Tài liệu ôn thi môn Toán Lớp 9 - Phần Đại số (phần 3)

A - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
Dạng 1: Giải hệ phương trình cơ bản và đưa được về dạng cơ bản
Dạng 2: Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước
Bài 1: a) Định m và n để hệ phương trình có nghiệm là (2 ; - 1).
b) Định a và b biết phương trình: ax2 - 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2.
Bài 2: Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy:
a) 2x – y = m ;	 x = y = 2m ; 	mx – (m – 1)y = 2m – 1
b) mx + y = m2 + 1 ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m – 2.
Bài 3: Cho hệ phương trình 
a) Giải hệ phương trình khi m = . b) Giải và biện luận hệ theo m.
c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y > 0.
d) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dương.
e) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho S = x2 – y2 đạt GTNN. (tương tự với S = xy).
f) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm M(x ; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.
Bài 4: Cho hệ phương trình: a) Giải và biện luận hệ theo m.
b) Với các giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y < 0.
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x2 + 2y = 0. 
e) Cmr khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm D(x ; y) luôn nằm trên 1 đthẳng cố định 
Bài 5: Cho hệ phương trình: 
a) Giải hệ ptrình khi m=2. b)Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x>0 và y<0.
c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x, y là các số nguyên.
d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x – y đạt giá trị lớn nhất.
B - Một số hệ bậc hai đơn giản:
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I: 
 Ví dụ: Giải hệ phương trình 
 a) 	 b)
Dạng 2: Hệ đối xứng loại II
VÝ dô: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nhc) d.	e. 
VÝ dô: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh a)	 b)
VÝ dô 1: Cho hÖ ph­¬ng tr×nh a. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ptr×nh v« nghiÖm
Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ pt cã v« sè nghiÖm?Khi ®ã h·y t×m d¹ng tæng qu¸t nghiÖm cña hÖ ptr×nh
Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt
 2) Cho hÖ ph­¬ng tr×nh:	 mx + y = 3
	9x + my = 2m + 3
a. Gi¶i ptr×nh víi m = 2, m = -1, m = 	 b.T×m m ®Ó ptr×nh cã 1 nghiÖm, v« nghiÖm, v« sè nghiÖm.
	c. T×m m ®Ó 3x + 2y = 9 , 2x + y > 2 	d. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm d­¬ng.
	e. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn ©m.
7)Cho hÖ ph­¬ng tr×nh : a)T×m a biÕt y=1 b) T×m a ®Ó : x2+y2 =17
Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số
3)Cho hÖ ph­¬ng tr×nh ; cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y)
a) T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m;
b) T×m gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n 2x2 -7y=1 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó A = nhËn gi¸ trÞ nguyªn
8) Cho hÖ ph­¬ng tr×nh 
Gi¶i hÖ ptr×nh víi m = 2 b. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x;y) mµ S = x2+y2 ®¹t GTNN
Chủ đề 4: HÀM SỐ ĐỒ THỊ.
-Hµm sè bËc nhÊt : y = ax + b ®ång biÕn khi a > 0 . Khi ®ã §ths t¹o víi rrôc hoµnh ox mét gãc nhän .NghÞch biÕn th× ng­îc l¹i.
-§K hai ®­êng th¼ng song song lµ : 
-§K hai ®­êng th¼ng c¾t nhau lµ : a a’
-§K hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc lµ tÝch a.a’ = -1
-§t hs y=ax( a0) ®i qua gèc to¹ ®é
-§ths y=ax+b (a0,b0)kh«ng ®i qua gèc to¹ ®é.Nã t¹o víi ox,oy 1 tam gi¸c 
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = 2x – 5 ; 	b) y = - 0,5x + 3
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi: a) a = 2 ; 	b) a = - 1.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng (d) biết:
a) (d) đi qua A(1 ; 2) và B(- 2 ; - 5)
b) (d) đi qua M(3 ; 2) và song song với đường thẳng (D) : y = 2x – 1/5.
c) (d) đi qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đường thẳng (d’): y = -1/2x + 3.
d) (d) đi qua D(1 ; 3) và tạo với chiều dương trục Ox một góc 300.
e) (d) đi qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đường thẳng 
f) (D): y = 2x – 3; (D’): y = 7 – 3x tại một điểm.
g) (d) đi qua K(6 ; - 4) và cách gốc O một khoảng bằng 12/5 (đơn vị dài).
