Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 6 - Nguyễn Văn Mạnh

D·y Sè ViÕt theo quy luËt
Bài to¸n 1 : TÝnh c¸c tæng sau 
A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210
B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + ... + 3100
Gi¶i :
 2A = 2 + 22 + 23 + ... + 210 + 211 . Khi ®ã : 2A – A = 211 – 1 
3B = 3 + 32 + 33 + ... + 3100 + 3101. Khi ®ã : 3B – B = 2B = 3101 – 1 .
 VËy B = 
Ta nghÜ tíi bµi to¸n tæng qu¸t lµ :
 TÝnh tæng S = 1 + a + a2 + a3 + ... + an , a ∈ Z+ , a > 1 vµ n ∈ Z+
Nh©n 2 vÕ cña S víi a ta cã aS = a + a2 + a3 + a4 + ... + an + an+1 . Råi trõ cho S ta ®­îc :
aS – S = ( a – 1)S = an+1 – 1 . VËy : 1 + a + a2 + a3 + ... + an = .
Tõ ®ã ta cã c«ng thøc : an+1 – 1 = ( a – 1)( 1 + a + a2 + a3 + ... + an) .
Bài tËp ¸p dông : Tính các tổng sau:
c) Chøng minh r»ng : 1414 – 1 chia hÕt cho 3
d) Chøng minh r»ng : 20092009 – 1 chia hÕt cho 2008
Bµi to¸n 2 : TÝnh c¸c tæng sau 
A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100
B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799
Gi¶i :
A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 . VÊn ®Ò ®Æt ra lµ nh©n hai vÕ cña A víi sè nµo ®Ó khi trõ cho A th× mét lo¹t c¸c lòy thõa bÞ triÖt tiªu ?.Ta thÊy c¸c sè mò liÒn nhau c¸ch nhau 2 ®¬n vÞ nªn ta nh©n hai vÕ víi 32 , råi trõ cho A ta ®­îc :
 32A = 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 + 3102 
 A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100
	32A – A = 3102 – 1 . Hay A( 32 – 1) = 3102 – 1 . VËy A = ( 3102 – 1): 8
Tõ kÕt qu¶ nµy suy ra 3102 chia hÕt cho 8
 2 ) T­¬ng tù nh­ trªn ta nh©n hai vÕ cña B víi 72 råi trõ cho B , ta ®­îc :
	72B = 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799 + 7101
 B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799
	72B – B = 7101 – 7 , hay B( 72 – 1) = 7101 – 7 . VËy B = ( 7101 – 7) : 48
T­¬ng tù nh­ trªn ta còng suy ra 7101 – 7 chia hÕt cho 48 ; 7100- 1 chia hÕt cho 48
Bµi tËp ¸p dông : TÝnh c¸c tæng sau : 
	A = 2 + 23 + 25 + 27 + 29 + ... + 22009
	B = 1 + 22 + 24 + 26 + 28 + 210 + ... + 2200
	C = 5 + 53 + 55 + 57 + 59 + ... + 5101 
	D = 13 + 133 + 135 + 137 + 139 + ... + 1399 
Tổng quát : Tính *
	b) , với ()
	c) , với () 
Bµi tËp kh¸c : Chøng minh r»ng :
A = 2 + 22 + 23 + 24 + + 260 chia hÕt cho 21 vµ 15
B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34+  + 311 chia hÕt cho 52
C = 5 + 52 + 53 + 54 + + 512 chia hÕt cho 30 vµ 31
Bài toán 3 : Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 
Lời giải 1 :
Nhận xét : Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng là 1. Nhân 2 vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được :
3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)
 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) 
 = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 -  + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11
 = 9.10.11 = 990. 
