Sáng kiến kinh nghiêm - Những bài toán cực trị dạng đa thức ở môn Đại số Lớp 8

Phần I
Đặt vấn đề
I. cơ sở lý luận:
Trong nhiều năm dạy toán tôi nhận thấy: Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có một vị trí quan trọng trong chương trình toán ở trường phổ thông.Loại toán này được hình thành trong chương trình SGK toán 8 hiện hành và được phát triển trong các năm học tiếp theo. Các bài toán này rất đa dạng, phong phú. Để giải được các bài toán đó yêu cầu học sinh phải linh hoạt,sáng tạo và vận dụng nhiều kiến thức có liên quan.Qua đó giúp học sinh phát triển tư duy và còn mang một nội dung vô cùng sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán: Đi tìm lời giải hay,lời giải ngắn gọn... trong một bài toán để dần hình thành cho học sinh một thói quen đi tìm một giải pháp tối ưu cho công việc nào đó trong cuộc sống này. Chính vì vậy, loại toán trên thường xuyên có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi toán lớp 8, lớp 9 và các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, đặc biệt thi vào lớp 10 chuyên toán, lớp chọn và kể cả trong đề thi vào đại học.
II. cơ sở thực tiễn:
ở bậc THCS, các em thường gặp khó khăn trong việc đi tìm lời giải của bài toán “Tìm giá trị nhỏ nhất,giá trị lớn nhất” còn gọi là toán cực trị , có những bài học sinh không biết mình phải làm gì, phải vận dụng những kiến thức gì trong chương trình đã học.Học sinh không biết biến đổi thế nào để tìm được lời giải, tìm được lời giải hay nhất,ngắn gọn, sâu sắc nhất cũng như khi giải quyết công việc trong cuộc sống phải đi tìm cái "Tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, tối ưu nhất...." trong bài toán cuộc đời .
Qua nhiều năm giảng dạy toán THCS, phụ trách công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 tôi rất quan tâm đến vấn đề này,lại được sự giúp đỡ nhiệt tình của các đồng nghiệp tôi mạnh dạn nghiên cứu và hoàn thành đề tài này. Với thời gian hạn chế và để phù hợp với đối tượng áp dụng nên đề tài chỉ tập trung vào vấn đề :
 "Những bài toán cực trị dạng đa thức ở môn Đại số lớp 8".
Phần II
Nội dung
I. Thực trạng trước khi thực hiện chuyên đề
 Trong thực tế giảng dạy tôi thấy một số vấn đề như sau:
 - Số học sinh học lực trung bình còn phổ biến, đại đa số các em ngại và lười làm bài tập,không chịu đào sâu suy nghĩ, các em chỉ cố gắng giải hết các bài tập đơn giản mà thầy giao cho mang tính bắt buộc và chỉ vừa lòng với một cách giải , đặc biệt khi gặp bài tập tương tự các em còn gặp nhiều khó khăn,và còn nhiều học sinh bỡ ngỡ không biết cách giải loại toán này, nhiều em gặp khó khăn trong việc trình bày. 
 - Còn đối với người thầy đôi khi chỉ nặng về số lượng bài tập chữa cho học sinh mà chưa quan tâm nhiều tới việc tổ chức hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải, mở rộng , khai thác bài toán vừa giải.
II. phương pháp nghiên cứu	
 Thực tế tôi tiến hành các bước nghiên cứu như sau:
 - Nghiên cứu và hình thành lên lý thuyết để giải loại toán này thông qua các ví dụ cụ thể trong chương trình SGK toán 8.
 - Nghiên cứu phương pháp giảng dạy và chọn phương pháp giảng dạy hợp lý nhất cho đối tượng học sinh của mình.
 - Nghiên cứu để hệ thống hoá các dạng bài tập giúp học sinh luyện tập củng cố và phát triển tư duy .
 - Nghiên cứu trong thực tế giảng dạy loại toán này, đồng thời qua trao đổi học hỏi ở bạn bè đồng nghiệp để thực hiện được tốt hơn .