Bài 2: Gọi (d) là đường thẳng y = (2k – 1)x + k – 2 với k là tham số.
Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6).
Định k để (d) song song với đường thẳng 2x + 3y – 5 = 0.
Định k để (d) vuông góc với đường thẳng x + 2y = 0.
Chứng minh rằng không có đường thẳng (d) nào đi qua điểm A(-1/2 ; 1).
Chứng minh rằng khi k thay đổi, đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
VÝ dô 1: Cho hµm sè 
a) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (*) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng - 3.
b) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (*) song song víi ®­êng th¼ng y = -2x + 1
c) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (*) vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng y = 2x -3
VÝ dô 4: X¸c ®Þnh hµm sè y = ax + b, biÕt:
a) §å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é lµ 3 vµ ®i qua ®iÓm A(1; -2)
b) §å thÞ hµm sè ®i qua hai ®iÓm B(2 ; 1) vµ C(-1; 4)
c) §å thÞ hµm sè song song víi ®­êng th¼ng y = - x + 6 vµ ®i qua A(- 1 ; - 9)
VÝ dô 5: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho ®th¼ng d cã ph­¬ng tr×nh: y=(m-1)+ n
Víi gi¸ trÞ nµo cña m vµ n th× d song song víi trôc Ox?
X¸c ®Þnh ph­¬ng tr×nh cña d biÕt d ®i qua A(1; -1) vµ cã hÖ sè gãc b¨ng -3
Bµi 1 : Cho hµm sè y = (m + 5)x+ 2m – 10 
Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× y lµ hµm sè bËc nhÊt b. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè ®ång biÕn.
T×m m ®Ó đths ®iqua ®iÓm A(2; 3) d. T×m m ®Ó ®å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é là 9.
T×m m ®Ó ®å thÞ ®i qua ®iÓm 10 trªn trôc hoµnh . f.T×m m ®Ó đths song song víi đths y =2x -1
Chøng minh ®å thÞ hµm sè lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m.
T×m m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ O tíi ®å thÞ hµm sè lµ lín nhÊt
Bµi 2: Cho ®­êng th¼ng y=2mx +3-m-x (d) . X¸c ®Þnh m ®Ó:
§­êng th¼ng d qua gèc to¹ ®é b. §­êng th¼ng d song song víi ®­êng th¼ng 2y- x =5
§­êng th¼ng d t¹o víi Ox mét gãc nhän d. §­êng th¼ng d t¹o víi Ox mét gãc tï
§­êng th¼ng d c¾t Ox t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é 2 
§­êng th¼ng d c¾t ®å thÞ Hs y= 2x – 3 t¹i mét ®iÓm cã hoµnh ®é lµ 2
§­êng th¼ng d c¾t ®å thÞ Hs y= -x +7 t¹i mét ®iÓm cã tung ®é y = 4
§­êng th¼ng d ®i qua giao ®iÓm cña hai ®­êng th¶ng 2x -3y=-8 vµ y= -x+1
Bµi 3: Cho hµm sè y=( 2m-3).x+m-5
VÏ ®å thÞ víi m=6 b. Cminh hä ®­êng th¼ng lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh khi m thay ®æi
T×m m ®Ó đths t¹o víi 2 trôc to¹ ®é mét tam gi¸c vu«ng c©n
T×m m ®Ó đthst¹o víi trôc hoµnh mét gãc 45o d.T×m m ®Ó đthst¹o víi trôc hoµnh mét gãc 135o
T×m m ®Ó đthst¹o víi trôc hoµnh mét gãc 30o, 60o
T×m m ®Ó đths c¾t ®th¼ng y = 3x-4 t¹i mét ®iÓm trªn 0y 
T×m m ®Ó đthsc¾t ®th¼ng y = -x-3 t¹i mét ®iÓm trªn 0x 
Bµi4 Cho hµm sè y = (m -2)x + m + 3
a)T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó hµm sè lu«n lu«n nghÞch biÕn .
