bài óan thực tếtrong xây dựng và trong quân sự. Người Babilon chưa biết dùng kí hiệu bằng chữ như ngày nay mazf phải ghi các phương trình bằng lời.
Nhà toán học cổ Hi Lạp Điôphăng (thế kỉ thứ III) đã biết dùng các kí hiệu đơn giản đầu tiên cho các đại lượng chưa biết. Ông là người đầu tiên nghiên cứu có hệ thống về phương trình vô định.
Tuy nhiên cả người Babilon và người Hi Lạp thời đó đều không xét đến số âm.
Ở Trung quốc cách đây 2000 năm, các nhà bác học đã giải được các phương trình bậc nhất, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và cả phương trình bậc hai nữa. Họ đã làm quen với số âm và số vô tỉ. Cũng ở thời kì này, các nhà bác học Ấn Độ đã sử dụng rộng rãi kí hiệu các đại lượng chưa biết và các lũy thừa của chúng. Họ đã sử dụng số âm, số vô tỉ và số 0.
Trong khi ở Aán Độ, kiễn thức đại số chỉ mới được trình bày trong các tác phẩm thiên văn thì ở Trung Á đại số đã trở thành một môn độc lập. Nhà bác học Udơbếch Muhamet Ben Muxa Al – Khôredơmi (thế kỉIV) đã coi là người sáng lập ra môn đại số như môn khoa học riêng. Danh từ Algebra là tên gọi quốc tế của môn đại số chính là xuất phát từ chữ “al – đơgiép” ở tên bài luận văn của Al – Khôredơmi: “khixabơ al – đơgiép Val – mukabala” trong đó có nêu các quy tắc tính toán và giải phương trình. Còn từ “algôrit” (thuật toán) chính là tên Al – Khôredơmi.
Vào thếmkỉ XII, “Đại số” của Al – Khôredơmi đã bắt đầu được châu Aâu biết đến và được dịch sang tiếng Latinh. Từ đó, đại số bắt đầu phát triển ở các nước châu Aâu.
Đến cuối thế kỉ XVI, nhà toán học người Pháp Frăngxoa Viet (1540 – 1602_, người được mệnh danh là “Người cha của môn đại số dùng chữ hiện đại” đã đưa vào tác phẩm của mình những kí hiệu chữ cho các đại lượng đã biết và đại lượng chưa biết. Ông cũng đưa các kí hiệu phép tính và là người dẫn đầu việc nghiên cứu các phương trình đại số và thiết lập mối quan hệ giữa các hệ số và nghiệm của phương trình bậc hai. Với công trình của Viet, đại số đã trở thành khoa học tổng quát về các phương trình dựa trên các phép tính các biểu thức chứa chữ.
Đến giữa thế kỉ XVII, nhà toán học Pháp Rơnê Đêcac (1596 – 1650), các kí hiệu đại số mới có dạng gần giống như ngày nay.
CHUYÊN ĐỀ
CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT TÍCH, MỘT LŨY THỪA
1. Trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần biết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó. Chẳng hạn, khi so xổ số muốn biết có trúng những giải cuối hay không ta chỉ cần so 2 chữ số cuối cùng. Trong toán học, khi xét một số có chia hết cho 2, 4, 8 hoặc chia hết cho 5, 25, 125 hay không ta chỉ cần xét 1, 2, 3 chữ số tận cùng của số đó (xem § 10).
2. Tìm chữ số tận cùng của tích.
- Tích các số lẻ là một số lẻ.
- Đặc biệt, tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kì số lẻ nào cũng có chữ số tận cùng là 5. 
- Tích của một số chẵn với bất kì một số tự nhiên nào cũng là một số chẵn.
Đặc biệt, tích của một số chẳn có tận cùng là 0 với bất kì số tự nhiên nào cũng có chữ số tận cùng là 0.
3. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa. 
 - Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, 1, 5, 6 khi nâng lên luỹ thừa bất kì 
( khác 0 ) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó.
- Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ số 3, 7, 9 khi nâng lên luỹ thừa 4n đều có tận cùng là 1.
...34n = ...1;	...74n = ...1;	94n = ...1
- Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ số 2, 4, 8 nâng lên lũy thừa 4n (n ≠ 0) đều có tận cùng là 6.
...24n = ...6 ;	...44n = ...6 ;	84n = ...6
( Riêng đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, nâng lên lũy thừa lẻ đều có chữ số tận cùng bằng chính nó; nâng lên lũy thừa chẵn có chữ số tận cùng lần lượt là 6 và 1).
4. Một số chính phương thì không có tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
Thí dụ 1:
Cho A = 51n + 47102 (n є N).
Chứng tỏ rằng A chia hết cho 10.
Giải:
51 n =  1
47102 = 47100 . 472 = 474.25 . 472 =  1 ×  9 =  9.
Vậy A =  1 +  9 =  0 ;	Vậy A chia hết cho 10.
