Giáo án Số học lớp 6 - Chương I: Ôn tập và bổ túc số tự nhiên

SỐ HỌC LỚP 6
CHƯƠNG I – ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC SỐ TỰ NHIÊN
§1, §2; §3.§4.TẬP HỢP-PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP . TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN . GHI SỐ TỰ NHIÊN . SỐ PHẦN TỬ CẢU MỘT TẬP HỢP – TẬP HỢP CON.
A/- KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Kí hiệu : ‘ ” : đọc là thuộc . “ ” : đọc là không thuộc
 Kí hiệu , dùng để chỉ quan hệ giữa phần tử thuộc hay không thuộc một tập hợp.
2. Có hai cách viết một hợp : 
Cách 1: Liệt kê các phần tử của một tập hợp.	
Để viết một tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của một tập hợp ta làm như sau:
+ các phần tử của một tập hợp được viết trong hai dấu ngoặc nhọn { } , cách nhau bởi dấu “;” ( nếu phần tử là số ) , cách nhau bởi dấu “,” ( nếu phần tử là chữ )
+ Mỗi phần tử được liệt kê một lần , thứ tự liệt kê tùy ý .
Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng của một tập hợp đó.
Ví dụ 1: Tập hợp A các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 10 . 
 Ta viết : A = { x | x 10 }
Ở đây tính chất đặc trưng của các phần tử x của tập hợp A là x và x 10.
3. Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu : = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ;  } ;
 Tập hợp các số tự nhiên khác 0 , kí hiệu : * = { 1; 2 ; 3 ;  }
4. Thứ tự trong tập hợp các số tự nhiên :
Với a, b , ta có a b , hoặc a = b .
Cách việt a b để chỉ a b và a = b .
Tập hợp các số tự nhiên có vô số các phần tử. 
Số 0 là số tự nhiên nhỏ nhất, không có số tự nhiên lớn nhất.
5. Dùng 10 chữ số 0 ; 1; 2; 3; 4 ;5 ;6 ;7 8; 9 ta có thể ghi mọi số tự nhiên . Trong hệ ghi số thập phân cứ 10 đơn vị ở một hàng thì làm thành một đơn vị của hàng liền trước đó.
Ví dụ 2 : 222 = 200 + 20 + 2 
 ( với a 0 ) là cách viết tổng quát của số tự nhiên có hai chữ số
 ( với a 0 ) là cách viết số tự nhiên có ba chữ số 
6. Một tập hợp có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử, cũng có thể không có phần tử nào.
 + Tập hợp rỗng là tập hợp không có phần tử nào , kí hiệu là 
 + Nếu mọi phần tử cua tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập hợp con của tập hợp B, kí hiệu : A B hay B A . 
 +Nếu AB và BA ta nói A và B là hai tập hợp bằng nhau , kí hiệu là A = B 
Chú ý : Kí hiệu “ ” : Dùng để chỉ quan hệ giữa hai tập hợp .
BÀI TẬP : 
1. Viết tập hợp các chữ cái trong cụm từ :
 a) “ KHOA HỌC” b) “ HỌC SINH GIỎI NHẤT LỚP ”
2. Cho hai tập hợp :
 A = { x | x < 10 } ; B = { x | x 0 , x là số chẵn có một chữ số }
a) Viết tập hợp A và B bằng cách liệt kê các phần tử .
b) Viết tập hợp C các số tự nhiên thuộc A nhưng không thuộc B , Viết tập hợp E các số tự nhiên thuộc B nhưng không thuộc A.
3. Cho tập hợp D = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ;  ; 20 }
 a) Viết tập hợp D bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của nó.
 b) Tập hợp D có bao nhiêu phần tử 
 c) Viết tập hợp E các phần tử là số chẵn của D ( số chẵn là số chia hết cho 2 ).
 Tập hợp E có bao nhiêu phần tử ?
 d) Viết tập hợp F các phần tử là số lẻ của tập hợp D ( số lẻ là số không chia hết cho 2 ) . Tập hợp F có bao nhiêu phần tử ?
4. Dùng dấu ; = để thể hiện quan hệ giữa các tập hợp sau :
P là tập hợp các số tự nhiên x và x +3 10 .
Q là tập hợp các số tự nhiên x và x.3 = 5
R là tập hợp các số tự nhiên x mà x.3 = 0.
S là tập hợp các số tự nhiên x mà x.3 < 24.
