Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

 A- PHẦN MỞ ĐẦU 
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI .
 Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều vào giải các bài tập. Phương pháp này cũng là một công cụ hữu ích cho học sinh trong quá trình luyện tập như: Rút gọn biểu thức, giải phương trình tích, chia đa thức không những vận dụng giải các bài toán ở chương trình lớp 8 mà còn vận dụng giải các bài tập của các lớp 9, 10 và về sau này.
 Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy môn Toán, qua một số năm giảng dạy tôi thấy học sinh sau khi học vẫn còn lúng túng khi phân tích đa thức thành nhân tử và thường mắc phải những sai sót khi làm bài tập . 
 Để giúp học sinh tự học tránh những sai sót và định hướng được một số cách giải khi gặp các dạng toán phải dùng đến việc phân tích đa thức thành nhân tử, do đó tôi chọn viết đề tài: “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” để dạy cho học sinh .
 Đề tài gồm 4 phần: Phần A là mở đầu, phần B là nội dung, phần C là kết quả, phần D là kết luận. Trong phần nội dung đề tài chủ yếu là chỉ ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, trong mỗi phương pháp đều có ví dụ cụ thể, bài tập tự luyện và có hướng dẫn giải bài tập tự luyện. Một số bài tập sử dụng Máy tính bỏ túi để phân tích đa thức thành nhân tử và một số ví dụ nhận định một số sai sót khi làm bài tập và hướng khắc phục cho học sinh.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
 1. Nhằm đào sâu nội dung phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh nắm được các phương pháp phân tích, rèn luyện nhiều kĩ năng giải Toán loại này và nhằm phát triển năng lực tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh.
 2. Giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản, có hệ thống về phân tích đa thức thành nhân tử
 3. Cho học sinh thấy được tầm quan trọng của phân tích đa thức thành nhân tử trong Toán học, rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận sáng tạo của người nghiên cứu khoa học.
III. ĐỐI TƯỢNG VÀ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.
1.Đối tượng nghiên cứu
 Học sinh hai lớp 8A, 8B trường PTDT Nội trú Than Uyên
2. Nội dung nghiên cứu
 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hay sử dụng trong chương trình Toán THCS, áp dụng máy tính Casio fx-570MS vào phân tích đa thức thành nhân tử.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, sách tham khảo, tài liệu có liên quan. 
 Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh.
 Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra. Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh. 
B- NỘI DUNG CHÍNH
PHẦN I: THỰC TRẠNG.
 Thực tế học sinh ở trường PTDT Nội trú Than Uyên tiếp thu bài còn chậm và vận dụng kiến thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế. Các em còn nhầm lẫn và chưa thành thạo sử dụng những phương pháp phân tích thành nhân tử, do thời lượng làm bài tập còn ít nên chưa giải được những dạng toán mở rộng, nâng cao. 
 Trong quá trình giải bài tập, đa số học sinh thường mắc các lỗi như :
Đặt nhân tử chung .
Chưa vận dụng thành thạo hằng đẳng thức đáng nhớ vào làm bài tập .
Sử dụng phương pháp nhóm chưa hợp lý.
Chưa biết cách tách hạng tử. 
Khi gặp đa thức bậc cao, hệ số lớn thì không tìm ra được cách giải.
 Nguyên nhân học sinh còn tồn tại các khuyết điểm trên là : 
+ Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gian để ôn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều . 
+ Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu, một số chỉ học máy móc, hiểu một cách đơn giản chứ chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn trong quá trình làm bài tập . 
PHẦN II: GIẢI PHÁP.
Ä Đề tài đưa ra các giải pháp mới như sau:
- Sắp xếp các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử theo các mức độ, từ dễ đến khó.
- Xây dựng các phương pháp phân tích cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử.
j Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản 
+ Phương pháp Đặt nhân tử chung
+ Phương pháp Dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử
k Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng 
 + Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)
 + Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
 + Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành.
l Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy 
 + Giới thiệu thêm các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao).
 +Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
 ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG
Trong một đa thức nếu các hạng tử có nhân tử giống nhau thì ta có thể đưa ra làm nhân tử chung theo công thức sau: A.B + A.C = A(B + C).
a/ Các ví dụ:
Ví dụ1 :
	Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x – 6y.
