Phép chia hết

Tác giả : Nguyễn Hữu ðiển  tư liệu Phú Khánh 
Phép chia hết 
1.1 ðồng dư theo mô ñun 
Bài toán 1. Chứng minh rằng a ≡ b (mod m) khi và chỉ khi a – b chia hết m. 
Bài toán 2. Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m), thì a + c ≡ b + d (mod m). 
Bài toán 3. Nếu a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), thì a – c ≡ b – d (mod m). 
Bài toán 4. Nếu a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), thì ac ≡ bd (mod m). 
Bài toán 5. Nếu a ≡ b (mod m), n – số tự nhiên, thì an ≡ bn (mod m). 
Bài toán 6. Chứng minh rằng n² + 1 không chia hết cho 3 với bất cứ một số nguyên n nào. 
Bài toán 7. Hãy tìm số dư của phép chia 6¹ºº cho 7. 
Bài toán 8. Chứng minh rằng 3099 + 61¹ºº chia hết cho 31. 
Bài toán 9. Chứng minh rằng 
а) 43¹º¹ + 23¹º¹ chia hết cho 66. 
б) an + bn chia hết cho a + b, nếu n – số lẻ. 
Bài toán 10. Chứng minh rằng 1n + 2n +  + (n – 1)n chia hết cho n với n là số chẵn. 
Bài toán 11. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các số tự nhiên, không biểu diễn thành tổng của ba 
số lập phương. 
Bài toán 12. Chứng minh rằng mọi số có dạng 103n + 1 không thể biểu dưới dạng tổng của hai số 
tự nhiên lập phương. 
Bài toán 13. Chứng minh rằng trong 51 số nguyên tìm ñược hai số, bình phương của chúng cho 
cùng một số dư khi chia chúng cho 100. 
Bài toán 14. Ta gọi số tự nhiên n là thuận tiện, nếu n² + 1 chia hết cho 1000001. Chứng minh 
rằng giữa các số 1, 2, , 1000000 có số chẵn số thuận tiện. 
Bài toán 15. а) Có thể bình phương một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 2? 
б) Có thể chỉ dùng các chữ số 2, 3, 7, 8 (có thể dùng một số lần cho một chữ số), ñể tạo ra một 
số tự nhiên chính phương? 
Bài toán 16. Một số nào có thể cộng vào số (n² – 1)¹ººº • (n² + 1)¹ºº¹, ñể kết quả chia hết cho n? 
Bài toán 17. Hãy tìm số dư của phép chia số 10¹º + 10¹ºº + 10¹ººº +  + 10¹ºººººººººº cho 7. 
Bài toán 18. Tồn tại bao nhiêu số tự nhiên n, nhỏ hơn 10000, mà với chúng 2n – n² chia hết cho 
7? 
Tác giả : Nguyễn Hữu ðiển  tư liệu Phú Khánh 
Bài toán 19. Ta kí hiệu k là tích của một vài số nguyên tố ñầu tiên (lớn hơn một). Chứng minh 
rằng số а) k – 1; б) k + 1 không phải là số chính phương. 
Bài toán 20. Có tồn tại không một số tự nhiên n, sao cho n² + n + 1 chia hết cho 1955? 
Bài toán 21. Chứng minh rằng 11n + 2 + 122n + 1 chia hết cho 133 với số tự nhiên bất kì n. 
Bài toán 22. Cho n – số tự nhiên sao cho n + 1 chia hết cho 24. Chứng minh rằng tổng của tất cả 
ước số tự nhiên của n chia hết cho 24. 
Bài toán 23. Dãy số a1, a2, a3,  những số tự nhiên sao cho an + 2 = an + 1an + 1 với mọi n. 
а) a1 = a2 = 1. Chứng minh rằng không có một số hạng nào không chia hết cho 4. 
б) Chứng minh rằng an – 22 là hợp số với mọi n > 10. 
