Giáo án lớp 6 môn Số học - Các bài toán về dãy số

CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
I. Ví dụ
Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức :
 với n = 1, 2, 3, , k, ..
Tính U1, U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8
Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1
Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un+1 theo Un và Un-1
Hướng dẫn giải
a) U1 = 1 U5 = 147884
 U2 = 26 U6 = 2360280
 U3 = 510 U7 = 36818536
 U4 = 8944 U8 = 565475456
b) Đặt Un+1 = a.Un + b.Un-1
Theo kết quả tính được ở trên, ta có:
Giải hệ phương trình trên ta được: a = 26,b = -166
Vậy ta có công thức:
Un+1 = 26Un – 166Un-1
c) Lập quy trình bấm phím trên máy CASIO 500MS:
Ấn phím:
26
Shift
STO
A
x
26
-
166
x
1
Shift
STO
B
Lặp lại dãy phím 
x
26
-
166
x
Alpha
A
Shift
STO
A
	X
26
-
166
x
Alpha
B
Shift
STO
B
II.Bài tập
Bài 1. Cho dãy số sắp thứ tự biết:
1.1 Tính 	
1.2 Viết qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị của với .
1.3 Sử dụng qui trình trên, tính giá trị của 
Qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị của un với 
Bài 2.
u2 =
u25 =
u1 =
Cho dãy số sắp thứ tự , biết và .
Tính .
Bài 3: Cho ( nếu n lẻ, nếu n chẵn, n là số nguyên ).
3.1 Tính chính xác dưới dạng phân số các giá trị: .
3.2 Tính giá trị gần đúng các giá trị: .
3.3 Nêu qui trình bấm phím để tính giá trị của 
u4 = --------------------
u5 = --------------------
u6 = ----------------------
u20 »
u25 »
u30 »
Qui trình bấm phím:
, nếu n chẵn
, nếu n lẻ
Bài 4: Cho dãy số xác định bởi: 	
4.1 Qui trình bấm phím để tính un và Sn:
4.2 Tính giá trị của 
4.3 Gọi là tổng của số hạng đầu tiên của dãy số . Tính .
u10 = 
u15 = 
u21= 
S10 = 
S15 = 
S20 = 
Bài 5 : Cho dãy số với 
Hãy chứng tỏ rằng , với N = 1000 , có thể tìm cặp hai chỉ số 1 , m lớn hơn N sao cho 
b) Với N = 1 000 000 điều nói trên còn đúng không ?
 	c) Với các kết quả tính toán như trên , Em có dự đoán gì về giới hạn của dãy số đã cho ( khi ) 
 Bài 6. Cho dãy số 
biết:
6.1 Tính 
6.2 Viết qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị của với .
6.3 Sử dụng qui trình trên, tính giá trị của .
Bài 7. Cho dãy số U1 = ; , n là số tự nhiên và n 
 Viết quy trình bấm phím để tính Un.
 Tính 5 số hạng đầu tên của dãy số trên
Quy trình bấm phím
Kết quả
 2) Cho . Tính S2004 + S2005 + S2006 + S2007 
Quy trình bấm phím
Kết quả
Bài 8. Cho 1 dãy số , n = 1, 2, 3...
Hãy tính giá trị của số hạng 
Bài 9. Cho , n là số tự nhiên.
Tính và cho kết quả chính xác là một phân số hoặc hỗn số.
Tính giá trị gần đúng với 6 chữ số thập phân của 
Bài 10. Cho dãy số an được xác định như sau:
 	 với mọi 
Tính chính xác dưới dạng phân số tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số đó.
Bài 11. Cho dãy số un được xác định như sau:
 	 với mọi 
 	11.1 Qui trình bấm phím để tính un
 11.2 Tính giá trị của 
Bài 12. Cho dãy số un được xác định như sau:
 	 với mọi 
 	12.1 Qui trình bấm phím để tính un, Sn
 	12.2 Tính giá trị của 
Bài 15. Cho với 
	15.1 Lập quy trình bấm phím để tính Sn
	15.2 Tính giá trị gần đúng với 6 chữ số thập phân của S15
	15.3 Tính giới hạn 
a
Bài 16. Cho . Hãy tính gần đúng với 5 chữ số thập phân giá trị bé nhất của an.