III. những công việc cụ thể đã làm
 Để đạt được kết quả tốt người thầy trước hết phải có sự chuẩn bị chu đáo cho mỗi dạng bài tập, các bài tập đưa ra cho học sinh cần được chọn lọc, bài dễ chuẩn bị cho bài khó, bài trước gợi ý cho bài sau. Đặc biệt cần cung cấp thêm cho học sinh một số kiến thức cơ bản ( Định nghĩa, tính chất, phương pháp chứng minh,) 
 Sự gợi ý của người thầy là rất cần thiết, tuy nhiên sự gợi ý phải thật phù hợp tránh nhiều quá mất tính sáng tạo của học sinh.
 Tôi xin trình bày một số kinh nghiệm dạy học sinh giải các bài toán cực trị dạng đa thức trong quá trình dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8.
Trước hết cần cung cấp cho học sinh một số vốn kiến thức sau:
A/ Một số vấn đề Lý thuyết.
I. Đường lối chung tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức.
Để tìm GTNN của một biểu thức A ta cần:
+ Chứng minh A ³ k (Với k là hằng số)
+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.
Để tìm GTLN của một biểu thức A ta cần:
+ Chứng minh A Ê k (Với k là hằng số)
+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.
Ký hiệu:	min A là GTNN của A
	 max A là GTLN của A.
II- Các kiến thức thường dùng.
Yêu cầu học sinh phải nắm vững một số bất đẳng thức thông thường và một số bất đẳng thức cổ điển sau:
1) x2 ³ 0
 Tổng quát {f(x)}2k ³ 0 "x; k ẻz
 Từ đó suy ra: {f(x)}2k + m ³ m
	 M - {f(x)}2k Ê M
2) a/ ẵxẵ ³ 0
 b/ ẵx + yẵ Ê ẵxẵ + ẵyẵ dấu = xảy ra Û xy ³ 0
 c/ ẵx - yẵ ³ ẵxẵ - ẵyẵ dấu = xảy ra Û xy ³ 0
3) Bất đẳng thức Cô Si.
 a/ hay hay (a+b)2 ³ 4ab ( Với a,b ³ 0 )
 Dấu "=" ở các bất đẳng thức trên xảy ra Û a = b
Chú ý : Bất đẳng thức Cô Si thể hiện ở nhiều dạng và được phát biểu 
 thành lời như sau:
“Với 2 số không âm, trung bình cộng không nhỏ hơn trung bình 
nhân.”
-Trung bình cộng của 2 số là tổng của chúng chia 2, trung bình 
nhân của 2 
số là căn bậc hai của 2 số đó. Trung bình cộng của 3 số là tổng của 
chúng chia 3, trung bình nhân của 3 số là căn bậc ba của 3 số đó 
 b/ ³ 2	 (ab > 0) dấu "=" xảy ra Û a = b
Chú ý : Bất đẳng thức trên cũng mang hình bóng của bất đẳng thức Cô Si
Hệ quả:
a, Hai số không âm có tổng không đổi thì tích lớn nhất 
Û Hai số đó bằng nhau.
b, Hai số không âm có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi và chỉ khi 
hai số đó bằng nhau.
4) Bất đằng thức BunhiaCôpski.
 (ax + by)2 Ê (a2 + b2) (x2 + y2)
 Dấu "=" xảy ra Û ax = by
Chú ý : Bất đẳng thức trên được đề cập rõ trong chương trình cấp III , còn ở cấp II bất đẳng thức đó được thể hiện dưới dạng một bài toán chứng minh rồi ta hay áp dụng nó như một bài toán mẫu . 
 ( GV nên nói tên của BĐT đó để HS làm quen dần ) 
Chú ý : Ngoài các bất đẳng thức nêu trên HS cần tích luỹ các bất đẳng thức có chứa dấu 
B/ Hệ thống bài tập của các bài toán cực trị dạng đa thức.
Dạng 1: Cực trị của tam thức bậc hai.
Dạng 2: Cực trị của đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Dạng 3: Cực trị của đa thức bậc cao.
1. Cực trị của tam thức bậc hai:
( Tam thức bậc hai là đa thức có dạng ax2 + bx + c , a 0 ) 
Ví dụ 1: 
a. Tìm GTNN của A = 2x2 - 8x + 1
b. Tìm GTLN của B = -5x2 - 4x + 1
Hướng dẫn cách giải:
- Khi tôi ra bài tập này các em đều rất bỡ ngỡ không biết cách giải bài tập dạng này như thế nào. Tôi hướng dẫn các em đối với dạng tam thức bậc 2 để tìm GTNN ta thường biến đổi đưa biểu thức A về dạng.
