SKKN Phát triển tư duy giải toán bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - Nguyễn Thị Tâm

 Mẫu 02/SK 
 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
 Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
 THUYẾT MINH MÔ TẢ GIẢI PHÁP 
 VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến : “Phát triển tư duy giải toán bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6”
2. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 
Ngày 06 tháng 09 năm 2023 
3. Các thông tin cần bảo mật (nếu có): Không
4. Mô tả các giải pháp cũ thường làm (Nêu rõ tình trạng và nhược điểm, hạn chế 
của giải pháp cũ):
 - Khi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên hay biên soạn thao các dạng bài 
mà chưa chú trọng việc khai khác phát triển từ một bài toán nên thời gian bồi 
dưỡng cần nhiều thời gian và chưa khai thác được hết trí tuệ của học sinh.
 - Giáo viên dạy bồi dưỡng có sự đầu tư cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi 
nhưng chưa đúng cách nên kết quả có phần còn hạn chế.
 - Việc đổi mới phương pháp chưa được tiến hành thường xuyên, liên tục.
 - Giáo viên chưa nắm bắt được mức độ tư duy, nhận thức của học sinh lớp 6 
trong độ tuổi này.
5. Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến:
 - Học sinh lớp 6 mới lên chưa được tham gia các kỳ thi học sinh giỏi để phát 
huy khả năng toán học của các em cũng là do nhiều năm nay các cấp không tổ 
chức các cuộc thi học sinh giỏi văn hóa cho học sinh tiểu học. Chính vì vậy việc 
bồi dưỡng để phát hiện khả năng Toán học cần có nhiều thời gian mới có kết quả.
 - Học sinh không nắm được lý thuyết cơ bản của bài học hoặc nắm nội dung 
bài học một cách thụ động, hoặc thuộc lý thuyết nhưng không biết vận dụng vào 
bài tập, nên trong quá trình làm bài tập còn gặp nhiều khó khăn, lúng thúng.
 - Không đề cập bài toán theo nhiều hướng khác nhau, không sử dụng hết các 
dữ liệu của bài toán mà đề bài đưa ra.
 - Không biết vận dụng hoặc không vận dụng thành thạo các phương pháp 
suy luận trong giải toán, không biết sử dụng các bài toán giải mẫu hoặc áp dụng 
phương pháp giải một cách thụ động.
BM-SK02 Trang 1 - Không chịu suy nghĩ tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán hay mở 
rộng lời giải tìm được cho các bài toán khác, do đó dẫn đến hạn chế trong việc rèn 
luyện năng lực giải toán.
 - Các lập luận của học sinh không chặt chẽ logic nghĩ gì viết đó, dài dòng và 
không bám sát vận dụng được kiến thức vừa học.
 - Các em còn nhỏ nên độ ghi nhớ bài chưa tốt, học trước quên sau.
 Việc sử dụng giải pháp sẽ khắc phục được các khó khăn trên từ phía học 
sinh và giáo viên, đặc biệt là đối tượng học sinh lớp 6.
6. Mục đích của giải pháp sáng kiến 
 Tư duy là thuộc tính của tâm lí, tư duy hình thành và phát triển theo từng 
giai đoạn trong quá trình trưởng thành của con người. Tư duy đặc biệt phát triển 
mạnh ở giai đoạn thanh, thiếu niên. Tất cả các môn học đều phát triển tư duy cho 
học sinh nhưng môn toán có vai trò quan trọng hơn cả. Giải bài tập toán là lúc học 
sinh được thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, phát triển óc tư duy.
 Rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái 
quát hóa, tương tự, quy lạ về quen. Việc nắm vững các phương pháp nói trên tạo 
điều kiện cho HS có thể tự đọc hiểu được tài liệu, tự làm được bài tập, nắm vững 
và hiểu sâu các kiến thức cơ bản đồng thời phát huy được tiềm năng sáng tạo của 
bản thân.
