Tài liệu dạy Đại số Lớp 7 nâng cao - Trần Minh

PHONG DG&ĐT GO DAU
TRƯỜNG THCS TRẦN HƯNG ĐẠO
(lưu hành nội bộ)
1. Mặt phẳng tọa độ
1. tóm tắt lý thuyết :
* Mặt phẳng tọa độ Oxy được xác định bởi hai trục số vuông góc với nhau : trục hoành Ox và trục tung Oy. 
Điểm O là gốc tọa độ (Hình 3).
* Mỗi cặp số (a; b) được biểu
diễn bởi một điểm M trong mặt
phẳng tọa độ. Ta viết M (a; b),
cặp số (a; b) là tọa đô của điểm 
M với a là hoành độ, b là tung độ.	 
 Hình 3
2. các bài toán :
Bài 1: Các điểm sau đây có trùng nhau không ?
a. A (3; 4) ; B (4; 3)	b. C (1; 2) ; D (1; 2)
c. M (a; b) ; M (b; a)
Bài 2: Các trục tọa độ chia mặt phẳng thành bốn phần gọi là các góc phần tư được đánh số như hình 3. Điểm A (x, y) nằm ở góc phần tư nào, nếu :
a. x > 0, y > 0	b. x > 0, y < 0
c. x 0	d. x < 0, y < 0
Bài 3: Tìm trên mặt phẳng tọa đô Oxy tất cả các điểm có :
a. Hoành độ bằng 0	b. Tung độ bằng 0
c. Hoành độ bằng 1	d. Tung độ bằng -2
e. Hoành độ bằng số đối của tung độ	g. Hoành độ bằng tung độ
Bài 4: Cho hệ trục tọa độ Oxy. Tìm diện tích của một hình chữ nhật giới hạn bởi hai trục tọa độ và hai đường thẳng chứa tất cả các điểm có hoành độ bằng 3 và tất cả các điểm có tung độ bằng 2.
Bài 5: Trên mặt phẳng tọa đô Oxy, hãy dựng tứ giác ABCD với A (2; 1); B (6; 1); C (6; 5); D (2; 5). Tính diện tích tứ giác này biết rằng mỗi khoảng chia trên các trục số ứng với 0,5cm.
Bài 6: Tìm diện tích của một tam giác biết tọa độ ba đỉnh của nó là A (0; 4); B (4; 0) và C ( 1; 1).
2. Đồ thị hàm số.
1. tóm tắt lý thuyết : 
	* Định nghĩa : Đồ thị hàm số f : X Y là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ (x, f(x)) với x ẻ X trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
A () là một điểm của đồ thị Û 
2. các bài toán :
Bài 7: Cho hàm số y = 2x + 1
a. Các điểm sau đây có nằm trên đồ thị không:
	A (2; 5); B (0; 1); C (3; 2)
b. Tìm tọa độ điểm D trên đồ thị biết 
c. Tìm tọa độ điểm E trên đồ thị biết 	 
d. Tìm tọa độ điểm F trên đồ thị biết 
Bài 8: Cho hàm số f : X Q
	 x 2x + 3
trong đó X = {-1; ; 0; ; 1}
a. Liệt kê tất cả các cặp số (x, f(x)).
b. Vẽ đồ thị của hàm số f.
3. Đồ thị hàm số y = ax.
1. tóm tắt lý thuyết :
* Đồ thị hàm số y = ax (a ẻ Q, a ạ 0) là tập hợp những điểm nằm trên một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
* Vẽ đồ thị hàm số y = ax : Ta chỉ cần xác định thêm một điểm nữa : lấy ạ 0 .
Nối O (0, 0) và M (x1, y1) ta được đường thẳng chứa đồ thị hàm số y = ax.
2. Các bài toán:
Bài 9: Cho hình vẽ bên (H. 8) 
 với x0, y0 ẻ Q.
 Hãy tính tỉ số : 
	 	 Hình 8
Bài 10: 
a. Vẽ đồ thị hàm số .
b. Gọi A là điểm trên đồ thị. Tìm tọa độ điểm A, biết yA = 2.
c. Gọi B là điểm trên đồ thị. Tìm tọa độ điểm b , biết yB + 2xB = 5.
Bài 11: Cho hàm số y : Q đ R
	x đ f(x)
	thỏa mãn:
	a) f(0) = 0
	b) với x1 , x2 khác 0 bất kỳ.