A = 990/3 = 330 
Ta chú ý tới đáp số 990 = 9.10.11, trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của A và 11 là số tự nhiên kề sau của 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp. Ta cã kết quả tæng qu¸t sau : 
 A = 1.2 + 2.3 +  + (n - 1).n = (n - 1).n.(n + 1)/3 
Lời giải khác :
Lời giải 2 :
3.A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) 
= 3.(0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) 
= [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3
 = 3.(1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2) = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).2.3 
= (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 990 = 9.10.11
Ta chưa biết cách tính tổng bình phương các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1, nhưng liên hệ với lời giải 1, ta có : 
(12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 9.10.11, hay 
(12 + 32 + 52 + 72 + 92) = 9.10.11/6 
Ta có kÕt qu¶ tổng quát : 
P = 12 + 32 + 52 + 72 +  + (2n + 1)2 = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6 
Bài tËp vËn dông : Tính c¸c tổng sau : 
P = 12 + 32 + 52 + 72 + ... + 992 
Q = 112 + 132 + 152 +  + 20092. 
M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + .... + 99.100
Bài toán 3 : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 
 C = A + 10.11. Tính giá trị của C. 
Gi¶i :
 Theo cách tính A của bài toán 2, ta được kết quả là : C = 10.11.12/3 
 Theo c¸ch giải 2 của bài toán 2, ta l¹i cã : 
C = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 + 10.11 
 = (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + (5.6 + 6.7) + (7.8 + 8.9) + (9.10 + 10.11) 
 = 2( 1 + 3) + 4( 3 + 5) + 6( 5 + 7) + 8 ( 7 + 9) + 10( 9 + 11)
 = 2.4 + 4.8 + 6.12 + 8.16 + 10.20 = 2.2.2 + 2.4.4 + 2.6.6 + 2.8.8 + 2.10.10 
 = 2.22 + 2.42 + 2.62 + 2.82 + 2.102 = 2.( 22 + 42 + 62 + 82 + 102)
VËy C = 2.(22 + 42 + 62 + 82 + 102) = 10.11.12/3 .Tõ ®ã ta cã :
	22 + 42 + 62 + 82 + 102 = 10.11.12/6
Ta lại có kết quả tổng quát lµ :
22 + 42 + 62 + + (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6 
Bài tËp ¸p dông : 
Tính tổng : 202 + 222 +  + 482 + 502. 
Cho n thuộc N*. Tính tổng : 
n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 +  + (n + 100)2. 
Hướng dẫn giải : Xét hai trường hợp n chẵn và n lẻ .Bài toán có một kết quả duy nhất, không phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của n. 
3.TÝnh tæng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 999.1000
Bài toán 4 : Chứng minh rằng : 
12 + 22 + 32 +  + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6 
Lời giải 1 :
Xét trường hợp n chẵn : 
12 + 22 + 32 +  + n2 = (12 + 32 + 52 +  + (n – 1)2) + (22 + 42 + 62 +  + n2)
= [(n – 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6 
= n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6 
Tương tự với trường hợp n lẻ, ta có 
12 + 22 + 32 +  + n2 = (12 + 32 + 52 +  + n 2) + (22 + 42 + 62 +  + (n – 1)2)
= n(n + 1)(n + 2)/6 + (n – 1)n(n + 1)/6
= n(n + 1)(n + 2 + n – 1)/6 
= n(n + 1)( 2n + 1) /6 ( ®pcm)
Lêi gi¶i 2 :
S = 1² + 2² + 3² + 4² ++ n²
S = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 +  + n.n = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) + 4(5-1) + n[(n+1)-1] 
 = 1.2 – 1+ 2.3 – 2 + 3.4 – 3 + 4.5 – 4 ++ n(n + 1 ) – n 
 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + n( n + 1 ) – ( 1 + 2 + 3 +4 +  + n )
 = - = n( n + 1 ). ) = n( n + 1) 
Vậy S = 
VËy ta cã c«ng thøc tÝnh tæng cña d·y sè chÝnh ph­¬ng b¾t ®Çu tõ 1 lµ :
	12 + 22 + 32 +  + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6 
Bài tËp ¸p dông : Tính giá trị cña c¸c biÓu thøc sau:
	N = 1 + 22 + 32 + 42 + 52 + + 992
	A = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + ... + 10000 
B = - 12 + 22 – 32 + 42 -  - 192 + 202. 