1. 2. Ghi hệ số thập phân và những dấu hiệu chia hết 
Bài toán 24. Chứng minh rằng số tự nhiên bất kì lấy ñồng dư với chữ số cuối cùng của nó theo 
mô ñun а) 10; б) 2; в) 5. 
Bài toán 25. Chứng minh rằng a1a2a3 ... an-1an = an-1an (mod 4). 
Bài toán 26. Hãy phát biểu và chứng minh tiêu chuẩn chia hết của một số cho 2n và 5n. 
Bài toán 27. Chữ số cuối cùng của bình phương một số tự nhiên là 6. Chứng minh rằng chữ số 
trước chữ số cuối cùng là một số lẻ. 
Bài toán 28. Chữ số trước chữ số cuối cùng của một số tự nhiên bình phương là số lẻ. Chứng 
minh rằng chữ số cuối cùng của nó là 6. 
Bài toán 29. Chứng minh rằng lũy thừa của 2 không thể có bốn chữ số cuối cùng có cùng một 
chữ số giồng nhau. 
Bài toán 30. Hãy tìm một số có 100 chữ số không có số không mà nó chia hết cho tổng các chữ 
số của nó. 
Bài toán 31. Chứng minh rằng số tự nhiên bất kì ñều ñồng dư với tổng các chữ số của nó theo 
mô ñun а) 3; б) 9. 
Bài toán 32. Có thể viết một số chính phương bằng cách dùng 10 lần các chữa số а) 2, 3, 6; б) 
1, 2, 3 ? 
Bài toán 33. Trong cơ số 10 của số 2¹ºº tính tổng các chữ số, kết quả tìm ñược lại tính tổng các 
chữ số của nó và vân vân. Cuối cùng ta nhận ñược một số có một chữ số. Hãy tìm số này. 
Bài toán 34. Chứng minh rằng nếu viết ngược thứ tự của các chữ số của một số tự nhiên bất kì, 
thì hiệu của số ban ñầu và số vừa tạo ra sẽ chia hết cho 9. 
Bài toán 35. Viết thêm vào số 15 ở phía bên phải và phía bên trái một chữ số sao cho số nhận 
ñược chia hết cho 15. 
Tác giả : Nguyễn Hữu ðiển  tư liệu Phú Khánh 
Bài toán 36. Có bao nhiêu chữ số có bốn chữ số mà chúng chia hết cho 45, mà hai chữ số ở giữa 
nó là số 97? 
Bài toán 37. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà nó chia hết cho 36, trong các viết của nó bắt gặp tất 
cả mười chữ số. 
Bài toán 38. Chứng minh rằng tích của chữ số cuối cungùng của số 2n và tổng tất cả các chữ số 
của số này trừ số cuối cùng, chia hết cho 3. 
Bài toán 39. Có thể có tổng các chữ số của một số chính phương bằng 1970 không? 
Bài toán 40. Từ các số có ba chữ số tính tổng các chữ số của nó. Từ số nhận ñược chia hết cho 
chính nó và hơn nữa chia hết 100 lần. Chứng minh rằng trong kết quả nhận ñược bằng. 
Bài toán 41. Cho A là tổng của các chữ số số 44444444, còn B là tổng các chữ số của số A. Hãy 
tìm tổng các chữ số của số B. 
Bài toán 42. Chứng minh rằng 
a1a2...an ≡ an – an + ... + (–1)
n-1 a1 (mod 11) 
Bài toán 43. Chứng minh rằng число 111  11 (2n số 1) là hợp số. 
Bài toán 44. Chứng minh rằng số a1a2 ... anan ...a2a1 là hợp số. 
Bài toán 45. Cho a, b, c, d – các chữ số khác nhau. Chứng minh rằng cdcdcdcd không chia hết 
cho aabb. 
Bài toán 46. A là một số có sáu chữ số, trong cách viết của nó bắt gặp mỗi chữ số sau một lần 1, 
2, 3, 4, 5, 6. Chứng minh rằng A không chia hết cho 11. 
