Sáng kiến kinh nghiệm - Một số kinh nghiệm nhỏ về tìm chữ số tận cùng và ứng dụng vào các bài toán chứng minh chia hết - Đặng Thúc Bình

 Phòng giáo dục và dào tạo Nghĩa Đàn 
	 Trường THCS Nghĩa Lâm 
 Sáng kiến kinh nghiệm 
Tên sáng kiến : Một số kinh nghiệm nhỏ về tìm chử số tận cùng và ứng dụng vào các bài toán chứng minh chia hết 
Người viết : Đặng Thúc Bình 
 Đơn vị : Trường THCS Nhĩa Lâm 
Một số kinh nghiệm nhỏ về tìm chử số tận cùng và ứng dụng vào các bài toán chứng minh chia hết của các lớp 6,7 
I. phần mở đầu : Tìm chử số tận cùng của một luỷ thừa 
	đây là những bài toán tương đối phức tạp của học sinh các lớp 6,7 nhưng lại là những bài toán hết sức lí thú , nó tạo cho học sinh lòng say mê khám phá từ đó các em ngày càng yeu môn toán hơn . có những bài có số mủ rất lớn tưởng như là mình không thể giãi được . Nhưng nhờ phát hiện và nắm bắt được qui luật , vận dungj qui luật đó các em tự giãi được và tự nhiên thấy mình làm được một việc vô cùng lớn lao . từ đó gieo vào trí tuệ các em khả năng khám phá , khả năng tự nghiên cứu 
 Tuy là khó nhưng chúng ta hướng dẩn các em một cách từ từ có hệ thống ,lô rích và chặt chẻ thì các em vẩn tiếp fhu tốt . đây là một kinh nghiệm nhỏ mà tôi muốn trình bày và trao đổi cùng các bạn 
II. Nội dung cụ thể : 
Lí thuyết về tìm chử số tận cùng : phần này rất quan trọng , cần lí giải cho học sinh một cách kỉ lưởng ,đầy đủ 
 n = một số có tận cùng là 0 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 0
 n = một số có tận cùng là 1 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 1
 n = một số có tận cùng là 5 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 5 
 n = một số có tận cùng là 6 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 6
 *a = với a chẳn : một số có tận cùng là 5 khi nhân với mmột số chắn sẻ có chử số tận cùng là 0 
 *a = với a lẻ : một số có tận cùng là 5 khi nhân với một số lẻ sẻ có tận cùng là 5 
 Qua các công thức trên ta có quy tắc sau : Một số tưn nhiên có chử số tận cùng là : (0,1,5,6) khi nâng lên luỷ thừa với số mủ tự nhiên thì có chử số tự nhiên không thay đổi 
 Kết luận trên là chìa khoá để giả các bài toán về tìm chử số tận cùng của một luỷ thừa 	 
Các bài toán cơ bản .
Bài toán 1 : Tìm chử số tận cùng của các luỷ thừa sau 
 a) 2100 ; b) 3100 ; c) 4100 d) 5100 ; e) 6100 ; f) 7100 g) 8100 ; 9100
Ta nhận thấy các luỷ thừa 5100 , 6100 thuộc về dạng cơ bản đả trình bày ở trên 
nay còn lại các luỷ thừa mà cơ số là 2, 3 , 4 , 7 , 8 , 9 
 Muốn giãi các bài toán này thì ta phai đưa chúng về một trong 4 dạng cơ bản trên . thực chất chỉ có đưa về hai dạng cơ bản đó là : n = , n = 
 giải bài toán 1 
a) 2100 = 24*25 = (4)25 = (16)25 = 
b) 3100 = 34*25 = (4)25 = (81)25 = 
c) 4100 = 44*50 =(2)50 = (16)50 = 
d) 7100 = 74*25 =(4)25 = 240125 =
e) 8100 = 84*25 = (4)25 = 409625 = 
f) 9100 = 92*50 = (2)50 = 8150 = 
 Bài toán 2 : tìm chử số tận cùng của các số sau : 
 a) 2101 ; b) 3101 ; c) 41o1 , d) 7101 ; e) 8101 ; f) 9101
	Giải bài toán 2
_ nhận xét đầu tiên .
