Một số phương pháp cơ bản giải toán cực trị Đại số Lớp 9 - Nguyễn Xuân Lập

Một
I. Lý do chọn đề tài:
Nhiều năm gần đây trong các kỳ thi chọn lọc học sinh giỏi các cấp bậc THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT thường có các bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất (GTLN); giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức nào đó. Các bài toán này là một phần của các bài toán cực trị đại số.
Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng, nó tương đối mới và khó đối với học sinh THCS. Để giải các bài toán cực trị học sinh phải biết đổi tương đương các biểu thức đại số, phải sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp... phải tổng hợp các kiến thức và kỹ năng tính toán, tư duy sáng tạo.
Vậy làm thế nào để học sinh có thể định hướng được hướng đi, hay hơn thế là hình thành được một công thức "ẩn tàng" nào đó mỗi khi gặp một bài toán cực trị đại số.
Là người trực tiếp giảng dạy toán trong trường THCS, trong quá trình giảng dạy, đặc biệt là dạy học sinh giỏi, tôi luôn luôn trăm trở, tìm tòi, chọn lọc những phương pháp hợp lý nhất để để dẫn dắt, hình thành cho học sinh một cách suy nghĩ mới làm quen với dạng toán này để dần dần các em có được một số phương pháp giải cơ bản nhất. Trong khuôn khổ nhỏ hẹp này tôi xin nêu ra "Một số phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS".
II. mục đích và nhiệm vụ của đề tài.
Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài một số phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS giúp giáo viên vận dụng một cách tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. từ đó có phương pháp dạy học phần này cho học sinh có hiệu quả giúp học sinh nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt kiến thức toán học đặc biệt là kiến thức về "Một số phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS”.
Nghiên cứu đề tài để lắm được những thuận lợi và khó khăn khi dạy học phần giải bài toán tìm cực trị từ đó xác định hướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán.
Nghiên cứu đề tài giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thành công dạy toán tìm cưc trị của đồ thức.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Đề tài đưa ra một hệ thống các phương pháp thường dùng để giải bài toán cực trị và một số bài toán áp dụng đối với từng phương pháp.
Trang bị cho học sinh lớp 9 hệ thống kiến thức để giả bài toán cực trị, tránh được những nhầm lẫn thường gặp khi giải dạng bài toán này.
Thông qua đề tài, học sinh có thể nắm được một số phương pháp và có thể vận dụng vào giải bài tập, rèn kĩ năng giải bài toán cực trị, đồng thời giúp học sinh thấy được cái hay, cái đẹp, sức hấp dẫn của toán học, kích thích sự tò mò khám phá, tìm hiểu bài toán .
III. đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán tìm cực trị trong chương trình toán THCS
Nghiên cứu các tài liệu có liên quan .
Giáo viên dạy toán THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối 8, 9
IV. Phương pháp nghiên cứu.
1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
Đọc các tài liệu có liên quan
Tạp chí toán tuỏi thơ 2
Phương pháp dạy học môn toán
Sách giáo khoa
Sách giáo viên
Sách tham khảo
 Phương pháp điều tra
Điều tra nắm tình hình dạy của các giáo viên trong và ngoài nhà trường.
Điều tra mức độ tiếp thu và vận dụng "Một số phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS” của học sinh.
Chất lượng của học sinh trước và sau khi thực hiện
3. Phương pháp phân tích
Phân tích yêu cầu, kĩ năng giải môt bài tập
4. Phương pháp thực nghiệm
5. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
Rút ra những bài học cho bản thân và đồng nghiệp đẻ dạy tốt hơn trong quá trình dạy học.
phần ii: nội dung
I . Các kiến thức cần thiết
1. Các định nghĩa
1.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y,...) xác định trên miền D :
M. được gọi là GTLN của f(x,y,...) trên miền |D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn :
1. f(x,y,...) Ê M 	"(x,y,..) ẻ |D
2. $ (x0, y0,...) ẻ |D sao cho f(x0, y0...) = M.
Ký hiệu : M = Max f(x,y,..) = fmax với (x,y,...) ẻ |D
1.2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y,...) xác định trên miền |D :
M. được gọi là GTNN của f(x,y,...) trên miền |D đến 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn :
1. f(x,y,...) ³ M 	"(x,y,..) ẻ |D
2. $ (x0, y0,...) ẻ |D sao cho f(x0, y0...) = M.