Giải :	 Ta có: 3x – 6y = 3 .x – 3 .2y 
 = 3 ( x – 2y) .
 Nhận xét : Ở đây nhân tử chung là 3 do đó ta có thể đưa ra ngoài làm nhân tử chung theo công thức A.B + A.C = A(B + C) như vậy khi dạy, cần chú ý học sinh xác định được nhân tử chung . 
Sau ví dụ 1 và nhận xét, giáo viên cho học sinh tiếp tục thực hiện ví dụ 2
Ví dụ2 :
	Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3(x – y) – 5x(y – x).
Giải :	
Ta có : 3(x – y) – 5x(y – x) = 3(x – y) + 5x (x – y)
 = (x – y)(3 + 5x) .
 Nhận xét : Ở ví dụ 2 đa thức cần phân tích có hai hạng tử là 3(x – y) và – 5x(y – x) nhìn qua ta chưa thấy nhân tử chung. Ta có thể đổi dấu – 5x(y – x) thành 5x (x – y) để xuất hiện nhân tử chung rồi đặt nhân tử chung . 
Khi dạy học sinh thông qua 2 ví dụ, giáo viên có thể đưa ra thêm ví dụ 3 để rèn luyện cho học sinh được thành thạo về các bước phân tích. 
Ví dụ3 :
 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y).
Giải :	Ta có : 
 5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y) = 5(x – 2y)2.x – 5(x – 2y).2y (Nhân tử chung ở đây là 5(x – 2y))
 = 5(x – 2y)[x (x – 2y) – 2y]
 = 5(x – 2y)( x2 – 2xy – 2y) .
* Nhận xét : 
	Đối với các ví dụ trên khi sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung giáo viên cần chú ý cho học sinh cách tìm nhân tử chung với đa thức có hệ số nguyên như sau :
 + Hệ số là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử .
	+ Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy thừa là số mũ nhỏ nhất của nó.
	+ Một số trường hợp sử dụng quy tắc đổi biến để làm xuất hiện nhân tử chung.
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
 a, 5x – 20y.
 b, x2 + xy – x.
 c, 10x(x – y ) – 8y (y – x ).
 d, 14x2 – 21xy2 + 28x2y2.
Bài 2: Tìm x biết x3 + x = 0.
Bài 3: Chứng minh rằng n2(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n .
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: 
 Các bước giải và kết quả như sau: 
Bài 1:
 a, 5x – 20y = 5(x – 4y ) .
 b, x2 + xy – x = x(x + y -1 ) .
 c, 10x(x – y ) – 8y (y – x ) = 2(x –y ).5x + 2(x – y ).4y
 = 2(x –y )(5x + 4y).
 d, 14x2 – 21x y2 + 28x2y2 = 7x.2x – 7x.3y2 + 7x.4xy2
 = 7x(2x – 3y2 + 4xy2).
Bài 2: 
Ta có : x3 + x = 0 x(x2 + 1 ) = 0
 x = 0 hoặc x2 + 1 = 0
 + TH1: x = 0 .
 + TH2: x2 + 1 = 0 (vô lý vì x2 0 vớix).
 Vậy x = 0 .
Bài 3: Ta có n2(n + 1) + 2n(n + 1) = n .n .(n + 1) + 2n(n +1)
 = n( n + 1)(n + 2).
Khi n Z thì n( n + 1)(n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên 2; 3 mà(2,3) =1 do đó n( n + 1)(n + 2) 6. 
 DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
Các hằng đẳng thức đáng nhớ : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
 A2 – B2 = (A + B) (A – B)2
 A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 
 A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = (A – B)3
 A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2)
 A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB + B2)
 Phương pháp này chủ yếu là vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích, như vậy học sinh phải học thuộc các hằng đẳng thức . 
a/ Các ví dụ:
Ví dụ1 :
	Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – 6xy + 9y2.
Giải :	
Ta có : x2 – 6xy + 9y2 = x2 – 2.x .3y + (3y)2 
 = ( x – 3y)2 .