Thí dụ 2: Ta đã biết ngoài dương lịch, Âm lịch người ta còn ghi lịch theo hệ đến CAN CHI, chẳng hạn Nhâm Ngọ, Quý Mùi, Giáp Thân,  Chữ thứ nhất chỉ hàng CAN của năm. Có 10 can là:
Hàng can
Giáp
Aát
Bính
Đinh
Mậu
Kỉ
Canh
Tân
Nhâm
Quý
Mã số
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 (0)
Muốn tìm hàng CAN của một năm ta dùng công thức đơn giản sau đây rồi đối chiếu kết quả với bảng trên:
Hàng CAN = Chữ số tận cùng của năm dương lịch _ 3
 (Nếu chữ số tận cùng của năm dương lịch nhỏ hơn 3 thì ta mượn thêm 10). 
Bây giờ bạn hảy tìm hàng CAN của các năm Ngọ quan trọng trong lịch sử giành độc lập của dân tộc ta trong thế kỉ XX đó là năm 1930 năm Đảng CSVN ra đời và năm 1954 chiến thắng Điện Biên Phủ. 
Giải : 10 _ 3 = 7 CANH ; 1930 là năm CANH NGỌ
 4 _ 3 = 1 GIÁP ; 1954 là năm GIÁP NGỌ
BÀI TẬP
1. Nước Việt Nam dân chủ cộng hòa ra đời sau cách mạng tháng Tám năm 1945, đó là một năm Dậu. Hãy tìm hàng CAN của năm Dậu đó. 
2. Em tuổi gì ? Tìm hàng CAN của tuổi đó. 
3. Tìm chữ số tận cùng của các số sau :
7430 ; 4931 ; 9732 ; 5833 ; 2335 .
4. Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau 5n ( n > 1 ). 
5. Chứng tỏ rằng các tổng, hiệu sau không chia hết cho 10.
 a) A = 98 . 96 . 94 .92 _ 91 . 93 . 95 . 97
 b) B = 405n + 2405 + m2 (m,n є N ; n ≠ 0).
6. Tìm chữ số tận cùng của các số sau :
 a) 234567 ; b) 579675
7. Tích các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7. Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa số ? 
Tích A = 2 . 22. 23 ....210 x 52 . 54 . 56 514 tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 ? 
8*. Cho S = 1 + 31 + 32 +33 +  + 330.
 Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phương.
BÀN VỚI CÁC BẠN LỚP 7 VỀ PHƯƠNG PHÁP
3. Chứng minh một số hệ thức : 
Bài tốn 5 : Cho tam giác ABC. Từ một điểm M trên cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB và AC, lần lượt cắt AC và AB tại Q và P. Chứng minh rằng : 
AP/AB + AQ/AC = 1 
Lời giải : 
Nối AM, do AB // MQ nên ta cĩ S(AMQ) = S(BMQ) suy ra S(AMQ) + S(CMQ) = S(BMQ) + S(CMQ) ị S(AMC) = S(BQC), mà S(AMC) = S(APC) (do AC // MP) nên S(BQC) = S(APC). Vậy 
Bài tốn 6 : Lấy trong tam giác ABC một điểm M tùy ý. AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại A1, B1, C1. Chứng minh rằng : 
Lời giải : 
a) Ta cĩ 
Tương tự ta cĩ : 
Suy ra 
b) Ta lại cĩ 
Tương tự ta cĩ : 
Suy ra 
Bài tốn 7 : Cho tam giác ABC. Gọi ha, hb, hc lần lượt là độ dài các đường cao thuộc các cạch BC, CA, AB ; d là khoảng cách từ giao điểm của các đường phân giác đến ba cạnh. 
Chứng minh rằng : 
Hướng dẫn : Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC, lần lượt dựng IE, IF, ID vuơng gĩc với AB, AC, BC. Ta cĩ ID = IE = IF = d, khi đĩ 
Suy ra 
4. Chứng minh đường thẳng song song : 
Bài tốn 8 : Cho tam giác ABC. D và E lần lượt thuộc các cạnh AB và AC . Chứng minh rằng DE // BC AD/AB = AE/AC. 
Lời giải : 
Ta cĩ DE // BC S(BDE) = S(CDE) 
 S(BDE) + S(ADE) = S(CDE) + S(ADE) 
 S(ABE) = S(ACD) S(ABE)/S(ABC) = S(ACD)/S(ABC) AE/AC = AD/AB. (đpcm). 
Lời bình : Đây chính là định lí Ta-lét trong tam giác được học ở lớp 8, ta đã chứng minh được dễ dàng nhờ diện tích tam giác. 
Bài tốn 9 : Cho tam giác ABC, một đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Qua D, E lần lượt vẽ các đường thẳng song song với AC , AB cắt BE, DC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng : MN // BC. 
Lời giải : 
Giả sử BE cắt CD tại O, do EN // AB nên : 
S(BEN) = S(DEN) suy ra S(BON) = S(DOE). Tương tự, S(COM) = S(DOE) suy ra S(BON) = S(DOE) => S(BMN) = S(CMN) => MN // BC. 
Các ví dụ trên đây phần nào đã minh chứng được cho sức mạnh của “cơng cụ” diện tích tam giác trong việc giải quyết một số dạng tốn. Một loạt các kiến thức chỉ được học, được chứng minh ở các lớp trên đã dễ dàng được chứng minh bằng cách vận dụng khéo léo các kiến thức đơn giản về diện tích tam giác. Mong rằng các bạn tiếp tục khám phá những ứng dụng khác của phương pháp này.