 Giúp học sinh nắm các dạng bài tốt từ cơ bản đến nâng cao, mở rộng và có 
sự xâu chuỗi hệ thống kiến thức để các em có hứng thú, say mê học tập.
7. Nội dung:
 7.1. Thuyết minh giải pháp mới hoặc cải tiến 
 A. CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ PHÁT TRIỂN TƯ DUY GIẢI TOÁN BỒI 
DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 6
 1. Biện pháp 1: Định hướng đường lối giải bài toán
 - Khi dạy các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung và HSG Toán 6 
nói riêng tôi thường định hướng đường lối giải toán cho học sinh thông qua các ví 
dụ thật đơn giản để giúp học sinh nhớ lại các kiến thức đã học và hình thành nên 
phương pháp giải của dạng toán đó.
 - Dựa vào nội dung đề bài cho biết và yêu cầu của bài hướng dẫn học sinh 
tìm đường lối giải. Việc phân tích để xác định đúng đường lối thì việc giải bài 
toán sẽ đơn giản, nhanh chóng, dễ hiểu, ngắn gọn. 
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: ab ba chia hết cho 11
BM-SK02 Trang 2 Phân tích
 Để chứng minh một số hay một biểu thức chia hết cho 11 ta phải tách biểu 
thức đó (số đó) thành một tích có một thừa số là 11.
 Quan sát biểu thức ab ba để tách được dạng tích ta sẽ nghĩ ngay đến 
hướng biểu diễn dưới dạng cơ số 10 của một số tự nhiên. Từ đó ta có lời giải:
 Lời giải
Ta có: ab ba (10.a b) (10.b a) 11.a 11.b 11. a b 11 
Vậy ab ba chia hết cho 11.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu (ab cd eg)11 thì abcdeg11 
Phân tích
 Thoạt nhìn ta thấy bài toán trên có nét giống như ví dụ 1. Tuy nhiên có điểm 
khác là bài toán còn cho biết thêm điều kiện (ab cd eg)11.
 Nếu dùng phương pháp tách từng chữ số trong từng hàng như ví dụ 1 thì lời 
giải bài toán trở lên phức tạp. 
 Quan sát thấy từ điều kiện cho biết đề bài nhắc đến các số ab,cd,eg nên ta 
sẽ nghĩ đến việc tách số abcdeg theo các số ab,cd,eg .
 Từ đó ta có lời giải như sau:
 Lời giải
Ta có: abcdeg ab.10000 cd.100 eg ab.9999 cd.99 ab cd eg 
Vì ab.999911;cd.9911; ab cd eg 11 nên abcdeg11
Vậy nếu (ab cd eg)11 thì abcdeg11 
Ví dụ 3: Cho số abc chia hết cho 27 . Chứng minh rằng bca chia hết cho 27 
Phân tích
 Trong bài toán trên nếu dùng phương pháp tách từng chữ số trong từng hàng 
như ví dụ 1 thì việc tìm lời giải cho bài toán sẽ gặp khó khăn.
 Nhưng số trên các chữ số không được viết lặp lại hoặc không xuất hiện biểu thức 
mà đề bài cho như ví dụ 2. Vì vậy cách tách như ví dụ 2 không thể thực hiện được.
 Ta lại thấy abc chia hết cho 27 có chữ số b ở hàng chục. Nhưng bca có 
chữ số b ở hàng trăm. Vậy để từ hàng chục lên hàng trăm ta nghĩ ngay đến việc 
nhân số đó với 10. Từ đó ta có lời giải bài toán như sau:
 Lời giải
BM-SK02 Trang 3 Vì abc27 nên 10.abc27
Ta có:
10.abc 10. 100a 10b c 
 .
 =1000a 100b 10c 999a 100b 10c a 999a bca
Vì 10.abc27 mà 999a27 nên bca27 .
