Tài liệu môn Toán Lớp 12 - Phương trình vi phân

Trang 1 
CHƯƠNG 4 : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 
• Phương trình vi phân là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’,,y(n) )= 0 trong đó 
 x là biến số độc lập, y là hàm số theo x , y’,y’’,,y(n) là các đạo hàm của y . 
• Cấp của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm. 
• Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y=ϕ(x) thỏa mãn phương trình. 
4.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 : 
4.1.1 Khái niệm: 
1. Phương trình vi phân cấp 1 : 
 Phương trình vi là phương trình có dạng F (x,y,y’) = 0 . 
 Nếu có thể giải ra đối với y’ thì có dạng y’= f(x,y) . 
2.Nghiệm tổng quát: 
 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là hàm số y = ϕ (x,C) thỏa 
 phương trình . 
3. Nghiệm riêng: 
 Nghiệm y = ϕ(x,C0) nhận được từ nghiệm tổng quát y = ϕ(x,C) ứng với 
 một giá trị cụ thể C = Co gọi là nghiệm riêng. 
4.Tích phân tổng quát : Trong một số trường hợp , ta không tìm được 
nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dưới dạng tường minh y = ϕ(x,C) mà 
tìm được hệ thức dưới dạng ẩn φ(x,y,C) = 0. Ta gọi đó là tích phân tồng quát của 
phương trình vi phân . 
* Đồ thị của mỗi nghiệm y = ϕ (x,C) của phương trình vi phân gọi là 
đường cong tích phân của phương trình nầy. 
* Nghiệm tổng quát y = ϕ(x,C) tương ứng với 1 họ đường cong tích phân 
phụ thuộc tham số C. 
* Nghiệm kỳ dị: 
Nghiệm của phương trình vi phân không nhận được từ họ nghiệm tổng 
quát thì được gọi là nghiệm kỳ dị . 
 4.1.2 Phương trình vi phân biến số phân ly : 
Trang 2 
1. Định Nghĩa : Phương trình vi phân biến số phân ly là phương trình có 
dạng: 
f(x)dx = g(y)dy (1) 
2. Cách giải: 
Lấy tích phân 2 vế của (1) 
∫ ∫= dyygdxxf )()( 
F(x) = G(y) + C 
Ví Dụ 1 : Giải phương trình vi phân : xy’ + y = 0 
Ví Dụ 2: Giải phương trình vi phân : y’ = tgxtgy 
4.1.3 Phương trình vi phân đẳng cấp : 
1. Định nghĩa : 
Phương trình vi phân được gọi là đẳng cấp đối với x và y là phương trình 
 có dạng : y’ = f (
x
y ). 
2. Cách giải : 
Đặt u = 
x
y y = ux => y’ = u’x + u 
Suy ra : f(u) = u + x .
dx
du x 
dx
du = f (u) - u 
 Nếu f (u) - u ≠ 0 ta có : 
x
dx = 
uuf
du
−)( 
 Đây là phương trình biến số phân ly. 
 Ví Dụ 1 : Giải phương trình vi phân y’ = 22 yx
xy
− 
Ví Dụ2 : Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y’ = 
x
y + sin 
x
y 
 với điều kiện ban đầu y (1) = 
2
π 
4.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 : 
Trang 3 
1. Định Nghĩa : Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có 
 dạng y’ + p(x).y = q(x) (1) 
 trong đó p (x) và q (x) là những hàm liên tục . 
2. Cách giải : y’+ p(x)y = q(x) (1) 
Bước 1 : Giải phương trình thuần nhất tương ứng 
 y’ + p(x)y = 0 (2) 
Đây là phương trình biến số phân ly ,giả sử y = ϕ(x,C) là nghiệm tổng quát 
của phương trình (2) 
 Bước 2 : Xem C là một hàm theo x ,tìm y’ rồi thay vào (1).Từ đó tìm ra C . 
Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân : y’+ 2xy = xe-x2 (1) 
 ĐS : y = 2
2
2
xeKx −⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ + 
Ví Dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình vi phân (x2+1)y’+xy = 1 thỏa điều 
kiện ban đầu y (0) = 2. 
 ĐS :y = 
2
2
1
2) x 1 (x ln 
x+
+++ 
4.1.5 Phương trình Bernouilli( Bec-nu-li) 
1. Định Nghĩa : Phương trình có dạng : y’ + p(x)y = q(x). αy 
trong đó p(x), q(x) là những hàm liên tục, α ∈R. 
