Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Nguyễn Hoàng Hoa

PHẦN SỐ HỌC
Bài 1: TÍNH CHIA HẾT TRấN TẬP HỢP SỐ NGUYấN.
SỐ NGUYấN TỐ.
A. Nhắc lại và bổ sung cỏc kiến thức cần thiết:
I. Tớnh chia hết:
1. Định lớ về phộp chia: Với mọi số nguyờn a,b (b0), bao giờ cũng cú một cặp số nguyờn q, r sao cho : a = bq + r với .
a gọi là số bị chia , b là số chia, q là thương và r là số dư.
Trong trường hợp b > 0 và r0 cú thể viết: a = bq + r = b(q +1)+ r - b.
Vớ dụ: Mọi số nguyờn a đều cú dạng: 
a = 2q 1 (xột phộp chia cho b = 2)
a = 3q ; 3q 1 (xột phộp chia cho b = 3)
a = 4q ; 4q 1 ; 4q 2 (xột phộp chia cho b = 4).
a = 5q; 5q 1; 5q 2 (xột phộp chia cho b = 5)
......................
2. Tớnh chia hết: Nếu a chia b mà số dư r = 0, ta núi :
 a chia hết cho b hay a là bội của b (kớ hiệu a b)
b chia hết a hay b là ước của a (kớ hiệu b\ a)
Vậy: ab (b\ a) khi và chỉ khi cú số nguyờn q sao cho a = bq.
3. Cỏc tớnh chất:
	1) Nếu ab thỡ a b (b0)
	2) a a; 0 a với mọi a 0
	3) a 1 với mọi a
	4) Nếu a m thỡ an m (m 0, n nguyờn dương).
	5) Nếu ab và ba thỡ |a| = |b|
	6) Nếu a b và b c (b,c0) thỡ a c.
	7) Nếu a c và bc(c0) thỡ (ab)c. Điều ngược lại khụng đỳng.
	8) Nếu a m hoặc b m thỡ ab m(m0). Điều ngược lại khụng đỳng.
	9) Nếu ap và a q, (p, q)= 1 thỡ a pq
	10) Nếu a = mn; b = pq và mp nq thỡ ab
11) Nếu ab m và (b,m) = 1 thỡ a m
12) Nếu ab m và a m thỡ b m
II. Số nguyờn tố:
1.Định nghĩa: Số nguyờn tố là số tự nhiờn lớn hơn 1, chỉ cú hai ước là 1 và chớnh nú.
	Hợp số là số tự nhiờn lơn hơn 1 cú nhiều hơn hai ước.
	Số 1 và số 0 khụng phải là số nguyờn tố cũng khụng phải là hợp số.
2. Định lớ cơ bản của số học: Mọi số tự nhiờn lớn hơn 1 đều phõn tớch được ra thừa số nguyờn tố một cỏch duy nhất(khụng kể thứ tự cỏc thừa số).
	Số nguyờn tố được coi như là tớch chỉ gồm một thừa số là chớnh nú.
	Cú vụ số số nguyờn tố (khụng cú số nguyờn tố lớn nhất).
	Số hoàn chỉnh: là số bằng tổng cỏc ước của nú khụng kể bản thõn nú.
	Vớ dụ: 6 , 28, ... , 2n-1(2n - 1)
III. Một số phương phỏp thụng thường để giải bài toỏn về chia hết: 
Cỏch 1: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, cú thể xột mọi trường hợp số dư khi chia n cho k.
Vớ dụ 1: Chứng minh rằng:
	a) Tớch của hai số nguyờn liờn tiếp chia hết cho 2.
	b) Tớch của ba số nguyờn liờn tiếp chia hết cho 3.
Giải : a) Viết tớch của hai số nguyờn liờn tiếp dưới dạng A(n) = n(n + 1).
Cú hai trường hợp xảy ra : 
 	* n 2 => n(n + 1) 2
	* n khụng chia hết cho 2 (n lẻ) => (n + 1) 2 => n(n +1) 2
	b) Chứng minh tương tự a.
Cỏch 2: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, cú thể phõn tớch k ra thừa số: k = pq . 
	+ Nếu (p, q) = 1, ta chứng minh A(n) p và A(n) q.
	+ Nếu (p, q) 1, ta phõn tớch A(n) = B(n) .C(n) rồi chứng minh:
B(n) p và C(n) q .
Vớ dụ 2: a) Chứng minh: A(n) = n(n +1)(n + 2) 6.
 b) Chứng minh: tớch của hai số chẵn liờn tiếp chia hết cho 8.