Gîi ý:
Tách B = (22 + 42 +  + 202) – (12 + 32 + + 192) ; tính tổng các số trong mỗi ngoặc đơn rồi tìm kết quả của bài toán. 
Bµi to¸n 5 . TÝnh : A = 1.3 + 3.5 + 5.7 +  + 97.99
Gi¶i
Nhận xét : Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2 , nhân hai vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được :
6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 +  + 97.99.6
 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) +  + 97.99(101 - 95)
 = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 +  + 97.99.101 - 95.97.99
 = 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 +  + 97.99.101 - 95.97.99
 = 3 + 97.99.101
 = 161 651
 Trong bµi to¸n 2 ta nh©n A víi 3. Trong bµi to¸n 5 ta nh©n A víi 6 Ta cã thÓ nhËn thÊy ®Ó lµm xuÊt hiÖn c¸c h¹ng tö ®èi nhau ta nh©n A víi 3 lÇn kho¶ng c¸ch k gi÷a 2 thõa sè trong mçi h¹ng tö.
Bài toán 6 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10. 
Lời giải :
Trở lại bài toán 2. mỗi hạng tử của tổng A có hai thừa số thì ta nhân A với 3 lần khoảng cách giữa hai thừa số đó. Häc tËp c¸ch ®ã , trong bài này ta nhân hai vế của A với 4 lần khoảng cách đó vì ở đây mỗi hạng tử có 3 thừa số .Ta giải được bài toán nh­ sau : 
A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10
4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4
4A = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) +  + 8.9.10.(11 – 7)] 
4A = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 +  + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) 4A = 8.9.10.11 = 1980. 
Tõ ®ã ta có kết quả tổng quát 
A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +  + (n – 1).n.(n + 1).= (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4 
Bµi tËp ¸p dông : TÝnh c¸c tæng sau :
	A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ 99.100.101
Bµi to¸n 7 : TÝnh : A = 1.3.5 + 3.5.7 +  + 5.7.9 +  + 95.97.99
Gi¶i :
8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 +  + 95.97.99.8
= 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) +  + 95.97.99(101 - 93)
 = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 +  + 95.97.99.101 - 93.95.97.99
 = 15 + 95.97.99.101
 = 11 517 600
Trong bµi 6 ta nh©n A víi 4 (bèn lÇn kho¶ng c¸ch). Trong bµi 7 ta nh©n A víi 8 (bèn lÇn kho¶ng c¸ch) v× mçi h¹ng tö cña A còng cã 3 thõa sè. 
Bµi to¸n 8 : TÝnh A = 1.2 + 3.4 + 5.6 +  + 99.100
Gi¶i
A = 2 + ( 2+ 1).4 + ( 4 + 1)6 +  + (98 + 1).100
 = 2 + 2.4 + 4 + 4.6 + 6 +  + 98.100 + 100
 = (2.4 + 4.6 +  + 98.100 ) + (2 + 4 + 6 + 8 +  + 100)
 = 98.100.102 : 6 + 102.50:2
 = 166600 + 2550 
 = 169150
 C¸ch kh¸c :
A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) +  + 99(101 - 1)
 = 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 +  + 99.101 - 99
 = (1.3 + 3.5 + 5.7 +  + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 +  + 99)
 = 171650 – 2500 
 = 169150
Trong bµi to¸n nµy ta kh«ng nh©n A víi mét sè mµ t¸ch ngay mét thõa sè trong mçi sè h¹ng lµm xuÊt hiÖn c¸c d·y sè mµ ta ®· biÕt c¸ch tÝnh hoÆc dÔ dµng tÝnh ®­îc. 
