Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán - Phương pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS

Mục lục
 Tên đề mục
A- Phần mở đầu – những vấn đề chung
 I. Lí do chọn đề tài
 II. Mục đích nghiên cứu
 III. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
 V. Nhiệm vụ nghiên cứu 
 VI. Giới hạn đề tài 
 VII. Các phương pháp nghiên cứu 
B- phần nội dung – Kết quả nghiên cứu 
 Chương 0 . Đại cương về cực trị 
 Chương I . Cực trị số học 
 I. Phép chia hết và phép chia có dư
 II. Đồng dư thức 
 III. Số nguyên tố 
 IV. Phương trình DIOPHANTE
 V. Một số bài toán cực trị khác 
 Chương II . Cực trị đại số .
 I. Phương pháp tìm cực trị theo tính chất của luỹ thừa bậc hai .
 II. Phương pháp tìm cực trị theo tính chất giá trị tuyệt đối .
 III. Phương pháp tìm cực trị dựa vào điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai ( Phương pháp miền giá trị hàm số ).
 IV . Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Cô-si .
 V. Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacopxki (B-C-S) .
 Chương III . Cực trị hình học .
 I. Phương pháp tìm cực trị dựa vào mối quan hệ đường vuông góc-đường xiên-hình chiếu ; bất đẳng thức tam giác ; khoảng cách giữa hai đường thẳng song song .
 II. Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức trong đường tròn 
C- Phần kết luận .
 Tài liệu tham khảo .
 Bài soạn
Trang
2
2
2
3
3
3
3
4
4
5
5
7
8
11
13
15
18
18
20
22
25
28
30
31
32
A – phần mở đầu .
 những vấn đề chung .
I – lí do chọn đề tài .
I.1. Lí do khách quan .
 Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản , mang tính trừu tượng nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội , trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng .
 Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp kiến thức cơ bản , dạy học sinh giải bài tập SGK, STK mà quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng Toán từ đó giúp các em tích cực hoạt động , độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kỹ năng , kỹ sảo – hoàn thiện nhân cách .
 Trong Toán học , cực trị là một khái niệm rất hẹp nhưng kiến thức liên quan đến nó thì vô cùng rộng rãi . Trong chương trình Toán THCS những bài toán cực trị có mặt rải rác và hầu khắp các phân môn Số học , Đại số và Hình học . Học sinh từ lớp 6 đến lớp 9 đều đã gặp những bài toán cực trị với những yêu cầu như : tìm số x lớn nhất sao cho..., tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của biểu thức ..., xác định vị trí của điểm M để độ dài ( diện tích , chu vi ...) của hình H nào đó đạt giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) ... Nhưng khi giải có thể giáo viên không dạy phương pháp tổng quát hoặc có dạy nhưng học sinh không được tiếp thu theo hệ thống dạng toán . 
Nói chung khi gặp toán cực trị đa phần học sinh e ngại và lúng túng trong cách giải .
I.2. Lí do chủ quan .
 Trong những năm thực tế giảng dạy học sinh từ lớp 6 đến lớp 9 , dạy học sinh ôn tập,ôn thi HSG và ôn thi THPT tôi nhận thấy sự cần thiết phải hình thành một cách có hệ thống các dạng bài toán cực trị và phương pháp giải để dạy học sinh . Tôi đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu , học hỏi đồng nghiệp , tìm tòi thử nghiệm với các đối tượng học sinh đại trà và ôn thi . Được sự khuyến khích , giúp đỡ nhiệt tình của bạn bè đồng nghiệp trong trường , ở trường bạn và đặc biệt là sự hướng dẫn chỉ dạy tận tình chu đáo của thầy giáo Tống Trần Hoàn – giảng viên khoa Toán Tin trường ĐHSP Hà Nội , tôi đã mạnh dạn nghiên cứu bước đầu đề tài :
“ Phương pháp giải bài toán cực trị cho học sinh THCS ” .
II- Mục đích nghiên cứu .
 Giúp học sinh nắm được phương pháp giải một số dạng toán cực trị thường gặp trong trường THCS , nâng cao dần kỹ năng kỹ sảo giải các dạng toán trên từ đó phục vụ tốt cho việc giảng dạy của giáo viên và gạt bỏ tư tưởng e ngại của học sinh khi giải toán cực trị .