Vậy bca chia hết cho 27 
 2. Biện pháp 2: Dạy theo chuyên đề giúp học sinh phân loại dạng toán.
 Trong quá trình dạy học giáo viên cần thực hiện phân loại bài toán cụ thể đó 
chính là dạy học theo chuyên đề. Hệ thống các bài tập trong chuyên đề được phát 
triển phù hợp với các cấp độ nhận thức của học sinh, nhằm phát triển mức độ tư duy.
 Vì làm như vậy sẽ giúp cho học sinh trong quá trình học khi gặp một bài 
toán bất kỳ sẽ định hình dần được hướng giải để từ đó gây hứng thú nhu cầu ham 
học toán ở tất cả các đối tượng học sinh.
Cụ thể khi dạy về dãy số lũy thừa tôi xây dựng hệ thống bài tập như sau:
Ví dụ: 
1) Rút gọn biểu thức: A 1 3 32 33 .... 3100 .
2) Cho A 1 3 32 33 .... 3100 . Tìm số tự nhiên n sao cho 2A 3 3n .
 2 3 100 201
3) Cho A 1 3 3 3 .... 3 . Hãy so sánh A với 3 .
 2 3 100
4) Cho A 1 3 3 3 .... 3 . Tìm chữ số tận cùng của A. CMR: A không 
là số chính phương.
 Lời bình: Sau khi học xong bài toán gốc học sinh có thể đề xuất các bài 
toán tương tự để luyện tập. Giúp học sinh hiểu rõ bản chất và không mất nhiều 
thời gian dạy dạng đó trên lớp.
 3. Biện pháp 3: Phân tích, tổng hợp và so sánh
 Khi dạy các chuyên đề tôi thường chọn một bài toán xuất phát có nội dung 
khá đơn giản học sinh có thể tự giải quyết được sau đó giáo viên đặt những câu hỏi 
mang tính mở rộng, tính mới giúp cho học sinh hiểu rõ, hiểu sâu, hiểu rộng hơn.
 4
 Ví dụ như khi cho phân số A với n là số nguyên sẽ có nhiều dạng 
 n 2
toán khai thác được từ phân số trên nên học sinh cần phải biết phân tích, tổng hợp, 
so sách, phân biệt các dạng bài để học sinh vận dụng vào giải toán. Cụ thể như
 4
Bài toán : Cho phân số A với n là số nguyên.
 n 2
BM-SK02 Trang 4 a) Tìm số nguyên n để phân số trên nhận giá trị nguyên
 b) Tìm số nguyên n để phân số trên là phân số rút gọn được
 c) Tìm số nguyên n để phân số trên là phân số tối giản.
 d) Tìm số nguyên n để phân số trên nhận giá trị lớn nhất.
 e) Tìm số nguyên n để phân số trên nhận giá trị nhỏ nhất.
 Lời giải
 a) Để phân số trên nhận giá trị nguyên thì 4n 2
 Suy ra n 2 1;2;4; 1; 2; 4 .
 Xét n 2 1 suy ra n 1.
 Xét n 2 1 suy ra n 3
 Xét n 2 2 suy ra n 0.
 Xét n 2 2 suy ra n 4.
 Xét n 2 4 suy ra n 2.
 Xét n 2 4 suy ra n 6.
 Vậy n 1; 3;0; 4;2; 6 thì A nhận giá trị nguyên.
 4d
 b) Gọi d là ước nguyên tố chung của 4 và n 2 nên 
 n 2d
 Mà 4 có ước nguyên tố là 2 nên d 2 .
 Suy ra n 22 nên n2 hay n 2k với k  .
 Vậy n 2k với k  thì phân số trên là phân số rút gọn được.
 c) Từ kết quả phần c) để phân số trên là phân số tối giản thì n 2k với k  .
 d) Xét n 2 0 thì A 0.
 Xét n 2 0 thì A 0 khi đó vì n là số nguyên nên để A nhận giá trị lớn 
nhất thì n 2 là số nguyên dương nhỏ nhất nên n 2 1 suy ra n 1.
 Vậy n 1 thì A nhận giá trị lớn nhất là 4 .
 e) Xét n 2 0 thì A 0.