 A = k. f2(x) + m cụ thể hơn : A = k.(ax + b )2 + m
(Với k, m là hằng số, k ³0 , f(x) là nhị thức bậc nhất).
Để tìm GTLN của biểu thức B ta biến đổi đưa biểu thức B về dạng.
 B = M - k.f2(x) cụ thể hơn : B = M – k.(ax + b )2
 (k, M là hằng số, k ³0 , f(x) là nhị thức bậc nhất)
- Trong quá trình biến đổi HS cần nắm vững quy tắc thêm bớt cùng một số hạng và hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu.
- Từ hướng dẫn tổng quát các em đã tìm được cách giải bài tập trên như sau:
Cách giải:
a. A = 2 (x2 - 4x + 4) - 7 = 2(x - 2)2 - 7 ³ -7
ị min A = -7 Û x = 2 (Do 2 (x - 2)2 ³ 0 ị 2(x - 2)2 - 7 ³ -7)
b. B = -5 (x2 + x + ) + = -5 (x + )2 + 
Vì (x + )2 ³ 0 ị -5 (x + )2 Ê 0
 ị -5 (x + )2 + Ê ị max B = Û x + = 0 Û x = -
Vậy max B = Û x = -
Kinh nghiệm cho thấy với hệ số bậc hai chính phương và hệ số bậc một chẵn thì dễ tách hơn .Vậy một câu hỏi đặt ra là: Có thể biến đổi để tìm cực trị của mọi tam thức bậc hai hay không?.Để trả lời câu hỏi đó GV và HS cùng đi khai thác bài toán trên thành bài toán ở dạng tổng quát.
Khai thác bài toán:
Từ bài toán cụ thể các em đã giải bài toán tổng quát sau:
Ví dụ 2: 
Cho tam thức bậc hai: P = ax2 + bx + c
 a. Tìm GTNN của P với a > 0
 b. Tìm GTLN của P với a < 0
Học sinh trình bày lời giải như sau:
 P = ax2 +bx + c = a(x2 + x) + c 
 (Đặt hệ số a ra ngoài để tránh phức tạp khi hệ số bậc hai không chính phương )
 P = a (x2 +x + )2 + c - 
 ( Hệ số bậc một ở hạng tử x là ta chia 2 được rồi tất cả nâng bình phương được . Ta cân đối thêm bớt để giá trị của biểu thức P không thay đổi )
 P = a (x + )2 + c - 
 P = a (x + )2 + 
 Đặt = k
 Do (x + )2 ³ 0 nên
a. Nếu a > 0 thì a.(x + )2 ³ 0 do đó P ³ k
 ị min P = k Û x + = 0 Û x = -
b. Nếu a < 0 thì a.(x + )2 Ê 0 do đó P Ê k
 ị max P = k Û x = -
Từ bài toán tổng quát các em đã rút ra nhận xét sau:
Một tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c 	(aạ0)
Có GTNN nếu a > 0; có GTLN nếu a < 0 đạt được khi x = -
GTNN hoặc GTLN của tam thức khi đó là k = 
Từ bài tổng quát giúp các em giải dễ dàng các bài toán cực trị của tam 
thức bậc 2 một ẩn. Học sinh cũng có thể tự cho một bài toán về cực trị 
của tam thức bậc hai dựa vào nhận xét trên .
Chú ý: Dạng phân tích biểu thức P = a (x + )2 + 
gọi là dạng chính tắc của tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c ( aạ0 ) 
Tóm lại : Để tìm cực trị của tam thức bậc hai cần nắm vững hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu và các kỹ năng biến đổi như tách, thêm bớt để biến đổi tam thức về dạng chính tắc .