 Giải : a) Ta cú 6 = 2.3; (2,3) = 1 . Theo chứng minh trờn đó cú A(n) chia hết cho 2 và 3. Do đú A(n) chia hết cho 6.
	b) Ta viết A(n) = 2n(2n + 2) = 2n. 2(n +1) = 4n(n + 1).
	 8 = 4 . 2.
	Vỡ 4 4 và n(n +1) 2 nờn A(n) 8
Vớ dụ 3 : Chứng minh rằng n5 - n chia hết cho 10, với mọi số nguyờn dương n.	(Trớch đề thi HSG lớp 9 cấp tỉnh năm học 2005 - 2006)
 Giải : A(n) = n5 - n = n(n4 - 1) = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 +1) 2
	n = 5k + 1 => (n - 1) 5
	n = 5k + 4 => (n + 1) 5.
	n = 5k + 2 => n2 + 1 = (5k + 2)2 + 1 = (25k2 + 20k + 4 + 1) 5
 	n = 5k + 3 => n2 + 1 = (5k + 3)2 + 1 = (25k2 + 30k + 9 + 1) 5
Vậy : A(n) chia hết cho 2 và 5 nờn phải chia hết cho 10.
Cỏch 3: Để chứng minh A(n) chia hết cho k , cú thể biến đổi A(n) thành tổng(hiệu) của nhiều hạng tử , trong đú mỗi hạng tử đều chia hết cho k . ( Đó học trong tớnh chất chia hết của một tổng ở lớp 6)
(Liờn hệ: A(n) khụng chia hết cho k ...)
Vớ dụ 4: Chứng minh n3 - 13n (n > 1) chia hết cho 6. (Trớch đề thi HSG cấp II toàn quốc năm 1970). Gv diễn đạt đề thành lời.
Giải : n3 - 13n = n3 - n - 12n = n(n2 - 1) - 12n = (n - 1)n(n + 1) - 12n
(n - 1)n(n + 1) là tớch của 3 số tự nhiờn liờn tiếp nờn chia hết cho 6 ; 12n 6 . Do đú A(n) 6
Vớ dụ 5: Chứng minh n2 + 4n + 5 khụng chia hết cho 8 , với mọi số n lẻ.
Giải : Với n = 2k +1 ta cú: 
A(n) = n2 + 4n + 5 = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + 5 = 4k2 + 4k + 1 + 8k + 4 + 5
 = 4k(k + 1) + 8(k + 1) + 2.
A(n) bằng tổng của ba hạng tử, trong đú hai hạng tử đầu đều chia hết cho 8 , duy chỉ cú hạng tử 2 khụng chia hết cho 8. Vậy A(n) khụng chia hết cho 8.
Cỏch 4: Phõn tớch A(n) thành nhõn tử.Nếu cú một nhõn tử chia hết cho k thỡ A(n) chia hết cho k.
Hệ quả: Nếu A(n) = B(n).C(n) mà B(n)và C(n) đều khụng chia hết cho k thỡ A(n) khụng chia hết cho k
Vớ dụ 6: Chứng minh : 2 + 22 + 23 + ... + 260 chia hết cho 15.
Giải: Ta cú: 
2 + 22 +23 + ... + 260 = (2 + 22 + ... + 24) + (25+ ... + 28) + ... + (257 +...+ 260)
= 2(1 + 2 + 4 + 8) + 25(1 + 2 + 4 + 8) + ... + 257(1 + 2 + 4 + 8) 
= 15.(2 + 25 + ... + 257) 15.
IV. Một số phương phỏp đặc biệt để giải toỏn chia hết:
Cỏch 5: Dựng nguyờn tắc Dirichlet: 
Nguyờn tắc Dirichlet phỏt biểu dưới dạng hỡnh ảnh như sau:
Nếu nhốt k chỳ thỏ vào m chuồng mà k> m thỡ phải nhốt ớt nhất hai chỳ thỏ vào chung một chuồng.
Vớ dụ 7: Chứng minh rằng trong m + 1 số nguyờn bất kỡ thế nào cũng cú hai số cú hiệu chia hết cho m.
Giải: Chia một số nguyờn bất kỡ cho m ta được số dư là một trong m số 0; 1 ; 2; 3; ...; m - 1. Theo nguyờn tắc Dirichlet, chia m + 1số cho m thỡ phải cú ớt nhất hai số cú cựng số dư . Do đú hiệu của hai số này sẽ chia hết cho m.
Cỏch 6: Dựng phương phỏp qui nạp toỏn học: Để chứng minh A(n) k ta làm theo trỡnh tự sau:
Thử với n = 1 hoặc 2(Tức số n nhỏ nhất chọn ra).Nếu sai => Dừng.Nếu đỳng A(1)k.Tiếp tục: 
Giả sử A(k) k.