5. Cho tập hợp = { 5 ; 6 ; 7 ; 8 } . Viết các tập hợp con của K sao cho các phần tử của nó phải có ít nhất một số lẻ , một số chẵn.
6. Tập hợp M có 4 tập hợp con có một phần tử . Hỏi tập hợp M có mấy tập hợp con có 3 phần tử .
7. Viết tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số sao cho trong mỗi số :
a) Chữ số hàng dơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục .
b) Chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 4 .
c) Chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục .
8. a) Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 20 ?
 b) Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn n ? ( n )
 c) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn nhỏ hơn n ? ( n )
9. Cho hai tập hợp :
 R = { m | 69 m 85 } ; S = { n | 69 n 91 }
 a) Viết các tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp đó . mỗi một tập hợp có bao nhiêu phần tử ?
 b) Dùng kí hiệu để thể hiện mối quan hệ giữa hai tập hợp đó ?
§ 5. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN
1/- Kiến thức cớ bản :
a) Tính chất giao hoán của phép cộng và phép nhân :
 a + b = b + a ; a . b = b . a
 b) Tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân :
 ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ; ( a.b ) . c = a. ( b.c )
 c) Cộng với số 0 : a + = 0 + a = a ; Nhân với số 1 : a .1 = 1.a = a
 d) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng :
 a.( b + c ) = a.b + a.c
Chú ý : Tính chất này thường để tính nhanh ; Để viết tích thành tổng và ngược lại viết tổng thành tích .
2/- Kiến thức nâng cao: 
 a) Phép nhân cũng có tính chất phối đối với phép trừ :
 ( a – b ) . c = a.c – b.c ( với a b )
 b) Kí hiệu : n! ( đọc là giai thừa ) . n! = 1.2.3.4n ( với n ) 
Ví dụ 3: Cho a,b . Biết a.b = 0 và a + 4b = 41, tìm a , b .
Giải : Vì a.b = 0 nên a = 0 hoặc b = 0.
Nếu a = 0 thì 4.b = 41, không có số tự nhiên b nào như thế , vậy a 0 và b = 0.
Suy ra a = 41.
Ví dụ 4 : Một học sinh khi nhân một số với 31 đã đặt các tích riêng thẳng hàng như trong phép cộng nên tích đã giảm đi 540 đơn vị so với tích đúng. Tìm tích đúng .
Giải : Gọi số phải tìm là a , tích đúng sẽ là : a . 31 = a . ( 30 + 1 ) = 30a + a (1 ) 
Nếu đặt tích riêng thẳng hàng như trong phép cộng thì tích sẽ là : 
 a. (3 + 1 ) = 3.a + a ( 2 ) .
So sánh ( 1 ) và ( 2 ) ta thấy tích giảm đi : 30a – 3a = 27a = 540 a = 20.
Vậy tích đúng là 20.31 = 620.
Nhận xét : a) Khi viết 30a – 3a = 27a là ta đã vận dụng tích chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ. Thực vậy : 30a – 3a = ( 30 – 3 ).a = 27 a .
 b) Tích 1.a được viết gọn thành a .
BÀI TẬP : 
10. Tìm hai số biết tổng của chúng là 176; mỗi số đều có hai chữ số khác nhau và số này là số kia viết theo thứ tự ngược lại 
11. Cho a + c = 9. Viết tập hợp A các số tự nhiên b sao cho là một số có ba chữ số.
12. Từ 10 chữ số 0 ; 1 ; 2 ;3 ; 4 ; 5 ;6 ; 7 ; ; 8 ; 9 hãy ghép lại thành 5 số có hai chữ số rồi cộng chúng lại.
a) Tìm giá trị lớn nhất của tổng.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng .
13. Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý nhất .
a) 38 + 41 + 117 + 159 + 62 b) 73 + 86 + 968 + 914 + 3032 .
c) 341.67 + 341.16 + 659.83 d) 42.53 + 47.156 – 47.114.
14. Tính giá trị của biểu thức :
a) A = ( 100 – 1 ) .( 100 – 2 ).( 100 – 3 )  ( 100 – n ) với n và tích trên có đúng 100 thừa số.
b) B = 13a + 19b + 4a – 2b với a + b = 100.