	Chứng minh rằng f(x1) = ax với a là hằng số.
4. Đồ thị hàm số y = 
1. Tóm tắt lý thuyết:
	* Đồ thị hàm số y = (a ạ 0 , a ẻ Q) là những điểm nằm trên đường cong hypebol gồm hai nhánh nằm trong hai góc phần tư của mặt phẳng tọa độ.
	- Nếu a > 0 hai đường cong nằm trong góc phần tư thứ I và III.
	- Nếu a < 0 hai đường cong nằm trong góc phần tư thứ II và IV.
2. Các bài toán:
Bài 12: Điểm A (2 ; ) thuộc đồ thị hàm số y = . Trong các điểm B (-3 ; ); C(-1 ; ); D(4 ; ) điểm nào thuộc đồ thị của hàm số. Vẽ đồ thị hàm số đó.
Bài 13: Đường cong chứa đồ thị y = - đi qua điểm A(; m) và B(n ; ). Hãy xác định m và n.
Bài 14: Cho hàm số f : Q* đ Q*
	x đ f(x)
	thỏa mãn điều kiện : 
Với hai giá trị bất kì x1, x2 khác 0 của x. Chứng minh rằng f(x) = , với a là một hằng số nào đó.
	_________________________________________________________
Bài 15: 
a. Cho hàm số f : Q đ Q
	 x đ {x} (hàm phần lẻ)
	Tính f(-2,3); f(-1,5); f(1,35).
	Tìm tất cả ccs giá trị của x sao cho f(x) = 0.
b. cho hàm số f : Q đ Q
	 x đ [x] (hàm phần nguyên)
	Tính f(-4,3); f(); f(10)
	Với fía trj nào của x thì f(x) = 5?
Bài 16: 
a. Cho hàm số f1 : Q đ Q
	x đ2x2 + 1
Chứng minh rằng với mọi x ẻ Q, ta có f1(-x) = f1(x)
b. cho hàm số f2 : Q đ Q
	x đ2x3 - x
Chứng minh rằng với mọi x ẻ Q, ta có f2(-x) = -f2(x)
Bài 17: Tìm ba phân số tối giản, biết tổng của chúng bằng 6, tử số của chúng tỉ lệ theo3; 4; 5, còn mẫu của chúng tỉ lệ theo 2; 3; 4.
Bài 17’: Tìm tập xác định của các hàm số:
a) ;	b) ;	c) ;	d) .
Bài 18: Hàm số f(x) xác định với mọi x ẻ Q.
	Cho hàm số f(a + b) = f(ab) với mọi a, b và f() = . Hãy tính f(2000) .
Bài 18*: Tìm các số x, y, z ẻ Q, biết rằng:
	(x + y) : (5 - z) : (y + z) : (9 + y) = 3 : 1 : 2 : 5 .
Bài 19: Cho hàm số y = - . Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm A(xA, yA) và B(xB, yB) thỏa mãn các điều kiện: xA - xB = 2 và yA - yB = -6 .
	_________________________________________________________
5 Biểu thức Đại số
 Biểu thức chứa chữ
1. Tóm tắt lý thuyết:
Một biểu thức đại số gồm các số, các chữ và các phép toán trên các số và chữ đó.
- Những chữ đại diện cho một số tùy ý của một tập hợp số nào đó gọi là những biến số.
Một biểu thức đại số không chứa biến ở mẫu gọi là biểu thức nguyên.
Một biểu thức đại số chứa biến ở mẫu gọi là biểu thức phân.( chưa học)
2. Các bài toán:
Bài 20: Viết các biểu thức đại số sau:
a) Tổng các bình phương của ba số hữu tỉ a, b, c.
b) Tổng các nghịch đảo của ba số hữu tỉ x, y, z.
c) Ba lần tổng của ba số x, y, z trừ đi tổng các tích của hai trong ba số đó.
d) Tỉ số giữa hiệu của 2 với tích x, y với tổng x, y, z.
e) Thương của tổng hai số a và b với bình phương của tích hai số ấy.
	Trong các biểu thức trên biểu thức nào nguyên biểu thức nào phân?
Bài 21: Trong các biểu thức đại số sau đây đâu là biểu thức nguyên, đâu là biểu thức phân (với x, y là biến; a, b là hằng).
a) 2x(y2 + 2) + x2 - y2 ;	b) ;	c) ; d) .