 Xét n 2 0 thì A 0 khi đó vì n là số nguyên nên để A nhận giá trị nhỏ 
nhất thì n 2 là số nguyên âm lớn nhất nên n 2 1 suy ra n 3.
 Vậy n 3 thì A nhận giá trị nhỏ nhất là 4.
Lời bình : Từ một bài toán đơn giản học sinh có sự kết lối giữa các dạng, các 
chuyên đề ; sau khi phân tích tuy là khác dạng, khác chuyên đề nhưng cùng một 
mạch tư duy, giúp học sinh quy bài toán lạ về bài toán quen.
BM-SK02 Trang 5 4. Biện pháp 4: Lựa chọn phương pháp giải tối ưu
 Trong quá trình giải toán cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi, mỗi giáo viên 
luôn không ngừng tìm tòi nghiên cứu những cách giải tối ưu nhất. Từ đó giúp học 
sinh lĩnh hội các phương pháp giải toán hay, phát huy được tính sáng tạo của mình. 
Tìm ra được nhiều cách giải hay và hợp lí.
Ví dụ: Cho x, y nguyên, Chứng minh rằng: Nếu 2x 3y17 thì 9x 5y17 
 Lời giải
Cách 1: Biến đổi từ điều kiện đề bài cho biết
 Ta có2x 3y17 suy ra 9 2x 3y 17
 18x 27y17
 2 9x 5y 10y 27y17
 2 9x 5y 17y17
Mà 17y17 nên 2 9x 5y 17 
Mà ƯCLN 2,17 1 suy ra 9x 5y17
Vậy nếu 2x 3y17 thì 9x 5y17 
Cách 2: Biến đổi từ biểu thức yêu cầu chứng minh
Ta có 2. 9x 5y 18x 10y 9 2x 3y 27y 10y 9 2x 3y 17y
Mà 17y17 và 2x 3y 17 nên 9 2x 3y 17y19
 Hay 2 9x 5y 17 
Mà ƯCLN 2,17 1, suy ra 9x 5y17 .
Vậy nếu 2x 3y17 thì 9x 5y17 
Cách 3: Cách xét hiệu dùng để khử x hoặc khử y trong trường hợp này tôi hướng 
dẫn học sinh cách khử x .
Đặt A 2x 3y ; B 9x 5y
Xét hiệu: 9A 2B 9 2x 3y 2 9x 5y 18x 27y 18x 10y 17y
Vì 17y17 nên 9A 2B17
Mà A17 nên 2B17 suy ra B17 ( do ƯCLN 2,17 1)
Vậy nếu 2x 3y17 thì 9x 5y17 
BM-SK02 Trang 6 Lời bình: Một bài toán có nhiều lời giải tuy nhiên trong ba cách giải trên tôi 
sẽ chọn để hướng dẫn học sinh cách 3. Vì cách làm này lập luận đơn giản và ngắn 
gọn hơn.
 Khi giúp học sinh nắm được đặc điểm của mỗi dạng toán và biết lựa chọn 
cách giải nào cho phù hợp sẽ giúp các em ham thích học toán và tư duy ngày một 
càng phát triển. Làm thường xuyên giúp học sinh tạo sự linh hoạt lựa chọn phương 
pháp giải cho mỗi bài toán.
 5. Biện pháp 5: Bồi dưỡng năng lực sáng tạo ra bài toán mới 
 Trong quá trình giải toán học sinh thường lúng túng và thường không giải 
được đối với những dạng toán mà học sinh cho là lạ nên sẽ bị mất điểm. 
 Trong quá trình dạy bồi dưỡng với mỗi dạng bài chúng ta không thể dạy 
chia nhỏ theo từng kiểu bài mà phải giúp học sinh biến đổi từ bài toán gốc thay đổi 
các giữ kiện hoặc thay đổi kiểu đặt câu hỏi để sinh ra một bài toán mới có phương 
pháp giải giống những bài học sinh đã biết. Tôi thường gọi đó là “quy lạ về quen”
* Các ví dụ minh họa
Bài toán gốc 1:
 a 1 1
a) Chứng tỏ rằng với a,n * thì 
 n(n a) n n a
 1 1 1 1
b) Áp dụng kết quả câu a để tính A ... 
