Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên

MỘT SỐ DẠNG TOÁN ÁP DỤNG
TÍNH CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
 Trong báo cáo về nhiệm vụ năm học, Bộ giáo dục & Đào tạo chỉ rõ:
" Chỉ đạo mạnh mẽ việc đổi mới phương pháp dạy học và phong trào tự học, tự đào tạo''. '' Coi trọng trọng giáo dục chính trị, tư tưởng nhân cách, khả năng tư duy sáng tạo và năng lực thực hành của học sinh''. '' Quyết tâm thực hiện 2 không trong ngành giáo đục''. Chủ trương đod hoàn toàn phù hợp với những yêu cầu cấp bách của công cuộc công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước ta hiện nay.
 Căn cứ vào nhiệm vụ, mục tiêu của ngành giáo dục, căn cứ vào thức trạng dạy- học toán hiện nay, hướng đổi mới phương pháp dạy học toán ở trường THCS là tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, tập trung việc rèn luyện khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo.
 Trong chương đại số của THCS, các bài toán về tính chia hết của số nguyên hết sức phong phú vầ đa dạng. Vì nó vận dụng kiến thức cơ bản vào giải toán và còn phát triển tư duy cho học sinh.
 Khi gặp một bài toán chứng minh chia hết, học sinh sẽ gặp khó khăn nếu không nắm vững kiến thức cơ bản và các dạng bài tập, cách làm các dạng bài tập đó
 Vậy làm thế nào để học sinh biết làm các bài toán chia hết và biết cách vận dụng nó để giải các dạng toán khác và ứng dụng nó trong thực tế? Và làm thế nào để học sinh cảm thấy có sự say mê, hào hứng khi giải các bài toán nhất là đối với học sinh ngại học toán?
 Đó là vấn đề tôi luôn quan tâm và luôn tìm phương pháp tối ưu, để đạt được mục đích đó tôi lựa chọn chuyên đề "Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên''. 
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I) CƠ SỞ LÝ LUẬN
 Đổi mới phương pháp dạy học nhằm mục đichs cho học sinh phương pháp suy nghĩ, chiếm lĩnh các tri thức khoa học và phương pháp nghiên cứu kiến thức một cách khoa học, nhằm vận dụng kiến thức khoa học một cáhc tối ưu nhất. Muốn đạt được diều kiện trên thì trong quá trình dạy học ta phải xác định:
	- Công việc của thầy giữ vai trò chủ động, sáng tạo, tổ chức cho học sinh chiếm lĩnh kiến thức.
	- Đối với học sinh phải chủ động, sáng tạo, phải được suy nghĩ nhiều, trả lời nhiều câu hỏi, đượ thực hành nhiều dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên.
II) CƠ SỞ THỰC TIỄN
 Thực trạng dạy và học toán hiện nay, mặc dù học sinh đã dược học đầy đủ các kiến thức cơ bản, có phần mở rộng, nâng cao nhiều. Song khi gặp một bài toán, học sinh vẫn òcn lúng túng trong việc định hướng phương pháp giải, chưa biết vận dụng hoặc vận dụng chưa linh hoạt, sáng tạo các kiến thức cơ bản đã học. Nhiều học sinh chỉ biết vận dụng từng bước giải, từng ohần của quy tắc, công thức mà thầy đã hướng dẫn. Vì thế không phát huy được tính độc lập, sáng toạ của học sinh.
	- Đối với thầy công việc chuẩn bị kiến thức, đặt vấn đề, đặt câu hỏi sao cho học sinh được suy nghĩ nhiều? Được làm việc nhiều? Đối với học sinh đại trà hay chỉ là học sinh khá, giỏi trong lớp trả lời. Vì vậy người thầy phải chủ động tích cực hoá các hoạt động của tất cả các đối tượng trong lớp.
	- Trong thức tiễn vấn đề học không đi đôi với hành đã làm cho học sinh không có cơ sở thực hiện các thao tác tư duy để tiếp nhận, củng cố tri thức cũ, làm nền tảng lĩnh hội tri thức mới. Do đó, học sinh ít được làm việc dộc lập, năng lực các nhân không được phát huy thoả đáng.
	- Trong nhiều năm giảng dạy toán của bậc THCS tôi thấy tính chia hết đối với số nguyên, hs đã được học ở lớp 6,lớp 7 nhưng khi gặp một bài toán về chia hết học sinh vẫn còn lúng túng trong việc tìm ra cách làm,, bởi vì các kiến thức liên quan để hỗ trợ còn hạn chế. Lên lớp 8 nhờ có hằng đẳng thức đáng nhớ và phân tích đa thức thành nhân tử , học sinh có thể giải được các bài toán nhanh hơn và phức tạp hơn ở lớp dưới
 Dựa trên cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn trên tối thấy cần có một số giải pháp đổi mới phương pháp giảng dạy cho phù hợp với thực tiễn này.