Bài tập củng cố : ( Học sinh tự giải )
Bài tập 1 :
Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:
Đáp số : 
a)GTNN bằng 6 đạt được khi = 1
b) GTNN bằng - 14,25 đạt được khi = - 1,5 
c) GTNN bằng đạt được khi 
d) GTNN bằng 3 đạt được khi 
Bài tập 2 :
Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức sau :
Đáp số:
a) GTLN bằng 7 đạt được khi = 1
b) GTLN bằng -4 đạt được khi 
c) GTLN bằng đạt được khi 
d) GTLN bằng 11 đạt được khi = -10
2. Cực trị của đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a. A = ẵ5 - 3xẵ + 2
b. B = ẵx - 2000ẵ + ẵx - 2001ẵ
c. C = (3x - 1)2 - 4 ẵ3x - 1ẵ + 5
Hướng dẫn cách giải:
Dựa vào định nghĩa giá trị tuyệt đối các em đã giải được câu a. 
Bằng cách xét khoảng các em đã giải được câu b.
Một số em đã vận dụng bất đẳng thức ẵxẵ + ẵyẵ ³ ẵx + yẵ để giải 
câu b theo 
cách ngắn gọn hơn.
Dùng phương pháp đặt ẩn phụ các em đã giải được câu c.
Từ đó học sinh trình bày lời giải như sau:
Cách giải:
a. Vì ẵ5 - 3xẵ ³ 0 ị ẵ5 - 3xẵ + 2 ³ 2 ị min A = 2 Û x = 
b. Cách 1: Lập bảng xét dấu và xét giá trị của biểu thức B trên từng 
khoảng.
x
2000
2001
x - 2000
-
0
+
+
x - 2001
-
-
0
+
+ Với x < 2000 thì B = 2000 - x + 2001 - x
 = 4001 - 2x > 1 (1)
+ Với 2000 Ê x Ê 2001 thì B = x - 2000 + 2001 - x = 1 (2)
+ Với x > 2001 thì B = x - 2000 + x - 2001
 = 2x - 4001 > 1 (3)
Từ (1), (2), (3) ị min B = 1 Û 2000 Ê x Ê 2001
Cách 2: Vận dụng bất đẳng thức ẵxẵ+ẵyẵ ³ ẵx + yẵ dấu “=” xảy ra 
Ûxy³0
Ta có B = ẵx - 2000ẵ + ẵx-2001ẵ
 = ẵx - 2000ẵ + ẵ2001 - xẵ ³ ẵx - 2000 + 2001 - xẵ = 1
 ị B ³ 1
 ị min B = 1 Û (x - 2000) (2001 - x) ³ 0
 Û 2000 Ê x Ê 2001
Vậy min B = 1 Û 2000 Ê x Ê 2001
c. Đặt ẵ3x - 1ẵ = y đk: y ³ 0
 thế thì A = y2 - 4y + 5 = (y - 2)2 + 1 ³ 1
ị min A = 1 Û y - 2 = 0 Û y = 2 thoả mãn đk y ³ 0
Khi y = 2 ta có : ẵ3x - 1ẵ = 2 
 Từ đó ta tìm được: 	x = 1 (thoả mãn x ³ )
	 x = - (thoả mãn x <)
Vậy min A = 1 Û x = 1 hoặc x = -
Cách giải như ở câu c đã sử dụng phương pháp đổi biến số ( trong giải phương trình còn gọi là đặt ẩn phụ ) . Đặt ẵ3x - 1ẵ = y 
Khai thác bài toán:
Từ bài toán trên các em đã thành lập và giải bài toán tổng quát. Tìm 
GTNN của:
a. A = ẵx - aẵ + b (a, b là hằng số) 
b. B = ẵx - aẵ + ẵx - bẵ (a, b là hằng số, a<b)
c. C = X 2 - a ẵXẵ + b (a, b là hằng số)
Học sinh trình bày lời giải tương tự ví dụ trên.
Tóm lại : Để tìm cực trị của đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối ta sử dụng định nghĩa và các tính chất về giá trị tuyệt đối,sử dụng phương pháp xét khoảng hoặc phương pháp đổi biến số để chuyển về bài toán cực trị đơn giản hơn .