Chứng tỏ A(k + 1) k. Nếu đỳng => Kết luận : A(n) k
Vớ dụ 8: Chứng minh : 16n - 15n - 1 chia hết cho 225.
Đặt A(n) = 16n - 15n -1 , ta cú : A(1) = 16 - 15 - 1 = 0 225 => A(1) đỳng.
Giả sử A(k) đỳng : A(k) = 16k - 15k -1 225. Ta chứng minh A(k + 1) đỳng, tức là c/m: 16k + 1 - 15(k + 1) - 1225.
Thật vậy, 16k+1 - 15(k + 1) - 1 = 16. 16k - 15k - 15 - 1
 = (15 + 1) 16k - 15k - 15 - 1
	 = 15.16k + 16k - 15k -15 - 1
	 = (16k - 15k - 1) + 15(16k - 1) 
 = (16k - 15k - 1) + 15(16 - 1) (16k-1 + ... +1)
	 = (16k - 15k - 1) + 225(16k-1+ ... + 1) 225
Cỏch 7: Phương phỏp phản chứng:
Để chứng minh A(n) k ta chứng minh A(n) khụng chia hết cho k là sai.
	A => B ú B => A
Vớ dụ 9: Chứng minh nếu a2 + b2 3 thỡ a và b đều chia hết cho 3.
Giải : Giả sử a và b khụng chia hết cho 3 => a = 3k 1 ; b = 3h 1
a2 + b2 = (3k 1)2 + (3h 1)2 = 9k2 6k + 1 + 9h2 6h + 1 
 	 = 3(3k2 + 3h2 2k 2h) + 2 khụng chia hết cho 3 mõu thuẫn với giả thiết.
Tương tự cho trường hợp chỉ cú một trong hai số chia hết cho 3.
Do đú a và b phải chia hết cho 3
B. PHẦN BÀI TẬP: Chứng minh: 
1. a) 192007 - 192006 chia hết cho 9.
 b) 92n + 14 chia hết cho 5.
 c) Tổng của 3 số tự nhiờn liờn tiếp chia hết cho 3, tổng của 5 số tự nhiờn liờn tiếp chia hết cho5.
2. Tớch của một số chớnh phương và một số tự nhiờn đứng liền trước nú là một số chia hết cho 12.
3. (n2 - 1)n2(n2 + 1) chia hết cho 60
4. a) n2 + 11n + 39 khụng chia hết cho 49
 b) n2 + 3n +5 khụng chia hết cho 11
5. a) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24.
 b) n4 - 4n3 - 4n2 - 16n (chẵn, n > 4) chia hết cho 384.
6. 4n + 15n - 1 chia hết cho 9.
7. n2 + 4n + 3 (n lẻ) chia hết cho 8.
8. n3 + 3n2 - n - 3 chia hết cho 48.
9) 36n -26n chia hết cho 35
10) ab(a2 + b2)(a2 - b2) chia hết cho 30 với mọi số nguyờn a,b.
11) a) (62n + 19n - 2n+1) chia hết cho17.
 b) (7.52n + 12.6n) chia hết cho 19.
 c) (5n+2 + 26.5n + 82n+1) chia hết cho 59.
12) a)a2 + b2 chia hết cho 7 thỡ a và b cũng chia hết cho 7.
13) 55552222 + 22225555 7
Bổ sung: Nhị thức Newton:
an - bn a - b (với mọi n) , an + bn a + b (n lẻ) ; an - bn a + b (n chẵn) 
Hướng dẫn giải:
1. a) = 192006.(19 - 1) = 192006.18 9
 b) = (81n -1) + 1 + 14 = (81 - 1). Q + 15 5
 c) (n + 1) + (n + 2) + (n +3) = 3n + 6 3
2. n2(n2 - 1) = n2(n - 1)(n + 1) = [(n -1).n] . [n. (n + 1)] 3; 4.
3. = (n - 1)(n + 1)n . n(n2 - 4 + 5)
 = (n - 1) .n. n. (n + 1)(n+ 2) (n - 2) + 5(n - 1)(n + 1) n . n 5; 4; 3.
4. a) = n2 + 4n + 7n + 28 + 11 = 
Bài 2: 
ĐỒNG DƯ THỨC .
A. Túm tắt lý thuyết:
I. Định nghĩa: 
1.Định nghĩa: Cho số nguyờn m > 0.Nếu hai số nguyờn a và b khi chia cho m cú cựng số dư thỡ ta núi rằng a đồng dư với b theo mụđun m và viết: 
 	 ab (modm). 