Ký hiệu : M = Min f(x,y,..) = fmin với (x,y,...) ẻ |D
2. Các kiến thức thường dùng
2.1. Luỹ thừa :
a) x2 ³ 0 "x ẻ |R ị x2k ³ 0 "x ẻ |R, k ẻ z ị - x2k Ê 0
Tổng quát : [f (x)]2k ³ 0 "x ẻ |R, k ẻ z ị - [f (x)]2k Ê 0
Từ đó suy ra : 	[f (x)]2k + m ³ m 	"x ẻ |R, k ẻ z
M - [f (x)]2k Ê M 
b) ³ 0 	"x ³ 0 	ị ()2k ³ 0 	"x³0	; k ẻz
Tổng quát : ()2k ³ 0	" A ³0	(A là 1 biểu thức)
2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối :
a) |x| ³ 0	" xẻ|R
b) |x+y| Ê |x| + |y| 	; nếu "=" xảy ra Û x.y ³ 0
c) |x-y| ³ |x| - |y|	; nếu "=" xảy ra Û x.y ³ 0 và |x| ³ |y|
2.3. Bất đẳng thức côsi :
 "ai ³ 0 	; i = : "nẻN, n ³2.
dấu "=" xảy ra Û a1 = a2 = ... = an
2.4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
Với n cặp số bất kỳ a1,a2,...,an ; b1, b2, ...,bn ta có :
(a1b1+ a2b2 +...+anbn)2 Ê (
Dấu "=" xảy ra Û = Const (i = )
Nếu bi = 0 xem như ai = 0
2.5. Bất đẳng thức Bernonlly : 
Với a ³ 0 	:	(1+a)n ³ 1+na	"n ẻN.
Dấu "=" xảy ra Û a = 0.
Một số Bất đẳng thức đơn giản thường gặp được suy ra từ bất đẳng thức (A+B)2 ³ 0.
a2 + b2 ³ 2ab
(a + b)2 ³ 4ab
2( a2 + b2 ) ³ (a + b)2
e. 
II. Một số phương pháp cơ bản 
giải bài toán cực trị đại số 
 Phương pháp 01 
( Sử dụng phép biến đổi đồng nhất )
Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dương) và những hằng số . Từ đó :
1.Để tìm Max f(x,y,...) trên miền |D ta chỉ ra :
	sao cho f(x0,y0,...) = M 
2. Để tìm Min f(x,y,...) trên miền |D ta chỉ ra :
	sao cho f(x0,y0,...) = m 
I. Các vi dụ minh hoạ :
1. Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A1 = x2 + 4x + 7
Giải :
Ta có : A1 = x2 + 4x + 7 = x2 + 4x + 4x + 3 = (x + 2)2 + 3 ³ 3 vì (x + 2)2 ³0.
ị A1 min = 3 Û x + 2 = 0 Û x = -2
Vậy A1 min = 3 Û x = -2
2. Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của A2 = -x2 + 6x - 15
Giải :
Ta có : A2 = -x2 + 6x - 15 = - (x2- 6x + 9) - 6
A2 = - (x - 3)2 - 6 Ê - 6 	do -(x - 3)2 Ê 0 	"x ẻ|R
ị A2 max = - 6 Û x - 3 = 0 Û x = 3
Vậy A2 max = - 6 Û x = 3
3. Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002
Giải :
Ta có :	A3	= (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002
	= (x-1) (x-8) (x-4) (x-5) + 2002
	= (x2-9x + 8) (x2 - 9x + 20) + 2002
	= {(x2-9x + 14) - 6}.{(x2-9x + 14) + 6} + 2002
	= (x2-9x + 14)2 - 36 + 2002
	= (x2-9x + 14)2 + 1966 ³ 1966 vì (x2-9x + 14)2 ³0 "x
ị A3 min = 1966 Û x2-9x + 14 = 0 	Û 
Vậy A3 min = 1966 Û 
4. Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A4 = 
Giải :
Ta có: A4 = 
 = - vì - 
ị A4 Max = 3 Û Û x = -2
Vậy : A4 Max = 3 Û x = -2
5. Ví dụ 5 : Tìm giá trị lớn nhất của A5 = với x,y>0
Giải :
Ta có:A5== 
A5 = = ³0	"x,y > 0
ị A5 min = 0 Û Û x = y
Vậy : A5 min = 0 Û x = y > 0
6. Ví dụ 6 : Cho x,y ³ 0 và x + y = 1 . 
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của A6 = x2 + y2.