Nhận xét: Ở đây ta đã viết các hạng tử thứ nhất và thứ ba của đa thức dưới dạng một lũy thừa để áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu .
Qua ví dụ này học sinh chú ý khi một đa thức có ba hạng tử, trong đó có hai hạng tử được viết dưới dạng một lũy thừa thì ta nghĩ đến hằng đẳng thức bình phương của một hiệu hoặc bình phương của một tổng. 
Ví dụ2 :
	Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – 7 .
 Giải :	
Ta có : x2 – 7 = x2 – ()2
 = (x – )(x + ).
Nhận xét: Để áp dụng được hằng đẳng thức thì hạng tử thứ hai của đa thức phải được viết dưới dạng một lũy thừa 7 = ()2.Khi đó hằng đẳng thức sử dụng là hiệu hai bình phương. 
Ví dụ3 :
	Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x – y)2 – (y – t)2.
Giải :	
Ta có : (x – y)2 – (y – t)2 = [(x – y ) + (y – t )][(x – y ) – (y – t )]
 = (x – y + y – t )(x – y – y + t)
 = (x – t )(x – 2y + t).
Nhận xét : Từ ví dụ trên ta chú ý khi áp dụng hằng đẳng thức A2 – B2 = (A + B)(A – B) nếu B là một đa thức thì khi viết A – B ta phải dùng thêm dấu ngoặc để không sai dấu. 
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
 a, x2 – 4y2.
 b, (3x – y)2 – (x + 2y)2 .
 c, 8x3 +12x2y + 6xy2 + y3.
Bài 2: Tính nhanh 
 a, 1052 – 25
 b, 452 + 402 – 152 + 80.45.
Bài 3: Rút gọn biểu thức 
 	 a, ( 3x – 1)2 + 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)2
 b, (6x + 1 )2 + (6x -1 )2 – 2(6x + 1 )( 6x - 1 )
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Một số bước giải và kết quả: 
Bài 1 : a, x2 – 4y2 = x2 – (2y)2 = (x + 2y)(x – 2y). 
 b, (3x – y)2 – (x + 2y)2 = [(3x – y ) + (x + 2y)][(3x – y ) – (x + 2y)]
 = (3x – y + x + 2y )(3x – y – x – 2y) 
 = (4x + y )(2x – 3y).
 c, 8x3 +12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3 (2x)2y + 3.2x.y2 + y3
 = (2x + y)3 .
Bài 2: 
 a, 1052 – 25 = 1052 – 52 = (105 ... 6)
 = (x2 + 2) (x + 4) (x – 4) .
 b. (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = [(x – 7) (x – 2)][ (x – 5) (x – 4) ] - 72 
 = (x2 – 9x + 14)( x2 – 9x + 20) - 72
Đặt x2 – 9x + 17 = y . Đa thức trở thành (y – 3)(y + 3) – 72 
Làm tương tự như câu a ta được kết quả như sau: 
 (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = (x2 – 9x + 26)( x2 – 9x + 8).
 = (x2 – 9x + 26)(x – 8) (x – 1).
Đặt a – b = x ; b – c = y; c – a = z suy ra x + y + z = 0 hay z = -(x + y). 
Từ đó đa thức có dạng :
x3 + y3 + z3 = x3 + y3 – (x + y)3 = (x + y)(x2 – xy + y2) – (x + y)(x2 + 2xy + y2)
 = (x + y)[(x2 – xy + y2) – (x2 + 2xy + y2)
 = (x + y)(x2 –xy + y2 – x2 – 2xy – y2 )
 = -3xy(x + y)
 = 3xyz.
Vậy B = 3(a – b)(b – c)(c – a).
Qua bài trên ta suy ra : Nếu có X + Y + Z = 0 ta luôn có X3 + Y3 + X3 = 3XYZ 
Bài 2 :
 	 Giải phương trình 
	 (6x + 7 )2(3x + 4) ( x + 1) = 6
 ĩ (6x + 7 )2(3x + 4) ( x + 1) . 12 = 6 .12
 ĩ (6x + 7 )2(6x + 8) ( 6x + 6) = 72
 Đặt 6x + 7 = y, phương trình trở thành y2(y + 1)( y – 1) = 72
 ĩ y4 – y2 – 72 = 0
 ĩ y4 – 9y2 + 8y – 72 = 0
 ĩ y2(y2 – 9) + 8(y2 – 9) = 0
 ĩ (y2 – 9)(y2 + 8) = 0 ĩ y = -3 hoặc y = 3 .