Bài tập củng cố: ( Học sinh tự giải )
Bài tập 1 :
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :
 Đáp số : 
GTNN bằng 12 đạt được khi = 5
GTNN bằng -3 đạt được khi = 
GTNN bằng 14 đạt được khi 
GTNN bằng 3 đạt được khi = 0 hoặc = -2 
Bài tập 2 : 
Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
 Đáp số :
 a) GTLN bằng 3 đạt được khi = -3
 b) GTLN bằng 1 đạt được khi 
 c) GTLN bằng 7 đạt được khi 
 d) GTLN bằng 30 đạt được khi = 1 hoặc = 3 
3. Cực trị của đa thức bậc cao và đa thức nhiều biến :
Ví dụ 1: Tìm GTNN của:
a. A = x (x - 3) . (x - 4) . (x - 7)
b. B = 2x2 + y2 - 2xy - 2x + 3
Hướng dẫn cách giải:
Học sinh dùng phương pháp đặt ẩn phụ ( trên cơ sở các em đã học phương pháp này khi phân tích đa thức thành nhân tử và giải phương trình ) để giải được câu a. 
Với câu b. các em rất lúng túng không tìm được lời giải. Tôi hướng dẫn các em như sau:
Để tìm được GTNN của B ta viết biểu thức B dưới dạng tổng bình phương của các đẳng thức với một hằng số k.
B = B12 + B22 + ... + Bn2 + k
Trong đó Bi (i = 1 ... n) là các đa thức, k là hằng số
Từ nhận xét tổng quát tôi đưa ra câu hỏi gợi ý:
Đa thức B là tổng bình phương của các đa thức nào, hằng số k bằng 
bao nhiêu.
Từ câu hỏi này các em đã tìm ra lời giải.
Cách giải:
a. A = x(x - 7) (x - 3) (x - 4)
 = (x2 - 7x) (x2 - 7x + 12)
Đặt x2 - 7x + 6 = y thì A = (y - 6) (y + 6)
 = (y2 - 36)
Vì y2 ³ 0 ị y2 - 36 ³ - 36
 ị min A = - 36 Û y = 0 Û x2 - 7x + 6 = 0
 Û x2 - x - 6x + 6 = 0 Û (x - 1) (x - 6) = 0
 Û hoặc x = 1 hoặc x = 6
Vậy min A = -36 Û x = 1 hoặc x = 6
b. B = 2x2 + y2 - 2xy - 2x + 3
 = x2 - 2xy + y2 + x2 - 2x + 1 + 2
 = (x - y)2 + (x - 1)2 + 2
Vì (x - y)2 ³ 0; (x - 1)2 ³ 0 ị (x - y)2 + (x - 1)2 + 2 ³ 2
 ị min B = 2 Û	x - y = 0	Û x = y	Û x = y = 1
	 x - 1 = 0	 x = 1	
Vậy min B = 2 Û x = y = 1
Khai thác bài toán:
Từ bài toán trên các em đã dễ dàng giải các bài toán tương tự hoặc 
nâng cao hơn.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của
 A = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 1
 B = 2x4 - 4x2 + 2x2y2 + y4 - 2y2 + 2001
 C = x4 - 8x2 + 2x2y2 + 2y4 - 16y2 + 2001
Từ VD trên các em đã tìm được GTNN của A; B; C bằng cách giải 
tương tự.
Từ bài toán tìm GTNN tôi yêu cầu các em tìm tiếp GTLN của biểu 
thức.
 P = 1 + 6y - 5y2 + 12xy - 9x2
	 Q = - x2- y2 + xy + 2x + 2y
Qua các bài toán tìm GTNN các em tìm ra nhanh chóng GTLN của P 	
 P = 1 + 6y - 5y2 + 12xy - 9x2
 = -(9x2 - 12xy + 4y2) - (y2 - 6y + 9) + 10
 = -(3x - 2y)2 - (y - 3)2 + 10
 Vì (3x - 2y)2 ³ 0	ị -(3x - 2y)2 Ê 0
 (y - 3)2 ³ 0	 ị -(y - 3)2 Ê 0
ị - (3x - 2y)2 - (y - 3)2 + 10 Ê 0
ị P Ê 10
ị max P = 10	
Vậy max P = 10 Û x = 2; y = 3
Khi tìm GTLN của Q ban đầu các em cũng rất lúng túng do đó tôi gợi ý: Nếu hệ số x,y lẻ ta có thể nhân cả 2 vế với 2. Sau đó tìm GTLN của 2Q suy ra GTLN của Q.