Giải :
Do x; y ³ 0 và x + y = 1 ị 0 Ê x;y Ê1 ị x2 Êx, y2 Êy
ị A6 = x2 + y2 Ê x + y = 1 ị A6 max = 1 Û hoặc 
Mặt khác : x + y = 1 ị (x + y)2 = 1 ị 1 = x2 + 2xy + y2 ị (x2+y2)-(x-y)2
ị A6 = x2+y2 = do (x - y)2 ³ 0
ị A6 min = Û x - y = 0 Û x = y = 
Vậy : 	A6 max = 1	Û 	
	A6 min = Û x = y = 
7. Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất của A7 = xy + yz + zx - x2-y2-z2
Giải :
Ta có : A7 = xy + yz + zx - x2-y2-z2 = -(2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz)
	 A7 = -{(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2} Ê 0	"x,y,z
ị A7 Max = 0 Û x = y = z
Vậy : A7 Max = 0 Û x = y = z
II. Nhận xét: 
Phương pháp giải toán cực trị đại số bằng cách sử dụng các phép biến đổi đồng nhất được áp dụng cho nhiều bài tập, nhiều dạng bài tập khác nhau. Song đôi khi học sinh thường gặp khó khăn trong công việc biến đổi để đạt được mục đích. Vậy còn những phương pháp nào; để cùng phương pháp vừa nêu trên giúp học sinh nhanh chóng tìm ra lời giải. Trước hết ta giải một số bài toán sau để cùng suy ngẫm.
III. Các bài tập đề nghị :
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :
a. A =	x2 - 10x + 20
b. B = (x-1)2 + (x-3)2	
c. C = 	(x ạ1)
d. D = x3 + y3 + xy 	biết x + y = 1
e. E = 	với x,y > 0
2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức :
a.	A = - x4 + 2x3 - 3x2 + 4x + 2002
b.	B = 	;	C = 
3. Tìm GTLN, GTNN 	của A = 
	Phương pháp 02 : 
( Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ) 
Ta biết rằng : Từ một bất đẳng thức, bằng cách chuyển về bao giờ ta cũng đưa về 1 bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tương đương mà một vế là hằng số. Vì vậy : Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tương đương ta có thể tìm được cực trị của 1 biểu thức nào đó.
I. Các ví dụ minh hoạ :
1. Ví dụ 1 : Cho a > b > 0. Tìm GTNN của B1 = a + 
Giải :
Ta có : B1 = a + = b + (a-b) + ³ 3. (theo Côsi).
B1 ³ 3 ị B1 min = 3 Û b = a-b = Û 
Vậy : B1 min = 3 Û 
2. Ví dụ 2 : Cho a,b > 0 và a + b = 1 . Tìm GTNN của B2 = + 
Giải :
Theo bất đẳng thức Côsi : (x + y)() ³ 2. 2 = 4 (với x,y > 0)
ị ³ 	(1)
Ta có : ab Ê ()2 = ị ³ 4	(2) do a+b = 1 ; a,b > 0
áp dụng bất đẳng thức (1) và kết quả (2) ta có :
B2 = 
B2 ³ 2 + do a + b = 1 ị B2min = 6 Û a = b = 
Vậy : B2min = 6 Û a = b = 
3. Ví dụ 3 : Cho xy + xz + yz = 4 . Tìm GTNN của B3 = x4 + y4 + z4
Giải :
Do xy + xz + yz = 4 ị 16 = (xy + xz + yz)2 Ê (x2+y2+z2) (x2+y2+z2)
(Theo Bunhiacôpxki) Û 16 Ê (x2+y2+z2)2 Ê (x4 + y4 + z4) (12+12+12)
ị B3 = x4 + y4 + z4 ³ ị B3min = Û x = y = z = ± 
Vậy : B3min = Û x = y = z = ± 
4. Ví dụ 4 : Cho |a| Ê1; |b| Ê1 và | a+ b| = 
Tìm GTLN của B4 = 
Giải :
Ta có : (a-b)2 ³ 0	"a;b ị (1)
áp dụng (1) ta có :
Do 	(do | a + b| = )
ị Ê 1 - = ị ()
ị B4 = ị B4Max = 1 Û a = b = 
Vậy : B4Max = 1 Û a = b = 
5. Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của B6 = | x + 7| + | x - 1995|
Giải :
Ta có : |x| + |y| ³ | x + y| dấu "=" xảy ra Û x,y ³ 0
Do vậy : B6 = | x + 7| + | x - 1995| = | x + 7| + | 1995 - x | ³ |x+7 + 1995 - x| = 2002
ị B6Min = 2002 Û (x + 7). (1995 - x) ³ 0 Û -7 Ê x Ê 1995
Vậy : B6Min = 2002 Û -7 Ê x Ê 1995
6. Ví dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6|
Giải :
Ta có : 	B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6|
	B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |6 - (2x + y)| 
	B7 ³ | x + 2000 + x + y + 4 + 6 - 2x - y| = 2010
ị B7min = 2010 Û (x + 2000); (x + y + 4) ; (6 - 2x + y) cùng dấu 
Vậy : B7min = 2010
7. Ví dụ 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của 
B = (1 + x2y + xy2)2001 - 2001 xy (x+y) + 2001 với x2y + xy2 ³ 0
Giải :
Theo BĐT Becnully ta có : (1 + x2y + xy2)2001 ³ 1 + 2001 (x2y + xy2)
ị B (1 + x2y + xy2)2001- 2001 x ... rị của f(x) .
Ta có :	y = - x2 + 2x - 7
	Û 	x2 - 2x + y + 7	(có nghiệm)
	Û	D' = 1 - y - 1 ³ 0
	Û 	y Ê - 6
Vậy f(x)Max = -6 Û x = 1
3. Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của f(x) = 
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x) .
Ta có : y = Û yx2 + 2yx + 3y - x2 - 4x - 6 = 0
Û (y - 1)x2 + 2 (y - 2).x + 3y - 6 = 0 	(có nghiệm)
* Nếu y = 1 ị x = - 
* Nếu y ạ 1 ị D' = (y - 2)2 + (3y - 6)(1 - y) ³ 0
Û y2 - 4y + 4 - 3y2 + 3y + 6y - 6 ³ 0
Û - 2y2 + 5y + 2 ³ 0
Û Ê y Ê 2
Ta thấy : < 1 < 2
Do vậy : 	f(x) Min = Û x = -3
	f(x) Max = 2 Û x = 0
4. Ví dụ 4 :
Tìm GTNN của f(x) = 
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x) .
Ta có :	y = 
Û yx2 + 2yx + y - x2 - 2x - 6 = 0
Û (y - 1)x2 - 2(y + 1)x + y - 6 = 0 	(có nghiệm)
* Nếu y = 1 ị x = - 
* Nếu y ạ 1 ị D' = (y + 1)2 - (y - 1)(y - 6) ³ 0
Û y2 + 2y + 1 - y2 + 6y + y - 6 ³ 0
Û 9y - 5 ³ 0
Û y ³ 
Do < 1 nên ta có YMin = Û x = -
Vậy f(x) Min = Û x = -
5. Ví dụ 5: Tìm GTLN của f(x) = 
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x). 
Ta có :	y = 	Û yx2 + y - x2 - 1 = 0
	Û (y - 1)x2 + y - 2 = 0
	Û (y - 1)x2 = 2 - y	(có nghiệm)	
* Nếu y = 1 ị Phương trình vô nghiệm 
* Nếu y ạ 1 ị x2 = (1)
(1) có nghiệm Û ³ 0 Û 1 < y < 2
ị YMin = 2 Û x = 0
Vậy f(x) Max = 2 Û x = 0
II. Các bài tập đề nghị :
1. Tìm GTNN của : 
a) A = 5x2 + x + 7	; b) B = ; c) C = 
2. Tìm GTLN của :
a) A = -x2 + x + 2 ; b) B = ; c) C = 
3. Tìm GTLN và GTNN của :
a) A = ; b) B = ; 	c) C = 
 Phương pháp 06 : 
( Phương pháp xét từng khoảng giá trị )
Có nhiều bài toán nếu ta chỉ sử dụng các phép biến đổi tương đương, các bất đẳng thức cơ bản phương pháp đổi biến hay biểu thức phụ, thậm chí ngay cả khi sử dụng phương pháp miền giá trị hàm số, việc tìm cực trị vẫn gặp rất nhiều khó khăn có khi không thể tìm được. Những khi ta biết cách xét từng khoảng hợp lý (có sự dự đoán) thì việc tìm được cực trị trở nên đơn giản.
