Tài liệu bồi dưỡng Toán - Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Trong quá trình giảng dạy và làm toán, tôi đã hệ thống được một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, hi vọng sẽ giúp các em học sinh biết lựa chọn phương pháp thích hợp khi giải bài toán loại này. 
Phương pháp 1 : Đưa về dạng tích
Biến đổi phương trình về dạng : vế trái là tích của các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên.
Thí dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
y3 - x3 = 91   (1)
Lời giải : (1) tương đương với (y - x)(x2 + xy + y2) = 91   (*) 
Vì x2 + xy + y2 > 0 với mọi x, y nên từ (*) => y - x > 0. 
Mặt khác, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và y - x ; x2 + xy + y2 đều nguyên dương nên ta có bốn khả năng sau : 
y - x = 91 và x2 + xy + y2 = 1 ; (I) 
y - x = 1 và x2 + xy + y2 = 91 ; (II) 
y - x = 3 và x2 + xy + y2 = 7 ; (III) 
y - x = 7 và x2 + xy + y2 = 13 ; (IV) 
Đến đây, bài toán coi như được giải quyết. 
Phương pháp 2 : Sắp thứ tự các ẩn
Nếu các ẩn x, y, z, ... có vai trò bình đẳng, ta có thể giả sử x ≤ y ≤ z ≤ ... để tìm các nghiệm thỏa mãn điều kiện này. Từ đó, dùng phép hoán vị để => các nghiệm của phương trình đã cho. 
Thí dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
x + y + z = xyz   (2). 
Lời giải : 
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. 
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}. 
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí. 
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3. 
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2. 
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3). 
Thí dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
1/x + 1/y + 1/z = 2   (3) 
Lời giải : Do vai trò bình đẳng của x, y, z, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. Ta có : 
2 = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3.1/x => x ≤ 3/2 => x = 1. 
Thay x = 1 vào (3) ta có :
1/y + 1/z + 1 = 2 => 1 = 1/y + 1/z ≤ 2/y => y ≤ 2 
=> y = 1 => 1/z = 0 (vô lí)
hoặc y = 2 => 1/z = 2 => z = 2. 
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (3) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 2). 
Phương pháp 3 : Sử dụng tính chất chia hết 
Phương pháp này sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vô nghiệm hoặc tìm nghiệm của phương trình. 
Thí dụ 4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
x2 - 2y2 = 5   (4) 
Lời giải : Từ phương trình (4) ta => x phải là số lẻ. Thay x = 2k + 1 (k thuộc Z) vào (4), ta được : 
4k2 +4k + 1 - 2y2 = 5 
tương đương 2(k2 + k - 1) = y2 
=> y2 là số chẵn => y là số chẵn. 
Đặt y = 2t (t thuộc Z), ta có : 
2(k2 + k - 1) = 4t2 
tương đương k(k + 1) = 2t2 + 1   (**) 
Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn, 2t2 + 1 là số lẻ => phương trình (**) vô nghiệm. 
Vậy phương trình (4) không có nghiệm nguyên. 
Thí dụ 5 : Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn : 
x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2000   (5)
Lời giải : Ta có x3 - x = (x - 1).x.(x + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp (với x là số nguyên). Do đó : x3 - x chia hết cho 3. 
Tương tự y3 - y và z3 - z cũng chia hết cho 3. Từ đó ta có : x3 + y3 + z3 - x - y - z chia hết cho 3. 
Vì 2000 không chia hết cho 3 nên x3 + y3 + z3 - x - y - z ≠ 2000 với mọi số nguyên x, y, z tức là phương trình (5) không có nghiệm nguyên. 
Thí dụ 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
xy + x - 2y = 3   (6)
Lời giải : Ta có (6) tương đương y(x - 2) = - x + 3. Vì x = 2 không thỏa mãn phương trình nên (6) tương đương với: 
y = (-x + 3)/(x - 2) tương đương y = -1 + 1/(x - 2). 
Ta thấy : y là số nguyên tương đương với x - 2 là ước của 1 hay x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 tương đương với x = 1 hoặc x = 3. Từ đó ta có nghiệm (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0). 
Chú ý : Có thể dùng phương pháp 1 để giải bài toán này, nhờ đưa phương trình (6) về dạng : x(y + 1) - 2(y + 1) = 1 tương đương (x - 2)(y + 1) = 1. 
Phương pháp 4 : Sử dụng bất đẳng thức 
Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào đó và từ sự đánh giá này => các giá trị nguyên của ẩn này. 
Thí dụ 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
x2 - xy + y2 = 3   (7) 
Lời giải : 
(7) tương đương với (x - y/2)2 = 3 - 3y2/4 
Vì (x - y/2)2 ≥ 0 => 3 - 4y2/4 ≥ 0 
=> -2 ≤ y ≤ 2 . 
Lần lượt thay y = -2 ; 2 ; -1 ; 1 ; 0 vào phương trình để tính x. Ta có các nghiệm nguyên của phương trình là :
(x ; y) thuộc {(-1 ; -2) ; (1 ; 2) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 1) ; (-1 ; 1) ; (1 ; -1)}.
Chắc chắn còn nhiều phương pháp để giải phương trình nghiệm nguyên và còn nhiều thí dụ hấp dẫn khác. Mong các bạn tiếp tục trao đổi về vấn đề này. Các bạn cũng thử giải một số phương trình nghiệm nguyên sau đây : 
Bài 1 : Giải các phương trình nghiệm nguyên :
a) x2 - 4 xy = 23 ; 
b) 3x - 3y + 2 = 0 ; 
c) 19x2 + 28y2 =729 ; 
d) 3x2 + 10xy + 8y2 = 96. 
Bài 2 : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn : 
a) 4xy - 3(x + y) = 59 ; 
b) 5(xy + yz + zx) = 4xyz ; 
c) xy/z + yz/x + zx/y = 3 ; 
d) 1/x + 1/y + 1/z = 1/1995.