Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 6 - Bài giảng 5: Liên quan UCLN và BCNN - Tạ Phạm Hải

Bài giảng 5 : liên quan ƯCLN và BCNN
 Kiểm tra bài cũ
Tìm ( 24 ; 30 ) . Từ đó hãy tìm tâp ƯC ( 24 ; 30 )
Tìm [ 24 ; 30 ] . Từ đó hãy tìm tập BC ( 24 ; 30 )
Bài giảng mới
Bài toán 1 : Gọi d = ( 24 ; 30 ) và D = [ 24 ; 30 ] . Hãy tìm tích d.D
Bài toán 2 : Tìm ( 16 ; 28 ) và [ 16 ; 28 ] rồi tính ( 16 ; 28 ). [ 16 ; 28 ]
 Học sinh tự làm bài toán 2 vào vở 
Câu hỏi : Hãy so sánh 24.30 với d.D và 16.28 với ( 16 ; 28 ). [ 16 ; 28 ]
 Kết luận :	a.b = ( a ; b ).[ a ; b ] 
Hãy vận dụng kết luận trên để giải những bài toán sau đây
 àBài tập 1 :
	u Tìm hai số tự nhiên a và b biết ( a ; b ) = 15 và [ a ; b ] = 300
	v Tìm hai số tự nhiên a và b biết ( a ; b ) = 12 và [ a ; b ] = 72
	w Tìm hai số tự nhiên a và b biết ( a ; b ) = 10 và [ a ; b ] = 900
	x Tìm hai số tự nhiên a và b biết ( a ; b ) = 6 và [ a ; b ] = 180
	y Tìm hai số tự nhiên a và b biết ( a ; b ) = 15 và [ a ; b ] = 180
 Xem lời giải bài toán 1 :
 Từ đề bài suy ra ab = 15.300 = 4500
 Giả sử a Ê b , vì ( a ; b ) = 15 nên a =15.m và b = 15.n với ( m ; n ) = 1,
 m , n ẻ N* . Do a Ê b nên m Ê n và ab = 15.m.15.n = 4500 
	Vậy 225.m.n = 4500 .Từ đó m.n = 20. Ta cần phân tích 20 thành 
 tích của hai thừa số nguyên tố cùng nhau .Ta có bảng sau :
 m
 n
 a
 b
 1
 20
 15
 300
 4
 5
 60
 75
	Đáp số : a = 15 , b = 300 hoặc ngược lại
	a = 60 , b = 75 hoặc ngược lại
 Em vận dụng cách giải trên để làm các câu còn lại
 à Bài tập 2 :
	u Tìm hai số tự nhiên a và b biết ab = 720 và ( a ; b ) = 6
	v Tìm hai số tự nhiên a và b biết ab = 2700 và [ a ; b ] = 900
	w Tìm hai số tự nhiên a và b biết ab = 4050 và ( a ; b ) = 3
	x Tìm hai số tự nhiên a và b biết ab = 360 và [ a ; b ] = 60
	y Tìm hai số tự nhiên a và b biết ab = 9000 và [ a ; b ] = 900
 Xem lời giải bài toán 2 :
	Từ đề bài suy ra ( a ; b ) = 2700 : 900 = 3
 Vậy a = 3.m và b = 3.n với m , n ẻ N* và ( m ; n ) = 1 . 
Giả sử a Ê b ta có m Ê n và 3.m.3.n = 2700 , vậy m.n = 2700 : 9 = 300 .Ta cần phân tích 300 thành tích của hai thừa số nguyên tố cùng nhau với m < n .