I. Các ví dụ minh hoạ :
1. Ví dụ 1:
Cho m, n ẻ N*. Tìm GTNN của A = |36m - 5m|
Giải :
Do 	m ẻ N* ị36m có chữ số tận cùng là 6
	n ẻ N* ị 5m có chữ số tận cùng là 5
Vì vậy : 	Nếu 36m > 5m thì A có chữ số tận cùng là 1
	Nếu 5m > 36m thì A có chữ số tận cùng là 9
a) Xét A = 1 ta có : 36m - 5m = 1 (không xảy ra) vì 
	(36m - 1) : 7 còn 5m :7
b) Xét A = 9 ta có : 5m - 36m = 9 (không xảy ra) vì 
	(5m - 36m) : 9 còn 9 : 9
c) Xét A = 11 , xảy ra , chẳng hạn m = 1, n = 2
Vậy AMin = 11 Û m = 1; n = 2
2. Ví dụ 2: Cho m ẻ N* . Tìm giá trị lớn nhất của B = 
Giải :
Với n = 1	ta có : B = < 1
Với n = 2	ta có : B = 1
 Với n = 3 ta có : B = > 1
Với n = 4	ta có : B = 1
Với n = 5	ta có : B = < 1
Với n = 6	ta có : B = < 1
.................................................................................
Ta dự đoán rằng với n ³ 5, n ẻ N thì B < 1
Thật vậy : Ta chứng minh dự đoán bằng phương pháp quy nạp.
a) Giả sử n ³ 5, n ẻ N ta có B = < 1 (*)
Ta cần phải chứng minh công thức (*) đúng với (n+1) nghĩa là phải chứng minh : 	 	Û (n + 1)2	< 2n+1	(1)
Từ (*) ta có : n2 < 2n Û 2n2 < 2n+1 	(2)
Để chứng minh (1) ta chứng minh (n + 1)2 < 2n2
Û n2 + 2n + 1 0 Û (n - 1)2 - 2 > 0 (đúng vì ³ 5)
b) Kết luận : B = < 1 	" n ³5, n ẻN*
Vậy Bmax = Û n = 3
3. Ví dụ 3: Cho a, b, c, d ẻ N* và a + b = c + d = 20
Tìm GTNN và GTLN của T = 
Giải :
Do T ạ 0 nên đặt P = 
Như vậy :	TMin Û PMax	TMax Û PMin
Do a, b, c, d ẻ N* và a + b = c + d = 20 Û 1 Ê a, b, c, d Ê 19
* Xét a = b = 10 lúc đó P = 
* Xét 	b a tương tự)
	b < 10 < a hay 1 Ê b Ê19 ; 11 Ê a Ê 19
a) Trước hết ta tìm TMin = PMax = 19 + 
Ta xét 3 trường hợp sau :
a1) 	1 Êb < 10 = c = d < a Ê 19 
Khi đó : P = 
a2) 	1 Ê c Ê b < 10 < a Ê d Ê 19. Khi đó : P = 
a3) 	1 Ê d Ê b 1 thì P Ê 
Nếu b = 1 thì P Ê 
Kết hợp cả 3 trường hợp ta thấy PMax = 
Do đó TMin = Û a =19, b = 1 , c = 19 , d = 1
b) Bây giờ ta tìm TMax = PMin với 1 Ê b Ê 9 ; 11 Ê a Ê 19
P = 
Ta có : ; đặt A = 
Ta có : P = A.C + 
Vì A > 0 nên PMin với C = 1
* Xét P = 
Đặt ị Pb = 
* Xét Pb+1 - Pb : 1 Ê b Ê 9 ; b ẻ N
	Pb+1 - Pb = 
Ta có : b(1 + 1)(19 - b)(20 - b) > 0 	" 1 Ê b Ê 9 , b ẻ N 
Do vậy : Xét t = 18b2 + 58b - 380 (*)
Nghiệm dương to của (*) là t = 
Ta có bảng xét dấu :
