Tài liệu môn Toán - Dãy các số nguyên. Phân số viết theo quy luật ôn thi HSG - Lê Văn Hòa

(1). Dãy 1: Sử dụng công thức tổng quát
- - - Chứng minh - - -
@*Bài 1.1: Tính
a) 	b) 
c) 	d) 
*Bài 1.2: Tính:
a) 	b) 
c) 
*Bài 1.3: Tìm số tự nhiên x, thoả mãn:
a) 	b) 
c) 
*Bài 1.4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
a) 
b) 
*Bài 1.5: Chứng minh rằng với mọi ta có:
*Bài 1.6: Cho chứng minh: 	
*Bài 1.7: 	Cho dãy số : 
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy
b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy. Tính S.
*Bài 1.8: 	Cho . Chứng minh 
*Bài 1.9: 	Cho . Chứng minh: 
*Bài 1.10: 	Cho . Chứng minh: 
*Bài 1.11: 	Cho . Chứng minh: 
*Bài 1.12: 	Cho . Chứng minh: 
*Bài 1.13: 	Cho . Chứng minh: 
*Bài 1.14:	 Cho . Chứng minh: 
*Bài 1.15: 	Cho . Tìm phần nguyên của B.
*Bài 1.16: 	Cho . Chứng minh C > 48
HD: C = (1 - ) + (1 - ) + (1 - ) + + (1 - ) = 49 – () > 48
*Bài 1.17: 	Cho . Chứng minh 
*Bài1.18: 	Cho . Chứng minh 97 < N < 98.
Mở rộng với tích nhiều thừa số:
Chứng minh:
*Bài 1.19: 	Tính 
*Bài 1.20: 	Cho . Chứng minh 
*Bài 1.21: 	Cho . Chứng minh B < 3
*Bài 1.22: 	Cho . Chứng minh 
*Bài 1.23: 	Chứng minh với mọi n N; n > 1 ta có:
*Bài 1.24:	 Tính 
*Bài 1.25: 	Tính 
Bài 1.26: 	Tính: 
Bài 1. 27: 	Tính: 
Bài 1.28: Cho 
So sánh S với 
v Hướng dẫn:
Áp dụng vào bài toỏn với m ẻ {2; 2 , ., 2 } và k ẻ { 2005, 2005 , } ta cú:
..
(2). Dãy 2: Dãy luỹ thừa với n tự nhiên.
Bài 2.1: Tính : 
Bài 2.2: Tính: 
Bài 2.3: Tính: 
Bài 2.4: Tính: 
Bài 2.5: Cho . Chứng minh 
Bài 2.6: Cho . Chứng minh B < 100.
Bài 2.7: Cho . Chứng minh: 
Bài 2.8: Cho . Chứng minh: D < 1.
Bài 2.9: Cho . Chứng minh: 
Bài 2.10: Cho với n N*. Chứng minh: 
Bài 2.11: Cho . Chứng minh: 
Bài 2.12: Cho . Chứng minh: 
Bài 2.13: Cho . Chứng minh: I < 7
Bài 2.14: Cho . Chứng minh: 
Bài 2.15: Cho . Chứng minh: L < 4,5.
(3). Dãy 3: Dãy dạng tích các phân số viết theo quy luật:
Bài 3.1: 	Tính: .
Bài 3.2:	 Cho dãy số: 
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Tính tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy.
Bài 3.3: Tính: .
Bài 3.4: Cho . Chứng minh: 
Bài 3.5: Cho . Chứng minh: 
Bài 3.6: Tính: 
Bài 3.7: Tính: .
Bài 3.8: Tính: .
Bài 3.9: Tính: .
Bài 3.10: Tính: 
Bài 3.11: Cho . So sánh K với 
Bài 3.12: So sánh với 
Bài 3.13: So sánh với 
Bài 3.14: Tính: 
Bài 3.15: Tính .
Bài 3.16: Tính: 
Bài 3.17: Tính: 
Bài 3.18: So sánh: và 
Bài 3.19: Cho . Chứng minh V < 2.
Bài 3.20: Cho . Chứng minh: 
Bài 3.21: Cho . Chứng minh: 
Bài 3.22: Tính: 
Bài 3.23: Tính: 
Bài 3.24: Tính: , với n N, 
Bài 3.25: Cho 
và với n N*. Tính 
Bài 3.26: Cho và 
Tính: G + H.
Bài 3.27: Cho với n N.
Chứng minh: 
Bài 3.28: Cho dãy số: 
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Gọi A là tích của 11 số hạng đầu tiên của dãy. Chứng minh là số tự nhiên.
c) Tìm chữ số tận cùng của 
Bài 3.29: Cho và với n N
a) Chứng minh : là số tự nhiên
b) Tìm n để M là số nguyên tố.
Bài 3.30: Cho 
 với n N
a) Chứng minh : 5A – 2B là số tự nhiên.
b) Chứng minh với mọi số tự nhiên n khác 0 thì 5A – 2B chia hết cho 45.
Bài 3.31: Cho .( với n N ) Chứng minh: A < 3.
(4). Tính hợp lí các biểu thức có nội dung phức tạp:
Bài 4.1: 	Tính:
Xét tổng: ( gồm có 98 tổng)
Ta thấy : số 1 có mặt ở 98 tổng ; số 2 có mặt ở 97 tổng ; số 3 có mặt ở 96 tổng ;; số 97 có mặt ở 2 tổng ; số 98 có mặt ở 1 tổng . Do đó 
= 1.98+2.97+3.96++97.2+98.1
ĐS: A = 1 
Bài 4.2: 	Tính: 
HD: Theo bài 4.1, ta có 1.98+2.97+3.96++97.2+98.1
= .
áp dụng công thức tính tổng các số tự nhiên liên tiếp ta được:
= 
== 
Bài 4.3: 	Tính: 
Bài 4.4: 	Tính: 
HD: Ta có : = (1 - ) + (1 - ) + + (1 - ) = + ++ 
ĐS: D = 1
Bài 4.5: 	Tính: 
HD: Ta chứng minh cho : = 
 = 
ĐS: E = 1
Bài 4.6: 	Tính 
Bài 4.7: 	Tính (Đáp số : G = 0)
Bài 4.8: 	Tính 
HD:Ta có:
Vậy H = 100
Bài 4.9: 	Tính 	(Đáp số : L = )
Bài 4.10: 	Tính 	(Đáp số : K = 7)
Bài 4.11: 	Tính 
HD: 
Bài 4.12: 	Tính (Đáp số : L = )
Bài 4.13: 	Tính 
HD: N = 
 = 
 = 
Bài 4.14: 	Tính 
HD: 
Bài 4.15:	 Tính 
HD: Ta có : = (1 + ) + ( + ) +( + ) ++.( + ) 
 = + 
 = 100.()
 = 50. ()
Vậy Q = 50
Bài 4.16: 	Tính 
HD:Ta có:
Làm tựơng tự như bài 4.8 Ta có đáp số R = 
Bài 4.17: 
HD: Đặt V = x:y
Ta có x = 100(Theo bài 4.8) 
Vậy V =