Bài 17. Cho dãy số với n = 1, 2, 3, 
	17.1 Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy số u1, u2, u3, u4, u5.
	17.2 Chứng minh rằng un+2 = 6un+1 – 7un
 17.3 Lập quy trình bấm phí liên tục để tính un+2.
-------------------------------------------
Liªn ph©n sè
Liªn ph©n sè lµ sè cã d¹ng:
*C¸c d¹ng to¸n vÒ liªn ph©n sè:
1. TÝnh gi¸ trÞ cña liªn ph©n sè.
2. T×m sè trong liªn ph©n sè.
3. Gi¶i ph¬ng tr×nh cã liªn quan ®Õn liªn ph©n sè.
VÝ dô:
Bµi1: TÝnh vµ
Bµi 2 T×m a, b, c, d, e biÕt 
Bµi 3. a)TÝnh gi¸ trÞ cña x tõ ph­¬ng tr×nh sau:
b)T×m c¸c sè tù nhiªn a vµ b biÕt r»ng:
Bµi 4T×m c¸c sè tù nhiªn a, b, c, d, e biÕt 
Bµi 5. Vieát keát quaû cuûa caùc bieåu thöùc sau döôùi daïng phaân soá
Bµi 6Thôøi gian maø quaû ñaát quay moät voøng quanh maët trôøi ñöôïc vieát döôùi daïng :
Döïa vaøo lieân phaân soá naøy, ngöôøi ta coù theå tìm ra soá naêm nhuaän. Thí duï, duøng lieân phaân soá thì cöù 4 naêm laïi coù 1 naêm nhuaàn, coøn neáu duøng lieân phaân soá thì cöù 29 naêm seõ coù 7 naêm nhuaàn
1. haõy tính giaù trò cuûa lieân phaân soá (döôùi daïng phaân soá)
a. 	b. 
2. Keát luaän veà soá naêm nhuaän theo caùc phaân soá nhaän ñöôïc
Bµi 7 Tìm a vaø b thuoäc soá töï nhieân thoaû 
Bµi 8Tính giaù trò bieåu thöùc 
Bµi 9
Tính giaù trò cuûa caùc bieåu thöùc sau vaø chæ bieåu dieãn keát quaû döôùi daïng phaân soá vaø ñieàn keát quaû vaøo oâ vuoâng . 
Tìm caùc soá töï nhieân a vaø b vaø ñieàn keát quaû vaøo oâ vuoâng , bieát 
C¸c bµi to¸n vÒ ®a thøc
1.XÐt ®a thøc P(x). Ta cã c¸c d¹ng to¸n sau:
TÝnh P(a).
XÐt xem mét sè cã lµ nghiÖm cña ®a thøc kh«ng.
P(x)= G(x).(x-a)+r. Do ®ã r=P(a) lµ sè d cña phÐp chia P(x) cho a.
T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó P(x) tháa m·n mét sè ®iÒu kiÖn nµo ®ã. 
2. Bµi tËp
Bài 1. Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để sao cho P(x) chia hết cho (x – 13) có số dư là 2 và chia cho (x – 14) có số dư là 3.
Bài 2. Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức.
Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007
Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45.
Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng là 9, 21, 33, 45
H­íng dÉn: 
Bµi 1
Ta có : P(x) = Q(x)(x – a) + r Þ P(a) = r
Vậy 	P(13) = a.133 + b.132 + c.13 – 2007 = 1
	P(3) = a.33 + b.32 + c.3 – 2007 = 2 
	P(14) = a.143 + b.142 + c.14 – 2007 = 3
Tính trên máy và rút gọn ta được hệ ba phương trình :
Tính trên máy được :a = 3,693672994 » 3,69
b = –110,6192807 » –110,62
c = 968,2814519 » 968,28
Bài 2
Tính giá trị của P(x) tại x = 1, 2, 3, 4 ta được kết quả là : 
Lấy hai vế của phương trình (1) lần lượt nhân với 2, 3, 4 rồi trừ lần lượt vế đối vế với phương trình (2), phương trình (3), phương trình (4), ta được hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn :
Tính trên máy được a = -93,5 ; b = -870 ; c = -2972,5 và d = 4211
Ta có P(x)=x5 – 93,5x4 + 870x3 -2972,5x2+ 4211x – 2007
Q(1,15) = 66,15927281 » 66,16
Q(1,25) = 86,21777344 » 86,22	
Q(1,35) = 94,91819906 » 94,92	
 Q(1,45) = 94,66489969 » 94,66
Bµi 3 Cho P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x - 50. Gäi r1 lµ phÇn d­ cña phÐp chia P(x) cho x - 2 vµ r2 lµ phÇn d­ cña phÐp chia P(x) cho x - 3. ViÕt quy tr×nh tÝnh r1 vµ r2 sau ®ã t×m BCNN(r1;r2) ?
Bµi 4.
Cho ®a thøc P(x) = x3 + ax2 + bx + c. BiÕt P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9. H·y viÕt quy tr×nh ®Ó tÝnh P(9) vµ P(10) ?
Bµi 5 Cho ®a thøc P(x) = x3 + ax2 + bx + c. BiÕt P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9.
a) T×m sè d­ khi chia P(x) cho x – 4 ?
b) T×m sè d­ khi chia P(x) cho 2x + 3 ?
Bµi 6
Cho c¸c ®a thøc F(x)= x4+5x3-4x2+3x+a
 G(x)=-3x4+4x3-3x2+2x+b; H(x)=5x5-x4-6x3+27x2-54x+32
a)T×m a, b ®Ó F(x) vµ G(x) cã nghiÖm chung lµ x=0,25
b)Sö dông c¸c phÝm nhí, lËp quy tr×nh bÊm phÝm t×m sè d­ trong phÐp chia Q(x) cho 2x+3. 
Bµi 7
a)Cho f(x) = 2x6-4x5+7x4-11x3-8x2+5x-2007. Gäi r1 vµ r2 lÇn l­ît lµ sè d­ cña phÐp chia f(x) cho x-1,12357 vµ x+0,94578. TÝnh B=0,(2006)r1-3,(2007)r2.
b)Cho f(x) = x5+x2+1 cã 5 nghiÖm lµ x1, x2, x3, x4, x5 vµ P(x) = x2-7. TÝnh P(x1)P(x2)P(x3)P(x4)P(x5).
Bµi 8
Cho ña thöùc 
Tìm soá dö r trong pheùp chia P(x) cho ( x – 3,5 ) khi m = 2005 
Tìm giaù trò m1 ñeå ña thöùc P(x) chia heát cho x – 3,5 
 Tìm giaù trò m2 ñeå ña thöùc P(x) coù nghieäm x = 3 
Bµi 9
Cho ña thöùc vaø cho bieát P(1) = - 15 , P(2) = - 15 , P(3) = - 9 
Tìm caùc heä soá b, c , d cuûa ña thöùc P(x) .
Tìm soá dö r1 trong pheùp chia P(x) cho (x – 4) 
Tìm soá dö r2 trong pheùp chia P(x) cho (2x + 3) ( chính xaùc ñeán 2 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân ) 
Bµi 10
Cho ña thöùc vaø cho bieát P(1) = - 5 , P(2) = -3 , P(3) = -1 , P(4) = 1
Tìm caùc heä soá a , b, c , d cuûa ña thöùc P(x) .
Tính caùc giaù trò cuûa P(22) , P(23) , P(24) , P(25) . 
Vieát laïi P(x) vôùi heä soá laø caùc soá nguyeân 
Tìm soá dö r1 trong pheùp chia P(x) cho (7x -5) ( chính xaùc ñeán 5 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân ) . 
