Tài liệu Toán - 20 cách chứng minh bất đẳng thức NesBit

20 cách chứng minh bất đẳng thức NesBit 
Loạt bài này sẽ giới thiệu 20 cách chứng minh bất đẳng thức Nesbit nổi tiếng. Trước hết ta 
phát biểu lại bất đẳng thức này: Với mọi a, b, c lớn hơn 0, ta luôn có 
Xin nói ngoài lề một chút, trong bài này ta sử dụng một cách viết công thức trong Blogspot 
mới, cho một kết quả tốt hơn chưa xuất hiện ở đâu trên thế giới. Nó sẽ ra mắt bạn đọc trong 
một ngày không xa. 
Ta trở lại với bài toán. 
Cách 1: 
Cộng thêm 1+1+1 vào hai vế của bất đẳng thức , ta được: 
Đây là bất đẳng thức quen thuộc (nhân hai vế với 2 rồi sử dụng BĐT Cauchy 2 lần và nhân lại). 
Cách 2: Đặt 
Ta có 
Từ đó 
Cách 3: Không mất tính tổng quát, ta giả sử: . Xét hàm số: 
trên khoảng I=(0;1), ta có 
Do đó là hàm lồi trên , áp dụng bất đẳng thức Jensen thì 
Cách 4: 
Đặt 
Ta sẽ chứng minh: 
Thật vậy, 
Do đó 
Tiếp theo ta chỉ ra 
Ta đặt 
Bài toán tương đương với 
Nói cách khác 
Điều này là rõ ràng. 
Cách 5: 
Có thể giả sử 
 Lúc đó 
luôn không âm vì a, b, c dương và . 
Cách 6: 
Dùng phương pháp SOS. 
Vì a, b, c là các số dương nên bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng. 
Cách 7: 
Không mất tính tổng quát ta giả sử . 
Khi đó 
hay 
Theo BDT hoán vị thì 
và 
Cộng vế theo vế ta có kết quả mong muốn 
Cách 8: 
Theo Cauchy-Schwarz ta có: 
Ta còn có : 
Kết hợp lại là xong . 
Cách 9: 
BDT ban đầu tương đương với 
hay : 
Theo AM-GM: 
Cộng theo vế 6 BDT tương tự ta có kết quả mong muốn. 
Cách 10:Không mất tính tổng quát giả sử . 
Ta có: 
và các dạng "hoán vị" của nó. Áp dung BDT: 
ta có đpcm . 
Cách 11: 
Trước hết ta chứng minh 
That vay, ta có thể viết lại là: 
luôn đúng. Cộng vế theo vế là xong. 
Cách 12: 
Giả sử . Khi đó: 
Theo Chebyshev và AM-GM, ta có: 
Chứng minh xong. 
Cách 13: 
Ta có 
Theo AM-GM ta có: 
Cách 14: 
Đặt 
Lúc đó 
BDT cần chứng minh là 
Ta chứng minh bằng phản chứng, nếu 
thì theo 2 BDT quen thuộc ta có 
Mâu thuẫn!!! 
Cách 15: 
Theo AM-GM cho 2 số thì 
hay 
Hoàn toàn tương tự, ta được 
 và 
Cộng vế theo vế ta có kết quả 
Cách 16: 
Ta có thể giả sử 
Với x thuộc khoảng (0;3) ta có (dành cho bạn đọc) 
Lần lượt thay x bởi a, b, c và cộng các BDT vừa đạt được theo vế ta có kết quả. 
Cách 17: 
Đặt 
thì 
BDT Nesbit trở thành 
Rút gọn ta có 
Áp dụng AM-GM cho 6 số là xong. 
Cách 18: (Áp dụng BDT Jensen cho hàm lõm) 
Đặt 
Với t dương, xét hàm số 
Dễ thấy 
 Theo BDT Jensen 
Mặt khác 
do đó hàm f tăng ngặt trên . Suy ra 
Suy ra điều phải chứng minh. 
Cách 19: (Theo Hojoo Lee) 
Theo AM-GM ta có các BDT 
và 
Suy ra 
hay 
Điều này quá gần với BDT Nesbit. Công việc còn lại dành cho bạn đọc. 
Cách 20: 
Ta có: Áp dụng BDT sau của Vasile Cirtoaje (có thể tìm thấy chứng minh trong cuốn Sáng tạo BDT 
của Phạm Kim Hùng). 
Áp dụng BDT Schwarz cho 3 số