15. Không tính giá trị cụ thể , hãy so sánh hai biểu thức :
a) A = 199 . 201 và B = 200.200 b) C = 35.53 – 18 và D = 35 + 53.34
16*. Tìm các chữ số a , b , c , d biết 
17.*. Cho a , b * ; a > 2 ; b > 2 . Chứng tỏ rằng a + b < a.b
§6. PHÉP TRỪ VÀ PHÉP CHIA
I. Kiến thức cơ bản:
1. Điều kiện để phép trừ thực hiện được là a b.
2. Điều kiện để phép chia a : b không còn dư ( hay a chia hết cho b, kí hiệu a b ) là a = b.q ( với a , b , q ; b 0 )
3. Trong phép chia có dư : Số bị chia = số chia . thương + số dư .
 a = b.q + r ( b 0 ; 0 < r < b )
Suy ra ; a – r = b.q , nghĩa là ( a – r ) chia hết cho b , cũng chia hết cho q .
II. Kiến thức nâng cao :
1. Vì số dư r phải nhỏ hơn số chia b nên số dư chỉ có thể lấy một trong b giá trị khác nhau là 0 ; 1 ; 2 ;  ; ( b – 1 ) .
2. Hiệu giữa số bị chia a và số dư r bao giờ cũng chia hết cho b .
3. Biểu diễn một số tự nhiên : 
 a) Biểu diễn qua phép chia một số cho 2 :
 a là số chẵn a = 2 q ( q )
 a là số lẻ a = 2q + 1 ( q ) 
 b) Biểu diễn qua phép chia một số cho 3 .
	a chia hết cho 3 a = 3q ( q )
	a chia cho 3 dư 1 a = 3q + 1 ( q )
	a chia cho 3 dư 2 a = 3q + 2 ( q )
 c) Biểu diễn qua phép chia một số cho 4 .
a chia hết cho 4 a = 4q ( q )
a chia cho 4 dư 1 a = 4q + 1 ( q )
a chia cho 4 dư 2 a = 4q + 2 ( q )
a chia cho 4 dư 3 a = 4q + 3 ( q )
Kí hiệu là kí hiệu “tương đương” , đọc là “khi và chỉ khi” có nghĩa là mệnh đề trước suy ra mệnh đề sau và ngược lại, mệnh đề sau suy ra được mệnh đề trước .
4. Nếu phép chia không còn dư thì phép chia cũng có tính chất phân phối đối với phép công và phép trừ : ( a + b ) : c = a : c + b : c ; ( a – b ) : c = a : c – b : c .
5. Quan hệ chia hết có tính chất bắt cầu : a b ; b c a c .
Ví dụ 5: Một số có ba chữ số là ba số tự nhiên liên tiếp . nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn số cũ là bao nhieu ?
Giải : Gọi số có ba chữ số là trong đó a ,b , c là 3 số tự nhiên liên tiếp . 
 Vậy c – a = 2 . Số viết theo thứ tự ngược lại là : . 
Ta có : = ( 100c + 10b + a ) – ( 100a + 10b + c )
 = 100c + 10b + a – 100a – 10b – c 
 = 99c – 99b = 99( c – a ) = 99.2 = 198
Ví dụ 6 : Hai số không chia hết cho 3, khi chia cho 3 được những số dư khác nhau . Chứng tỏ rằng tổng của hai số đó chia hết cho 3 .
Giải : Gọi hai số là a và b .
Giả sử a chia cho 3 dư 1 ; b chia cho 3 dư 2 . 
Thế thì a = 3.q1 + 1 ; b = 3.q2 + 2 .
 Lúc đó a + b = 3.q1 + 1 + 3.q2 + 2 = 3.q1 + 3.q2 + 3 = 3. (q1 + q2 + 1 ) 3.
Nhận xét : Trong cách giải trên đã vận dụng hai kiến thức cơ bản sau về phép chia hết và phép chia có dư : 
 + Số dư trong phép chia cho 3 phải nhỏ hơn 3 .
 + Để chứng tỏ a + b 3 ta biến đổi a + b = 3.q ( ở đây q = q1 + q2 )
BÀI TẬP :
18. Chứng tỏ rằng trong một phép trừ , tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu bai giờ cũng chia hết cho 2.
19. Cho M = { 1 ; 13 ; 21 ; 29 ; 52 } . Tìm x, y M biết 30 < x – y < 40.
20. Tìm x biết :
a) (x + 74)–318 = 200 ; b) 3636 : (12x – 91) = 36; c) ( x :23 + 45 ).67 = 8911
21. Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý nhất :
a) ( 44.52.60) : ( 11.13.15 ) b) ( 123 . 456456 – 456 . 123123 )
c) ( 98 . 7676 – 9898 . 76 ) : ( 2001 . 2002  20010 )
22. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B=2003 – 1003:( 999–x ) với x
23. Hai số tự nhiên a và b chia cho m có cùng số dư, a > b . 
 Chứng tỏ rằng : a – b m .