Bµi tËp áp dụng
TÝnh A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 +  + 99.99.100
Gi¶i :
 A = 1.3.( 5 – 3) + 3.5.( 7 – 3) + 5.7.( 9 - 3) +  + 99.101.( 103 – 3)
 = ( 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 +  + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 +  + 99.101.3 )
 = ( 15 + 99.101.103.105): 8 – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101) 
 = 13517400 – 3.171650 
 = 13002450
TÝnh A = 1.22 + 2.32 + 3.42 +  + 99.1002 
Gi¶i :
A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) +  + 99.100.(101 - 1)
 = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 +  + 99.100.101 - 99.100
 = (1.2.3 + 2.3.4 +  + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 99.100)
 = 25497450 – 333300
 = 25164150
Bµi tËp ¸p dông :
TÝnh A = 12 + 42 + 72 + . +1002.
TÝnh B = 1.32 + 3.52 + 5.72 +  + 97.992.
TÝnh A = 1.99 + 2.98 + 3.97 +  + 49.51+ 50.50
TÝnh B = 1.3 + 5.7 + 9.11 +  + 97.101 
TÝnh C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 +  - 97.99.101
TÝnh D = 1.99 + 3.97 + 5.95 +  + 49.51
TÝnh E = 1.33 + 3.53 + 5.73 +  + 49.513
TÝnh F = 1.992 + 2.982 + 3.972 +  + 49.512
Bµi to¸n 9 :	 TÝnh tæng S = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + + n³
Lêi gi¶i :
Trước hết ta chứng minh một kêt quả sau đây : với n là số tự nhiên thì ta có 
n2 – n = (n – 1)(n + 1) . Thật vậy : n2 – n = n( n2 – 1) = n( n2 – n + n – 1) = 
n[(n2 – n) + ( n – 1)] = n[n(n – 1) + ( n – 1)] = (n – 1)n( n + 1) đpcm
¸p dông kÕt qu¶ trªn ®Ó tÝnh S
Ta có S = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + + n³
S = 13 – 1 + 23 – 2 + 33 – 3 + 43 – 4 + 53 – 5 ++ n3 – n + ( 1 + 2 + 3 + + n )
S = 0 + 2( 22 – 1 ) + 3( 32 – 1 ) + 4( 42 – 1 ) + + n( n2 – 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + + n )
S = 0 + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + + (n – 1 )n( n + 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 +  + n )
 S = = 
= n( n + 1). = n( n + 1 ).
	Nhận xét V× = 1 + 2 + 3 + 4 +  + n , nªn ta cã kÕt qu¶ rÊt quan träng sau ®©y : 
1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + + n³ = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +  + n )²
Bµi to¸n 10 : TÝnh c¸c tæng sau :
 ... 5.6 - 2.3.4.5 +  
 + 98.99.100.101 - 97.98.99.100
 = 98.99.100.101
 A = 98.99.25.101 
 = 24 497 550
Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c thõa sè trong mçi h¹ng tö ë bµi 3 ta cã bµi to¸n:
Bµi to¸n 4 : TÝnh :
 A = 1.3.5 + 3.5.7 +  + 5.7.9 +  + 95.97.99
Gi¶i :
8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 +  + 95.97.99.8
 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) +  + 95.97.99(101 - 93)
 = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 +  
 + 95.97.99.101 - 93.95.97.99
 = 15 + 95.97.99.101
 = 11 517 600
Trong bµi 3 ta nh©n A víi 4 (bèn lÇn kho¶ng c¸ch). Trong bµi 4 ta nh©n A víi 8 (bèn lÇn kho¶ng c¸ch). Nh­ vËy ®Ó gi¶i bµi to¸n d¹ng ta nh©n víi 4k (4 lÇn kho¶ng c¸ch) sau ®ã t¸ch 
