Tài liệu Số học - Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

 1 
Chuyên đề 
Bất đẳngthức và gtln,gtnn 
Ph−ơng pháp 1:Dùng BĐT Cô si 
A-BĐT Cô si: Nếu 1 2 na ,a ...a 0≥ thì 
1 2 n n
1 2 n
a a ... a
a .a ...a
n
+ + +
≥ 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 na a ... a= = = 
Hệ quả: 1/ 
1 1 4
x, y 0
x y x y
> ⇒ + ≥
+
 Đẳng thức xảy ra khi x y= 
 2/Với a,b bất kỳ và
( )22 2 a ba b
x, y 0
x y x y
+
> ⇒ + ≥
+
Đẳng thức 
xảy ra khi x y= 
 3/
n n
2
1, 2, n i
i 1 i 1 i
1
x x ...x 0 x n
x= =
  
> ⇒ ≥  
  
∑ ∑ Đẳng thức xảy ra 
1 2 nx x ... x⇔ = = = 
B- Bài tập 
I-áp dụng trực tiếp BĐT Cô si 
1-Cho a,b,c 0&a b c 3≥ + + = tìm 
 Min(
3 3 3a b c+ + ) và Max( )3 3 3ab bc ca+ + 
2-(ĐHQGHN-2000) Cho a,b,c thoả a b c 3+ + = CMR 
a b c a b c8 8 8 2 2 2+ + ≥ + + 
HD:Đặt 
a b c2 x,2 y,2 z xyz 1= = = ⇒ = 
3-(ĐH Ngoại Th−ơng-1996) 
Cho
3
a,b,c 0&a b c
2
> + + ≤ Tìm GTNN của 
1 1 1
S a b c
a b c
= + + + + + 
4-Cho
1 1 1
a,b,c 0&a b c 1CMR 1 1 1 64
a b c
   > + + = + + + ≥   
   
5-Cho a,b.c 0&a b c 1> + + ≤ tìm GTNN của 
2 2 2a b c 1 1 1
S
b c a ab bc ca
= + + + + + 
 2 
6-(ĐHCĐKA-2003) Cho 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
x, y,z 0& x y z 1CMR x y z 82
x y z
> + + ≤ + + + + + ≥ 
7-
3
a,b,c 0&a b c
2
> + + ≤ Tìm GTNN 2 2 2
2 2 2
1 1 1
S a b c
b c a
= + + + + + 
8- Cho a,b,c>0 &a b c 3+ + ≤ Tìm GTNN 
3 3 3
2 2 2
a b c 1 1 1
P 27
ab bc cab c a
 = + + + + + 
 
9- x, y,z 0& x y z 1> + + ≤ Tìm GTNN ( ) 1 1 1A 2 x y z 3
x y z
 
= + + + + + 
 
10-Cho 
2 2 2a b c a b c
a,b.c 0CMR
b c c a a b 2
+ +
> + + ≥
+ + +
11-(ĐHBKHN-1990) Cho
2 2 2
1 1 1 a b c
a,b,c 0CMR
2abca bc b ca c ab
+ +
> + + ≤
+ + +
12-Cho 
1 1 1
a,b,c 0& 2
1 a 1 b 1 c
> + + ≥
+ + +
 CMR 
1
abc
8
≤ 
13-(ĐH Thuỷ Lợi -1997) 
Cho
2 2 2 2
5 5 5 5 3 3 3 3
a b c d 1 1 1 1
a,b,c,d 0CMR
b c d c a b c d
> + + + ≥ + + + 
HD:
2
5
a
b
+ 
2
5
a
b
+
2
5
a
b
+
3 3 3
1 1 5
a a b
+ ≥ 
14-(ĐHCĐKB-2005) CMR x R∀ ∈ Ta có 
x x x
x x x12 15 20 3 4 5
5 4 3
     + + ≥ + +     
     
