Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán học Lớp 6 - Nguyễn Bá Phúc

ễN TẬP TẬP HỢP VÀ NHỮNG DẠNG TOÁN LIấN QUAN
Số phần tử của một tập hợp.Tập hợp con
1.Một tập hợp cú thể cú một ,cú nhiều phần tử, cú vụ số phần tử,cũng cú thể khụng cú phần tử nào.
2.Tập hợp khụng cú phần tử nào gọi là tập rỗng.tập rỗng kớ hiệu là : ỉ.
3.Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thỡ tập hợp A gọi là tập hợp con của tập hợp B, kớ hiệu là AB hay BA.
Nếu AB và BA thỡ ta núi hai tập hợp bằng nhau,kớ hiệu A=B.
*.Dạng 1: Rèn kĩ năng viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu
Bài 1: Cho tập hợp A là các chữ cái trong cụm từ “Thành phố Hồ Chí Minh”
Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A.
Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
Bài 2: Cho tập hợp các chữ cái X = {A, C, O}
a/ Tìm chụm chữ tạo thành từ các chữ của tập hợp X.
b/ Viết tập hợp X bằng cách chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của X.
Bài 3: Cho các tập hợp
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9}
a/ Viết tập hợp C các phần tử thuộc A và không thuộc B.
b/ Viết tập hợp D các phần tử thuộc B và không thuộc A.
c/ Viết tập hợp E các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.
d/ Viết tập hợp F các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B.
Bài 4: Cho tập hợp A = {1; 2; a; b} 
a/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 1 phần tử.
b/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 2 phần tử.
c/ Tập hợp B = {a, b, c} có phải là tập hợp con của A không?
Bài 5: Cho tập hợp B = {x, y, z} . Hỏi tập hợp B có tất cả bao nhiêu tập hợp con?
*Dạng 2: Các bài tập về xác định số phần tử của một tập hợp
 Bài 1: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử?
Bài 2: Hãy tính số phần tử của các tập hợp sau:
a/ Tập hợp A các số tự nhiên lẻ có 3 chữ số.
b/ Tập hợp B các số 2, 5, 8, 11, , 296.
c/ Tập hợp C các số 7, 11, 15, 19, , 283.
Bài 3: Cha mua cho em một quyển số tay dày 256 trang. Để tiện theo dõi em đánh số trang từ 1 đến 256. Hỏi em đã phải viết bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sổ tay?
C.HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ:
 Bài 1.Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp đó
 a, A là tập hợp các chữ số trong số 2002
 b, B là tập hợp các chữ cái trong cụm từ “ cách mạng tháng tám”
 c, C là tập hợp các số tự nhiên có một chữ số 
 d, D là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ khác nhau và và có chữ số tận cùng bằng 5
 Bài 2. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
 	N N N* N 7 	N* 	 N* 0 N* 
 Bài 3. Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử thuộc tập hợp đó
A = 
B = 
C = 
D = 
 Bài 4. Hãy viết các tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử thuộc tập hợp đó
A = 
B = 
Bài toán 5: Cho a) b) 
 c) 
Hãy viết các tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử.