 1.2 2.3 3.4 9.10
Hướng dẫn
 Đối với câu a: Để chứng minh đẳng thức trên ta đi biến đổi vế trái bằng vế 
phải hoặc biến đổi vế phải bằng vế trái, hoặc có thể biến đổi hai bế cùng bằng một 
biểu thức thứ ba. 
 Trong trường hợp này ta thấy vế phải phức tạp nên đi biến đổi vế phải bằng 
vế trái. Đối với câu b: Áp dụng kết quả của câu a ta phân tích.
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 ; ; ; ...; và sau đó thực hiện phép 
1.2 1 2 2.3 2 3 3.4 3 4 9.10 9 10
toán cộng các phân số sẽ có kết quả.
 Lời giải
 1 1 n 1 n 1
a) Biến đổi vế phải ta có: 
 n n 1 n(n 1) n(n 1)
 a 1 1
Vậy 
 n(n a) n n a
BM-SK02 Trang 7 1 1 1 1
b) Ta có: A ... 
 1.2 2.3 3.4 9.10
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
 ... 
 1 2 2 3 3 4 9 10 1 10 10
 9
Vậy A .
 10
Sáng tạo bài toán mới: Cũng là nội dung tính tổng nhưng ta thấy: nếu ta thay mẫu 
số đang ở dạng tích thành kết quả của tích đó 
1.2 2; 2.3 6; 3.4 12; 4.5 20;.khi đó ta có bài toán sau:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Bài toán 1: Tính B 
 2 6 12 20 30 42 56 72 90
Học sinh quy lạ về quen như sau: 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 ; ; ;...; ; 
 2 1.2 6 2.3 12 3.4 72 8.9 90 9.10
Chính vì vậy bài toán 1 đã biết cách giải: 
 1 1 1 1 1 1
 B ... 
 1.2 2.3 3.4 4.5 8.9 9.10
Lời bình: Nếu chia các mẫu của bài toán gốc cho 2 ta được một biểu thức mới là
 1 1 1 1 1 1 1 1
1 . Khi đó ta có bài toán
 3 6 10 15 21 28 36 45
 1 1 1 1 1 1 1 1
Bài toán 2: Tính C 1 
 3 6 10 15 21 28 36 45
Học sinh quy lạ về quen như sau:
 1 1 1 1 1 1 1 1
C 1 
 3 6 10 15 21 28 36 45
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 .C . 1 
 2 2 3 6 10 15 21 28 36 45 
 1 1 1 1 1 1
 C .... đến đây ta thấy bài toán lại trở về bài toán 1.
 2 2 6 20 30 90
Lời bình: Dựa vào bài toán gốc nếu chúng ta làm trội một thừa số của mẫu khi đó 
 1 1 1 1 1 1 1 1
ta có ; ; ;....; từ đó ta sinh ra bài toán thứ 3 
 1.2 2.2 2.3 3.3 3.4 4.4 9.10 10.10
như sau:
BM-SK02 Trang 8 1 1 1 1
Bài toán 3: Chứng minh rằng D ... 1
 22 32 42 102
Học sinh quy lạ về quen như sau:
 1 1 1 1 1 1 1 1
Ta có : ; ; ;....; .
 22 1.2 32 2.3 42 3.4 102 9.10
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
Suy ra D ... ... 1 1
 22 32 42 102 1.2 2.3 3.4 9.10 10 10
 1 1 1 1 2
Bài toán 4: Chứng minh rằng D ... 
 22 32 42 102 5
 1 1 1 1
Bài toán 5: Chứng minh rằng D ... không là số nguyên.