Đến đây các em đã tìm ra lời giải như sau:
2Q = -2x2 - 2y2 + 2xy + 4x + 4y
 = (-x2 + 2xy - y2) - (x2 - 4x + 4) - (y2 - 4y + 4) + 8
 = -(x - y)2 - (x - 2)2 - (y - 2)2 + 8
Vì (x - y)2 ³ 0 	ị - (x - y)2 Ê 0
(x - 2)2 ³ 0	ị - (x - 2)2 Ê 0
(y - 2)2 ³ 0	ị - (y - 2)2 Ê 0
ị -(x - y)2 - (x - 2)2 - (y - 2)2 + 8 Ê 8
ị 2Q Ê 8 ị Q Ê 4
ị max Q = 4 	Vậy max Q = 4 Û x = y = 2
Ví dụ 3: Tìm GTLN của A = (x2 - 3x + 1) (21 + 3x - x2)
Hướng dẫn cách giải:
Khi tôi cho các em bài tập này nhìn chung các em đều nhận ra đa thức bậc 4 rất phức tạp, từ đó việc tìm GTLN của A trở nên khó khăn. Tôi đưa ra câu hỏi gợi ý tổng: x2 - 3x + 1 và 21 + 3x - x2 bằng bao nhiêu? Từ câu hỏi này các em đã tìm ra được lời giải.
Cách giải:
Ta thấy (x2 - 3x + 1) + (21 + 3x - x2) = 22 không đổi
Nên tích (x2 - 3x + 1) (21 + 3x - x2) lớn nhất khi và chỉ khi
(Dựa theo BĐT: , trong đó a+b = const , dấu bằng xảy ra a=b)
 x2 - 3x + 1 = 21 + 3x - x2
 Û 2x2 - 6x - 20 = 0 Û x2 - 3x - 10 = 0
 Û x2 - 5x + 2x - 10 = 0 Û x(x - 5) + 2(x - 5) = 0
 Û (x - 2) (x - 5) = 0 Û x1 = -2 hoặc x2 = 5
Khai thác bài toán:
Từ VD trên học sinh dễ dàng giải các bài toán tương tự.
VD: Tìm GTLN của B = (3x2 - 5x + 2) (5x - 3x2 - 2)
Qua các ví dụ trên sau khi học sinh đã nắm được cách giải tôi yêu cầu các em 
giải các bài tập tương tự ở các tài liệu khác.
Tóm lại : Để tìm cực trị của đa thức bậc cao thông thường ta sử dụng phương pháp đổi biến số để nhằm mục đích hạ bậc, đưa về các bài toán cực trị đơn giản hơn .Tuy nhiên đòi hỏi các em phải có kỹ năng biến đổi để nhận ra cách đặt biến mới. Ngoài ra ta có thể dựa vào một số các bất đẳng thức như đã nói ở trên .
Để tìm cực trị của đa thức nhiều biến đôi khi ta thường biến đổi biểu thức về dạng : . 
Dấu bằng xảy ra 
Bài tập củng cố: ( Học sinh tự giải )
Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :
A = (x2+2x+3)(x2+2x-9)
B = (x- 7)(x-1)(2x+14)(x+1)
Đáp số : 
minA = - 36 đạt được khi = 1 hoặc = -3
minB = - 1152 đạt được khi = -5 hoặc = 5 
Bài tập 2 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau 
C = -(2+y2) – 4(-y)+2y-8
D = -2 – 2y2+2y(+3)+1
Đáp số : 
maxC = 5 đạt được khi = -2 và y = 3
maxD = 10 đạt được khi = y = 3
IV. Kết quả
 Quá trình áp dụng đề tài vào dạy các tiết luyện tập và các buổi dạy bồi dưỡng bước đầu tôi đã thu được một số kết quả tuy chưa nhiều song cũng rất khả quan.
 - Học sinh có hứng thú, đam mê tự giải toán và chính các em đã tự đem lại niềm say mê giải toán nói riêng và học toán nói chung cho bản thân mình, đặc biệt có nhiều em đã tự đặt ra cho mình những bài toán tương tự, những bài toán mới rồi cùng các bạn trao đổi, đặc biệt nhiều em sưu tầm sáng tạo nhiều bài toán gắn liền với thực tế.