 Bài 5. Tìm số phần tử của các tập hợp sau đây
 a. A = b. B = c. C = 	 d. D = 
 Bài 6. Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của các tập hợp đó
 a. Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8 : x = 2 
 b. Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 3 < 5 
 c. Tập hợp C các số tự nhiên x mà x – 2 = x + 2 
 d. Tập hợp D các số tự nhiên x mà x : 2 = x : 4 
 e. Tập hợp E các số tự nhiên x mà x + 0 = x 
 Bài 7. Cho A = 
 Tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp A 
 Bài 8. Ta gọi A là tập hợp con thực sự của B nếu A B và A ≠ B 
 Hãy viết các tập hợp con thực sự của tập hợp B = 
 Bài 9. Cho tập hợp A = {a, b, c, d, e } 
Viết các tập con của A có một phần tử
Viết các tập con của A có hai phần tử
Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử
 Có bao nhiêu tập hợp con của A có bốn phần tử
Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con
 Bài 11 . Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số, B là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số , C là tập hợp các số tự nhiên lẻ có ba chữ số , D là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số tận cùng bằng 5 . Dùng kí hiệu và sơ đồ để biểu thị quan hệ giữa các tập hợp ở trên
 Bài 12 . Cho tập hợp A = , hãy lập tập hợp B gồm các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau từ các phần tử của tập hợp A . Bảo rằng tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B đúng hay sai? Tìm tập hợp con chung của hai tập hợp A và B 
Bài 13 . Tìm các tập hợp bằng nhau trong các tập hợp sau
a. A = 
b. B là tập hợp các số tự nhiên x mà 5 . x = 0
c. C là tập hợp các số lẻ nhỏ hơn 10
d. D là tập hợp các số tự nhiên x mà x : 3 = 0
Bài 17 . Trong một lớp học , mỗi học sinh đều học tiếng Anh hoặc tiếng Pháp. Có 25 người học tiếng Anh , 27 người học tiếng Pháp, còn 18 người học cả hai thứ tiếng . Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh
Bài 18 Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy : có 20 học sinh thích bóng đá ; 17 học sinh thích bơi; 36 học sinh thích bóng chuyền; 14 học sinh thích bóng đá và bơi;13 học sinh thích bơi và bóng chuyền; 15 học sinh thích bóng đá và bóng chuyền; 10 học sinh thích cả ba môn ;12 học sinh không thích một môn nào.Tìm xem lớp học đó có bao nhiêu học sinh
Bài 19 . Trong số 100 học sinh có 75 học sinh thích toán , 60 học sinh thích văn.
a. Nếu có 5 học sinh không thích cả toán và văn thì có bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
b. Có nhiều nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
c. Có ít nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
Bài toán 1: Cho tập hợp .
a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử.
c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử ? có bốn phần tử ?.
d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con ?
Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trường hợp sau.
a) ; b) ; 
c) A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn.
Bài toán 3: Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu Hãy viết các tập con thực sự của tập hợp 
Bài toán 4: Cho các tập hợp ; 
Viết các tập hợp vừa là tập hợp con của A, vừa là tập hợp con của B
Bài toán 5: Cho tập hợp . 
a) Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn.
b) Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp A.
Bài toán 6: Cho 2 tập hợp và B = 
Tìm tập hợp C của các phần tử vừ thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B Tìm tập hợp D của các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A Hoặc tập hợp B
Bài toán 10: Cho tập hợp . Hãy nêu tập hợp con của tập M gồm những số:
a) Có một chữ số b) có hai chữ số c) Là số chẵn.
Bài toán 11: Cho ; 
a) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A ; tập hợp B.
b) Hai tập hợp A, B có bằng nahu không ? Vì sao ?
Bài toán 13: Cho A là tập hợp 5 số tự nhiên đầu tiên, B là tập hợp 3 số chẵn đầu tiên.
a) CMR: b) Viết tập hợp M sao cho . Có bao nhiêu tập hợp M như vậy.
Bài toán 14: Cho . 
a) Xác định A bằng cách liệt kê các phần tử ? b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Bài toán 15: Cho . Tìm biết 
Bài toán 10: Cho a) ; b) ; 
Hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó một phần tử thuộc A, một phần tử thuộc B. 
 Các phép toán trong N
Tớnh chất giao hoỏn của phộp cộng và phộp nhõn.
 a + b = b + a ; a.b = b.a
Khi đổi chỗ cỏc số hạng trong một tổng thỡ tổng khụng đổi
Khi đổi chừ cỏc thừa số trong một tớch thỡ tớch khụng đổi.
Tớnh chất kết hợp của phộp cộng và phộp nhõn:
(a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c);
Tớnh chất phõn phối của phộp nhõn đối với phộp cộng.: a(b+ c) = ab + ac
 4. Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b N ; b ≠ 0) là cú số tự nhiờn p sao cho a= b.p.
Trong phộp chia cú dư
 số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r)
 số dư bao giờ cũng khỏc 0 và nhỏ hơn số chia.
 Nếu a .b= 0 thì a = 0 hoặc b = 0. 