số mủ ( 101 không chia hết cho 2 và 4 ) 
_ Ta viết 101 = 4.25 +1 
 101 = 2 .50 +1 
_ áp dụng công thức am+n = am.an
ta có : a) 2101 = 24.25+1 = 2100 . 2 = .2 = 
b) 3101 = 3100+1 = 3100 . 3 = .3 = 
 c) 41o1 = 4100 +1 = 4100 . 4 = . 4 = 
 d) 7101 = 7100+1 = 7100 . 7 = .7 = 
 e) 8101 = 8100+1 = 8100 . 8 = .8 = 
 f) 9101 = 9100 +1 = 9100 . 9 = . 9 = 
3. Một số bài toán phức tạp hơn
 Bài toán 3: Tìm chử số tận cùng của các luỷ thừa sau :
a) 12921997 ; b) 33331997 ; c) 12341997 ; d) 12371997 ; e) 12381997 ; 
	f) 25691997 
 Bài giải 
Nhận xét quan trọng : Thực chất chử số tận cùng của luỷ thừa bậc n của mộtsố tự nhiên chỉ phụ thuộc vào chử số tận cùng của số tự nhiên đó mà thôi (cơ số) . Như vậy bài toá 3 thực chất là bài toán 2 
 a) 12921997 = 12924. 499 +1= (12924)499 .1292 = 
 b) 33331997 = 33334. 499 +1 =(33334)499 +1 . 3333 = 499 .3333 =
 c) 12341997 = 12344 .499 +1 = (12344)499 . 1234 = ()499 . 1234 =
 d) 12371997 = 12374 .499 +1 = (12374) 499. 1237 = 499 .1237 =
4. vận dụng vào các bài toán chứng minh chia hết áp dụng dấu hiệu chia hết 
Ta dể dàng nhận thấy : Nếu hai số có chử số tận cùng giống nhau thì khi thực hiện phép trừ sẻ có chử số tận cùng là 0 ta sẻ có các bài toán chứng minh chia hết cho { 2,5,10 } . Nếu một số có tận cùng là 1 và một số có tận cùng là 3 chẳng hạn ta sẻ có bài toán chứng minh tổng hai số đó chia hết cho 2 (vì chử số tận cùng của tổng là 4)
Các bài toán cụ thể : Hảy chứng minh 
12921997 + 33331997 5 
 Theo bài toán trên ta có 
 	12921997 = 
	 33331997 = 
như vậy tổng của hai số này sẻ có tận cùng là 5 12921997 + 33331997 5 
Chứng minh 16281997 + 12921997 10 
Ap dụng qui tắc tìm chử số tận cùng ta có 
	16281997 sẻ có tận cùng là 
	12921997 Sẻ Có tận cùng là 
 	Như vậy 16281997 + 12921997 10 (vì chử số tận cùng của tổng này sẻ là 0)
 Ta củng có thể vận dung hiệu của hai số hoặc tích của hai số để ra các bài toán chứng minh tương tự 
III. Kết luận : Trên đây tôi đã trình bày phần cơ bản của vấn đề tìm chử số tận cùng của một luỷ thừa và những ứng dụng của nó trong bài toán chứng minh chia hết trong tập hợp số tự nhiên 
Trong những năm học qua tôi đã trực tiếp hướng dẩn cho một số học sinh các em tỏ ra rất thích thú và xem đó như là những khám phá mới của chính các em với cách đặt vấn đề như trên các em đã tự ra đề được và có nhiều bài rất hay ...
 Cách đặt vấn đề cung như trình bày nội chắc sẻ không tránh khỏi phần sai sót mong các đồng nghiệp góp ý chân thành 
	Nghĩa Lâm ngày 15/02/2009
 Bìnhdangthuc@yahoo.com