III CÁC GIẢI PHÁP
 Để đáp ứng mục tiêu giáo dục và khắc phục những tồn tại trên, để học sinh có thể làm được các bài tập liên quan đến sự chia hết của số nguyên, một cách chủ động hơn giáo viên cần phải:
	- Chuẩn bị tốt tiến trình bài soạn và tổ chức dạy học.
	- Chuẩn bị tốùt các tình huống có vấn đề để có thể giúp học sinh tư duy suy nghĩ, định hình cách làm 
	- Cung cấp học sinh một số dạng toán thường gặp về tính chia hết của số nguyên và một số kiến thức nâng cao mà hs có thể ứng dụng được
	- Qua các bài toán hs biết áp dụng những kiến thức đã học vào làm bài tập một cách linh hoạt,có sáng tạo.
	- Thông qua nội dung lý thuyết cần lưu ý và các bài tập có tính hệ thống,nâng cao phát triển cho hs tư duy toán: lôgic, sáng tạo, phát triển khả năng khái quát,tổng quát hoá
 Để tạo cho học sinh có sự phấn khích khi gặp các bài toán chia hết của số nguyên, tôi xin trình bày một số ví dụ về các dạng toán để minh hoạ cho chuyên đề '' Một số dạng toán áp dụng tính hcia hết của số nguyên''
IV. NỘI DUNG
DẠNG 1.Chứng minh quan hệ chia hết 
Ví dụ1.Chứng minh rằng 
A = n3(n2 -7)2 -36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n.
+ Trước hết cho hs nhận xét về các hạng tử của biểu thức A 
+ Từ đó phân tích A thành nhân tử
Giải: Ta có
 A =n[n2(n2 -7)2 -36]= n[(n3 -7n2)-36]
 = n(n3 -7n2 -6)( n3 -7n2 +6)
Mà n3 -7n2 -6 = (n+1) (n+2) (n-3)
 n3 -7n2 +6 = (n-1)(n-2)(n+3)
Do đó
A= (n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3)
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp.Trong 7 số nguyên liên tiếp 
_Tồn tại một ø bội của 5A 5
-Tồn tại một bội của 7A 7
-Tồn tại hai bội của 3 A 9
-Tồn tại ba bội số của 2,trong đó có một bội số của 4 A 16
A chia hết cho các số 5,7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 
5.7.9.16 =5040.
+ Qua ví dụ 1 rút ra cách làm như sau:
	Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (nN hoặc nZ).
Chú ý 1: Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho một số, ta thường phân tích A(n) thành thừa số, trong đó có một thừa số là m.Nếu m là hợp số, ta phân tích nó thành môït tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n)chia hết cho tất cả các số đó.
 Lưu ý: Trong k số nguyên liên tiếp, bao giờ cũng tồn tại một bội số của k.
 Ví dụ 2.Chứng minh rằng với moiï số nguyên a thì 
a) a2 -a chia hết cho 2.
b) a3 -a chia hết cho 3.
c) a5 -a chia hết cho 5.
d) a7 -a chia hết cho 7.
Giải:
a) a2 - a =a(a-1), chia hết cho 2.
b)a3 -a = a( a2 - 1) = a(a-1)(a+1), tích này chia hết cho 3 vì tồn tại một bội của 3.
+ Ở phần a, b hs dễ dàng làm được nhờ các bài toán đã quen thuộc
+ Để chứng minh a(a -1 ) chia hết cho 2, ta đã xét số dư của a khi chia cho 2
c) Cách 1
A = a5 -1= a(a2+1)(a2 -1) 
Xét các trường hợp a = 5k, a= 5k 1
 a=5k2
suy ra A chia hết cho 5
 Cách 2.
A = a5 -1= a(a2+1)(a2 -1) 
 = a(a2+1)(a2 -4+5)
= a(a2+1)(a2 -4)+ 5a( a2 -1)
= (a -2) (a-1)a(a+1)(a+2) + 5a(a2 -1)
Số hạng thứ nhất là tích của năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5,số hạng thứ hai cũng chia hết cho 5.
 Do đó A = a5 -1 chia hết cho 5.
+ Qua ví dụ 2 để chứng minh chia hết ta đã làm như sau:
Chú ý 2: Khi chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho m.