15-(ĐHCĐ KD-2005) Cho x, y.z 0& xyz 1> = CMR 
3 3 3 3 3 31 x y 1 y z 1 z x
3 3
xy yz zx
+ + + + + +
+ + ≥ 
16-(ĐHNN1-2000)Cho a,b,c 0&abc 1> = Tìm GTNN của biểu thức 
2 2 2 2 2 2
bc ac ab
P
a b a c b a b c c a c b
= + +
+ + +
 3 
17-Cho a,b,c 0&abc 1> = CMR
( ) ( ) ( )3 3 3
1 1 1 3
2a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + +
18-Choa,b,c 0&ab bc ca 3abc> + + ≤ CMR
4 4 4a b b c c a
1
2a b 2b c 2c a
+ + ≥
+ + +
19-Cho ( )( )( )0 x 3,0 y 4CMR : 3 x 4 y 2x 3y 36≤ ≤ ≤ ≤ − − + ≤ 
20-Cho a 1,b 1CMR : a b 1 b a 1 ab≥ ≥ − + − ≤ 
21-(ĐHSP Vinh-1999) CMR tam giác ABC nhọn Thì: 
8 8 8 2 2 2tan A tan B tan C 9 tan Atan Btan C+ + ≥ 
22-Tìm GTLN của 
ab c 2 bc a 3 ca b 4
F
abc
− + − + −
= Với a 3,b 4,c 2≥ ≥ ≥ 
II-áp dụng hệ quả BĐT Cô si 
1-(ĐHCĐ KA-2007) Cho x, y,z 0& xyz 1.> = Tìm GTNN của 
( ) ( ) ( )2 2 2x y z y z x z x y
P
y y 2z z z z 2x x x x 2y y
+ + +
= + +
+ + +
2-(ĐHCĐ KA-2005) Cho 
1 1 1
x, y,z 0& 4
x y z
> + + = CMR 
1 1 1
1
2x y z x 2y z x y 2z
+ + ≤
+ + + + + +
3-Cho 1 2 nx ,x ,..., x 0> Đặt 1 2 nS x x ... x= + + + CMR
2n
i 1 i
S n
S x n 1=
≥
− −∑ 
4-Cho i 1 2 n0,i 1,2,...,n & ... 1α > = α +α + +α = CMR:
n
i
i 1 i
n
2 2n 1=
α
≥
−α −∑ 
5-
1 1 1 1 1 1
a,b,c 0CMR
a 3b b 3c c 3a a 2b c b 2c a c 2a b
> + + ≥ + +
+ + + + + + + + +
6-(ĐH Hàng hải-1999) Cho x, y,z 0& x y z 3≥ + + ≤ CMR: 
2 2 2
x y z 3 1 1 1
2 1 x 1 y 1 z1 x 1 y 1 z
+ + ≤ ≤ + +
+ + ++ + +
 4 
7-(ĐH Ngoại th−ơng -1999) Cho x, y,z 0& x y z 1> + + = Tìm GTLN của 
x y z
P
x 1 y 1 z 1
= + +
+ + +
8-(ĐH Tây Nguyên-2000) Cho x, y,z 0& x y z 1> + + = CMR: 
1 1 1 18
x y z xyz 2
+ + >
+
9-Cho 
1 1 1 1 1 1
a,b,c 0CMR
4a 4b 4c 2a b c 2b c a 2c a b
> + + ≥ + +
+ + + + + +
10-Cho a,b,c 0&abc ab bc ca> = + + CMR: 
1 1 1 1
a 2b 3c 2a 3b c 3a b 2c 6
+ + ≤
+ + + + + +
Ph−ơng pháp 2: Dùng BĐT Bunhiacôpxki 
A- BĐT Bunhiacôpxki: Cho Hai dBy số thực 1 2 na ,a ,...,a và 1 2 bb ,b ,..,b tù có BĐT 
n n n
2 2
i i i i
i 1 i 1 i 1
a b a b
= = =
  
≤   
  
∑ ∑ ∑ Đẳng thức xảy ra 1 2 n
1 2 n
a a a
...
b b b
⇔ = = = 
 Hệ quả: 1/ 
2
n
i2n
i 1i
n
i 1 i
i
i 1
a
a
b
b
=
=
=
 
 
 ≥
∑
∑
∑
 với ib 0> i 1,2,...,n= 
 2/Nếu đặt i i ib a c= thì ta có : 
2n
in
i 1i
n
i 1 i
i i
i 1
a
a
c
a c
=
=
=
 
 
 ≥
∑
∑
∑
 Trong đó i ia c 0> i=1,2,n 
B- Bài tập 
I- áp dụng trực tiếp BĐT Bunhiacôpxki 
 1-(ĐH Y D−ợc-1998) a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác, CMR 
 p p a p b p c 3p< − + − + − ≤ Với p (a b c) 2= + + 
 5 
 2-(ĐH Y D−ợc-1999) 
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
a,b,c 0CMR :
b c ab c a
≠ + + ≥ + + 
 3-(ĐHCĐ KA-2003) cho 
 2 2 2
2 2 2
1 1 1
x, y,z 0& x y z 1CMR x y z 82
x y z
> + + ≤ + + + + + ≥ 
 HD: ( ) 2 2
1 9
1 81 x x
xx
 + + ≥ + 
 