Với y = -3 x =.
Với y = 3 x =.
Vậy phương trình có nghiệm là và .
Bài 3 : Ta có :
 A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
 = [(x – 1)(x + 6)][( x + 2)(x + 3)]
 = (x2 + 5x – 6)( x2 + 5x + 6)
Đặt x2 + 5x = y khi đó A = y2 – 36 -36 
Amin = -36 x2 + 5x = 0 x = 0 , x = -5.
ÁP DỤNG THỰC HÀNH :
Sử dụng Máy tính bỏ túi Casio fx-570MS để phân tích đa thức thành nhân tử
Kiến thức cần nhớ:
 Định lý 1 (Định lý Bơdu) : (Nhà toán học Pháp Bezout 1730-1783)
Đa thức f(x) x – c f(c) = 0.
 Số c được gọi là nghiệm của đa thức f(x) khi đó f(x) phân tích được f(x) = (x – a ).g(x) 
 Trong đó g(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn 1 đơn vị so với bậc của đa thức f(x) .
Định lý 2 : Cho đa thức bậc n , f(x) = anxn + an-1xn-1 +.+ ao có n nghiệm là c1, c2, c3,cn thì f(x) được phân tích thành nhân tử là f(x) = an(x –c1)(x –c2).(x –cn) .
 (Vì lý do sư phạm nên ta công nhận không chứng minh hai định lý trên ) . 
Do máy tính Casio fx-570MS có chức năng giải phương trình, nên ta có thể dạy học sinh biết cách sử dụng máy đểø tìm nghiệm của phương trình, từ đó áp dụng vào phân tích đa thức thành nhân tử . 
 a/ Các ví dụ :
 Ví dụ1 : 
 Cho đa thức P(x) = 2x2 + 4x – 6.
a/ Tìm x để P(x) = 0.
b/ Em hãy phân tích P(x) thành nhân tử. 
Giải : 
a/ P(x) = 0 ĩ 2x2 + 4x – 6 = 0 .
 Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm nghiệm của P(x) bằng dãy phím sau:
MODE 3 (EQN) 1 (Degree) 2 máy cho kết quả x1 = 1, ấn tiếp máy cho kết quả x2 = -3.
Vậy khi x = 1 ; -3 thì P(x) = 0 .
b/ Ta nhận thấy P(x) có hai nghiệm là 1; -3 nên P(x) được phân tích thành nhân tử là :
 P(x) = 2(x – 1) (x + 3).
Ví dụ2 : 
 Cho đa thức f(x) = 5x3 – 10x2 – 25x + 30 .
a/ Tìm x để f(x) = 0.
b/ Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử .
Giải :
a/ Để f(x) = 0 thì 5x3 – 10x2 – 25x + 30 = 0 
Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm nghiệm của P(x) bằng dãy phím sau:
MODE 3 (EQN) 1 (Degree) 3 máy cho kết quả x1 = -2, ấn tiếp máy cho kết quả x2 =1, ấn tiếp máy cho kết quả x3 = 3.
Vậy khi x = -2; 1; 3 thì f(x) = 0.
b/ Theo câu a, f(x) có nghiệm là x = -2; 1; 3 nên f(x) được phân tích thành nhân tử như sau: f(x) = 5(x + 2)(x – 1)(x – 3).
Ví dụ3 : 
 Cho f(x) = x3 – 3x2 – 3x – 4
 a/ Tìm x để f(x) = 0.
 b/ Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử .
 Giải : 
 a/ f(x) = 0 ĩ x3 – 3x2 – 3x – 4 = 0.
Quy trình bấm phím giống như các ví dụ trên ta tìm được nghiệm là x = 4.
 b/ Theo câu a thì f(x) có nghiệm là 4. 