Bµi 11
a) Cho ña thöùc vaø cho bieát P(1) = 0 , P(2) = 4 , P(3) = 18 , P(4) = 48 . Tính P(2007) ? 
	b) Cho ña thöùc . Goïi r1 laø phaàn dö cuûa pheùp chia P(x) cho 
x – 2 vaø r2 laø phaàn dö cuûa pheùp chia P(x) cho x – 3 . Tìm BCNN ( r1 , r2 ) ? 
Bµi 12
Cho ña thöùc P(x) = x3 + ax2 + bx + c
Tìm a , b , c bieát raèng khi x laàn löôït nhaän caùc giaù trò 1,2 ; 2,5 ; 3,7 thì P(x) coù giaù trò töông öùng laø 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653
Tìm soá dö r cuûa pheùp chia ña thöùc P(x) cho 12x – 1
Tìm giaù trò cuûa x khi P(x) coù giaù trò laø 1989
C¸c bµi tËp vÒ ph©n sè vµ sè thËp ph©n
1.Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
2. T×m x biÕt:
3. TÝnh 
 4. T×m x biÕt 
	a) 
	b) 
5.TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau
a) A = 
b) C = 
6.TÝnh : 
7.TÝnh 2,5% cña vµ 7,5% cña 
8.TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
a) A = 
b) B = 
c) C = 
9.T×m x biÕt:
a)
b)
10.TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau
a) A = 
b) B = (6492 + 13x1802)2 - 13x(2x649x180)2
c) D = 
d) C = ( ChÝnh x¸c ®Õn 6 ch÷ sè thËp ph©n)
11. Tính giá trị của biểu thức(chØ ghi kÕt qu¶):
 Với x = 0,987654321; y = 0,123456789
12. Tính giá trị của x từ phương trình sau 
13.Tính S = chính xác đến 4 chữ số thập phân.
14.Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc M = chính xaùc ñeán 0,0001 vôùi:
15. Tính gaàn ñuùng giaù trò cuûa bieåu thöùc : N = 
16.Tìm x bieát 
17. Tìm y bieát 
18.Tìm x bieát 
19.Tìm x : 
Tính 
20. Thùc hiÖn phÐp tÝnh.
a) . 
21.Thùc hiÖn phÐp tÝnh.
a) . 
b)	vµ	
c) 
d)	
C¸c bµi to¸n sè häc
Sè nguyªn tè: 
®Ó kiÓm tra mét sè a nguyªn d¬ng kh«ng ta chia a cho c¸c sè nguyªn tè tõ 2 ®Õn . NÕu c¸c phÐp chia ®Òu d­ th× a lµ sè nguyªn tè.
VÝ dô: ®Ó kiÓm tra 647 cã lµ sè nguyªn tè kh«ng ta chia 647 lÇn lît cho 2,3,5, Sè nguyªn tè: ®Ó kiÓm tra mét sè a nguyªn d¬ng kh«ng ta chia a cho c¸c sè nguyªn tè tõ 2 ®Õn . NÕu c¸c phÐp chia ®Òu d th× a lµ sè nguyªn tè.
VÝ dô: ®Ó kiÓm tra 647 cã lµ sè nguyªn tè kh«ng ta chia 647 lÇn lît cho 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29. C¸c phÐp chia ®Òu cã d. Do ®ã 647 lµ sè nguyªn tè.
2.¦CLN, BCNN: 
	§Ó t×m ¦CLN, BCNN cña A,B ta rót gän ph©n sè: . Tõ ®ã : 
 ¦CLN(A;B)=A:a, BCNN(A;B)=A.b. 
VÝ dô : t×m ¦CLN, BCNN cña A= 209865, B=283935.
§¸p sè: (A;B)=12345, [A,B]=4826895
3.T×m sè d cña phÐp chia A cho B:	
	Sè d­ cña phÐp chia A cho B lµ 
VÝ dô: T×m sè d cña phÐp chia 22031234 :4567(®¸p sè:26)
7,11,13,17,19,23,29. C¸c phÐp chia ®Òu cã d. Do ®ã 647 lµ sè nguyªn tè.