Bài 22: Hãy thay x = 2; y = -1 vào các biểu thức đại số sau rồi tính kết quả:
a) ;	b) .
	_________________________________________________________ 
6. Giá trị của một biểu thức đại số
1. Tóm tắt lý thuyết:
Khi thay các biến trong một biểu thức đại số bằng những số đã cho, ta được một biểu thức số. Kết quả nhận được khi thực hiện các phép tính trong biểu thức số đó gọi là giá trị của biểu thức đại số tại các giá trị cho trước của các biến.
Giá trị thích hợp của các biến là tập hợp những giá trị của biến số sao cho các phép tính trong biểu thức luôn thực hiện được.
Một biểu thức đại số nguyên xác định tại mọi giá trị của biến.
Một biểu thức phân không xác định tại những giá trị của biến làm cho mẫu bằng 0.
2. Các bài toán:
Bài 23: Tính giá trị của biểu thức:
a) A = với x = 1;
b) B = với x = 4; y = 8 ;
c) C = (x2 - 1)(x2 - 2)(x2 - 3) ... (x2 - 2000) với x = 10.
Bài 24: Với giá trị nào của biến số thì mỗi biểu thức sau không có nghĩa:
a) ;	b) ;	c) .
Bài 25: Tìm giá ttrị nhỏ nhất của biểu thức:
a) (x - 3)2 + 2 ;	b) (x - 1)2 + (y + 3)2 + 1 .
Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) 7 - x2 ;	b) .
Bài 27: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức:
	A = nhận giá trị nguyên.
	__________________________________________________________
7. Biểu thức đại số bằng nhau
1. Tóm tắt lý thuyết:
	Hai biểu thức nguyên hoặc phân gọi là bằng nhau nếu chúng nhận giá trị bằng nhau tại mọi giá trị thích hợp chung của các biến.
2. Các bài toán:
Bài 28: Cho hai biểu thức: A = 2xy (x + y)2 ;
	 B = 2x3y + 4x2y2 + 2xy3.
a) Tính giá trị của A và của B với .
b) Chứng minh A = B.
Bài 29: Hãy chứng tỏ rằng hai biểu thức sau không bằng nhau:
a) (x + 2)2 và 2x2 + 4 ;	b) 3x - 2y và 3y - 2x ;	c) (x + y)2 và x2 - 2xy + y2 .
Bài 30: Các biểu thức sau đây đúng trong tập hợp số nào?
a) ;	b) ;	c) x2 + y2 =(x + y)2 .
Bài 31: Chứng minh rằng với mọi a, b ẻ Q ta đều có:
a) (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2);
b) (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
c) a(a - b) - b(b - a) = a2 - b2 .
Bài 32: Cho hai biểu thức: 
	A = và B = ;
a) Tìm giá trị nguyên của x để mỗi biểu thức có giá trị nguyên.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để cả hai biểu thức cùng có giá trị nguyên.
8. Đơn thức
1. Tóm tắt lý thuyết:
Một biểu thức đại số trong đó các phép toán thực hiện trên các biến chỉ là phép nhân hoặc lũy thừa gọi là một đơn thức.
Thu gọn đơn thức: nhõn cỏc biến đồng dạng với nhau.
Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tớch của một số với cỏc biến, mà mỗi biến đó được nõng lờn lũy thừa với số mũ nguyờn dương.
Vớ dụ:
2x2yx3 là đơn thức chưa thu gọn; thực hiện phộp nhõnà 
2. Các bài toán:
Bài 33: Trong các biểu thức sau đây:
	ax2yz3 ; (xy2)2 ; x2y ; 5(a + 2)xy2z3 .
Biểu thức nào là đơn thức nếu:
a) a là hằng số; x, y, z là biến số.
b) z là hằng số; a, x, y là biến số.
Bài 34: Cho các đơn thức với x, y, z là các biến; a, b là hằng số:
ax3yz2; 15x(-3xy2)(2xy3z); (ax2y3)(-abx3y2); 
(3abx2y2)(-ax2y2z)(-3abx3yz3) .
a) Thu gọn các đơn thức trên.
b) Xác định hệ số của mỗi đơn thức.
Bài 35: Cho đơn thức với a là hằng số (a ạ 0).
a) Tìm a để đơn thức luôn luôn không âm với mọi x, y.
b) Tìm a để đơn thức luôn luôn không dương với mọi x, y.