24. Trong một phép chia có số bị chia là 155; số dư là 12 . 
 Tìm số chia và thương.
25. Chia 129 cho một số ta được số dư là 10. Chia 61 cho số đó ta cũng được số dư là 10 . Tìm số chia.
26. Để đánh số các trang của một quyển sách người ta phải dùng tất cả 600 chữ số . Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang.
27. Cho S = 7 + 10 + 13 +  + 97 + 100.
a) Tổng trên có bao nhiêu số hạng ? b)Tìm số hạng thứ 22 . c) Tính S 
28.Cho A là tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 150, chia cho 7 dư 3 : 
	A = { x | x =7 . q + 3 ; q ; x 150 }
a) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A thành một dãy số từ nhỏ đến lớn .
b) Tính tổng các phần tử của A .
§7. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
I. Kiến thức cơ bản :
1. Định nghĩa : ( n )
 an là một lũy thừa ; a là cơ số ; n là số mũ .
Quy ước : a1 = a ; a0 = 1 ( với a 0 ) 
2. Nhân , chia hai lũy thừa cùng cơ số : 
 am . an = a m + n ( m , n * ) ; 
 am : an = a m – n ( m , n * ; m n ; n 0  ... b) 1 + 2 + 3 + . . . + x = 210.
101. Chứng minh :
a) 10n + 53 9 b) 4343 – 1717 10. 
c) chia hết cho 11 nhưng không chia hết cho 125 .
102. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia nó cho 17 thì dư 5 ; chia nó cho 19 thì dư 12 .
103 . Cho A = 4 + 42 + 43 + . . . + 423 + 424 .Chứng minh rằng :
a) A 20 b) A 21 c) A 420.
104. Cho n = 29k với k . Với giá trị nào của k thì n là : 
a) Số nguyên tố b) Hợp số 
c) Không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số .
105. Tìm x , y biết ( x +1 ) ( 2y – 5 ) = 143 .
106. Tìm a biết 355 chia cho a dư 13 và 836 chia cho a thì dư 8. 
107 Cho các số 12 ; 18 ; 27 .
a) Tìm số lớn nhất có ba chữ số chia hết cho các số đó .
b) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi số đó đều dư 1.
c) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho 12 dư 10 ; chi cho 18 dư 16 ; chia cho 27 dư 25 . 
108*. Một số tự nhiên chia cho 7 thì dư 5 , chia cho 13 thì dư 4. nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu ? 
109*. Cho a là một hợp số , khi phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ có hai thừa số nguyên tố khác nhau là P1 và P2 . Biết a3 có tất cả 40 ước hỏi a2 có bao nhiêu ước ? 
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ:
6. Tập hôp M có 4 tập hợp con có 1 phần tử , Vậy M M có 4 phần tử , chẳng hạn 
M = { a, b , c , d } . Có 4 tập hợp con của M có 3 phần tử là :
{ a, b , c } ; { a , b , d } ; { a ,c , d } ; { b , c d }
Như vậy , với một hợp có 4 phần tử thì có nhiêu tập hợp con có một phần tử thì sẽ có bấy nhiêu tập hợp con có ba phần tử .
8. a ) 20 
 b) n 
 c) Xét các trường hợp :
 + Nếu n chẵn , lúc đó số số chẵn nhỏ hơn n là n : 2 .
 + Nếu n lẻ , lúc đó số số chẵn nhỏ hơn n là ( n + 1 ) : 2 .
10. Gọi số thứ nhất là thì số thứ hai là . Theo đầu bài ta có : 
 Từ cột hàng chục ta thấy a + b > 10 , 
 Vậy từ cột hàng đơn vị ta suy ra b + a = 16 . 
 Vì a b nên a = 9 ; b = 7 hoặc a = 7 ; b = 9 .
 Vậy hai số cần tìm là 79 và 97 .
11. Ta đặt phép tính dưới dạng thực hành :
Để tổng là một số có ba chữ số thì :
 b + b < 10 2b < 10 b < 5 
 Vậy b { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 } 
12.
 a) Muốn có tổng lớn nhất thì các chữ số hàng chục 5 số hạng phải lớn nhất. Ta lần lượt chọn 9 , 8 , 7 6 , 5 . Năm chữ số còn lại sẽ là các chữ số nhàng đơn vị .