III – Khách thể và đối tượng nghiên cứu .
III.1. Khách thể nghiên cứu .
 Phương pháp giải một số dạng toán cực trị .
III.2. Đối tượng nghiên cứu .
 Học sinh trường THCS Bình Minh – Tp Hải Dương .
IV – Giả thuyết khoa học .
 “ Dạy học sinh phương pháp giải một số dạng toán cực trị ” thì trình độ , kỹ năng , kỹ sảo của học sinh được nâng lên sau khi thực hiện đề tài là hiển nhiên không còn là giả thuyết như các đề tài khác . Tuy nhiên dự kiến kết quả đề tài là việc cần làm . Tôi mong rằng sau khi thực hiện đề tài học sinh không còn cảm thấy sợ toán cực trị nữa ngược lại đa phần các em cảm thấy hứng thú hơn khi học toán và đều nắm được phương pháp giải một số dạng toán mà đề tài đề cập .
V – Nhiệm vụ nghiên cứu .
- Xây dựng cơ sở lí luận , phương pháp giải một số dạng toán cực trị Số học , Đại số , Hình học .
 - áp dụng giảng dạy cho học sinh đại trà , học sinh giỏi và học sinh ôn thi vào THPT 
VI – Giới hạn đề tài .
 Vì đề tài đang ở bước đầu nghiên cứu nên tôi chỉ xây dựng phương pháp cho một số dạng toán cực trị thường gặp và cũng giới hạn trong đối tượng học sinh trường THCS Bình Minh – Tp Hải Dương .
VII – Các phương pháp nghiên cứu .
 - Quan sát sư phạm .
 - Điều tra giáo dục .
 - Tổng kết kinh nghiệm .
 - Thực nghiệm sư phạm .
 - Lấy ý kiến chuyên gia .
 - Nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm .
 - Phân tích và tổng hợp lí thuyết .
B - phần nội dung
kết quả nghiên cứu .
Sau một thời gian dài nghiên cứu tôi đã tổng hợp và xây dựng được những vấn đề về lí thuyết như sau :
Chương 0 . 
Đại cương về cực trị .
 Bài toán cực trị xuất phát từ thực tiễn và trong khi giải quyết những bài toán lớn . Cực trị là tên gọi chung cho những bài toán tìm giá trị lớn nhất ( GTLN) và giá trị nhỏ nhất ( GTNN) . Trong lí thuyết Toán học hiện đại thì các phân môn Số học , Đại số , Hình học đều có thể được định nghĩa qua tập hợp . Việc giải bài toán cực trị đối với mỗi phân môn thì có sự giới hạn tập hợp số để xét . Trong chương trình THCS chỉ xét giới hạn trong trường số thực IR đối với phân môn Đại số và Hình học còn đối với phân môn Số học thì chỉ xét trên vành số nguyên Z .
 Theo lí thuyết Giải tích cổ điển , xét tập hợp số thực xE IR , khi đó nếu E không rỗng và bị chặn thì tồn tại cận trên đúng M của E ( M = supE ) hoặc cận dưới đúng m của E ( m = infE ) hoặc cả hai . Tuy nhiên có thể cả M và m đều không thuộc E . Khi ME ( hoặc mE) ta viết M = maxE ( hoặc m = minE ) đây là cách viết tắt theo chữ Latin ( max = maximum , min = minimum ) mà trong trường phổ thông ta thường gọi là giá trị lớn nhất ( GTLN ) và giá trị nhỏ nhất ( GTNN ) .
 Theo quan điểm trên việc tìm maxE = M hoặc minE = m phải bao gồm đồng thời cả hai điều kiện :
 i) M = E hoặc m = E .
 ii) x E để M = E hoặc m = E .
( Đối với phân môn Hình học ta hiểu x là một điều kiện ràng buộc mà đề bài yêu cầu)
 Sau đây là những dạng bài tập và phương pháp cụ thể đối với từng phân môn xét theo quan điểm trên .
Chương 1 . 
cực trị số học .
