Sáng kiến kinh nghiệm - Một số phương pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên

vận dụng một số Phương pháp
 tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên
A. Đặt vấn đề.
	Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên là dạng toán hay. Đa số các tài liệu về dạng toán này đều sử dụng khái niệm đồng dư, một khái niệm trừu tượng và không có trong chương trình THCS. Vì thế có không ít học sinh, đặc biệt là học sinh lớp 6 và lớp 7 khó có thể hiểu và tiếp thu được. Cho nên trong các kỳ thi học sinh giỏi hàng năm khi bắt gặp loại toán này các em thường có cảm giác "ngợp", cũng có khi đành "bó tay". Trước thực trạng đó và bản thân tôi là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán, cũng có khá nhiều năm học được tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy rằng việc tìm một phương pháp giải loại toán "Tìm chữ số tận cùng" phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh lớp 6, 7 nhằm kích thích hứng thú học tập của các em giúp các em tự tin hơn với trình độ nhận thức của mình để có chí hướng vươn lên trong học tập là hết sức cần thiết. 
	 Sau đây tôi xin được giới thiệu một số tính chất và phương pháp giải bài toán" Tìm chữ số tận cùng" chỉ sử dụng kiến thức THCS.
B- Giải quyết vấn đề:
	Ta xem số tự nhiên A= mk với m, k N.
	 Muốn tìm chữ số tận cùng của A, ta chỉ cần biễu diễn A dưới dạng: 
 	A= 10a+ b = 
	 => b là chữ số tận cùng của A.
	I/ Tìm chữ số tận cùng:
	Chúng ta bắt đầu đi từ nhận xét sau:
	Nhận xét 1:
	a, Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6, khi nâng lên luỹ thừa bậc bất kỳ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
	b, các số có chữ số tận cùng là 4, 9, khi nâng lên luỹ thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
	c, Các số có chữ số tận cùng là 3,7,9 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n N ) thì chữ số tận cùng là 1.
	d, Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n N ) 
thì chữ số tận cùng là 6.
	Như vậy muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên A = mk trước hết ta xác định chữ số tận cùng của m.
	- Nếu chữ số tận cùng của m là 0; 1; 5 ; 6 thì A cũng có chữ số tận cùng lần lượt là 0, 1; 5; 6; 
	- Nếu chữ số tận cùng của m là: 3; 7; 9 
	Vì mk = m4n+r = m4n . mr với r = 0; 1; 2; 3; 
	Cho nên từ tính chất 1c suy ra chữ số tận cùng của số A chính là chữ số tận cùng của mr.
	- Nếu chữ số tận cùng của m là 2 ; 4; 8; cũng như trường hợp trên từ tính chất 1d suy ra chữ số tận cùng của số A chính là chữ số tận cùng của 6 . mr .
	áp dụng ta giải bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số:
	a, 	b,	c, 
	Lời giải:
	a, Trước hết ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4:
	99 - 1 = ( 9 - 1) ( 98 + 97 +.. +9 + 1) 4 .
 => 99 = 4k +1 ( k N ) => 7 = 74k+1 = 74k . 7.
	Do 74k có chữ số tận cùng là 1 ( theo tính chất 1c) 
	Suy ra 7có chữ số tận cùng là 7 
	b, Ta có 1414 = 4k ( k N ) => theo tính chất 1d thì 14= 144k có chữ số tận cùng là 6.
	c, ta có 5 -1 4 => 5 = 4k +1 ( k N ) 
	=> 4 = 44k+1 = 44k . 4 ( theo tính chất 1d) 44k có chữ số tận cùng là 6) nên:
	4 có chữ số tận cùng là 4.
Nhận xét 2: + Một số tự nhiên bất kỳ, khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n+1 ( n N )	thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
+ Chữ số tận cùng của một tổng các luỹ thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng luỹ thừa trong tổng.
Bài toán 2: Tìm chữ số tận cùng của tổng: S = 21 + 35 +49 +. +20048009 
	Lời giải: Ta thấy mọi luỹ thừa trong tổng S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 ( Các luỹ thừa đều có dạng n4( n-2)+1, với ( n ) 
	Theo tính chất 2, mọi luỹ thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng:
	( 2 + 3+ .+9 ) +199 ( 1 +2 ++9 ) +1+ 2 +3 +4 
	= 200 ( 1+2++9) +9 = 9009 
	Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9 
Bài toán 3: Tìm xem số M = 21 +35 + 49 +513 ++ n4n-7- (n2 + n - 2)	tận cùng bằng chữ số nào ?
Lời giải: Trước hết ta chứng minh rằng với mọi n N, số n5 - n chia hết cho 5.
Thật thế: n5 - n = n (n2+1)(n+1)(n-1) = n(n2+5-4)(n+1)(n-1) =
	= 5n(n+1)(n-1) + n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2).
Số hạng thứ hai của tổng ở vế phải là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5; do đó n5-n chia hết cho 5.
Ngoài ra số n5-n là số chẵn nên nó chia hết cho 10.