2. Vớ dụ: 3 5 (mod 2)
	 14 0 (mod 7) ...
II. Tớnh chất : 
Nếu a b (mod m) thỡ a - b m
Nếu a b (mod m) và b c (mod m) thỡ a c (mod m)
Nếu a b (mod m) và c d (mod m) thỡ a c b d (mod m)
Nếu a b (mod m) và c d (mod m) thỡ ac bd (mod m)
Nếu a b (mod m) thỡ an bn (mod m)
Nếu a b (mod m) thỡ ka kb (mod m) với k > 0
Nếu ka kb (mod km) thỡ a b (mod m) với k > 0
Nếu ka kb (mod m) và (k , m) = 1thỡ a b (mod m) .
Định lớ Fermat: Nếu p là số nguyờn tố thỡ : np n (mod p) ; n Z
Hoặc : Nếu p là số nguyờn tố thỡ : np-1 1 (mod p), với (n,p) = 1
Định lớ Euler : Cho m là một số nguyờn dương bất kỡ và (m) là số cỏc số dương nhỏ hơn m và nguyờn tố với m. Thế thỡ : n(m) 1 (mod m)
* Cỏch tớnh (m) : phõn tớch m ra thừa số nguyờn tố : 
	m = a1α. a2β ... anλ . Thế thỡ : (m) = m
B. Bài tập ứng dụng:
Bài 1: Chứng minh 2100 - 1 chia hết cho 5
Giải : Ta cú 24 1 (mod 5) 
 => (24)25 125 (mod 5).
 => 2100 1 (mod 5) hay 2100 - 1 5
Bài 2: Tỡm số dư của phộp chia 299 cho 3.
Giải : Cú 23 -1 (mod 3)
 (23)33 (-1)33 (mod 3)
	 299 -1 (mod 3) . Vậy 299 chia 3 dư 2.
Bài 3 : Tỡm chữ số cuối cựng của 2999
Bài 4: Chứng minh 22008 khụng chia hết cho 10.
Bài 5: Chứng minh rằng trong cỏc số tự nhiờn thế nào cũng cú số k sao cho 1983k - 1 chia hết cho 105.
Giải: 
Cỏch 1: Áp dụng nguyờn tắc Dirichlet:
	Cho k lần lượt lấy 105 + 1 giỏ trị liờn tiếp từ 1 trở đi, ta được 105 + 1 giỏ trị khỏc nhau của 1983k - 1. Chia 105 +1 số này cho 105 , ta cú nhiều nhất là 105 số dư, do đú theo nguyờn tắc Dirichlet, phải cú hai số cho cựng số dư khi chia cho 105. Giả sử đú là hai số 1983m -1 và 1983n - 1 (m > n). Thế thỡ hiệu của hai số này phải chia hết cho 105:
(1983m - 1) - (1983n -1) = 1983m - 1983n = 1983n (1983m-n -1) 105.
Do 1983 khụng chia hết cho 105 => 1983n cũng khụng chia hết cho 105.
Vỡ vậy 10m-n - 1 chia hết cho 105. Như vậy tỡm được số k = m-n sao cho 1983k - 1 chia hết cho 105.
Cỏch 2: Áp dụng định lớ Euler:
	Vỡ 1983 khụng chia hết cho 2 và khụng chia hết cho 5 , cũn 105 = 2555 nờn (1983, 105) = 1 . Áp dụng định lớ Euler: 1983(10) 1 (mod 105)
Mà (10) = 105(1 - ) (1 - ) = 4. 104.
Nờn ta cú 19834.10 1 (mod 105).
số 4.104 là số k phải tỡm.
Đề bài ỏp dụng:
1. Tỡm số dư khi :
a) chia 8! Cho 11	b) chia 15325 -1 cho 9
c) chia 340 cho 83.	d) chia 21000 cho 25
e) chia 301293 cho 13
2. Chứng minh rằng : 
a) 24n - 1 15	b) 270 + 370 13	c) 122n+1 - 11n+2 133
d) 22225555 + 55552222 7	e) 14k + 24k + 34k + 44k khụng chia hết cho 5
Bài 3: 	 PHƯƠNG TRèNH NGHIỆM NGUYấN
1. Định nghĩa: Phương trỡnh nghiệm nguyờn (cũn gọi là phương trỡnh Điụphan) là một phương trỡnh cú nhiều ẩn số, với tất cả cỏc hệ số đều là số nguyờn, và ta phải tỡm cỏc nghiệm nguyờn của nú.
2.Vớ dụ : (Bài toỏn cổ) Trăm trõu trăm cỏ,
	 Trõu đứng ăn năm,
	 Trõu nằm ăn ba,
	 Lụ khụ trõu già,
	 Ba con một bú.