Ví dụ 3.
a)Chứng minh rằng một số chính phương chia hết cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.
b) Chứng minh rằng mọt số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.
c)Các số sau có là số chính phương không?
 M =19922 + 19932 +19942
 N= 19922 + 19932 +19942 +19952
 P = 1+ 9100+ 94100 +1994100.
d)Trong dãy sau có tồn tại số nào là số chính phương không? 
 11, 111,1111,11111,.......
Giải: Gọi A là số chính phương A =n2 (nN)
a)Xét các trường hợp:
 n= 3k (k N)A = 9k2 chia hết cho 3
 n= 3k 1 (kN) A = 9k2 6k +1 chia cho 3 dư 1
vậy số chính phương chia cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.
b)Xét các trường hợp
n =2k (kN) A= 4k2, chia hết cho 4.
n= 2k+1(k N)A = 4k2 +4k +1
 =4k(k+1)+1,
chia cho 4 dư 1(chia cho 8 cũng dư 1)
vậy số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.
Chú ý: Từ bài toán trên ta thấy:
-Số chính phương chẵn chia hết cho 4
-Số chính phương lẻ chia cho 4 dư 1( chia cho 8 cũng dư 1).
c) Các số 19932,19942 là số chính phương không chia hết cho 3 nên chia cho 3 dư 1,còn 19922 chia hết cho 3.
Vậy M chia cho 3 dư 2,không là số chính phương.
 Các số 19922,19942 là số chính phương chẵn nên chia hết cho 4.
 Các số 19932,19952 là số chính phương lẻ nên chia cho 4 dư 1.
Vậy số N chia cho 4 dư 2,không là số chính phương.
d) Mọi số của dãy đều tận cùng là 11 nên chia cho 4 dư 3.Mặt khác số chính phương lẻ thì chia cho 4 dư 1.
 Vậy không có số nào của dãy là số chính phương. 
Chú ý 3:Khi chứng minh về tính chất chia hết của các luỹ thừa,ta còn sử dụng các hằng đẳng thức bậc cao và công thức Niu-tơn sau đây:
 (1)
an -bn =(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+...+abn-2+bn-1)
 (2) )an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-...-abn-2+bn-1) 
 với mọi số lẻ n.
Công thức Niu-tơn
(a+b)n= an+c1an-1b+c2an-2b2+...+cn-1abn-1+bn
 Trong công thức trên, vế phải là một đa thức có n+1 hạng tử ,bậc của mỗi hạng tử đối với tập hợp các biến là a,b là n.Các hệ số c1,c2,...cn-1 được xác định bởi tam giác Pa -xcan:
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
 ............. c1 c2 c3 c4 
 Áp dụng các hằng đẳng thức trên vào tính chia hết, ta có với mọi số tự nhiên a,b và số tự nhiên n :
 an -bn chia hết cho a-b (a b)
a2n+1 +b2n+1 chi ... än của số tự nhiên a để a2+3a +2 chia hết cho 6.
Giải:
Ta có a2 +3a + 2 = (a+1)(a+2) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2
Do đó a2 +3a +2 3 a2 +2 3
a2 : 3 dư 1 a không chia hết cho 3.
 Điều kiện phải tìm là a không chia hết cho 3.
Bài 2:
Tìm điều kiện của số tựï nhiên a để a4 -1 chia hết cho 240.
Bài 3:
Tìm số nguyên tố p để 4p +1 là số chính phương.
Bài 4. Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a2 + 3a + 2 chia hết cho 6.
 Giải:
Ta có a2 + 3a + 2 =( a+1)(a+2)
Là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2
Do đó a2 + 3a + 2 3
a2 + 2 3 a2 chia cho 3 dư 1
a không chia hết cho 3.
Điều kiện phải tìm là a không chia hết cho 3.
Bài 5. 
 Tìm ba số nguyên tố liên tiếp a,b,c sao cho a2 + b2 + c2 cũng là số nguyên tố
 Giải: Xét hai trường hợp
+ Trong 3 số a,b,c có một số bằng 3.
Khi đó 22 + 32 + 52 =38 là hợp số (loại)
Còn 32 + 52 + 72 =83 là số nguyên tố.
+ Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 3.
Khi đó a2, b2, c2 đều chia cho 3 dư 1 nên 
a2 + b2 + c2 chia hết cho 3,là hợp số (loại)
Vâïy ba số phải tìm là 3,5,7.