	b	- 	+
	t	+	0	-	0	+
Với 	0 < b < bo thì t < 0 ị Pb+1 < Pb
	 b > bo thì t > 0 ị Pb+1 > Pb
Luôn luôn chứng minh được 3 < bo < 4
ị P3 > P4
Xét 	P3 = 
	P4 = 
Nên : a = 16 , b = 4, c = 1, d = 19 thì PMin = 
Vậy : TMax = ; TMin = 
II. Các bài tập đề nghị :
1. Tìm GTNN của A = |11m - 5m| với m,n ẻ N*
2. Cho a, b, c, d ẻ N* và a + b = c + d = 1000. 
Tìm GTLN của B = 
3. Cho m, n ẻ N và 1 Ê m ; n Ê 1981 và (n2 - mn - m2)2 = 1
Tìm GTLN của C = m2 + n2 
 Phương pháp 07: 
( Phương pháp hình học )
Trong các bài toán xét cực trị của biểu thức đại số nếu biểu thức ở dạng là tổng hiệu của căn bậc hai của các tam thức thì ta có thể đưa bài toán xét cực trị của các biểu thức đại số sang xét độ dài của các đoạn thẳng bằng việc chọn các điểm có toạ độ thích hợp chứa các đoạn thẳng đó.
Lý thuyết cần vận dụng.
+ Nếu A(x1, y1); B (x2, y2) ị AB = 
+ Với 3 điểm M, A, B bất kỳ ta có :
	|MA - MB| Ê AB Ê MA + MB
Các ví dụ minh họa.
1.Ví dụ 1: Cho f(x) = 
Hãy tìm giá trị lớn nhất của f(x) .
Giải :
Ta có : f(x) = 
Chọn trong mặt phẳng toạ độ 3 điểm : A (2,1); B(5, 5); M (x, 0)
Ta có : MA = ;MB = 
 AB = 
Mặt khác ta có : |MA - MB| Ê AB
hay |- | Ê 5
Vậy giá trị lớn nhất của f(x) = 5 
 khi và chỉ khi 3 điểm M, A, B thẳng hàng.
Ta lại có phương trình của đường thẳng qua A và B là : d = 
d cắt ox tại M (; 0)
Vậy giá trị lớn nhất của f(x) = 5 đạt tại x = 
2. Ví dụ 2: 
Cho f(x) = 
Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) (1)
Giải :
Ta có : 	
Chọn A (4 , -2) 	; B(x , 2x)	; C (0, 10)
ị AB = ; BC = ; AC = 
Ta có : AB + BC ³ AC 
ị + ³ (2)
Ta lại có : 	
chọn D (x, 8); E (0, 2x) ; F (x-4, 0)
DE = ; EF = ; DF = 
ta có : DE + EF ³ DF 
Û (3)
Cộng (2) và (3) ta có : 
VT ³ 4(+)
VT = 4(+) khi và chỉ khi 
A,B,C thẳng hàng 
PT đường thẳng đi qua AB nhận C (0, 10) là nghiệm
Û
D,E,F thẳng hàng
PT đường thẳng đi qua DE nhận F (x-4, 0) là nghiệm
Û Giải điều kiện ta tìm được x = 2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) = 4 (+) tại x = 2.
Nhận xét : Vận dụng phương pháp này để tìm cực trị của biểu thức, đòi hỏi người giải phải rất tinh tế khi chọn điểm để thảo mãn những yêu cầu bài toán.
Bài tập tham khảo :
Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = 
Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của f(x) = 
III. kết quả thực hiện.
Sau khi áp dụng đề tài vào việc giảng dạy, việc giải các loại bài toán tìm cực trị của học sinh đã có những tiến bộ. Điều này thể hiện rõ ở kết quả làm bài tập, bài kiểm tra; khả năng phân tích bài toán, định hướng, tư duy của các em nhanh hơn, chính xác hơn. Nhiều em rất say mê học, đem kiến thức áp dụng vào thực tế tốt hơn. Các em rất tích cực sưu tầm thêm các bài toán hay trong sách, báo, tạp chí để trao đổi với bạn bè. 