 4kn(n + k)(n + 2k) = n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) - (n - k)(n + k)n(n + 2k)
Thay ®æi sù kÕ tiÕp lÆp l¹i ë c¸c thõa sè trong bµi to¸n 1 ta cã bµi to¸n:
Bµi to¸n 5 : TÝnh 
 A = 1.2 + 3.4 + 5.6 +  + 99.100
Gi¶i 
A = 2 + ( 2+ 1).4 + ( 4 + 1)6 +  + (98 + 1).100
 = 3 + 2.4 + 4 + 4.6 + 6 +  + 98.100 + 100
 = (2.4 + 4.6 +  + 98.100 ) + (2 + 4 + 6 + 8 +  + 100)
 = 98.100.102 : 6 + 102.50:2
 = 166600 + 2550 
 = 169150
 C¸ch kh¸c 
A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) +  + 99(101 - 1)
 = 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 +  + 99.101 - 99
 = (1.3 + 3.5 + 5.7 +  + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 +  + 99)
 = 171650 – 2500 
 = 169150
Trong bµi to¸n nµy ta kh«ng nh©n A víi mét sè h¹ng mµ t¸ch ngay mét thõa sè trong tÝch lµm xuÊt hiÖn c¸c d·y sè mµ ta ®· biÕt c¸ch tÝnh hoÆc dÔ dµng tÝnh ®­îc. Lµm t­¬ng tù víi c¸c bµi to¸n:
Bµi to¸n 6 : TÝnh 
 A = 12 + 22 + 32 + 42 +  + 1002
Gi¶i : 
A = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) +  + 100(99 + 1)
 = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + 3.4 + 4 +  + 99.100 + 100
 = (1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 99.100) + ( 1 + 2 + 3 +  + 100)
 = 333300 + 5050
 = 338350
Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c c¬ sè trong bµi 6 ta cã bµi to¸n:
Bµi to¸n 7: TÝnh
 A = 12 + 32 + 52 +  + 992
Gi¶i :
A= 1 + 3(2 + 1) + 5(2 + 3) + 7(2 + 5) +  + 99(2 + 97)
 = 1 + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 +  + 2.99 + 97.99
 = 1 + 2(3 + 5 + 7 +  + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 +  + 97.99)
 = 1 + 4998 + 161651 
 = 166650
 Trong bµi to¸n 5 vµ 7 cã thÓ sö dông : (n - a) ((n + a) = n2 - a2
 n2 = (n - a)(n + a) + a2
a lµ kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c c¬ sè
 Bµi to¸n 8 TÝnh 
 A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 +  + 99.99.100
 Gi¶i :
 A = 1.3.( 5 – 3) + 3.5.( 7 – 3) + 5.7.( 9 -3) +  + 99.101.( 103 – 3)
 = ( 1.3.5 + 3.5.7 +  + 5.7.9 +  + 99.101.103 ) 
 – ( 1.3.3 + 3.5.3 +  + 99.101.3 )
 = ( 15 + 99.101.103.105): 8 – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101) 
 = 13517400 – 3.171650 
 = 13002450
 Thay ®æi sè mò cña bµi to¸n 7 ta cã bµi to¸n:
Bµi to¸n 9 : TÝnh 
 A = 13 + 23 + 33 +  + 1003
 Gi¶i
 Sö dông : (n - 1)n(n + 1) = n3 - n
 n3 = n + (n - 1)n(n + 1)
 A = 1 + 2 + 1.2.3 + 3 + 2.3.4 +  + 100 + 99.100.101
 = (1 + 2 + 3 +  + 100) + (1.2.3 + 2.3.4 +  + 99.100.101)
 = 5050 + 101989800 = 101994850
Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c c¬ sè ë bµi to¸n 8 ta cã bµi to¸n .
Bµi to¸n 10: TÝnh
 A = 13 + 33 + 53 +  + 993
Gi¶i : Sö dông (n - 2)n(n + 2) = n3 - 4n
 n3 = (n - 2)n(n + 2) + 4n
 A = 1 + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 +  + 97.99.101 + 4.99
 = 1 + (1.3.5 + 3.5.7 +  + 97.99.101) + 4(3 + 5 + 7 +  + 99)
 = 1 + 12487503 + 9996 = 12497500
Víi kho¶ng c¸ch lµ a ta t¸ch : (n - a)n(n + a) = n3 - a2n.