Dùng sơ đồ Hoocne hạ bậc để tìm đa thức thương ta có:
x
1
-3
-3
-4
4
1
1
1
0
 Vậy x3 – 3x2 – 3x – 4 = (x – 4)(x2+ x +1). 
Ví dụ4 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 f(x) = 10x5 – 81x4 + 90x3 – 102x2 + 80x - 21.
Giải : Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm nghiệm của f(x) bằng cách nhập f(x) vào máy bằng dãy phím sau:
 ấn tiếp sau 
đó ấn tiếp chờ một chút máy cho kết quả x = .
Dùng sơ đồ Hoocne hạ bậc để tìm đa thức thương , ta có:
x
 10 
 -81
 90
 -102	80	-21
 10
 -76
 52
 -76 42 0
Vậy f(x) = (x - )(10x4 – 76x3 + 52x2 - 76x + 42).
 g(x)
 Sau đó nhập đa thức g(x) = 10x4 –76x3 + 52x2 - 76x + 42 vào máy bằng dãy phím sau :
 máy 
hiện x = 7. Dùng sơ đồ Hoocne , ta có : 
x
10
–76
52
-76
42
7
10
-6
10
-6
0
 Vậy f(x) = (x - )(x – 7) (10x3 – 6x2 + 10x – 6 )
 = 2(x - )(x – 7)(5x3 – 3x2 + 5x - 3)
 = 2 (x - )(x – 7)[ x2( 5x – 3) + (5x - 3)]
 = (2x - )(x – 7)( 5x – 3)( x2 + 1).
Chú ý: 
 Trong quá trình đi tìm nghiệm trên máy đôi khi thứ tự nghiệm máy cho kết quả không giống nhau (thì ta cũng dùng sơ đồ Hoocne phân tích ứng với nghiệm mà máy đã tìm ra ) nhưng tập nghiệm của phương trình là như nhau .
b/ Bài tập tự luyện :
 Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x5 – 4x4 + 2x3 – x2 + 21x – 18
b. 4x4 + 12x3 + 5x2 – 6x – 15
Bài 2 : Cho đa thức g(x) = 
Chứng minh rằng g(x) 24 .
² MỘT SỐ SAI SÓT CỦA HỌC SINH VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC:
	Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy một thiểu số học sinh tiếp thu khá dễ dàng các nội dung trên, nhờ cụ thể hóa các phương pháp nên học sinh biết cách vận dụng vào giải bài tập. Tuy nhiên, cũng còn nhiều học sinh vẫn còn sai sót, làm bài thiếu chính xác và cần phải khắc phục, chẳng hạn như: chưa biết đặt nhân tử chung, khi nhóm các số hạng với nhau còn hay sai dấu 
Sau đây là ví dụ minh họa:
Bài giải của học sinh
Những sai sót
và cách khắc phục
Bài giải đúng
Bài toán 1: Phân tích đa thức 3x2 – 6x thành nhân tử
Học sinh 1 :
Ta có:
3x2 – 6x = 3(x2 – x)
Học sinh 2 :
Ta có: 
3x2 – 6x = x(3x – 6 )
Thiếu sót :
Cả hai học sinh đặt được nhân tử chung tuy nhiên vẫn còn thiếu.
Cụ thể :Ở học sinh thứ nhất thiếu nhân tử x
Ởû học sinh thứ hai thiếu nhân tử 3.
Khắc phục :
Nhắc laiï cách tìm nhân tử chung. 
Ta có: 3x2 – 6x = 3x(x - 2)
Bài toán 2: Phân tích đa thức x2 – y2 + 4x + 4 thành nhân tử
 Giải:
Học sinh 1 :
Ta có : 
x2 – y2 + 4x + 4 = (x2 – y2) + (4x + 4) = (x + y) (x – y )+ 4(x + 1).
Học sinh 2 :
Ta có : 
x2 – y2 + 4x + 4 = (x2 + 4x) + (4 – y2) = x (x + 4) + (2 – y) (2 + y) .
Bài toán 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a. x2 – 9y2
b. (x – y )2 – (2y – z)2
Giải:
Học sinh 1 :
Ta có : 
x2 – 9y2 = (x + 9y)( x – 9y).