b)T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ®å thÞ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 3.
c)T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè y = -x + 2, y = 2x –1 vµ y = (m - 2)x + m + 3 ®ång quy.
 d)T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè t¹o víi trôc tung vµ trôc hoµnh mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 2 
Bµi 5 Trong hÖ trôc to¹ ®é Oxy, cho hµm sè y = 2x + m (*)
 1)T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (*) ®i qua ®iÓm a)A(-1 ; 3) ; b) B( ; -5) ; c) C(2 ; -1)
 2) X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè (*) c¾t ®å thÞ hµm sè y = 3x – 2 trong gãc phÇn t­ thø IV
Bµi 6:Cho (d1) y=4mx- ( m+5) ; (d2) y=( 3m2+1).x + m2-4
a) T×m m ®Ó ®å thÞ (d1)®i qua M(2;3)
b) Cmkhi m thay ®æi th× (d1)lu«n ®i qua mét ®iÓm A cè ®Þnh, (d2) ®i qua B cè ®Þnh.
c) TÝnh kho¶ng c¸ch AB d)T×m m ®Ó d1 song song víi d2
e)T×m m ®Ó d1 c¾t d2. T×m giao ®iÓm khi m=2
Bµi 7 Cho hµm sè y =f(x) =3x – 4 
 a)T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®ths víi hai trôc to¹ ®é b) TÝnh f(2) ; f(-1/2); f()
 c) C¸c ®iÓm sau cã thuéc ®ths kh«ng? A(1;-1) ;B(-1;1) ;C(2;10) ;D(-2;-10)
 d)T×m m ®Ó ®ths ®i qua ®iÓm E(m;m2-4) e)T×m x ®Ó hµm sè nhËn c¸c gi¸ trÞ : 5 ; -3 
 g)TÝnh diÖn tÝch , chu vi tam gi¸c mµ ®ths t¹o víi hai trôc to¹ ®é.
 h)T×m ®iÓm thuéc ®ths cã hoµnh ®é lµ 7 k) T×m ®iÓm thuéc ®ths cã tung ®é lµ -4
 l) T×m ®iÓm thuéc ®ths cã hoµnh ®é vµ tung ®é b»ng nhau
D¹ng 3 .Mét sè bµi to¸n quy vÒ HPT
1) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm A(2;5) vµ B(-5;7)
2) Cho hµm sè y = (3m-1)x + 4n -2
T×m m,n biÕt ®å thÞ hµm sè ®i qua ®iÓm (5 ;-3) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i 1 ®iÓm cã hoµng ®é lµ -2
3)T×m giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng 4x-7y=19 vµ 6x + 5y = 7
VÝ dô 1 : T×m giao ®iÓm cña:(d1): y = 3x + 5 (d2): y = x - 1
VÝ dô 2T×m m ®Ó ®th¼ng y=-3x+6 vµ y=x-2m+1 c¾t nhau t¹i mét ®iÓm n»m trªn trôc tung?
4) Cho 2 ®­êng th¼ng:	d1:	y = mx + n
	d2:	(m - 1)x + 2ny = 5
	a. X¸c ®Þnh m,n biÕt d1 c¾t d2 t¹i ®iÓm (2;- 4)
	b. X¸c ®Þnh ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d1 biÕt d1 ®i qua ®iÓm (-1; 3) vµ c¾t ox 
 t¹i mét ®iÓm cã hoµnh ®é lµ - 4.
	c. X¸c ®Þnh ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d2 biÕt d2 ®i qua ®iÓm 7 trªn oy vµ song 
 song víi ®­êng th¼ng y - 3x = 1
5) Gi¶ sö ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh y = ax+ b.