4. ¦íc vµ béi
	VÝ dô: T×m tÊt c¶ c¸c íc cña 120
Trªn m¸y Casio 500MS:
 1 Shift sto A/120:A=/A+1 Shift sto A/ =/ =/ chän c¸c kÕt qu¶ lµ sè nguyªn
Trªn m¸y Casio 570MS:
	 1 Shift sto A/ ghi lªn mµn h×nh
 A=A+1: 120:A. Ên = liªn tiÕp chän c¸c kÕt qu¶ lµ sè nguyªn.
KÕt qu¶ : ¦(120)=
5. TÝnh chÝnh x¸c gi¸ trÞ cña biÓu thøc sè
VÝ dô:Tính kết quả đúng (không sai số) của các tích sau :
Kết hợp tính trên giấy ta sẽ được kết quả.
Bµi tËp 
1.Tìm ÖCLN vaø BCNN cuûa hai soá A = 1234566 vaø B = 9876546
(ÖCLN = 18; BCNN = 677402660502)
2. TÝnh chÝnh x¸c gi¸ trÞ cña biÓu thøc 	vµ	
3. TÝnh chÝnh x¸c gi¸ trÞ cña 1234567892(®¸p sè 15241578749590521)
	(®¸p sè: A=402283444622030)
4. Cho sè tù nhiªn a=. Sè nµo sau ®©y lµ ­íc nguyªn tè cña sè ®· cho: 2; 3; 5; 7 ; 11.(®¸p sè: A=1111=11.101)
5. LËp quy tr×nh ®Ó t×m c¸c phÇn tö cña tËp hîp A. BiÕt A lµ tËp hîp c¸c ­íc sè d­¬ng cña 60 . C¸c kh¼ng ®Þnh sau ®©y ®óng hay sai:
a) 7ÎA b) 15ÎA c) 30ÏA
6. 
 Vieát quy trình aán phím ñeå tìm soá dö khi chia 20052006 cho 2005105 
Tìm soá dö khi chia 20052006 cho 2005105 
Vieát quy trình aán phím ñeå tìm soá dö khi chia 3523127 cho 2047
Tìm soá dö khi chia 3523127 cho 2047
7. Cho hai soá A = 2419580247 vaø B = 3802197531
Tìm ÖCLN(A, B) ?
Tìm BCNN(A,B) ? 
8. Tính keát quaû ñuùng cuûa tích A = 
Tính . 
Tìm soá dö r khi chia 39267735657 cho 4321 
9. Cho hai soá A = 1234566 vaø B = 9876546
 a) Tìm ÖCLN(A, B) vaø BCNN(A,B) ?
 b)Goïi D = BCNN(A,B) .Tính giaù trò ñuùng cuûa D3
10. a) Tính giá trị của biểu thức lấy kết quả với 2 chữ số ở phần thập phân :
b) Tính kết quả đúng (không sai số) của các tích sau :
P = 13032006 x 13032007; Q = 3333355555 x 3333377777
(H.D: a) Tính trên máy được :N = 567,8659014 » 567,87
b) 	Đặt x = 1303 ; y = 2006 ta có P = (x .104 + y)(x .104 + y + 1)Vậy P = x2.108 + 2xy .104 + x .104 + y2 + y
	Tính trên máy rồi làm tính, ta có : 
x.10 8 	= 	169780900000000
2xy.104	=	52276360000
x.104	= 	13030000
y2 	=	4024036
y 	= 	2006
P	=	169833193416042
Đặt A = 33333, B = 55555, C = 77777 ta có : Q = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC
	Tính trên máy rồi làm tính, ta có : 
A2.10 10 	= 	11110888890000000000
AB.105 	=	185181481500000
AC.105	= 	259254074100000
B.C 	=	4320901235 
Q	= 11111333329876501235