II. Bài tập
*.Dạng 1: Các bài toán tính nhanh
Bài 1: Tính tổng sau đây một cách hợp lý nhất.
a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323 + 87 
Bài 2: Tính nhanh các phép tính sau:
a/ 8 . 17 . 125 b/ 4 . 37 .25 
Bài 3: Tính nhanh một cách hợp lí:
a/ 997 + 86 b/ 37. 38 + 62. 37
c/ 43. 11; 67. 101; 423. 1001 d/ 67. 99; 
đ, 998. 34 c/ 43. 11 67. 101
Bài 4: Tính nhanh các phép tính:
a/ 37581 – 9999 c/ 485321 – 99999
b/ 7345 – 1998 d/ 7593 – 1997
Bài 5: Tính nhanh: 
 a) 15. 18 b) 25. 24 c) 125. 72 d) 55. 14 
 Bài 6 :Tính nhanh: 
 a) 25. 12 b) 34. 11 c) 47. 101 d) 15.302 e) 125.18 g) 123. 1001 
Bài 7: Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất: a) 463 + 318 + 137 + 22 
b) 189 + 424 +511 + 276 + 55 
c) (321 +27)+ 79
d) 185 +434 + 515 + 266 + 155 
e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73 
 f) 347 + 418 + 123 + 12 
Bài 8: Tính bằng cách hợp lí nhất: 
a) 5. 125. 2. 41. 8 b) 25. 7. 10. 4 
 c) 8. 12. 125. 2 d) 4. 36. 25. 50 
Chú ý: Quy tắc đặt thừa số chung : a. b+ a.c = a. (b+ c) hoặc a. b + a. c + a. d = a.(b + c + d) 
e) 3. 25. 8 + 4. 37. 6 + 2. 38. 12 
Bài 9: Tính bằng cách hợp lí nhất: 
38. 63 + 37. 38 b) 12.53 + 53. 172– 53. 84
c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45 d, 39.8 + 60.2 + 21.8
e, 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41 
*Chỳ ý: Muốn nhõn 1 số cú 2 chữ số với 11 ta cộng 2 chữ số đú rồi ghi kết quả vỏo giữa 2 chữ số đú. Nếu tổng lớn hơn 9 thỡ ghi hàng đơn vị vỏo giữa rồi cộng 1 vào chữ số hàng chục.
vd : 34 .11 =374 ; 69.11 =759
*Chỳ ý: muốn nhõn một số cú 2 chữ số với 101 thỡ kết quả chớnh là 1 số cú được bằng cỏch viết chữ số đú 2 lần khớt nhau
vd: 84 .101 =8484 ; 63 .101 =6363 ; 
*Chỳ ý: muốn nhõn một số cú 3 chữ số với 1001 thỡ kết quả chớnh là 1 số cú được bằng cỏch viết chữ số đú 2 lần khớt nhau
Ví dụ:123.1001 = 123123
*.Dạng 2: Các bài toán có liên quan đến dãy số, tập hợp
1:Dãy số cách đều: 
VD: Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 49 
Ta tính tổng S như sau: 
 Bài 1:Tính tổng sau: 
a) A = 1 + 2 + 3 + 4 + .. . + 100 
 Số số hạng cả dóy là: (100-1):1+1 = 100
A= (100 + 1) .100 : 2 = 5050
b) B = 2 + 4 + 6 + 8 + .. . + 100 
số số hạng là: (100-2):2+1 = 49
B=(100 +2).49 :2 = 551 .49 = 2499
c) C = 4 + 7 + 10 + 13 + .. . + 301 
 d) D = 5 + 9 + 13 + 17 + .. .+ 201. 
Bài 2: Tính các tổng: 
a) A = 5 + 8 + 11 + 14 + .. . + 302 b) B = 7 + 11 + 15 + 19 + .. .+ 203. 
c) C = 6 + 11 + 16 + 21 + .. . + 301 d) D =8 + 15 + 22 + 29 + .. . + 351. 
Bài 3: Cho tổng S = 5 + 8 + 11 + 14 + .. . 
a)Tìm số hạng thứ100 của tổng. 
b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên. 
Giải: lưu ý: số cuối = (số số hạng - 1) . khoảng cỏch - số đầu
vậy số thứ 100 = (100-1) .3 – 5 = 292
S= (292 + 5) .100:2 = 23000
Bài 4: Cho tổng S = 7 + 12 + 17 + 22 + .. . 
a)Tìm số hạng tứ50 của tổng. 
b) Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên. 