2. Cách giải : • Nếu α = 0 hoặc α =1, phương trình trở thành phương trình 
 tuyến tính. 
 • Giả sử α ≠ 0 và α ≠1 
 Với y ≠ 0, chia 2 vế cho y∝ 
 y-∝. y’ + p(x).y1-∝= q(x) 
Đặt u = y1- α suy ra u ’= (1- α ) y -α .y’. Phương trình trên trở thành : 
 u’+ (1- α ) p(x) u = (1- α )q(x) 
Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 đối với u. 
Ví Dụ : Giải phương trình vi phân : y’ + 42 yx
x
y = (1) 
ĐS : y = 
3
3ln
1
x
Kx
Trang 4 
 4.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 : 
 4.2.1- Khái niệm : 
 Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’) = 0 
 Nếu giải được phương trình đối với y’’, ta có dạng khác :y’’= f(x,y,y’) 
 Nghiệm tổng quát : y =ϕ (x,C1,C2) 
 Nghiệm riêng :y = ϕ (x, 0201 ,CC ) với 0201 ,CC là các giá trị xác định của C1, C2 
 Tích phân tổng quát : φ(x,y,C2,C2) = 0 
 4.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 : 
 y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) 
Ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng : 
 y’’ + py’ + qy = f(x) (1) ( p,q hằng số) 
 Bước 1 : Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất : 
 y’’ + py’ + qy = 0 (2) 
 Giải phương trình đặc trưng : 
 k2 + pk + q = 0 (3) 
Ta có 3 trường hợp xảy ra : 
* ∆= p2 -4 q > 0 : Phương trình (3) có 2 nghiệm thực khác nhau k1 và k2 
 Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là : 
* ∆ = p2 -4q = 0 : Phương trình (3) có nghiệm kép thực k 
 Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là : 
y = kxe (C1 +C2x) 
* ∆ = p2-4q <0 : Phương trình (3) có 2 nghiệm phức liên hợp : 
k1 = α +β i và k2 = α -β i 
 Nghiệm tổng quát của pt (2) là : 
Ví Dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’ + y’ -2y = 0 thoả điều kiện 
 ban đầu y(0) = 0 và y’(0) =1. 
Ví Dụ 2 : Giải phương trình vi phân : y’’ – 6y’ + 9y = 0 
Ví Dụ 3: Giải phương trình vi phân : y’’ - 2y’ + 5y = 0 
y = C1 xke 1 +C2 xke 1 
 y = xeα (C1cos β x + C2 sin β x) 
Trang 5 
Bước 2: Phương trình vi phân không thuần nhất : 
 y’’ + py’ + qy = f(x) (1) 
 Phương pháp giải : 
 * Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng : 
 y’’+py’ +qy = 0 (2) 
 * Tìm một nghiệm riêng của phương trình (1). 
 * Nghiệm tổng quát của pt (1) = nghiệm tổng quát của pt (2) + nghiệm riêng của 
 pt (1). 
 Ta xét các trường hợp f(x) có dạng đặc biệt : 
 1) f(x) = xeα Pn(x). 
a)Nếu α không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng thì ta tìm 
nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y = xeα Qn(x) 
 b)Nếu α trùng với nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì ta tìm 
 nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y =x xeα Qn(x) 
 c)Nếu α trùng với nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì ta tìm 
 nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y =x2 xeα Qn(x) 
 Ví Dụ 1: Giải phương trình y’’ +3y’ -4y = x. 
 ĐS : y = C1ex + C2e-4x - 4
1 x - 
16
3 
 Ví Dụ 2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình 
 y’’ –y’ = ex (x+1) 
 ĐS : y =(C1 + C2)e3x + xe
x 33
6
2) f(x) = Pm (x) cos β x + Pn(x) sin β x : 
 Nghiệm riêng của phương trình có dạng : 
• y = Ql(x) cosβ x + Rl(x) sin β x nếu ± i β không trùng với nghiệm của pt 
đặc trưng. 
• y = x [ Ql(x) cosβ x + Rl(x) sinβ x ] nếu ± i β trùng với nghiệm của pt đặc 
trưng . ( l = max (m,n) ) 
Ví Dụ : Giải phương trình : 
 a)y’’ + y’ = sin 2x 
Trang 6 
 b)y’’+ y = xsinx