* Các bài tập tổng hợp các dạng toán trên
Bài 1. : Cho bốn số nguyên dương a,b,c,d thảo mãn a2 +b2 = c2 + d2 .Chứng minh rằng a+ b+c+ d là hợp số. 
Giải:
Xét biểu thức
A= (a2 -a)+(b2 -b)+( c2 -c)+ (d2 -d)
Dễ thấy A là số chẵn (vì biểu thức trong mỗi dấu ngoặc là tích của hai số nguyên liên tiếp) nên
(a2 + b2 + c2 +d2) -(a+b + c+ d) là số chẵn
mà a2 +b2 = c2 + d2 nên a2 +b2 + c2 + d2 
là số chẵn.
Vậy a + b+ c + d là số chẵn,tổng này lớn hơn 2 nên là hợp số.
Bài 2. : Cho các số nguyên a,b,c đều chia hết cho 6. Chứng minh rằng 
 Nếu a+ b+ c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 
 Chia hết cho 6
Giải:
Ta có A=a3 + b3 + c3 - (a +b + c)
 = (a3 -a) + (b3 -b) + (c3 -c) 
Do a3 -a , (b3 -b) , (c3 -c) đều chia hết cho 6
 Nên A 6
Mặt khác a+ b +c chia hết cho 6 
Do đó a3 + b3 + c3 chia hết cho 6
Bài 3: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba sô nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.
	+ Hướng suy nghĩ: Tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp có dạng như thế nào?
	- HS: a3 + ( a + 1)3 + ( a + 2)3 hoặc ( a -1)3 + a3 + ( a+ 1)3
	+ Trong hai tổng vừa lập được hãy chọn tổng mà ta có thể biến đổi một cách nhẹ nhàng hơn
Bài 4: Chứng minh rằng A chia hết cho B với 
A= 13 + 23 + 33 +...+ 99 3 + 1003
B= 1 + 2 + 3+...+ 99 + 100.
	+ Hướng suy nghĩ cho hs: Bài toán trên thuộc dạng nào?
	+ Trong hai tổng A và B ta tính được tổng nào? ( B = 50. 101)
	+ Chứng tỏ A chia hết cho 5050? ( 13 + 993 50. 101
Bài5. Cho bốn số nguyên dương thoả mãn điều kiện ab = cd. Chứng minh rằng 
a5 + b5 +c5 + d5 là hợp số 
Giải:
 Gọi ƯCLN (a,c) = k ( k nguyên dương)
Khi đó a = ka1 , c= k .c1 và ( a1, c1) =1
Thay vào a.b = c.d được 
 k.a1 .b = k .c1.d nên a1.b = c1. d
ta có a1.b c1 mà ( a1 , c1)=1
 nên b c1 .Đặt b = c1.m (m nguyên dương), thay vào (1) được 
 a1.c1.m = c1.d nên a1 .m = d
Do đó 
A = a5 + b5 +c5 + d5 
 = k5 a15 + c15 m5 + c15 m5 +k5 c15 + a15 m5
 = k5 ( a15 +c5) + m5 ( a5 + c5)
 = (a15 + c15)( k5 + m5).
Do a1, c1 , k ,m là các số nguyên dương nên A là hợp số.
Bài 6. : Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a,b,c thoả mãn điều kiện 
 a2 + b2 = c2 thì abc chia hết cho 60.
Giải: Theo bài ra a2 + b2 = c2 (1)
 Ta có 60 = 3. 4. 5
-Nếu a ,b ,c đều không chia hết cho 3 thì a2, b2 ,c2 đều chia cho 3 dư 1. Khi đó 
a2 + b2 = Bs 3 + 2, còn c2 = Bs 3 + 1 trái với (1).Vậy trong ba só a,b,c có một số chia hết cho 3.
-Nếu a,b,c đều không chia hết cho 5 thì a2, b2, c2 chia cho 5 dư 1 hoặc 4. Khi đó a2 +b2 chia cho 5 dư 0,2,3 còn c2 chia cho 5 dư 1,4 trái với (1).Vậy tồn tại một trong ba số a,b,c chia hết cho 5.
_Nếu a,b,c đều không chia hết cho 4 thì a2, b2, c2 chia cho 8 dư 1 hoặc 4 .Khi đó a2 + b2 chia cho 8 dư 0, 2 , 5, còn c2 chia cho 8 dư 1, 4 trái với (1).Vậy tồn tại một số chia hết cho 4.
Kết luận: abc chia hết cho 3.4.5 tức là chia hết cho 60.