 4-CMR với a,b,c 0> thì 
3 3 3 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
a b ca ab b b bc c c ca a
+ +
+ + ≥
+ ++ + + + + +
5-CMR nếu ph−ơng trình :
4 3 2x ax bx cx 1 0+ + + + = có nghiệm thực thì 
2 2 2a b c 4 3+ + ≥ 
 6-CMR ph−ơng trình 
4 3 2x ax bx ax 1 0+ + + + = có nghiện thực thì: 2 2a (b 2) 3+ − > 
7- CMR nếu 0x là nghiệm của ph−ơng trình:
3 2x ax bx c 0+ + + = thì ta có: 
2 2 2 2
0x 1 a b c< + + + 
8-Cho 
a b c d
a,b,c,d 0CMR : 2
b c c d d a a b
> + + + ≥
+ + + +
9-(ĐH Y D−ợc Tp.HCM-1998) Cho 
2 2 2
a b
a 1,b 1CMR log a log b 2 log
2
+
≥ ≥ + ≤ 
10-(ĐH Ngoại Th−ơng -1995) Cho 
3 3x 0, y 0& x y 2≥ ≥ + = CMR 2 2x y 2+ ≤ 
11-(ĐH KTQD-1999) Cho ABC
 CMR nếu 2 2 2
A B C
cot cot cot 9
2 2 2
+ + = Thì ABC
 
là tam giác đều 
12- , , 0& 2α β γ > α +β+ γ = pi tìm GTLN của biểu thức 
 P 1 tan .tan 1 tan .tan 1 tan .tan= + α β + + β γ + + γ α 
13-(ĐHCĐKB-2006) Tìm GTNN của ( ) ( )2 22 2A x 1 y x 1 y y 2= − + + + + + − 
 6 
HD: ( ) ( ) ( ) ( )2 22 23 1 3 1x 1 y x 1 y , 1 x y 1 x y
2 2 2 2
+ + ≤ + + − + ≤ − + Sau đó 
áp dụng a b c a b c+ + ≥ + + 
II-áp dụng hệ quả BĐT Bunhiacôpxki 
1-(ĐHCĐ KA-2005) Cho 
1 1 1
x, y,z 0& 4
x y z
> + + = CMR 
1 1 1
1
2x y z x 2y z x y 2z
+ + ≤
+ + + + + +
2-Tìm GTLN của tổng sau theo các hằng số d−ơng x, y, z 
1 1 1
P
xa yb zc xb yc za xc ya zb
= + +
+ + + + + + +
 trong đó 
1 1 1
a,b,c 0& 1
a b c
> + + = 
3- CMR a,b,c 0∀ > Thì 
( ) ( ) ( )2 2 2a b b c c a
4(a b c)
c a b
+ + +
+ + ≥ + + 
4-Tìm GTNN của biểu thức 
6 6 6
3 3 3 3 3 3
a b c
B
b c c a a b
= + +
+ + +
 ở đó 
a,b,c 0&a b c 1> + + = 
5-(ĐH Y Hà Nội-2000) Cho 
2 3
x.y 0& 6
x y
> + = Tìm GTNN của A x y= + 
6-Cho x 
6 4 6 4 6 4 4 4 4
2x 2y 2z 1 1 1
, y, z 0CMR :
x y y z z x x y z
> + + ≤ + +
+ + +
HD:
( )22
4 4 6 4 6 4 6 4
x 11 1 x 1 4x
x y x y x y x y
+
+ = + ≥ ≥
+ +
7-Cho a,b,c 0&a b c 3> + + ≥ Tìm GTNN của 
a b c
S
b c a
= + + 
8-Cho 
3 3 3
2 2 2 a b c 1a,b,c 0&a b c 1CMR
b c c a a b 2
> + + ≥ + + ≥
+ + +
 7 
9-Cho 
1 1 1 3
a,b,c 0&a b c 3CMR
ab 1 bc 1 ac 1 2
> + + ≤ + + ≥
+ + +
HD:( ) ( )2a b c 3 ab bc ca ab bc ca 3+ + ≥ + + ⇒ + + ≤ 
10-Cho x, y 0&0 x y a b> < + < + với a,b là hai số cho tr−ớc CMR” 
( )
( ) ( )
22 2a xx a
x y a b x y a b
−
+ ≥
+ + − + +
11-Tìm GTNN Của 
( ) ( ) ( )
8 8 8
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c
A
a b b c c a
= + +
+ + +
 Trong đó 
 a,b,c 0&ab bc ca 1> + + = 
Ph−ơng pháp 3: Ph−ơng pháp véc tơ: 
A-Tóm tắt lý thuyết: 
1- u v u v+ ≥ +
r r r r
 Đẳng thức xảy ra khi & chỉ khi u& v
r r
 cùng h−ớng 
2- u.v u v≤
r r r r
Đẳng thức xảy ra khi & chỉ khi u& v
r r
 cùng ph−ơng 
B- Bài tập 
1-(ĐH Huế-1997) CMR:
2 2a a 1 a a 1 2 a R+ + + − + ≥ ∀ ∈ 
2-(ĐHCĐ KA-2003) Cho 
 2 2 2
2 2 2
1 1 1
x, y,z 0& x y z 1CMR x y z 82
x y z
> + + ≤ + + + + + ≥ 
 3-
3
a,b,c 0&a b c
2
> + + ≤ Tìm GTNN 2 2 2
2 2 2
1 1 1
S a b c
b c a
= + + + + + 
 4-(ĐHQG HN-2000) Cho a,b,c 0&ab bc ca abc> + + = CMR: 
2 2 2 2 2 2b 2a c 2b a 2c
3
ab cb ca
+ + +
+ + ≥ 
 5-(HVQH Quốc tế-1997) Chox, y, z 0CMR> : 
 ( )2 2 2 2 2 2x xy y y yz z z zx x 3 x y z+ + + + + + + + ≥ + + 
 6-CMR:
2 2 2 2 2 2x xy y x xz z y yz z+ + + + + ≥ + + 
 8 
 7-(ĐH Ngoại Th−ơng-1995) Giả sử hệ 
2 2
2 2
x xy y 3
y yz z 16
 + + =