I – phép chia hết và phép chia có dư .
A . Lí thuyết cơ bản .
1. Định nghĩa .
 1.1 . Phép chia hết và phép chia có dư .
 Cho a , b Z , b > 0 . Chia a cho b ta có : a chia hết cho b hoặc a không chia hết cho b . 
 Nếu a chia hết cho b ta kí hiệu là a b ta còn nói b chia hết a hay b là ước của a và kí hiệu là b | a .
 Nếu a không chia hết cho b ta được thương gần đúng q và dư là r , ta viết : 
 a = bq + r , 0 < r < b .
1.2. ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất .
 Cho hai số nguyên dương a , b . 
 ước chung lớn nhất của a và b được kí hiệu là ƯCLN ( a,b) hay ( a , b ) . Số d gọi là ước chung của a và b khi và chỉ khi d là ước của ƯCLN(a ,b) :
 d | a và d | b d | (a,b) .
 Bội chung nhỏ nhất của a và b được kí hiệu là BCNN(a,b) hay [a,b] . Số m là BCNN(a,b) khi và chỉ khi m là bội của BCNN(a,b) :
 m a và m b m [a,b] .
 Hai số được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi (a,b) = 1 .
 * Tuy nhiên , trong việc tìm ƯCLN của hai số dương a, b ( a>b) người ta còn có thể sử dụng thuật toán Euclide như sau :
 i) a = bq (a,b) = b .
 ii) a = bq + r ( r 0 ) (a,b) = (b,r) 
 b = rq1 + r1 ( r1 0) (b,r) = (r,r1) 
 r = r1q2 + r2 (r2 0) (r,r1) = (r1,r2)
 .........................................................
 ri = ri+1qi+2 (a,b) = (ri,ri+1) .
2. Một số định lí quan trọng thường dùng .
2.1. a) (ca,cb) = c(a,b) .
 b) ( với c =ƯC(a,b) ) .
2.2. a.c b và (a,b) = 1 c b .
2.3. c a và c b và (a,b) = 1 c a.b .
2.4. Định lí về phép chia có dư .
 Với mọi cặp số tự nhiên a,b ( b0) bao giờ cũng tồn tại duy nhất cặp số q , r sao cho : a = bq + r ( với ) .
2.5 . Định lí .
 Trong sự phân tích số n! ra thừa số nguyên tố ( n! = 1.2.3....n) .
thì số mũ ai của thừa số pi nào đó sẽ là :
 ( là kí hiệu phần nguyên của số x , đó là số nguyên lớn nhất không vượt quá x ) .
B . Một số phương pháp thường dùng trong giải bài toán chia hết .
1. Để chứng minh A(n) ( n Z ) chia hết cho một số nguyên tố p , ta có thể xét mọi 
trường hợp về số dư khi chia n cho p .
2. Để chứng minh A(n) chia hết cho hợp số m ta thường phân tích m ra thừa số nguyên tố . Giả sử m = pq , ta tìm cách chứng minh A(n) p và A(n) q suy ra A(n) A(n) pq do (p,q) = 1 .
Nếu (p,q) 1 thì ta phân tích A(n) rồi chứng minh tích đó chia hết cho m . Ta cũng có thể phân tích A(n) thành tổng nhiều số hạng cùng chia hết cho m .
3. Ta thường sử dụng kết quả sau :
 Nếu số dư khi chia a cho b>0 là r ( 01) cho b là số dư khi chia rn cho b ( số dư này bằng rn nếu rn < b ) .
C . Bài tập áp dụng .
* Qui ước :
 Nếu a là số lớn nhất trong các số a ,b ,c, d thì ta kí hiệu max(a,b,c,d) = a .
 Nếu b là số nhỏ nhất trong các số a ,b ,c, d thì ta kí hiệu min(a,b,c,d) = b .
Bài số 1 :
 Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho 2n – 1 7 .
Giải :
 Xét phép chia số nguyên n cho 3 thì n chỉ có một trong ba dạng : n = 3k ; n = 3k+1 ; n = 3k+3 ( k Z) .
Với n = 3k ta có : 2n – 1 = 8k – 1 7 .