Ta có 90 + 81 + 72 + 63 + 54 = 360 .
Vậy giá trị lớn nhất của tổng là 360 ( các chữ số ở hàng đơn vị có thể đổi chỗ cho nhau một cách tùy ý )
 b) 180
16. 
Vậy suy ra a = 7 ; b = 1 ; c = 4 ; d = 3 .
Thử lại 7 . 143 . 714 = 714714 .
17. Vì a > 2 và b > 2 nên a = 2 + m ; b = 2 + n ( m , n * ) 
 a + b = ( 2 + m ) + ( 2 + n ) = 4 + ( m + n ) ( 1 )
 a . b = ( 2 + m ) . ( 2 + n ) = 4 + 2 ( m + n ) + m.n ( 2 ) 
vì m , n * nên 2 ( m + n ) > m + n và m . n > 0 
Do đó từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra a + b < a . b .
19. Vì x – y > 30 nên x > 30 suy ra x = 52 .
 Vì x – y > 30 hay 52 – y > 30 suy ra y < 22 ( 1 )
 Vì x – y 12 ( 12 ) 
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra 121 < y < 22 . Trong các phần tử của A chì có 13 thõa mãn điều kiện đó , vậy y = 13 .
 Tóm lại x = 52 ; y = 13 .
25. Gọi số chia là b , theo đầu bài ta có :
 129 = b . q1 + 10 b . q1 = 119 = 119 . 1 = 17 . 7 
 61 = b . q2 + 10 b . q2 = 51 = 51 . 1 = 17 . 3 .
Vì b > 10 và q1 q2 , nên ta chọn b = 17 .
27. a) ( 100 – 7 ) : 3 + 1 = 32 ( số hạng )
 b) Gọi só hạng thứ 22 là x , ta có : ( x – 7 ) : 3 + 1 = 22 x = 70 .
 c) S = [ ( 7 + 100 ) . 32 ] : 2 = 1712 .
28. a) A = { 3 ; 10 ; 17 ; . . . ; 150 } 
 b) S = ( + 3 150 ) . 22 : 2 = 1683 .
53. b) 8 hoặc x { 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 } và y { 2 ; 6 } 
Hoặc x { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 } và y { 0 ; 4 ; 8 }
57. không thể là 9 . lập các trường hợp nếu a chẵn hoặc b chẵn ; nếu a và b đều lẻ tích là số chẵn .
58. Số lớn gấp 4 lần số nhỏ thì tổng của chúng bằng 5 lần số nhỏ sẽ chia hết cho 5 , mà 3456 5 nên không có hai số tự nhiên nào như vậy .
59. với n = 0 thì 5n – 1 = 0 4 .
 Với n = 1 thì 5n – 1 = 5 = 4 4 .
 Với n > 1 thì 5n – 1 có chữ số tận cùng là 25 4 .
60. n2 + n + 1 = n ( n + 1 ) + 1 
 n ( n + 1 ) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 
 n ( n + 1 ) + 1 là một số lẻ nên 4 .
 n ( n + 1 ) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên không có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9 nên n ( n + 1 ) + 1 không có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 ., do đó 5.
68. a { 2 ; 3 }
69. tách 
 a > và a nên a là hợp số .
70. Dễ thấy thương phải lớn hơn 50 vì 50 . 17 = 850 < 9**
Thương phải nhỏ hơn 60 Vì 60 . 17 = 1020 > 9**
Các số nguyên tố lớn hơn 50 và nhỏ hơn 60 là 53 và 59 .
Thử lại thấy 59 không phù hợp vì 59 . 17 = 1003 > 9**
Vậy thương là 53 và số bị chia là 53 . 17 = 901 .
73. Xét ba số n2 – 1 ; n2 ; n2 + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp phải có một số chia hết cho 3 . 
n2 3 ( vì n 3 ) nên trong hai số còn lại n2 – 1 ; n2 + 1 phải có một số chia hết cho 3 ; ( số này là hợp số ) nên chúng không thể đồng thời là số nguyên tố .