ë bµi to¸n 8, 9 ta cã thÓ lµm nh­ bµi to¸n 6, 7.
Thay ®æi sè mò cña mét thõa sè trong bµi to¸n 1 ta cã:
Bµi to¸n 11: TÝnh
A = 1.22 + 2.32 + 3.42 +  + 99.1002
Gi¶i :
A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) +  + 99.100.(101 - 1)
 = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 +  + 99.100.101 - 99.100
 = (1.2.3 + 2.3.4 +  + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 99.100)
 = 25497450 – 333300
 = 25164150
Víi c¸ch khai th¸c nh­ trªn ta cã thÓ khai th¸c, ph¸t triÓn c¸c bµi to¸n trªn thµnh rÊt nhiÒu bµi to¸n hay mµ trong qu¸ tr×nh gi¶i ®ßi hái häc sinh ph¶i cã sù linh ho¹t, s¸ng t¹o.
Trong c¸c bµi to¸n trªn ta cã thÓ thay ®æi sè h¹ng cuèi cïng cña d·y b»ng sè h¹ng tæng qu¸t theo quy luËt cña d·y.
*VËn dông c¸ch gi¶i trªn h·y gi¶i c¸c bµi to¸n sau:
 1. TÝnh A = 1.99 + 2.98 + 3.97 +  + 49.51+ 50.50
 2. TÝnh B = 1.3 +5.7+9.11+ + 97.101 
 3 TÝnh C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 +  - 97.99.101
4. TÝnh D = 1.99 + 3.97 + 5.95 +  + 49.51
5. TÝnh E = 1.33 + 3.53 + 5.73 +  + 49.513
6. TÝnh F = 1.992 + 2.982 + 3.972 +  + 49.512
mét sè ph­¬ng ph¸p tÝnh tæng
I > Ph­¬ng ph¸p dù ®o¸n vµ quy n¹p :
 Trong mét sè tr­êng hîp khi gÆp bµi to¸n tÝnh tæng h÷u h¹n 
Sn = a1 + a2 + .... an (1) 
B»ng c¸ch nµo ®ã ta biÕt ®­îc kÕt qu¶ (dù ®o¸n , hoÆc bµi to¸n chøng minh khi ®· cho biÕt kÕt qu¶). Th× ta nªn sö dông ph­¬ng ph¸p nµy vµ hÇu nh­ thÕ nµo còng chøng minh ®­îc .
 VÝ dô 1 : TÝnh tæng Sn =1+3+5 +... + (2n -1 )
Thö trùc tiÕp ta thÊy : S1 = 1 
 S2 = 1 + 3 =22 
 S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32 
 ... ... ...
Ta dù ®o¸n Sn = n2 
 Víi n = 1;2;3 ta thÊy kÕt qu¶ ®óng 
gi¶ sö víi n= k ( k 1) ta cã Sk = k 2 (2)
ta cÇn ph¶i chøng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 ( 3) 
 ThËt vËy céng 2 vÕ cña ( 2) víi 2k +1 ta cã 
1+3+5 +... + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) 
v× k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nªn ta cã (3) tøc lµ Sk+1 = ( k +1) 2 
theo nguyªn lý quy n¹p bµi to¸n ®­îc chøng minh 
 vËy Sn = 1+3=5 + ... + ( 2n -1) = n2 
 T­¬ng tù ta cã thÓ chøng minh c¸c kÕt qu¶ sau ®©y b»ng ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc .
1, 1 + 2+3 + .... + n = 
2, 12 + 2 2 + ..... + n 2 = 
3, 13+23 + ..... + n3 = 
4, 15 + 25 + .... + n5 = .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 ) 
II > Ph­¬ng ph¸p khö liªn tiÕp :
 Gi¶ sö ta cÇn tÝnh tæng (1) mµ ta cã thÓ biÓu diÔn ai , i = 1,2,3...,n , qua hiÖu hai sè h¹ng liªn tiÕp cña 1 d·y sè kh¸c , chÝnh x¸c h¬n , gi¶ sö : a1 = b1 - b2 
 	a2 = b2 - b3 
 	.... .... .....
 	an = bn – bn+ 1 
khi ®ã ta cã ngay :
 Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ...... + ( bn – bn + 1 ) 
 = b1 – bn + 1 
VÝ dô 2 : tÝnh tæng :
 S = 
Ta cã : , , 
Do ®ã : 
S = 
D¹ng tæng qu¸t 
 Sn = ( n > 1 ) 
 = 1- 
VÝ dô 3 : tÝnh tæng 
 Sn = 
Ta cã Sn = 
 Sn = 
 Sn = 
VÝ dô 4 : tÝnh tæng 
 Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n ) 
Ta cã : 1! = 2! -1! 
 2.2! = 3 ! -2! 
 3.3! = 4! -3! 
 	 ..... ..... ..... 
 n.n! = (n + 1) –n! 
VËy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n! 
 = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1
VÝ dô 5 : tÝnh tæng 
Sn = 
Ta cã : i = 1 ; 2 ; 3; ....; n
Do ®ã Sn = ( 1- 
 = 1- 
III > Ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh víi Èn lµ tæng cÇn tÝnh: 
VÝ dô 6 : TÝnh tæng 
 S = 1+2+22 +....... + 2100 ( 4) 
 ta viÕt l¹i S nh­ sau :
 S = 1+2 (1+2+22 +....... + 299 )
 S = 1+2 ( 1 +2+22+ ...... + 299 + 2 100 - 2100 ) 
 => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) 
Tõ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101
S = 2101-1
VÝ dô 7 : tÝnh tæng 
 Sn = 1+ p + p 2 + p3 + ..... + pn ( p1) 
Ta viÕt l¹i Sn d­íi d¹ng sau : 
Sn = 1+p ( 1+p+p2 +.... + pn-1 )
Sn = 1 + p ( 1+p +p2 +..... + p n-1 + p n –p n ) 
Sn = 1+p ( Sn –pn ) 
Sn = 1 +p.Sn –p n+1 
Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 
Sn = 
VÝ dô 8 : TÝnh tæng 
Sn = 1+ 2p +3p 2 + .... + ( n+1 ) pn , ( p 1) 
Ta cã : p.Sn = p + 2p 2 + 3p3 + ..... + ( n+ 1) p n +1 
 = 2p –p +3p 2 –p2 + 4p3–p3 + ...... + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1
= ( 2p + 3p2 +4p3 + ...... +(n+1) pn ) – ( p +p + p + .... pn ) + ( n+1) pn+1
= ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ ....... + ( n+1) pn ) – ( 1 + p+ p2 + .... + p n) + ( n +1 ) pn+1
p.Sn=Sn- ( theo VD 7 )
 L¹i cã (p-1)Sn = (n+1)pn+1 - 
Sn = 
IV > Ph­¬ng ph¸p tÝnh qua c¸c tæng ®· biÕt 
C¸c kÝ hiÖu : 
C¸c tÝnh chÊt : 
 1, 
 2, 
VÝ dô 9 : TÝnh tæng :
Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......... + n( n+1) 
Ta cã : Sn = 
V× :
 (Theo I )
cho nªn : Sn = 
VÝ dô 10 : TÝnh tæng :
Sn =1.2+2.5+3.8+.......+n(3n-1)
ta cã : Sn = 
 = 
Theo (I) ta cã :
Sn = 
VÝ dô 11 . TÝnh tæng 
Sn = 13+ +23 +53 +... + (2n +1 )3 
 ta cã : 
Sn = [( 13 +2 3 +33 +43 +....+(2n+1)3 ] –[23+43 +63 +....+(2n)3]
 = [13+23 +33 +43 + ..... + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 +......+ n3 ) 
Sn = ( theo (I) – 3 )
=( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2 
= (n +1 )2 (2n2 +4n +1) 