	Hỏi cú bao nhiờu trõu đứng, bao nhiờu trõu nằm, bao nhiờu trõu già?
Giải:
Gọi số trõu đứng là x, số trõu nằm là y, thỡ số trõu già là : 100 - (x + y)
Ta cú phương trỡnh: 
	 hay 7x + 4y = 100
Nếu khụng cú điều gỡ hạn chế thỡ phương trỡnh này cú vụ số nghiệm:
	Nhưng theo đề toỏn thỡ x,y (số trõu) phải là số nguyờn (dương) nờn ta chỉ phải tỡm cỏc nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh .
	Đú là một vớ dụ điển hỡnh về phương trỡnh nghiệm nguyờn.
	Sự nghiờn cứu về phương trỡnh nghiệm nguyờn cú sự đúng gúp to lớn của rất nhiều nhà toỏn học nổi tiếng: Euclide và Archimốde, Fermat, Euler và Lagrange, Gauss, Dirichlet, Riemann và Hilbert, ...
	Sau đõy chỳng ta sẽ xột một vài dạng phương trỡnh nghiệm nguyờn đơn giản nhất .
3. Phương trỡnh bậc nhất:
a) Phương trỡnh bậc nhất hai ẩn: là phương trỡnh cú dạng : ax + by = c , trong đú a, b, c là số nguyờn, a, b khỏc 0
* Chỳ ý : Cú thể giả thiết a, b, c nguyờn tố cựng nhau (vỡ nếu khụng thỡ cú thể chia hai vế cho ƯCLN của chỳng)
Định lớ: Phương trỡnh ax + by = c cú nghiệm nguyờn khi và chỉ khi (a,b) = 1
Vớ dụ : Cỏc pt: 7x + 4y = 100 ; 4x + 2y = 5 , ...
Định lớ 2: Nếu phương trỡnh ax + by = cú một nghiệm nguyờn là cặp số xo,yo thỡ nú cú vụ số nghiệm nguyờn, đú là tập hợp cỏc cặp số cú dạng :
 ; với t là số nguyờn tuỳ ý (t = 0; 1; 2; 3; ...)
Ta gọi xo ; yo là một nghiệm riờng của pt, cũn cụng thức trờn là nghiệm tổng quỏt của phương trỡnh.
Muốn giải phương trỡnh ax + by = c , với (a;b) = 1 , ta chỉ cần tỡm một nghiệm riờng nào đú của nú.
Vớ dụ: Giải pt : 7x + 4y = 100.
Ta thấy x = 0 ; y = 25 là một nghiệm riờng của pt. Do đú nghiệm tổng quỏt của pt là : , với t = 0; 1; 2; 3; ...
Đối với bài toỏn “trăm trõu, trăm cỏ” ta phải tiếp tục xột thờm: x,y (số trõu) phải là số nguyờn (dương), tức: 
	x = 4t > 0 ú t > 0
	y = 25 - 7t > 0 ú 0 < t < 4.
Nghĩa là chỉ được lấy t = 1,2,3:
	t = 1 => x = 4 ; y = 18 ; z = 78
	t = 2 => x = 8 ; y = 11 ; z = 81
	t = 2 => x = 12 ; y = 4 ; z = 84
ĐỀ TOÁN:
1. Tỡm x ; y nguyờn dương thoả món :
a) 5x + 3y = 2	b) 32x - 40y = 38	c) 38x + 117y = 15
2. Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương x , y thoả món phương trỡnh:
a) 5x + 7y = 112	b) 5x + 19y = 674	c) 3x2 + 10xy + 8y2 = 96.
3. Tỡm nghiệm nguyờn dương nhỏ nhất của phương trỡnh:
a) 15x - 49y = 11	b) 41x - 37y = 187
4. Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh:
	2x2 + xy + 7 = 0
5. Ba người đi cõu cỏ . Trời đó tối và mệt lả, họ vất cỏ trờn bờ sụng , rồi mỗi người tỡm một nơi lăn ra ra ngủ. Người thứ nhất thức dậy , đến bờn bờ sụng, đếm số cỏ thấy chia ba thừa một con , bốn vứt một con xuống sụng và xỏch 1/3 về nhà.Người thứ hai thức dậy, tưởng hai bạn mỡnh cũn ngủ, đến bờ sụng đếm số cỏ, rồi vứt 1 xuống sụng và xỏch 1/3 về nhà. Người thư ba thức dậy , cũng nghĩ là mỡnh dậy sớm nhất nờn lại làm như hai người trước.
Biết họ là ba người đi cõu dở, tỡm số cỏ ba người đó cõu được?