74. a) Vận mọi số tự nhiên lớn hơn 3 khi chia 6 có số dư là 0 , 1 , , 5
 b) nếu p có dạng 6k + 1 thì 8p + 1 = 8 ( 6k + 1 ) + 1 = 48k +9 9; số này là hợp số. Vậy p không có ạng 6k + 1 mà p có dạnh 6k + 5, khi đó : 
4p + 1 = 4 ( 6k + 1 ) + 1 = 24k + 21 3. rõ ràng 4p + 1 là hợp số .
75. p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p 3, p có dạng 3k +1 hoặc 3k +2 
Nếu p có dạng 3k + 1 thì p + 8 = ( 3k + 1 ) + 8 = 3k + 9 3 , số này là hợp số
Vậy p không có dạng 3k + 1 mà p có dạng 3k + 2 , khi đó 
p + 100 = ( 3k + 2 ) + 100 = 3k + 102 3 , điều này chứng tỏ p + 100 là hợp số
76. Gọi số tự nhiên đó là M, khi phân tích ra thừa số nguyên tố, giả sử 
 M = ax . by . . . cz . Số lượng các ước của M là (x+1).(y+1) . . . (z+1).Tích này là một số lẻ nên các thừa số đều lẻ , suy ra x , y ,  , z đều chẵn : 
x=2x/ ; y = 2y/ ,  , z = 2.z/ . Lúc đó M=. Điều này chứng tỏ M là số chính phương.
77. a) n = 14 b) n =15 .
81. Đ Số :336 viên
82 . vận dụng pp giải ví dụ 17 để giải 82 , 83 , 84 .
85. a) ĐS: b { 45 ; 225 }
b)Gọi số lớn là a , số nhỏ là b. Vì (a,b) = 18 nên a = 18 m ; b = 18 n trong đó (m,n) = 1 và m n. ta có a + b = 18 m +18 n = 18 ( m + n ) = 162 m+n=9. chọn cặp số m và n nguyên tố cùng nhau, có tổng bằng 9 và m n, ta được :
m
n
a
b
1
8
18
144
2
7
36
126
4
5
72
90
86. Gọi hai số là a và b ( a > b ) . Vì ( a , b ) = 15 nên a =15m , b =15n với
 ( m , n ) = 1 và m > n . Do a = 15m < 200 nên m < 14 .
Ta có a – b = 15m – 15 n = 15 ( m – n ) = 90 m – n = 6
Chọn cặp số m và n nguyên tố cùng nhau, có hiệu bằng 6 và m < 14 , ta được:
M
n
a
b
132
7
195
105
11
5
165
75
7
1
105
15
87. Gọi hai số là a và b ( a b). Ví U7CLN (a , b ) = 27 nên a = 17 m , b = 27n trong đó ( m , n ) = 1 và m n. Ta có a.b = 27m . 27n = 8748 m.n = 12 .
Chọn cặp số m và n nguyên tố cùng nhau, có tích là 12 và m n, ta được :
m
n
a
b
1
12
27
324
3
4
81
108
88. Mệnh đề đảo đúng . sử dụng tính chất chia hết để Chứng minh .
89. Số tiền mỗi người phải trả ít nhất là BCNN(1200,1500,2000) = 6000(đồng)
Đáp số : 5 bút; 4 bút ; 3 bút .
90. BCNN(126,140, 180) = 1260. ĐS: 5040 ; 6300 ; 7500 ; 8820.
90. Gọi số phải tìm là a, ta có a – 5 chia hết cho các số 12 ; 18 ; 21 
nên a – 5 BC(12,18,21) . BCNN(12,18,21) = 252 . 
Vậy a – 5 = 252k ( k *) Với k = 4 thì a = 1013 thõa mãn đề bài .
92. ĐS: 363 HS .
94. Ta có a.b = 300 . 15 = 4500 ( 1 ) .
Giả sử a b. Vì U7CLN(a,b) = 15 nên a = 15m ; b = 15n với ( m , n ) = 1 và mn . 
Từ (1) 15m . 15n = 4500 m.n = 20 . Ta có bảng kê:
m
n
a
b
1
20
15
300
4
5
60
75
95. ta đặt ( a , b ) = d a = d . m ; b = d. n trong đó (m,n) = 1 . 
Giả sử a b thì m n . Ta có a.b = dm . dn = d2 .m.n . 
Theo đầu bài [ a , b ] = 210 nên d.m.n = 210.
Trong đó Vậy m.n = 210 : 14 = 15 . 
Ta có bảng liệt kê sau :
m
n
a
b
1
15
14
210
3
5
42
70
94. Đặt (a,b) = d a =dm ; b = dn với ( m,n) = 1. 