Ta có n4k+1 - n = n(n4k-1) chia hết cho n(n4-1) tức là chia hết cho 10, như thế số có dạng n4k+1 có cùng chữ số cuối cùng như số n. Do đó không thay đổi chữ số cuối, ta có thể thay số đã cho bằng số: 
(2+3+4+n) - (n2+n -2) = 
Vậy số đã cho tận cùng bằng chữ số 0.
Từ nhận xét 1 ta suy ra nhận xét 3: 
a, + Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 7.
 + Số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 3.
b, + Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng luỹ thừa bậc 4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 8.
 + Số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 2.
c, Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng.
Bài toán 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng:
	A = 23+37+411+. + 20048011.
Lời giải: 
Nhận xét: Mọi luỹ thừa trong A đều có số mũ chia cho 4 thì dư 3 (các luỹ thừa đều có dạng n4(n-2)+3; n {2,32004}.
Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8.
	37 có chữ số tận cùng là 7
	411 có chữ số tận cùng là 4.
Như vậy, tổng A có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng:
(8+7+4+5+6+3+2+9)+199(1+8+7+4+5+6+3+2+9)+1+8+7+4=
= 200(1+8+7+4+5+6+3+2+9)+8+7+4=
= 200 . 45 + 19 = 9019.
Vậy chữ số tận cùng của A là 9.
Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu các tính chất và phương pháp tìm nhiều hơn một chữ số tận cùng của một số tự nhiên.
II/ Tìm hai chữ số tận cùng:
Ta sử dụng nhận xét sau:
Nếu x N và x = 100k + y trong đó k; y N thì hai chữ số tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y.
Hiển nhiên là y x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn).
Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn.
Từ nhận xét đó ta có phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên 
x = am như sau:
* Trường hợp 1:
Nếu a chẵn thì x = am : 2m.
gọi n là số tự nhiên sao cho (an - 1) 25.
Ta biết m= Pn +q ( p ; q N ) trong đó q là số nhỏ nhất để aq cho 4 
Ta có x = am = aq ( apn - 1) 25
Mặt khác do ( 4; 25) =1 nên aq ( apn - 1) 100 
Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. Tiếp theo ta tìm hai chữ số tận cùng của aq.
áp dụng ta giải bài toán sau:
Bài toán 1: Tìm hai chữ số tận cùng của số 22003.
Lời giải: Do 22003 là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2n - 1 25.
Ta có 210 = 1024 	=> 210 + 1 = 1025 25
	=> 220 - 1 = (210 + 1)(210 - 1) 25.
	=> 23(220 - 1) 25.4 tức 23(220 - 1) 100.
Mặt khác:
22003 = 23 (22000-1)+ 23 = 23[(220)100 - 1] + 23.
	 = 100k + 8 (k N)
Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08.
* Trường hợp 2:
Nếu a lẻ, gọi n là số tự nhiên sao cho (an - 1) 100
Ta viết m = u.n + v; (u; v N, O v < n)
Ta có: x = am = av(au.n - 1)+av.
Vì an - 1 100 => aun - 1 100.
Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của av.
Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của av.
áp dụng giải bài toán sau:
Bài toán 2: Tìm hai chữ số tận cùng của số 7 
Lời giải:
Do 7 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên bé nhất sao cho 7n -1 100.
Ta có: 74 = 2401 => 7 4-1 100 
Mặt khác: 99 - 1 4 => 99 = 4k +1 ( k N )
Vậy 7 = 74k+1 = 7( 74k - 1) + 7 = 100q +7 ( q N)
Vậy hai chữ số tận cùng của số 7 là 07
Qua cả hai trường hợp trên ta thấy rằng, chìa khoá để giải được bài toán là chúng ta phải tìm được số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ số tận cùng của số aq và av.
Các thí dụ trên cho thấy rằng nếu a = 2 thì n = 20, nếu a = 7 thì n = 4.
Vậy thì nếu a bất kỳ thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính chất sau:
Nhận xét 4: Nếu a N và (a, 5) = 1 thì a20 - 1 25.
Bài toán 3: Tìm hai chữ số tận cùng của tổng sau:
S = 12002 + 22002 + 32002 + . + 20042002.
Lời giải: 
Ta dễ thấy, nếu a chẵn thì a2 4, nếu a lẻ thì a100 - 1 4, nếu a 5 thì a2 25.
Mặt khác, từ tính chất (4) suy ra: với " a N và (a; 5) =1 ta có (a100 - 1) 25
Vậy với " a N ta có: a2 ( a100- 1) 100
Do đó S = 12002 + 22(22000 - 1)+ + 20042 ( 20042000 - 1) +22+32 ++20042
vì thế hai chữ số tận cùng của tổng S cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng 12+ 22+ 32 ++20042
áp dụng công thức:
12+22+32+ +n2 ==
=> 12+22+ ..+20042= 2005. 4009. 334 = 2684707030
Vậy 2 số tận cùng của tổng S là 30.