Bài 36: Tính giá trị của đơn thức 0,07.a3b2c2000 , 
 với a = -2; b = -3; c = -1 .
Bài 37: Quan sát dãy các đơn thức : -x2 , 2x3, -3x4 , 4x5 , ... Hãy viết ra đơn thức thứ 2000, và đơn thức thứ n.
	_________________________________________________________
9. Bậc của đơn thức
1. Tóm tắt lý thuyết:
	Bậc của đơn thức đối với một biến là số mũ của biến đó trong dạng thu gọn của đơn thức.
	Bậc của đơn thức đối với tập hợp các biến, hay đơn giản là bậc của đơn thức, là tổng các bậc của đơn thức đối với mỗi biến.
2. Các bài toán:
Bài 38: Xác định bậc của các đơn thức sau đối với từng biến số và đối với tập hợp các biến số ;(a, b là hằng số; x, y là biến số).
a) x2ya ;	b) ;	c) .
Bài 39: Tính tích các đơn thức sau:
a) ;	 b) ; m > n ³ m, n ẻ Z.
Bài 40: Trong các đơn thức sau, đơn thức nào có cùng bậc?
	A = ;
	B = ;
	C = a là hằng số ;
	D = ;
	E = .
Bài 41: Các đơn thức sau có thể có cùng giá trị dương được không?
a) -3xy2 và 2x3y2 ; 	b) x2y3 , -xy2 và 16x5y .
	_________________________________________________________
10. Đơn thức đồng dạng
1. Tóm tắt lý thuyết:
Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức sau khi thu gọn có phần biến giống nhau.
Để cộng hay trừ đơn thức đồng dạng ta cộng hay trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến.
2. Các bài toán:
Bài 42: Cho các đơn thức:
	ax2y ; -5ax2y4 ; -a2x2y .
	Hãy xét xem các đơn thức nào là đồng dạng, nếu:
a) a là hằng số; x, y là biến số.
b) x là hằng số; a, y là biến số.
c) y là hằng số; a, x là biến số.
d) a, x là hằng số; y là biến số.
e) a, y là hằng số; x là biến số.
g) x, y là hằng số; a là biến số.
Bài 43: Cho các biểu thức:
	x2y3 ; 2ax2y3 ; (a + 1)x2y3 ; y3 ; x2 .
a) Gọi a là hằng số; x, y là biến số thì trong các biểu thức trên, biểu thức nào là đơn thức và các đơn thức có đồng dạng không?
b) Cũng hỏi như trên nếu a, x là hằng số, y là biến số; Nếu a, y là hằng số, x là biến số.
Bài 44: Tính:
a) (92x3y + 51x3y) - (105x3y - 7x3y) .
b) xy2z3 + xy2z3 - 6xy2z3 với a là hằng số khác 0. Xác định a để kết quả thu được luôn đồng nhất 0 với mọi x, y, z.
Bài 45: Chứng minh các đẳng thức sau:
	a) [-a5(-a)5]2 + [-a2(-a)2]5 = 0 .
	b) (-1)n an + k = (-a)n ak .
	________________________________________________________
11. Đa thức nhiều biến
1. Tóm tắt lý thuyết:
Đa thức nhiều biến x, y, ... , z là một biểu thức nguyên trong đó các chữ x, y, ..., z là các biến.
Thu gọn đa thức: mọi đa thức nhiều biến đều có thể thu gọn thành tổng đại số của nhiều đơn thức từng đôi một không đồng dạng với nhau.
Bậc của đa thức đã được thu gọn:
- Bậc của đa thức một biến là bậc của số hạng có bậc cao nhất đối với biến đó.
- Bậc của đa thức đối với tập hợp các biến là bậc của số hạng có bậc cao nhất đối với tập hợp các biến.
2. Các bài toán:
Bài 46: Trong các biểu thức đại số sau, biểu thức nào là đa thức:
a) axy + x - xy(x + y) (a là hằng số; x, y là biến số).
b) (a, b là hằng số; x, y là biến số).
c) (a, b là hằng số; x, y là biến số).
d) (y là hằng số; a, x, z là biến số).
e) ab2xy + + x2 + y2 (x, y là hằng số; a, b là biến số) .