Với n = 3k+1 ta có : 2n -1 = 2.8k -1=2(8k -1) + 1 không chia hết cho 7 .
Với n = 3k+2 ta có : 2n – 1=4.8k-1= 4(8k -1) + 3 không chia hết cho 7 .
Vậy với n 3 thì 2n – 1 7 mà n là số nguyên dương nhỏ nhất nên n = 3 .
Bài số 2 :
 Tìm số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn : ( 1994!)1995 1995k .
Giải :
Ta có : 1995k = (3.5.7.19)k = 3k.5k.7k.19k . Ta cần tìm số mũ lớn nhất của mỗi thừa số 3 , 5 , 7 ,19 trong số (1994!)1995 .
 Ta có : 
 Số mũ của 3 trong 1994! là :
 .
Tương tự : Số mũ của 5 trong 1994! là : 495 .
Số mũ của 7 trong 1994! là : 329 .
Số mũ của 19 trong 1994! là : 109 .
 Vậy trong 1994! có các thừa số : 3992 ; 5495 ; 7329 ; 19109 .
Suy ra : (1994!)1995 = (3992 . 5495 . 7329 . 19109. M )1995 . Với M là tích các thừa số không chứa các thừa số nguyên tố 3 ; 5 ; 7 ; 19 .
 Với k = 109.1995 thì ( 1994!)1995 1995k .
Với k = 109.1995 + 1 thì ( 1994!)1995 không chia hết cho 1995k .
Vậy k = 109.1995 là số tự nhiên lớn nhất  ... c ABC nhỏ nhất ?
Giải :
Gọi M là điểm đối xứng của A qua Ox , x
N là điểm đối xứng của A qua Oy . 
Suy ra MN cố định .
Chu vi tam giác ABC = AB + BC + AC . B A 
Ta có : NB + BC NC 
NB + BC + CM NC + CM MN . O
Dấu bằng khi B là giao điểm của MN với Ox , C
C là giao điểm của MN với Oy , khi đó 
chu vi tam giác ABC = MN . y
 N
C. Bài tập tự luyện .
Bài số 1.
Cho tam giác ABC có góc A = 900 , AH BC . Điểm M chuyển động trên BC . Vẽ MD AB , ME AC . Xác định M để DE nhỏ nhất .
Bài số 2 .
Cho ABC . Tìm đường thẳng d đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến d là nhỏ nhất , lớn nhất .
Bài số 3 .
Cho hai điểm A và B trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d cho trước .
a) Tìm trên d một điểm C sao cho chu vi ABC nhỏ nhất .
b) Tìm trên d hai điểm M,N có khoảng cách MN = a sao cho độ dài đường gấp khúc AMNB nhỏ nhất .
II – Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức trong đường tròn .
A . Lí thuyết cơ bản .
1) Trong một đường tròn , đường kính là dây lớn nhất .
2) Trong một đường tròn hoặc trong hai đường tròn bằng nhau :
i) Dây lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn .
ii) Dây lớn hơn trương cung lớn hơn .
B. Bài tập vận dụng .
Bài số 1.
Cho ABC cân tại A . Đường tròn (O) tiếp xúc với AB tại B, tiếp xúc AC tại C . Qua A vẽ cát tuyến ADE bất kỳ . Vẽ dây CK song song DE . Xác định vị trí cát tuyến ADE để tam giác AKE có diện tích lớn nhất . 
 Giải : A
 Gọi R là bán kính của (O) . Kẻ EH AC .
Ta có : CK || DE nên SAKE = SACE = AC.EH B C
 AC.EC AC.2R = AC.R . 
Do đó maxSAKE = AC.R EC là đường K 
kính của (O) . H
Cát tuyến ADE ở vị trí AMN hình bên thì 
AKE có diện tích lớn nhất . N E 
Đó là tam giác ANP . P 
Bài số 2 .
Trong các ABC có BC = a , góc BAC = , tam giác nào có :
a) Diện tích lớn nhất ? b) Chu vi lớn nhất ? 