III/ Tìm ba chữ số tận cùng: 
Nhận xét: Tương tự như trường hợp tìm hai số tận cùng việc tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000.
Nếu x = 1000k +y ; trong đó k, y N thì ba chữ số tận cùng của x cũng chính là ba chữ số tận cùng của y ( y x) 
Do 1000= 8 .125 mà ( 8, 125) = 1 nên ta có phương pháp tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x= am như sau:
Trường hợp 1:
Nếu a chẵn thì: x = am 2m
Gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 125
Ta viết m= pn + q ; ( P; q N) 
( Trong đó q là số nhỏ nhất để aq 8)
Ta có x= am = aq(apn -1 )+aq
Vì an -1 125 => apn -1 125
Mặt khác do (8 , 125) = 1 nên aq( apn -1) 1000
Vậy ba chữ số tận cùng của am cũng chính là ba chữ só tận cùng của aq. Tiếp theo ta tìm ba chữ số tận cùng của aq.
Trường hợp 2: 
Nếu a lẻ, gọi n là số tự nhiên sao cho ( an -1) 1000
Ta viết m = un + v;( u,v N : 0 v< n)
Ta có: x= am = av ( aun -1) +av.
Vì an - 1 1000 => aun - 1 1000
Vậy ba chữ số tận cùng của am cũng chính là ba chữ số tận cùng của av. Tiếp theo ta chỉ cần tìm ba chữ số tận cùng của av. Từ tính chất 4 ta suy ra tính chất sau;
Nhận xét 5: 
Nếu a N và ( a, 5) = 1 thì a100 -1 125.
áp dụng giải bài toán sau: 
Bài toán 1: Tìm ba chữ số tận cùng của 123 101 
Lời giải: Theo tính chất 5: do ( 123, 5) =1 
Suy ra 123 100- 1 125 (1)
Mặt khác : 123100 -1 = ( 12325-1) ( 12325+1) ( 12350+1)
=> 123100- 1 8 (2)
Vì ( 8, 125) =1 ; cho nên từ (1)và (2) suy ra: 
123100 - 1 1000
=> 123101 = 123( 123100 -1) +123 = 1000k +123( k N)
Vậy 123101 có ba chữ số tận cùng là 123.
* Trường hợp nếu số đẫ cho chia hết cho 8 thì ta cũng có thể tìm ba số tận cùng một cách gián tiếp theo các bước: 
- Tìm số dư của phép chia số đó cho 125
- Từ đó suy ra các khả năng của ba chữ số tận cùng 
- Cuối cùng kiểm tra điều kiện chia hết cho 8 để chọn giá trị đúng 
Bài toán 2: Tìm ba chữ số tận cùng của 2004200
Lời giải: Do ( 2004,5 ) =1
suy ra 2004 100 chia hết cho 125 dư 1. ( tính chất 5)
=> 2004200 = (2004100)2 . Chia cho 125 dư 1. Suy ra 2004200 chỉ có thể tận cùng là 126 ; 251 ; 376; 501; 626; 751; 876 ; 
Do 2004200 8 nên 2004200 chỉ có thể tận cùng là 376.
Để nhuần nhuyễn được các tính chất và tìm ra được phương pháp giải loại toán " Tìm chữ só tận cùng của một số tự nhiên" phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh lớp 6- 7 quả thực không đơn giản chút nào. Thế nhưng trải qua một quá trình đầy thử thách khó khăn đến nay khối học sinh do tôi trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng đã thực sự có hứng thú say mê tìm tòi các loại toán " Tìm chữ số tận cùng" này. Bước đầu các em đã nắm vững và vận dụng tốt các tính chất vào giải bài tập. Qua kiểm tra đánh giá, chất lượng học toán đặc biệt là kỷ năng giải toán" Tìm chữ số tận cùng" rất đáng được ghi nhận.
Kết quả cụ thể như sau:
 Điểm
Năm học
Dưới 5 
(%)
5 - 6
( %)
Trên 7
( %)
2003-2004
32
44
24
2004-2005
17
45
38
C: Kết thúc vấn đề:
Trên đây tôi đã trình bày một số nhận xét và phương pháp "Tìm chữ số tận cùng" của một số tự nhiên chỉ sự dụng kiến thức trong chương trình trung học cơ sở. Nhằm giúp học sinh nắm vững được đường lối và cách thức thực hiện loại toán này, tạo cho học sinh có niềm tin vào năng lực của bản thân mình gây được hứng thú và niềm say mê học tập cho các em, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán đặc biệt là rèn luyện kỹ năng giải loại toán " Tìm chữ số tận cùng".
Với trình độ có hạn nên không thể tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy bản thân tôi rất mong được sự góp ý, chỉ bảo chân tình của bạn bè đồng nghiệp cùng hội đồng khoa học ngành để tôi đúc rút thêm kinh nghiệm nhằm thực hiện công tác giảng dạy đạt hiệu quả cao hơn ./. 
 Xin chân thành cảm ơn!