Bài 47: Hãy viết các đa thức sau đây dưới dạng tổng các đơn thức. Thu gọn trong trường hợp có các đơn thức đồng dạng:
a) (a + 1)(xy + 1) + xy(x + y) + 1 - a (a là hằng số).
b) xy(x2 + y2 + 1) - 3x3y + 3xy3 - 3y(x + y) .
c) 3x(x2y + xy2) -7xy(x2 - y2) + 2x2y2 - 3xy3 .
Bài 48: Tìm bậc của đa thức sau đối với mỗi biến x, y, z và đối với tập hợp các biến:
a) 6x7 - 15x2y3z5 - 2000xy3 - 7y6 + z8 .
b) xy3 - x4 + 3x2y4 + 12y5 - 9z8 - y2z5.
c) 3x2y3 - 2xy2(x2 + y2) + xz2.
Bài 49: Cho đa thức Q = 2(x + 1) - |x + 5|
a) thu gọn đa thức Q.
b) Với giá trị nào của x thì Q = 4?
Bài 50: 
a) Tìm giá trị của đa thức biết x + y = 0
	3x2y + 3xy2 + 5x3y2 + 5x2y3 + 2.
b) Cho a, b, c là những hằng số sao cho a + b + c = 2000.
	Tìm giá trị của đa thức sau với x = 1; y = 1; z = 1.
	axy3z2 + bx3z + cxyz.
	_______________________________________________________
12. Cộng và trừ đa thức
1. Tóm tắt lý thuyết:
Để cộng hai đa thức ta viết các số hạng cùng với dấu của chúng kề nhau rồi thu gọn các số hạng đồng dạng (nếu có).
Để tìm hiệu hai đa thức ta viết các số hạng của đa thức thứ nhất cùng với dấu của chúng rồi viết các số hạng của đa thức thứ hai với dấu ngược lại dấu của chúng sau đó thu gọn các số hạng đồng dạng (nếu có).
2. Các bài toán:
Bài 51: Cho các đa thức:
	M = 3x2 - 2y - 2 ; N = x2 + 2y + 1 ; P = 1 - 4x2 .
Tính a) M + N + P ; 	b) M + N - P ;	c) N - P .
Bài 52: Cho 	x + y - z = a - b
	x - y + z = b - c
	-x + y + z = c - a
	Chứng minh rằng: z + y + z = 0 .
Bài 53: Cho hai đa thức : P = 3m2 + 2mn - 4n2
	Q = -2m2 - 2mn + 5n2 .
Chứng minh rằng không tồn tại giá trị nào của m và n để hai đa thức cùng có giá trị âm.
Bài 54: Cho hai đa thức A = 5x + y + 1 ; B = 3x - y + 4. Chứng minh rằng nếu x = m; y = n với m ẻ Z, n ẻ N thì P = A.B là một số chẵn.
Bài 55: Chứng minh rằng nếu x + y + 1 = 0 thì giá trị của các đa thức sau là hằng số:
a) M = x3 + x2y - x y2 - y3 + x2 - y2 + 2x + 2y + 3.
b) N = x3 + 2x2y + xy2 + x2 + xy + x + y + 5.
	_________________________________________________________
13. Đa thức một biến
1. Tóm tắt lý thuyết:
Đa thức một biến là đa thức trong đó chỉ có chứa một chữ là biến.
Đa thức một biến sau khi thu gọn các số hạng đồng dạng ta có thể sắp xếp theo hai cách:
Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.
Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến.
- Bậc của đa thức f(x) là bậc của số hạng có bậc cao nhất đối với biến x.
- Một đa thức đã thu gọn, các đơn thức có mặt trong đa thức không đồng dạng. Hệ số của mỗi đơn thức này là lũy thừa của biến số trong đơn thức đó. Hệ số nằm trong đơn thức có số mũ cao nhất gọi là hệ số cao nhất.
2. Các bài toán:
Bài 56: Thu gọn và cho biết bậc của các đa thức sau:
a) x5 - x + 7x3 - 2x + x3 + 3x4 - x5 + x4 + 15 .
b) 3x2 - 10 + x3 + 7x - x2 + 8 + 7x2 .
Bài 57: Cho đa thức f(x) = ax + b. Tìm điều kiện của hằng số b để có:
	f(x1+x2) = f(x1) + f(x2) với mọi x1, x2 ẻ Q .