+ + =
 có nghiệm .CMR 
 xy yz zx 8+ + ≤ 
 8-CMR: ( ) ( )2 22 2 2 2a b c d a c b d+ + + ≥ + + + Với a,b,c,d∀ 
 Ph−ơng pháp 4: Dùng tính đơn điệu của hàm số: 
 1-CMR 
3x
x sin x x x 0
6
− 
 2-CMR: 
3x
1
2sin x tan x 22 2 2
+
+ > Với x 0;
2
pi ∈  
 3-CMR : 
sin x tan x x 12 2 2 ++ > Với x 0;
2
pi ∈ 
 
 4--(ĐH Ngoại Th−ơng-1996) 
 Cho 
3
a,b,c 0&a b c
2
> + + ≤ Tìm GTNN của 
1 1 1
S a b c
a b c
= + + + + + 
 5-(HVQH Quốc tế -1999) Cho x 0, y 0& x y 1≥ ≥ + = Tìm GTNN của 
x y
P
y 1 x 1
= +
+ +
 6-(ĐHSPHN 2-1999) Cho tam giác nhọn ABC .CMR: 
 ( ) ( ) ( )2SinB 2SinC 2SinASinA SinB SinC 2+ + > 
 7-(ĐH An ninh-2000) Cho n là số nguyên và n 3.≥ CMR ( )nn 1n n 1+ ≥ + 
 8-(ĐH Mỏ-2000) Cho ABC
 có 00 A B C 90< ≤ ≤ < CMR: 
2cos3C 4cos2C 1
2
cosC
− +
≥ 
 9-(ĐH Hàng hải -1999) CMR:cos sin 1α +α α > với 0 2< α < pi 
 10-Cho ABC
 nhọn CMR:sinA sinB sinC tanA tanB tanC 2+ + + + + > pi 
 Ph−ơng pháp 5:Dùng cực trị của hàm số: 
 1-Cho 
2 2 2a,b,c 0&a b c 1> + + = CMR:
2 2 2 2 2 2
a b c 3 3
2b c c a a b
+ + ≥
+ + +
 2-CMR để 
4 3x px q 0+ + ≥ với 4x R 256q 27p∀ ∈ ⇔ ≥ 
 9 
 3-(ĐHCĐ KB-2003) Tìm GTLN ,GTNN của 
2y x 4 x= + − 
 4-(ĐHCĐ KD-2003) Tìm GTLN,GTNN của 
2
x 1
y
x 1
+
=
+
 trên [ ]1;2− 
 5-(ĐHCĐKB-2004) Tìm GTLN,GTNN của 
2ln x
y
x
= trên 31;e   
 6-(ĐHCĐKA-2006)Cho ( ) 2 2x 0, y 0& x y xy x y xy≠ ≠ + = + − tìm GTLN của: 
3 3
1 1
A
x y
= + HD:BĐ 
2
1 1
A
x y
 
= + 
 
 Và đặt x ty= 
 7-(ĐHCĐKB-2006) tìm GTNN của ( ) ( )2 22 2A x 1 y x 1 y y 2= − + + + + + − 
 8-Cho 
*p,q N &0 2∈ ≤ α ≤ pi CMR: ( )p qp q p qsin cos p q p q +α α ≤ + 
 9-Tìm GTNN của 
4 4 2 2
4 4 2 2
a b a b a b
F
b ab a b a
 
= + − + + + 
 
 với a,b 0≠ 
 10-(ĐHXD HN -2001) 
 Cho [ ]x, y.z 0;1∈ &x y z 3 2+ + = . Tìm GTNN của ( )2 2 2A cos x y z= + +