Bài 7. Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức là số nguyên tố:
a) 12n2 -5n -25 b)
Giải:
a) Ta có 12n2 -5n -25 
 = 12n2 + 15n - 20n - 25
 = 3n( 4n +3) - 5( 4n +3)
 = (4n +3) (3n - 5)
Do 12n2 -5n -25 là số nguyên tố nên 4n +5, 3n - 5 là các số nguyên dương .
Ta lại có 3n -51)
Để 12n2 -5n -25 là số nguyên tố thì thừa số nhỏ phải bằng 1.
Nên 3n -5 =1 n = 2
Khi đó 12n2 -5n -25 = 13 .1 =13 là số nguyên tố.
b) B = = .Do A là số tự nhiên nên n(n+3) 4.Hai số n và n + 3 không thể cùng chẵn.Vậy hoặc n, hoặc n+3 chia hết cho 4.
Nếu n =0 thì B= 0, loại
Nếu n =4 thì B =7, là số nguuyên tố.
Nếu n = 4k (kN,k>1) thì B = k( 4k -3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên B là hợp số.
Nếu n+ 3 =4 thì B =1 loại
Nếu n+3 = 4k (kN,k>1) thì B = k( 4k -3) là tích của hai thứaố lớn hơn 1 nên A là hợp số. 
Vậy n =4, khi đó B = 7
Bài 8. Chứng minh rằng: 270 + 370 chia hết cho 13.
Giải: Ta có 270 + 370 = (22)35 + (32)35
 = 435 + 9 35 . 
Do đó chia hết cho 4 + 9 =13
(Áp dụng an + bn a+b với n là số lẻ)
Vậy 270 + 370 chia hết cho 13.
Bài 9.Tìm số nguyên tố p để 2p2 + 1 là số nguyên tố.
	+ Với p là số nguyên tố thì p có dạng như thế nào? ( Thường xét số dư của một số khi chia cho 2 hoặc 3)
	+ Xét p = 3k + 1; p = 3k + 2 và p =3k trường hợp nào mà 2p2 = 1 là số nguyên tố thì => p.
Bài 10.Chứng minh:1719+ 1917 chia hết cho 18. 
	+ Xét số dư của 17 và 18 khi chia cho 18?
C. KẾT LUẬN
	Tôi viết kinh nghiệm này dựa trên cơ sở , những kinh nghiệm đã được rút ra trong những năm giảng dạy và học tập của bản thâ. Bằng sự học hỏi thông qua các tài liệu sách giáo khao, sách tham khảo....và qua tiếp thu các ý kiến của đồng nghiệp. Đã giúp tôi hoàn thành chuyên đề và áp dụng vào giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8. 
	Sau khi viết thực hiện chuyên đề tôi đã rút ra bài học kinh mghiệm cho bản thân:
- Khi dạy học cần đặt vị trí của mình voà vị trí học sinh. Có thể có những vấn đề mình thấy là dễ, rất quen thuộc, nhưng với học trò lại rất khó, rất lạ.
- Phải luôn cố gắng tạo ra tình huống có vấn đề, làm xuất hiện ở học sinh nhu cầu nghiên cứu kiến thức. Chọn các bài tập hợp lý từ đơn giản đến khó, thu hút học sinh tham gia.
- Các bài tập đưa ra ban đầu có thể theo từng dạng cụ thể, để học sinh làm quen dần với các dạng toán. Sau đó, đưa ra các dạng bài có tính tổng hợp hơn, đồi hỏi học sinh biết vận dụng, suy nghĩ tìm tòi cách giải. Từ đó mới phát triển đượctư duy, khả năng sáng tạo của học sinh.
- Nên quan tâm đến câu trả lời của học sinh, khai thác những phát hiện dù là nhỏ nhất của học sinh để phát huy tính chủ động suy nghĩ, tích cực của học sinh.
	Trên đây là một số ý kiến, quan điểm của tôi xung quanh vấn đề nâng cao chất lượng dạy học môn toán. Đồng thời phát huy tính tích cực, độc lập sáng tạo của học sinh thông qua chuyên đề '' Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên''. Khi viết chuyên đề này chắc hẳn không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý, phê bình của các đồng nghiệp để xây dựng cho kiến thức chuyên môn của mình.
	Cuối cùng tôi xin chân thành cám ơn!
	Ngày 4 tháng 4 năm 2009
	Người viết 
	Đặng Thị Dinh
 D. Ý KIẾN, ĐÁNH GIÁ, NHẬN XÉT CỦA NHÀ TRƯỜNG
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................E. Ý KIẾN , ĐÁNH GIÁ, NHẬN XÉT CỦA BAN GIÁM KHẢO
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................