Bài 58: 
a) Cho đa thức ax2 + bx + c. Tìm giá trị của đa thức tại x = 1. Có nhận xét gì?
b) Tìm tổng của các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: (2 - 3x + x2)1999 . (2 + 3x + x2)2000 .
	________________________________________________________
Đ14. Cộng và trừ đa thức một biến
1. Tóm tắt lý thuyết:
Cộng trừ đa thức một biến ta có thể cộng trừ như đa thức nhiều biến.
Ngoài ra ta có thể sắp xếp đa thức cùng theo lũy thừa giảm hoặc tăng của biến và đặt phép tính như trường hợp cộng hoặc trừ các số.
2. Các bài toán:
Bài 59: Tính tổng f(x) + g(x) rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm:
a) 	f(x) = 2 + 4x + 6x3 + 8x5 + 10x7 .
	g(x) = 1 + 3x2 + 5x4 + 7x6 + 9x8 .
b) 	f(x) = anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x + a0 ;
	g(x) = b0 + b1x + b2x2 + ... + bn - 1xn - 1 + bnxn .
Bài 60: Tính hiệu f(x) - g(x) rồi sắp xếp theo lũy thừa tăng:
a)	f(x) = x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 ;
 	g(x) = 6x5 + 5x4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 1.
b) 	f(x) = a1x + a2x2 + a3x3 + ... + an - 1xn - 1 + anxn ;
	g(x) =anx + an - 1x2 + an - 2x3 + ... + a2xn - 1 + a1xn .
Bài 61: Cho đa thức P(x) là một đa thức bậc bốn:
	P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 .
	Sao cho P(1) = P(-1) và P(2) = P(-2). Chứngminh rằng P(x) = P(-x) với mọi x ẻ Q.
Bài 62: Cho đa thức : f(x) = ax2 + bx + c, biết 13a + b + 2c = 0. Chứng minh rằng f(-2).f(3) Ê 0 .
	________________________________________________________
15. Nghiệm của một đa thức
1. Tóm tắt lý thuyết:
Nếu tại x = a đa thức f(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của f(x).
Một đa thức có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ... hoặc không có nghiệm nào.
Số nghiệm của đa thức khác 0 không vượt quá bậc của đa thức đó.
2. Các bài toán:
Bài 63: tìm nghiệm của đa thức:
a) 3x2 - 2x + 1	;	b) x3 -4x	;	c) 2x2 + 2x + 1 .
Bài 64: 
a. Cho các đa thức : f(x) = x2 - 4x + 3
	 g(x) = 3x2 - 4x + 1
	 h(x) = -x2 - 2x + 3
Chứng minh rằng x = 1 là nghiệm của ba đa thức trên. Hãy tìm nghiệm còn lại của mỗi đa thức.
b. Chứng minh rằng đa thức f(x) = ax2 + bx + c nếu có a + b + c = 0 thì x = 1 là nghiệm của đa thức đó.
Bài 65: Chứng minh rằng đa thức 
	ax2 + bx + c với a ạ 0
	 Không thể có ba nghiệm khác nhau.
	____________________________________________________
Bài 66: Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c.Chứng minh rằng không có những số nguyên a, b, c nào làm cho f(x) bằng 1 khi x = 1998 và bằng 2 khi x = 2000.
 Bài 67: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
	 (a < b)
Bài 68: Chứng minh rằng nếu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 thì với mọi x, y ta đều có
a. ac + b2 - 2x4y4 = 0	b. ay2 + cx2 = 2xyb
c. abc + b3 ³ 0
Bài 69: Cho đa thức M = 1 + x + x2 + ... + x1999
Chứng minh rằng : Mx - M = x2000 - 1.
Bài 70: Cho đa thức :
	f(x) = x17 - 2000x16 + 2000x15 - 2000x14 + ...+ 2000x - 1
Tính giá trị của đa thức tại x = 1999.
Bài 71: Cho f(x) là một đa thức xác định với mọi x và thỏa mãn : xf(x + 1) = (x2 - 4) f(x)
Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất ba nghiệm.
Bài 72: Cho đa thức N = 2x (1 - x - y) - y2 + 2
a. Chứng minh rằng N = - (x + y)2 - (x - 1)2 + 3
b. Với giá trị nào của x, y thì N có giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị đó.
Bài 73: Chứng minh rằng với mọi giá trị cue x, y, z giá trị của đa thức :
	A = xy + yz + zx không vượt quá giá trị của đa thức B = x2 + y2 + z2.