 Giải : D
Xét các tam giác ABC có BC = a , góc BAC = . A
Khi đó A nằm trên cung chứa góc dựng trên BC . 
a) Gọi D là điểm chính giữa cung chứa góc nói trên . A
Kẻ AH , DG BC . Hiển nhiên AH DG , do đó 
SABC SGBC . Vậy trong các tam giác nói trên , tam giác 
cân tại A có diện tích lớn nhất . B C 
 H G
 O
 O
 I
 M
 A
b) Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AD = AC . Khi đó góc BDC = nên D di chuyển trên cung chứa góc dựng trên BC( có giới D N
hạn bởi tiếp tuyến tại B ) . Chu vi tam giác ABC 
lớn nhất BA + AC max BD max .
Lưu ý rằng , tâm của cung chứa góc là điểm K
chính giữa M của cung chứa góc .
Gọi giao điểm BM với cung chứa góc là N ( khác B) B C
thì BD BN ( đường kính là dây lớn nhất ) . E
Do đó BA + AC BM + MC .
Vậy MBC cân tại M là tam giác có chu vi lớn nhất trong các tam giác ABC thoả đề bài .
Bài số 3 .
Cho (O) cắt (I) tại A,B . Một cát tuyến d qua A cắt (O) tại M và (I) tại N . Xác định vị trí cát tuyến d sao cho BMN có chu vi lớn nhất ?
Giải :
Gọi C là điểm đối xứng của B qua O , D
D là điểm đối xứng của B qua I thì dễ dàng M A
chứng minh được C , A , D thẳng hàng .
Ta có : BMN đồng dạng BCD ( g-g) C N
nên : 
 . 
Do BM BC ( đường kính là dây lớn nhất ) B 
nên Chu vi BMN Chu vi BCD .
Vậy chu vi tam giác BMN lớn nhất bằng chu vi tam giác BCD và bằng BC+BD+CD =const khi BM là đường kính của (O) hoặc BD là đường kính của (I) .
C. Bài tập tự luyện .
Bài số 1 .
Cho (O,R) và điểm A nằm trên (O) . Xác định vị trí cát tuyến d qua A để độ dài MN lớn nhất , nhỏ nhất ( M là giao của d với (O) ).
Bài số 2 .
Cho ABC vuông tại A . Tìm vị trí của M thuộc (O) là đường tròn ngoại tiếp ABC sao cho nếu gọi D,E là các hình chiếu của M trên AB , AC thì DE có độ dài lớn nhất.
Bài số 3 .
Cho nửa (O) đường kính AB , dây CD . Tìm M thuộc cung CD sao cho các tia MA, MB cắt dây CD ở I,K và IK có độ dài lớn nhất .
C – phần kết luận .
 Đề tài “ Dạy học sinh THCS phương pháp giải một số dạng toán cực trị ” theo cá nhân tôi là rất khó , nghiên cứu tổng hợp dạng toán đã là một vấn đề nhưng dạy học sinh nắm được dạng toán và giải chúng là vấn đề không đơn giản . Trong quá trình nghiên cứu đề tài này đã giúp tôi rất nhiều kiến thức và kinh nghiệm dạy toán cực trị .
 Sau khi áp dụng đề tài tại trường THCS Bình Minh – Tp Hải Dương , tôi đã giúp các em học sinh hiểu được bản chất vấn đề của dạng toán cực trị và các em đã bước đầu biết giải các dạng toán cực trị đơn giản và quan trọng là đã gây được hứng thú học toán nhất là toán cực trị cho các em , rèn luyện được tư duy logic sáng tạo cho các em trong quá trình tự học .
 Tôi sẽ cố gắng hoàn thiện đề tài trong các năm tiếp theo để phục vụ thật tốt việc dạy học của thầy và trò .
 Để hoàn thành bước đầu đề tài này , ngoài việc tích cực tham khảo tài liệu , lấy ý kiến đóng góp của đồng nghiệp , thực nghiệm sư phạm tôi còn được sự giúp đỡ , chỉ bảo tận tình của các thầy cô khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội . Đặc biệt là sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo Tống Trần Hoàn . 
Tôi xin chân thành cảm ơn !
 Đề tài là một vấn đề khoa học , trong quá trình thực hiện tất nhiên không thể tránh khỏi thiếu sót . Tôi rất mong được sự bổ xung , góp ý kiến của các thầy , cô giáo , của bạn đọc để tôi có thể hoàn chỉnh đề tài trong những lần sau .