	Ta có bảng sau :
 m
 1
 3
 4
 12
 n
 300
 100
 75
 25
	Với m = 1 , n = 300 ta có a = 3 và b = 900
	Với m = 3 , n = 100 ta có a = 9 và b = 300 Và ngược lại
	Với m = 4 , n = 75 ta có a = 12 và b = 225
	Với m = 12 , n = 25 ta có a = 36 và b = 75
	Tóm lại ta có 8 đáp số 
 Xem lời giải bài toán 3 :
	 Vì ( a ; b ) = 3 nên a = 3.m và b = 3.n với m , n ẻ N* và ( m ; n ) = 1 . Từ đó 3.m.3.n = 4050 , nên m.n = 450 . Giả sử a Ê b thì m < n . Ta cần phân tích số 450 thành tích của hai thừa số nguyên tố cùng nhau với m < n .Ta có bẳng sau
 m
 1
 2
 9
 18
 n
 450
 225
 50
 25
	Với m = 1 , n = 450 ta có a = 3 và b = 1350
	Với m = 2 , n = 225 ta có a = 6 và b = 675 
	Với m = 9 , n = 50 ta có a = 27 và b = 150 Và ngược lại
	Với m =18 , n = 25 ta có a = 54 và b = 75 
	Tóm lại ta có 8 đáp số 
 Em vận dụng cách giải trên để làm các câu còn lại
 à Bài tập 3 * : 
	u Tìm hai số tự nhiên a và b biết ( a ; b ) + [ a ; b ] = 19 
	v Tìm hai số tự nhiên a và b biết ( a ; b ) + [ a ; b ] = 15
	w Tìm hai số tự nhiên a và b biết ( a ; b ) + [ a ; b ] = 55
	x Tìm hai số tự nhiên a và b biết [ a ; b ] - ( a ; b ) = 5
	y Tìm hai số tự nhiên a và b biết [ a ; b ] - ( a ; b ) = 35
 Xem lời giải bài toán 1 :
 Gọi ( a ; b ) = d ị a = d.m và b = d.n , với m ,n ẻ N*, ( m , n) = 1 .
 Khi đó ab = d2.m.n .Và giả sử a Ê b ,ta được m Ê n . áp dụng kết luận ta 
 được :
 Lại do ( a ; b ) + [ a ; b ] = 19 , nên ta có d + d.m.n = 19 , hay :
 d ( 1 + mn ) = 19 . Vậy m.n + 1 là ước lớn hơn 1 của 19 . Do 19 nguyên tố nên m.n + 1 = 19 và d = 1 , hay m.n = 18 , ị ta cần phân tích 18 thành tích của hai thừa số nguyên tố cùng nhau với m < n
	Có bảng sau đây :
 m
 1
 2
 n
 18
 9
 	Với m = 1 và n = 18 ta có a = md = 1.1 = 1 , b = nd = 18.1 = 18
	Với m = 2 và n = 9 ta có a = md = 2.1 = 2 , b = nd = 9.1 = 9
	Bài toán có 4 đáp số a = 1 , b = 18 và ngược lại
	 a = 2 , b = 9 và ngược lại
 Xem lời giải bài toán 4 : 
 Gọi ( a ; b ) = d ị a = d.m và b = d.n , với m ,n ẻ N*, ( m , n) = 1 .
 Khi đó ab = d2.m.n .Và giả sử a Ê b ,ta được m Ê n . áp dụng kết luận ta 
 được :
	Lại do [ a ; b ] - ( a ; b ) = 5 , nên ta có d.m.n - d = 5 , hay 
 d ( mn – 1 ) = 5 . Vậy mn – 1 là ước lớn hơn 1 của 5 mà 5 nguyên tố nên mn – 1 = 5 và d = 1 . Từ đó mn = 6 ị ta cần phân tích 6 thành tích của hai thừa số nguyên tố cùng nhau với m < n
 m
 1
 2
 n
 6
 3
	Với m = 1 và n = 6 ta có a = d.m = 1.1=1 , b = d.n = 1.6.= 6
	Với m = 2 và n = 3 ta có a = d.m = 1.2= 2 , b = d.n = 1.3 = 3
	Bài toán có 4 đáp số a = 1 , b = 6 và ngược lại
	 a = 2 , b = 3 và ngược lại
 Em vận dụng cách giải trên để làm các câu còn lại
 Bài tập về nhà : 
Làm nốt những bài tập ở trên lớp làm chưa xong
Tìm các số tự nhiên a , b biết ( a ; b ) + [ a ; b ] = 14
Tìm các số tự nhiên a , b biết ab = 180 , [ a ; b ] = 20.( a ; b )
Tìm các số tự nhiên a , b biết a + b = 30, [ a ; b ] = 6.( a ; b )