Bài toán 47. Chứng minh rằng hiệu một số có số lượng các chữ số chẵn và một số bằng cách 
viết ngược lại thứ tự chữ số trong số này, chia hết cho 99. 
Bài toán 48. Có thể tạo từ những chữ số 2, 3, 4, 9 (mỗi số có thể viết lặp lại một số lần) thành 
hai số, một số trong chúng bằng 19 lần số còn lại? 
Bài toán 49. Tổng hai chữ số a và b chia hết cho 7. Chứng minh rằng số aba cũng chia hết cho 
7. 
Bài toán 50. Tổng các chữ số của một số có ba chữ số bằng 7. Chứng minh rằng số này chia hết 
cho 7 khi và chỉ khi hai chữ số cuối cùng của nó bằng nhau. 
Bài toán 51. а) Cho số có 6 chữ số abcdef , hơn nữa def - abc chia hết cho 7. Chứng minh rằng 
cả chính số ñó chia hết cho 7. 
б) Hãy phát biểu và chứng minh rằng tiêu chuẩn chia hết cho 7. 
в) Hãy phát biểu và chứng minh rằng tiêu chuẩn chia hết cho 13. 
Tác giả : Nguyễn Hữu ðiển  tư liệu Phú Khánh 
Bài toán 52. а) Cho số có 6 chữ số abcdef, hơn nữa abc+def chia hết cho 37. Chứng minh rằng 
cả chính số ñó chia hết cho 37. 
б) Hãy phát biểu và chứng minh tiêu chuẩn chia hết cho 37. 
Bài toán 53. Có tồn tại không một số có ba chữ số abc sao cho abc - cba là bình phương của 
một số tự nhiên? 
Bài toán 54. Tìm số nhỏ nhất mà viết chỉ bằng số 1 lại chia hết cho 333  33 (trong cách viết 
100 bộ ba). 
Bài toán 55. Có thể có tổng một vài số tự nhiên ñầu tiên có các chữ số kết thúc là 1989? 
Bài toán 56. Tìm tất cả những số tự nhiên mà chúng tăng lên 9 lần, nếu giữa chữ số hàng ñơn vị 
và chữ số hàng chục cho vào ñó số 0. 
Bài toán 57. Giữa nhữg chữ số có hai chữ số là bội của của 3, ñặt vào số 0, và thêm vào số có 
ba chữ số vừa nhận ñược hai lần chữ số phần trăm. Ta nhận ñược một số 9 lần lớn hơn số ban 
ñầu. Tìm số ban ñầu. 
Bài toán 58. Tìm số có 4 chữ số, mà nó là một số chính phương, hai chữ số ñầu tiên của nó bằng 
nhau và hai chữ số cuối cùng cũng giống nhau. 
Bài toán 59. Hãy tìm tất cả các số có ba chữ số, lũy thừa của mọi số tự nhiên của nó có kết thúc 
ba chữ số tạo bởi số ban ñầu. 
Bài toán 60. Thêm vào từ phía phải một số chữ số 3. Chứng minh rằng mọi trường hợp ñều 
nhận ñược một số phức hợp. 
Bài toán 61. Chứng minh rằng все числа ряда 10001,100010001,1000100010001,  là hợp 
số. 
1.3. Phương trình số nguyên và các bài toán khác 
Bài toán 62. Giải phương trình 3x + 5y = 7 trong các số nguyên. 
Bài toán 63. Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình 3x – 12y = 7. 
Bài toán 64. Giải phương trình 1990x – 173y = 11. 
Bài toán 65. Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình 21x + 48y = 6. 
Bài toán 66. Giải phương trình 2x + 3y + 5z = 11 trong tập số nguyên. 
Bài toán 67. Một con kiến ñứng tại một ô trên một bàn cờ vô hạn ô vuông trên một tờ giấy. Nó 
có thể chuyển ñến ñược m ô về phía phải hoặc ñến n ô bên trái. Với số m và n nào nó có thể 
di chuyển ñến ô bên phải bên cạnh? Số bước ñi nhỏ nhất nào nó có thể làm ñược? 