Lúc đó [a,b] = dmn (bài 93)
Vậy [ a, b ] + (a,b) = dmn + d = d ( mn + 1 ) = 15 .
Giả sử a b thì m n và mn + 1 2
d
mn + 1
mn
m
n
a
b
1
15
14
1
14
1
14
2
7
2
7
3
5
4
1
4
3
12
5
3
2
1
2
5
10
96. a +6 11 ( a + 6 ) + 77 11 a + 83 11 ( 1 ) 
 A + 5 13 ( a + 5 ) + 78 13 a + 83 13 ( 2 ) 
Từ (1) và (2) a +83 BCNN(11 , 13) = 143
A + 83 143 a = 143k – 83 ( k *)
Để a nhỏ nhất có 3 chữ số ta chọn k = 2 , được a = 203.
97. a là một số lẻ nên a2 là một số lẻ , suy ra a2 – 1 2 ( 1 ) 
a là một số không chia hết cho 3 nên a2 chia cho 3 dư 1 suy ra a2 – 1 3 (2)
Các số 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên từ (1) a2 – 1 6.
98. Trong 5 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3, có một số chia hết cho 5 nên tích của chúng chia hết cho 3 và cho 5.
Trong 4 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4 nên tích của chúng chia hết cho 8 .
Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp vừa chia hết cho 3 ,vừa chia hết cho 5, vừa chia hết cho 8 mà các số 3 ; 5 ; 8 nguyên tố cùng nhau đô một nên tích này chia hết cho 3.5.8 = 120.
99. b) Xét thừa số thứ hai 
456 . 789789 = 456 . 1001 . 789 – 789 . 1001 .456 = 0. Vậy tích bằng 0.
100. Vận dụng công thức dãy công để tính .ĐS: a) x = 25 b) x = 20 .
101. a) Tổng các chữ số của 10n + 53 là 9 .
 b) Số bị trừ và số trừ đều có chữ số tận cùng là 7.
 c) Tổng các chữ số hàng chẵn bằng tổng các chữ số hàng lẻ nên hiệu của chúng bằng 0 chia hết cho 11 . Ba chữ số tận cùng là 555 không chia hết cho 125
102. Gọi số phải tìm là a . Ta có : a = 17m + 5 = 19 n + 12 ( m , n )
17m = 19n + 7 hay 17m = 17n + ( 2n + 7 ) 
Ta có 17m 17 ; 17 n 17 nên 2n + 7 17 .
Vì a phải nhỏ nhất nên ta chọn n là số nhỏ nhất sao cho 2n + 7 17; ta được 
 .n = 5 , Vậy a = 107 .
104. ĐS : a ) k = 1 ; b) k > 1 ; k = 0 
105. Phân tích số 143 ra thừa số nguyên tố : 143 = 11 . 13 
ĐS: x = 10 ; y = 9 hoặc x = 12 ; y = 8 .
109. a = p1m . p2n a3 = p13m . p23n . Số ước của a3 là ( 3m + 1) . ( 3n + 1) = 40 m = 1 ; n = 3 hoặc m = 3 ; n = 1 .
Số a2 = p12m . p22n có số ước là ( 2m + 1 ) ( 2n + 1 ) = 3 . 7 = 21 ( ước )
106. a ƯC của 355 – 13 = 342 và 836 – 8 = 828 ; a > 13 . ĐS: a = 18 .
107. BCNN( 12,18,27) = 108 BC(12,18,27) = 108 k ( k )
 = { 0 ; 108 ; 216 ; . . . ; 1080 ; . . . }
a) Số lớn nhất có ba chữ số chia hết cho các số đã cho là 972.
b) Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho mỗi số đó đều dư 1 là 1080 + 1 = 1081 .
c) Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho mỗi số đó đều thiếu 2 là 
 1080 – 2 = 1078.
108. Gọi số đó là a . Ta có 
 a = 7m + 5 và a = 13n + 4 với m , n 
 a + 9 = 7m + 14 = 7 ( m + 2 ) 7
 a + 9 = 13 n + 13 = 13 ( n + 1 ) 13
 a +3 7 và a + 9 13 mà ( 7 , 13 ) = 1 nên ( a + 9 ) 7.13 hay a + 9 91
Vậy a = 91k – 9 = 91k – 91 + 82 ; 
 a = 91 ( k – 1 ) + 82 do đó a chia cho 91 dư 82 .