Tôi đã tiến hành áp dụng đề tài này vào một lớp chọn của trường trung học cơ sở An Phụ – Kinh Môn – Hải Dương bằng cách chia lớp thành hai nhóm để dạy đối chứng và thu được kết quả như sau:
Nhóm
Số bài
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Nhóm 1
(không áp dụng đề tài)
20
0
0
3
15,0
7
35
10
50,0
Nhóm 2
(được áp dụng đề tài)
20
6
30,0
9
45,0
3
15,0
2
10,0
IV. những vấn đề còn hạn chế.
 Đề tài này mới chỉ dùng lại ở việc dưa ra "Một số phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS".nghiên cứu còn hạn chế, các phương pháp tìm cực trị chỉ dừng ở mức độ đơn giản, chưa có sự khai thác lời giải của bài toán. Hơn nữa, thời gian thực hiện chuyên đề còn hạn hẹp, do đó kết quả đạt được chưa cao.
V. hướng phát triển của đề tài: 
 Do thời gian, tài liệu cũng như năng lực còn hạn chế và mức độ nghiên cứu chưa lớn đề tài mới chỉ đi sâu tìm hiểu "Một số phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số THCS". Trên cơ sở này chúng ta có thể mở rộng giải bài toán cực trị bằng phương pháp giải tích sẽ có một đề tài nghiên cứu ở mức độ lớn hơn : "Cực trị đại số". Bao gồm "Cực trị tự do"; "Cực trị vướng" và "Cực trị tuyệt đối", hoặc hơn nữa chúng ta còn có thể kết hợp với các bài toán cực trình hình học...
Phần III 
 Kết luận
Sau thời gian học tập tích cực tìm tòi nghiên cứu, kết hợp với những tư liệu tích luỹ được, qua quá trình giảng dạy thực tế cùng với sự tham gia đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp, các thầy cô và đặc biệt với sự giúp đỡ của Thầy giáo – Tiến sĩ Nguyễn Anh Tuấn đề tài đã được hoàn thành. Những vấn đề được trình bài trong đề tài tuy chưa thật toàn diện song thực sự có lợi ích rất lớn cho giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi với việc cố gắng chọn, khái quát thành một số phương pháp giải quen thuộc cùng với hệ thống bài tập minh hoạ có thể giúp học sinh tiếp thu bài một cách nhẹ nhàng gây động cơ hứng thú học tập bước đầu đã có những thành công nhất định.
Trên đây là những ý tưởng và việc làm nhỏ bé của em qua việc nghiên cứu đề tài khoa học. Trong quá trình thực hiện đề tài không tránh khỏi những thiếu sót về cấu trúc, về ngôn ngữ và cả những kiến thức khoa học. Vì vậy em rất mong các thầy cô giáo có những ý kiến đóng góp chân thành để giúp em hoàn thành xuất sắc đề tài của mình.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hải Dương, tháng 5 năm 2009
Người thực hiện đề tài
 Nguyễn Xuân Lập
Tài liệu tham khảo	
1) Sách giáo khoa Đại số 8; 9 	Nhà xuất bản giáo dục
Sách nâng cao Đại số 8	 Vũ Hữu Bình 
Sách nâng cao Đại số 9	 Vũ Hữu Bình 
Sách nâng cao Đại số 8	 Võ Đại Mau
Sách nâng cao Đại số 9	 Võ Đại Mau
Tuyển tập các bài toán sơ cấp 	 Vũ Hữu Bình
Tuyển tập các bài toán sơ cấp	 Võ Đại Mau
36 bộ đề ôn thi tốt nghiệp THCS	 Võ Đại Mau
Tạp trí toán học trẻ Tháng 3 năm 2002	 
Phụ lục
Phần I : Mở đầu	
I. Lý do chọn đề tài 	3
II. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài. 3
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4
IV. Phương pháp nghiên cứu. 4
Phần II : nội dung
I : Các kiến thức cần thiết	5
II : Một số phương pháp cơ bản giải bài toán cực trị đại số 	5
	Phương pháp 01 : Sử dụng phép biến đổi đồng nhất	5
	Phương pháp 02 : Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản 	9
	Phương pháp 03 : Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 	13
	Phương pháp 04 : Sử dụng biểu thức phụ 	16
	Phương pháp 05 : Phương pháp miền giá trị 	20
	Phương pháp 06 : Xét từng khoảng giá trị 	23
	Phương pháp 07 : Phương pháp hình học 	27
III. kết quả 29
VI. những vấn đề còn hạn chế 29
V. Hướng phát triển của đề tài 29
Phần III : Kết luận	30
TàI LIệU THAM KHảO
Xác nhận của trường
THCS An Phụ – Kinh Môn – Hải dương
 An Phụ, tháng 05 năm 2009.
T/M nhà trường