Bài toán 68. (2x + y)(5x + 3y) = 7. 
Tác giả : Nguyễn Hữu ðiển  tư liệu Phú Khánh 
Bài toán 69. xy = x + y + 3. 
Bài toán 70. x² = 14 + y². 
Bài toán 71. x² + y² = x + y + 2. 
Bài toán 72. x² + y² = 4z – 1. 
Bài toán 73. x² – 7y = 10. 
Bài toán 74. x³ + 21y² + 5 = 0. 
Bài toán 75. 15x² – 7y² = 9. 
Bài toán 76. x² + y² + z² = 8t – 1. 
Bài toán 77. 3m + 7 = 2n. 
Bài toán 78. 3 • 2m + 1 = n². 
Bài toán 79. 1/a + 1/b + 1/c = 1. 
Bài toán 80. x² – y² = 1988. 
Bài toán 81. Chứng minh rằng phương trình 1/x – 1/y = 1/n có một nghiệm duy nhất trong tập 
số tự nhiên khi và chỉ khi n là số nguyên tố. 
Bài toán 82. Giải phương trình trong tập số nguyên. x³ + 3 = 4y(y + 1). 
Bài toán 83. Giải phương trình trong tập số nguyên. x² + y² = z². 
Bài toán 84. Giải phương trình trong tập số nguyên. x² – 5y² = 1. 
1.4. ðịnh lí Fermat nhỏ 
Bài toán 85. Cho ka ≡ kb (mod m), k và m – nguyên tố cùng nhau. Khi ñó a ≡ b (mod m). 
Bài toán 86. Cho ka ≡ kb (mod kn). Khi ñó a ≡ b (mod n). 
Bài toán 87. Tìm số dư của phép chia 2¹ºº cho 101. 
Bài toán 88. Tìm số dư của phép chia 3¹º² cho 101. 
Bài toán 89. Chứng minh rằng 300³ººº – 1 chia hết cho 1001. 
Bài toán 90. Tìm số dư của phép chia 8900 cho 29. 
Bài toán 91. Chứng minh rằng 7¹²º – 1 chia hết cho 143. 
Bài toán 92. Chứng minh rằng số 30239 + 239³º là hợp số. 
Tác giả : Nguyễn Hữu ðiển  tư liệu Phú Khánh 
Bài toán 93. Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng (a + b)p = ap + bp (mod p) với mọi số 
nguyên a và b. 
Bài toán 94. Tổng của ba số a, b và c chia hết cho 30. Chứng minh rằng a5 + b5 + c5 cũng chia 
hết cho 30. 
Bài toán 95. Cho p và q là những số nguyên tố khác nhau. Chứng minh rằng 
а) pq + qp = p + q (mod pq). 
б) [(pq+qp)/pq] là một số chẵn, nếu p, q ≠ 2. 
Bài toán 96. Cho p là số nguyên tố, và a không chia hết cho p. Chứng minh rằng tìm ñược số tự 
nhiên b, sao cho ab ≡ 1 (mod p). 
Bài toán 97. (ðịnh lí Wilson). Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng (p – 1)! ≡ – 1 (mod p). 
Bài toán 98. Cho n – số tự nhiên, không phải bội của 17. Chứng minh rằng hoặc n8 + 1, hoặc 
n8 – 1 chia hết cho 17. 
Bài toán 99. а) Cho p – số nguyên tố, khác 3. Chứng minh rằng số 111  11 (p số 1) không 
chia hết cho p. 
б) Cho p > 5 – số nguyên tố. Chứng minh rằng số 111  11 (p – 1 số 1) chia hết cho p. 
Bài toán 100. Chứng minh rằng với số nguyên tố bất kì p, hiệu số 
111  11222  22333  33  888  88999  99 – 123456789 (trong số thứ nhất những số 
khác không ñược lặp lại p lần) chia hết cho p.