X¸c ®Þnh a, b ®Ó (d) ®i qua hai ®iÓm A (1;3) vµ B (-3; 1)
6) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó c¸c ®­êng th¼ng sau c¾t nhau t¹i mét ®iÓm:
y = 6 - 4x ; y = ; vµ y = (m – 1)x + 2m.
7)Trong hÖ trôc to¹ ®é Oxy, cho hµm sè y = 2x + m (*)
a)T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (*) ®i qua ®iÓm 
A(-1 ; 3) ; B( ; -5) ; C(2 ; -1)
b) X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè (*) c¾t ®å thÞ hµm sè y = 3x – 2 trong gãc phÇn t­ thø IV
8)Cho hµm sè: y = (2m-3)x +n-4 (d) ()
T×m c¸c gi¸ trÞ cña m vµ n ®Ó ®­êng th¼ng (d) : 
§i qua A(1;2) ; B(3;4)
C¾t oyt¹i ®iÓm cã tung ®é vµ c¾t ox t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é 
Cho n = 0, t×m m ®Ó ®­êng th¼ng (d ) c¾t ®­êng th¼ng (d/) cã ph­¬ng tr×nh x-y+2 = 0
 t¹i ®iÓm M (x;y) sao cho biÓu thøc P = y2-2x2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
9)Cho hµm sè y = (m -2)x + m + 3
a)T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó hµm sè lu«n lu«n nghÞch biÕn .
b)T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ®å thÞ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 3.
c)T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè y = -x + 2, y = 2x –1 vµ y = (m - 2)x + m + 3 ®ång quy.
10) Chøng minh 3 ®iÓm A(1 ;3) , B( -2;-3) ,C( 3;7) th¼ng hµng 
11)T×m m ®Ó ba ®iÓm A(4;5) ,B( 2m ; m2) ,C(-3 ;-2) th¼ng hµng.
12)Chøng minh 3 ®­êng th¼ng : 3x + 7y = 13 , 2x -5y = -1 vµ y = 4x- 7 c¾t nhau t¹i 1 ®iÓm
Dạng 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và parabol
Bài 1: Biết đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm (- 2 ; -1). Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó.
Gọi A và B là hai điểm lần lượt trên (P) có hoành độ lần lượt là 2 và - 4. Tìm toạ độ A và B từ đó suy ra phương trình đường thẳng AB.
VÝ dô 1: Cho parapol (P) : y = 2x2 vµ ®­êng th¼ng (d) : y = 2(a + 1)x - a - 1
a) T×m a ®Ó (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. T×m täa ®é giao ®iÓm
b) T×m a ®Ó (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau. X¸c ®Þnh täa ®é tiÕp ®iÓm
VÝ dô 2 : Cho (P): y = x2 vµ (d): y = 2(m + 3)x - m2 - m - 2
a) T×m m ®Ó (d) vµ (P) tiÕp xóc víi nhau. b) T×m m ®Ó (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung.
c) T×m m ®Ó (d) vµ (P) c¾t t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt.
Bài 2: Cho hàm số 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. b)Lập pt đthẳng (d) qua A(- 2;- 2) và tiếp xúc với (P)
Bài 3: Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P): và đường thẳng (D): y = mx - 2m - 1.
a) Vẽ độ thị (P). b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
Bài 4: Cho hàm số 
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lượt có hoành độ là - 2; 1. Viết phương trình đường thẳng MN.
 c) Xác định h/số y=ax+b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đthẳng MN và chỉ cắt (P) tại 1 điểm
Bài 5: Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a ¹ 0) và đường thẳng (D): y = kx + b.
1) Tìm k và b cho biết (D) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; - 1).
2) Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm được ở câu 1).
 3)Vẽ (D) và (P) vừa tìm được ở câu 1; 2. 
 4)Gọi (d) là đthẳng đi qua điểm và có hệ số góc m