 Hải Dương , ngày 10 tháng 06 năm 2006 .
 Người viết 
 TRần Trung Long
Tài liệu tham khảo
 Tên tài liệu Chủ biên ( Tác giả )
1. Giải tích toán học T1 Khoa Toán ĐHSP Hà Nội II 
 & ĐHSP Vinh 
2. Bất đẳng thức và toán cực trị Trần Đức Huyên
3. 30 đề thi học sinh giỏi toán cấp II Nguyễn Vũ Thanh
4. Số học – Bà chúa của toán học Hoàng Chúng 
5. Nâng cao và phát triển toán 8 T1, 2 Vũ Hữu Bình 
6. Nâng cao và phát triển toán 9 T1, 2 Vũ Hữu Bình 
7. 255 bài toán hình học chọn lọc Vũ Dương Thuỵ
8. Kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức Trần Phương
9. Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất Phan Huy Khải 
10. Bất đẳng thức chọn lọc cấp II Nguyễn Vũ Thanh
Trường ĐHSP Hà Nội 
Khoa Toán - Tin 
Lớp Toán K7
Sinh viên : Trần Trung Long 
Bài soạn môn Đại số 9 
 Tiết 67 : ôn tập cuối năm .
I – Mục tiêu .
- Giúp học sinh hiểu khái niệm giá trị lớn nhất ( max) , giá trị nhỏ nhất (min) . Học sinh nắm được một số phương pháp tìm cực trị đại số qua các dạng bài .
- Rèn được kỹ năng tìm cực trị từ đó phát triển tư duy logic , sáng tạo của học sinh .
II – Chuẩn bị .
 Máy chiếu ( MC ) , giấy trong , bút dạ , phấn màu .
III – tiến trình lên lớp .
1. ổn định tổ chức .
Sĩ số : 
2. Tổ chức các hoạt động dạy học .
hoạt động 1 .
Kiểm tra
GV : gọi hai HS lên bảng đồng thời .
HS1 : Tìm GTNN của biểu thức :
A = x2 -2x + 5 
HS2 : Tìm GTLN của biểu thức :
B = -x2 + 4x + 3 .
GV đặt vấn đề : ta đã gặp nhiều bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất từ các lớp dưới nhưng chưa được phân dạng phương pháp cụ thể . Giờ hôm nay chúng ta sẽ nghiên cứu thế nào là bài toán cực trị , một số phương pháp tìm cực trị đại số .
HS1 : Ta có : A = x2 -2x + 5 = (x-1)2 + 4
4 x . Do đó : minA = 4 x-1 = 0 
 x = 1 .
HS2 : Ta có : B = -x2 + 4x + 3 = 7 – ( x2 -4x + 4) = 7 – ( x-2)2 7 x .
Do đó : max B = 7 x-2 = 0 x= 2.
hoạt động 2 .
Tìm hiểu khái niệm cực trị đại số .
GV đưa lên MC khái niệm max , min rồi yêu cầu HS đọc .
HS nghe giảng , ghi bài .
Khái niệm cực trị đại số :
 Nếu một biểu thức A của biến x xác định trên tập D thoả mãn : 
 thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của A , viết minA=m .
Hoặc :
 thì M gọi là giá trị lớn nhất của A , viết maxA = M .
Một bài toán tìm max , min của một biểu thức gọi chung là bài toán cực trị .
Sau đó GV lấy vídụ qua bài HS1, HS2 .
hoạt động 3 .
Phương pháp tìm cực trị theo tính chất của luỹ thừa bậc hai .
GV : qua bài HS1, HS2 , để tìm cực trị của một biểu thức nào đó ta thường làm thế nào ?
GV đưa lên MC ví dụ , giảng cho HS hiểu phương pháp .
Ví dụ :
 Tìm min của A = x - +2 từ đó tìm min của B = 
Giải :
Điều kiện : x 0
* Ta có : A = x - +2= x . Vậy min A = .