 22 32 42 102
 Lời bình: Việc giúp học sinh biết quy những bài toán lạ về các bài toán 
quen thuộc, về các bài toán đã biết cách giải. Giáo viên làm được điều này thì sẽ 
nâng cao được năng lực giải toán của học sinh và giúp các em giành các thứ hạng 
cao trong các cuộc thi toán học. Trong quá trình dạy việc khai thác bài toán được 
làm liên tục, thường xuyên tạo thành một thói quen không chỉ dừng lại ở việc hoàn 
thành đề bài mà sẽ nghĩ đến các tình huống, câu hỏi khác. 
 B. MINH CHỨNG VỀ HIỆU QUẢ CỦA BIỆN PHÁP
 Kết quả thi học sinh giỏi toán 6 cấp huyện năm học 2022-2023:
 Chỉ tiêu Tổng số 
 Năm học Nhất Nhì Ba K.K
 giải
 2022-2023 24 31 4 7 10 10
 Kết quả thi học sinh giỏi toán 6 cấp trường năm học 2023-2024:
 Chỉ tiêu Tổng số 
 Năm học Nhất Nhì Ba K.K
 giải
 2023-2024 30 36 4 10 12 10
 Kì thi học sinh giỏi văn hoá cấp huyện đã diễn ra nhưng chưa thông báo kết 
quả. Nhưng với vẻ mặt vui mừng phấn khởi khi học sinh hoàn thành bài thi tôi tin 
rằng sẽ hứa hẹn nhiều kết quả cao.
 7.2. Thuyết minh về phạm vi áp dụng sáng kiến
BM-SK02 Trang 9 Sau khi thực hiện đề tài này tôi thấy rằng việc thực hiện các giải pháp để 
phát triển tư duy giải toán cho học sinh rất là cần thiết.
 - Đối với học sinh: Học sinh dễ hiểu, dễ nhớ, phát huy hết khả năng tiềm ẩn 
của học sinh. Giải pháp này không những chỉ áp dụng cho học sinh lớp 6 và còn có 
thể áp dụng cho các khối 7, 8, 9. Làm thường xuyên liên tục sẽ tạo cho học sinh 
khả năng tư duy khi giả quyết bất kể một nhiệm vụ nào.
 - Đối với giáo viên: làm thay đổi phương pháp giảng dạy để việc bồi dưỡng 
học sinh giỏi không trở thành áp lực cho mỗi giáo viên
 - Đối với nhà trường và tổ chuyên môn: Tạo phong trào thi đua giữa các giáo 
viên và đây là một trong những hình thức tự bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ, 
giúp giáo viên có cái nhìn sâu hơn về mỗi bài toán.
 7.3. Thuyết minh về lợi ích kinh tế, xã hội của sáng kiến 
 Sau khi thực hiện giải pháp trên học sinh có sự hứng thú hơn sau mỗi giờ 
học và khích lệ khả năng tự học tự nghiên cứu. Giải pháp không những chỉ giúp 
các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động mà còn rèn nhiều kỹ năng khác.
 Tôi làm giải pháp trên với mong muốn tích lũy kiến thức cho bản thân, tìm tòi 
các phương pháp để khai thác các bài toán phục vụ bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm đưa 
chất lượng đại trà và chất lượng mũi nhọn đi lên. Bản thân tôi năng lực còn hạn chế 
chắc chắn giải pháp này còn nhiều thiếu sót, với quan điểm học hỏi và cầu thị tiến bộ, 
tôi tha thiết mong các đồng chí góp ý để tôi làm tốt hơn trong các giải pháp sau. 
 Cam kết: Tôi xin cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền giải pháp 
trên. Các giải pháp đã triển khai thực hiện và minh chứng về sự tiến bộ của học 
sinh là trung thực.
 Xác nhận của cơ quan, đơn vị Tác giả sáng kiến
 (Chữ ký, dấu) (Chữ ký và họ tên)
 Nguyễn Thị Tâm
BM-SK02 Trang 10