Học sinh 2 :
Ta có : 
(x – y )2 – (2y – z)2 = (x – y + 2y – z)(x – y – 2y – z )
= (x + y – z)(x – 3y – z ).
Sai sót :
Cả 2 học sinh sử dụng cách nhóm không hợp lý, nên bước tiếp theo không thể đi phân tích được nữa.
Khắc phục :
Gv cần lưu ý cho hs nhóm các hạng tử thích hợp đó là :
+ Mỗi nhóm đều có thể phân tích được .
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích phải tiếp tục được .
Sai sót :
Học sinh 1, 2 có lời giải sai, 2 học sinh đã định hướng được hằng đẳng thức nhưng áp dụng chưa được .
Khắc phục:
* Chú ý 9y2 chưa được viết dưới dạng một lũy thừa, 9y2 (9y)2 .
* Khi hạng tử B trong hằng đẳng thức là một đa thức thì khi viết 
A – B ta phải dùng thêm dấu 
ngoặc.
 Ta có : x2 – y2 + 4x + 4 =
(x2 + 4x + 4) – y2	 
= (x – 2)2 – y 2
= (x – 2 + y)(x – 2 – y ).
Ta có : x2 – 9y2 = x2 – (3y)2
= (x + 3y )(x – 3y ).
Ta có : 
(x – y )2– (2y – z)2= [(x – y) +( 2y – z)][(x – y) – (2y –z)] = (x – y + 2y – z)(x – y – 2y + z ) 
=(x + y – z )(x - y + z).
 * Trong quá trình giảng dạy, sẽ xuất hiện những trường hợp học sinh mắc phải sai lầm, tuỳ theo đối tượng mà giáo viên chấn chỉnh, uốn nắn hoặc có những biện pháp, phương pháp phù hợp với mục đích các em học sinh hiểu bài và biết cách vận dụng giải bài tập.
C- KẾT QUẢ VẬN DỤNG VÀO GIẢNG DẠY
² Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (trên đây chỉ là một trong những phương pháp mà học sinh hay sử dụng )là một trong những chủ đề toán rất hay, khi nghiên cứu sâu thấy rất là thú vị, nó áp dụng được trong giải toán phương trình, vận dụng tìm giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhỏ nhất của các biểu thức đại số, tuy nhiên việc sử dụng Máy tính bỏ túi Casio f(x)-570MS để phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng tìm nghiệm của phương trình cũng là nội dung có nhiều điểm mới, cuốn hút đối với học sinh trung học cơ sở . 
² Trước khi đề tài đưa vào áp dụng kết quả khảo sát cho biết mức độ nhận thức cũng như khả năng vận dụng của học sinh rất thấp, kết quả được tổng hợp ở bảng sau: 
Năm học
 Chất lượng trước khi thực hiện đề tài 
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
 09- 10
3
5%
6
10%
15
25%
20
33,3%
16
26, %7
² Qua giảng dạy một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh nắm tương đối vững và vận dụng được các cách giải góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy của giáo viên và rèn học sinh khả năng tư duy toán, độ linh hoạt, sáng tạo và kỹ năng thực hành của học sinh. 
² Sau khi đề tài này đưa vào áp dụng dạy các tiết luyện tập, ôn tập chương, ôn tập cuối kỳ và ôn luyện học sinh giỏi vòng trường kết quả học sinh đạt được như sau:
Năm học
 Chất lượng sau khi thực hiện đề tài 
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
 09- 10
9
15%
17
28,3%
22
36,7%
7
11,7%
5
8,3%
D- KẾT LUẬN CHUNG
² Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên đề tài cũng không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế, rất mong Hội đồng khoa học góp ý xây dựng để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn. 
 Than Uyên, ngày 10 tháng 01 năm 2010
 GIÁO VIÊN THỰC HIỆN
 KiỊu ViƯt TuÊn
NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI
CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG
Tài liệu tham khảo
Sách giáo khoa và sách bài tập toán 8 (Nhà xuất bản GD).
Nâng cao và phát triển toán 8 (Tập 1, 2). 
Tác giả: Vũ Hữu Bình NXBGD.
 3. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8. 
 Tác giả: Vũ Hữu Bình NXB Hà Nội