* B = = , B đạt min đạt min -x + -2 đạt max mà min A = x= nên minB = 
HS : Ta biến đổi biểu thức để được một biểu thức luôn không âm cộng với một số hoặc một số trừ một biểu thức luôn không âm .
HS nghe GV giảng cách làm , ghi bài .
GV đưa lên MC đề bài :
Tìm max C = .
GV yêu cầu HS làm theo nhóm , sau 5 phút thu bài 2 nhóm chữa cho HS trên MC .
Bài làm của HS :
ĐK : x 0
C = = . C max max min , mà -2 x 0 nên min 
=- 2 x = 0 
 max C = 1 + x=0 .
hoạt động 4 .
Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Cô-si .
GV gới thiệu BĐT Cô-si cho hai , ba số không âm :
* Cho a,b 0 thì ta có :
 dấu bằng xảy ra a = b .
Suy ra , nếu a+b không đổi thì 
max ab = , nếu ab không đổi thì 
min (a+b) = .
* Tương tự cho ba số không âm a,b,c ta có :
 .
GV đưa ví dụ lên MC giảng cho HS .
Ví dụ :
Tìm min của P = 
Giải :
ĐK : x 0 .
Ta có : P = 
áp dụng BĐT Cô-si ta có :
Dấu = khi .
HS nghe giảng , ghi bài .
 P -6+12=6 minP = 6 x = 9 .
GV đưa đề bài lên MC cho học làm theo nhóm , khoảng 5 phút thu bài 2,3 nhóm chữa trên MC .
Tìm min của M = 
Kết quả :
Bằng cách giải tương tự thì được 
minM = -2+ .
hoạt động 5 .
Phương pháp tìm cực trị dựa vào miền xác định của hàm số .
GV đưa ví dụ lên MC giảng bài .
Ví dụ :
Tìm max , min của N = 
Giải :
N nhận giá trị là a thì phải tồn tại x sao cho : 
 a = ax2 –x+2a+1 = 0 .
 = 1 – 4a(2a+1) = -8a2- 4a +1 
 0 -8a2- 4a +1 0 .
 min N = 
maxN = .
GV đưa bài tập cho HS làm cá nhân :
Tìm max , min của :
Q = .
(Nếu không đủ thời gian thì cho HS làm ở nhà ) .
HS nghe giảng , ghi bài .
hoạt động 6 .
Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacopxki .
GV giới thiệu BĐT Bunhiacopxki ( BĐT B-C-S) trên MC :
* TH cho hai cặp số (a1 , a2), (b1,b2) bất kì thì ta có :
(a1b1 + a2b2)2 (a12 + a22)(b12+b22) 
Dấu bằng khi .
Tương tự cho a1 , a2 , a3 , ..., an và b1,b2,b3,...., bn là 2n số thực tuỳ ý . Khi đó ta có : (a12+a22+a32+....+an2)(b12+b22+b32+...+bn2) ( a1b1+ a2b2+a3b3+...+anbn)2 
Dấu bằng xảy ra khi .
GV giảng ví dụ trên MC :
Ví dụ :
Cho 3x-5y = 1 . Tìm min của 
E = 3x2 + 5y2 .
Giải :
áp dụng BĐT B-C-S ta có :
12 
=8(3x2 + 5y2) E = (3x2 + 5y2) 
 minE = .
HS nghe giảng , ghi bài .
hoạt động 7 .
Củng cố .
GV : Qua bài học hôm nay , ta thấy : muốn tìm cực trị của một biểu thức đại số ta có thể sử dụng các phương pháp như dùng tính chất của luỹ thừa bậc hai , dùng miền xác định của hàm số , dùng BĐT Cô-si , dùng BĐT B-C-S . Ngoài ra chúng ta sẽ tìm hiểu các phương pháp khác trong các bài sau .
Lưu ý khi sử dụng BĐT Cô-si thì biểu thức số phải không âm , mỗi bài toán có một đặc trưng riêng nên khi giải cần áp dụng linh hoạt , phù hợp .
hoạt động 8 .
Hướng dẫn về nhà .
Bài số 1.
Tìm max , min của : A = , B = 
Bài số 2.
Cho 7x-5y = 9 . Tìm max , min của C = 7x2 + 5y2 .