V/ VËn dông trùc tiÕp c«ng thøc tÝnh tæng c¸c sè h¹ng cña d·y sè c¸ch ®Òu ( Häc sinh líp 6 ) 
C¬ së lý thuyÕt :
 + ®Ó ®Õm sè h¹ng cña 1 d·y sè mµ 2 sè h¹ng liªn tiÕp cña d·y c¸ch nhau cïng 1 sè ®¬n vÞ , ta dïng c«ng thøc: 
 Sè sè h¹ng = ( sè cuèi – sè ®Çu 0 : ( kho¶ng c¸ch ) + 1 
+ §Ó tÝnh tæng c¸c sè h¹ng cña mét d·y sè mµ 2 sè h¹ng liªn tiÕp c¸ch nhau cïng 1 sè ®¬n vÞ , ta dïng c«ng thøc:
 Tæng = ( sè ®Çu – sè cuèi ) .( sè sè h¹ng ) :2 
VÝ dô 12 : 
TÝnh tæng A = 19 +20 +21 +.... + 132 
Sè sè h¹ng cña A lµ : ( 132 – 19 ) : 1 +1 = 114 ( sè h¹ng )m
 A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607 
VÝ dô 13 : TÝnh tæng 
 B = 1 +5 +9 +.......+ 2005 +2009 
 sè sè h¹ng cña B lµ ( 2009 – 1 ) : 4 + 1 = 503 
 B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515 
VI / V©n dông 1 sè c«ng thøc chøng minh ®­îc vµo lµm to¸n 
VÝ dô 14 : Chøng minh r»ng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) 
Tõ ®ã tÝnh tæng S = 1..2+2.3 + 3.4 +...... + n (n + 1) 
Chøng minh : c¸ch 1 : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1) 
 = k( k+1) 
	 = k (k+1) .3 
	 = 3k(k+1) 
C¸ch 2 : Ta cã k ( k +1) = k(k+1). 	
	 = 	 *
3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) 
 => 1.2 = 
S = 
VÝ dô 15 : Chøng minh r»ng :
 k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) 
 tõ ®ã tÝnh tæng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 +.... + n(n+1) (n+2) 
Chøng minh : VT = k( k+1) (k+2) 
	= k( k+1) ( k +2 ) .4
Rót ra : k(k+1) (k+2) = 
¸p dông : 1.2.3 = 
 2.3.4 = 
 ..........................................................
 n(n+1) (n+2) = 
Céng vÕ víi vÕ ta ®­îc S = 
* Bµi tËp ®Ò nghÞ :
TÝnh c¸c tæng sau 
1, B = 2+ 6 +10 + 14 + ..... + 202 
2, a, A = 1+2 +22 +23 +.....+ 26.2 + 2 6 3 
 b, S = 5 + 52 + 53 + ..... + 5 99 + 5100 
 c, C = 7 + 10 + 13 + .... + 76 
3, D = 49 +64 + 81+ .... + 169 
4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 +.... + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,.... 
5, S = 
6, S = 
7, A = 
8, M = 
9, Sn = 
10, Sn = 
11, Sn = 
12, M = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9 
	 50 ch÷ sè 9 
13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9
 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 
 TÝnh S100 =? 
 Trong qu¸ tr×nh båi d­ìng häc sinh giái , t«i ®· kÕt hîp c¸c d¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn d¹ng tÝnh tæng ®Ó rÌn luyÖn cho c¸c em , ch¼ng h¹n d¹ng to¸n t×m x :
14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) +...... + ( x+100 ) = 5070 
 b, 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820 
 c, 1 + 
Hay c¸c bµi to¸n chøng minh sù chia hÕt liªn quan 
15, Chøng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 +..... + 220 lµ luü thõa cña 2 
 b, B =2 + 22 + 2 3 + ...... + 2 60 3 ; 7; 15
 c, C = 3 + 33 +35 + ....+ 31991 13 ; 41
 d, D = 119 + 118 +117 +......+ 11 +1 5