 Mức độ nhận biết Lớp đã áp dụng Lớp chưa áp dụng 
Nhận biết dạng toán 90% 60%
Biến đổi biểu thức 75% 40%
Trình bày lời giải 70% 30%
Mở rộng phát triển	 30% 10%	
Kết quả cụ thể :
Như vậy sau khi áp dụng chuyên đề này thì khả năng nhận biết dạng toán đã tăng 30%. Khả năng biến đổi biểu thức tăng 35% . Khả năng trình bày lời giải tăng 40% . Khả năng biết mở rộng phát triển tăng 20% .
V. Bài học kinh nghiệm.
 Trong quá trình áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi rút ra được một số bài học như sau:
Cần dạy cho học sinh đường lối chung để tìm cực trị.
Cần có những ví dụ từ đơn giản đến phức tạp, qua đó hình thành nên cách làm cụ thể đối với những dạng toán tìm cực trị.
Cần nhấn mạnh phương pháp tìm cực trị của tam thức bậc hai, phương pháp tìm cực trị của đa thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương pháp tìm cực trị của đa thức bậc cao, đa thức nhiều biến.
Cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng tách, thêm bớt, biến đổi, kỹ năng lập luận, trình bày .
VI. Phạm vi áp dụng đề tài.
- Chuyên đề này áp dụng cho mọi đối tượng học sinh, đặc biệt đối với học sinh khá giỏi.
- Chuyên đề này được làm tài liệu dạy tự chọn, tài liệu tham khảo cho đội ngũ giáo viên trong trường THCS. 
VII. Hạn chế của đề tài.
- Do hạn chế ở trình độ của bậc học nên chuyên đề còn hạn chế ở quy mô nhỏ .
- Thời gian để thực hiện chuyên đề này còn hạn chế .
VIII. Đề xuất và hướng nghiên cứu tiếp.
 - Trên cơ sở của đề tài tôi sẽ mở rộng đối với học sinh lớp 9, mở rộng với các biểu thức hữu tỉ và biểu thức vô tỉ .
Phần III
Kết luận
Qua triển khai và đánh giá học sinh về chuyên đề “ Những bài toán cực trị dạng đa thức ” tôi nhận thấy :
Chuyên đề đã giúp học sinh hình thành lên cách giải các bài toán cực trị dạng đa thức, từ đó học sinh giải quyết được các bài toán tương tự một cách dễ dàng. Học sinh hiểu được khi nào một tam thức bậc hai có giá trị nhỏ nhất và khi nào một tam thức bậc hai có giá trị lớn nhất. Học sinh có kỹ năng biến đổi một tam thức bậc hai về dạng chính tắc để đi tìm cực trị .
Đối với các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, học sinh đã biết vận dụng những phương pháp như: Lập bảng xét dấu để xét giá trị của biểu thức trên từng khoảng hoặc vận dụng linh hoạt tính chất của giá trị tuyệt đối hoặc đổi biến số để đưa về biểu thức mới dễ tìm cực trị hơn.
Cũng qua chuyên đề này giúp học sinh vận dụng vào các bài toán chứng minh bất đẳng thức, chứng minh luôn âm, chứng minh luôn dương, chứng minh vô nghiệm. Vận dụng vào hình học và các môn học khác.
Chuyên đề còn giúp học sinh nâng cao tư duy sáng tạo, lòng say mê học tập, nghiên cứu tìm tòi để đạt kết quả cao trong học tập. Qua chuyên đề này cũng giúp tôi nâng cao thêm kinh nghiệm trong dạy học, tạo điều kiện để được trao đổi, học hỏi những kinh nghiệm khác của đồng nghiệp.
Thành công của đề tài có được là do sự nỗ lực của bản thân, sự giúp đỡ của đồng nghiệp, song không thể tránh khỏi những thiếu sót.
Tôi kính mong các bạn đồng nghiệp, các qúi ban giám khảo, các cấp lãnh đạo góp ý bổ sung cho tôi để tôi có nhiều kinh nghiệm quí báu trong giảng dạy cho học sinh .
Tôi xin chân thành cảm ơn!
 Đồng Tiến ngày 20 tháng 11 năm 2007
 Người viết
 Lê Công Tiến 
Xét duyệt của tổ chuyên môn
..
.......
Xét duyệt của trường THCS đồng tiến
..............
Xét duyệt của phòng giáo dục khoái châu
.................