Bài 5:Tính tổng của tất cả các số tự nhiên x, biết x là số có hai chữ số và 12 < x < 91 
Bài 6: Tính tổng của các số tự nhiên a , biết a có ba chữ số và 119 < a < 501. 
Tính tổng các chữ số của a. 
Bài 7: Tính 1 + 2 + 3 + .. . + 1998 + 1999
Bài 8: Tính tổng của:
a/ Tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số. b/ Tất cả các số lẻ có 3 chữ số.
b/ S2 = 101+ 103+ .. . + 997+ 999 
Bài 9Tính tổng a/  ... o của k thì n:
	a) Là số nguyên tố
	b) Là hợp số
	c) Không là số nguyên tố cũng không là hợp số.
Bài 11: Chứng minh rằng: nếu 8p-1 và p là số nguyên tố thì 8p+1 là hợp số.
Bài 12: Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho và đều là số nguyên tố.
Bài 13: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố.
Bài 14: Tìm số nguyên tố p sao cho a) là số nguyên tố.
	 b) p+8 và p+10 đều là số nguyên tố. 
Bài 16: Cho . CMR: 6 số tự nhiên liên tiếp sau đều là hợp số: n+2; n+3; n+4; n+5; n+6; n+7
Bài 17: Tìm số nguyên tố p sao cho đều là số nguyên tố
Bài 18:Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: chia hết cho 24.
Bài 19:Cho p và 2p+1 là hai số nguyên tố (p>3). Chứng minh rằng: 4p+1 là hợp số.
Bài 20:Cho p và 10p+1 là hai số nguyên tố (p>3). Chứng minh rằng: 5p+1 là hợp số.
Bài 21:Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p >3, ba số p, p+2, p+4 không thể đồng thời là những số nguyên tố.
Bài 22: Hai số và với n >2 có thể đồng thời là số nguyên tố hay đồng thời là hợp số được không ? 
Bài 23: Tìm số nguyên tố p để có
	a) p+10 và p+14 đều là số nguyên tố.
	b) p+2; p+6 và p+8 đều là số nguyên tố.
	c) p+6;p+12; p+24; p+38 đều là số nguyên tố.
	d) p+2; p+4 cũng là số nguyên tố.
Bài 24: Tìm các số nguyên tố a, b, c sao cho 
Bài 25: CMR: +1 là hợp số.
Bài 26: Tìm số nguyên tố p sao cho là số nguyên tố.
Bài 27: CMR: Hai số và không thể đồng thời là số nguyên tố
Bài 28: Tìm số nguyên tố p sao cho và p+1994 cũng là số nguyên tố
Bài 29: Tìm tất cả các số nguyên tố p để cũng là số nguyên tố.
Ước chung và bội chung, ƯCLN, BCNN
A/. Mục tiêu:
Học sinh nắm vững định nghĩa và các tính chất của ước chung, ƯCLN, bội chung, BCNN vào trong giải bài tập.
Vận dụng thành thạo các tính chất về chia hết vào trong các bài tập.
Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, tư duy lô gic óc phân tích tổng hợp.
B/. Chuẩn bị:
 Nội dung chuyên đề, kiến thức cơn bản cần sử dụng và các bài tập tự luyện.
C/. Nội dung chuyên đề.
I/ Kiến thức cơ bản.
1- Tính chất chia hết liên quan 
a m
a n	=> a m.n
(m,n)=1
a.b m	=> b m
(a, m) =1
Bài 1: Tìm ƯCLN của 
a/ 12, 80 và 56
b/ 144, 120 và 135
c/ 150 và 50
d/ 1800 và 90
Hướng dẫn
a/ 12 = 22.3	80 = 24. 5	56 = 33.7
Vậy ƯCLN(12, 80, 56) = 22 = 4.
b/ 144 = 24. 32	120 = 23. 3. 5	135 = 33. 5
Vậy ƯCLN (144, 120, 135) = 3.
c/ ƯCLN(150,50) = 50 vì 150 chia hết cho 50.
d/ ƯCLN(1800,90) = 90 vì 1800 chia hết cho 90.
Bài 2: Tìm
a/ BCNN (24, 10)
b/ BCNN( 8, 12, 15)
Hướng dẫn
a/ 24 = 23. 3	;	10 = 2. 5
BCNN (24, 10) = 23. 3. 5 = 120
b/ 8 = 23	;	12 = 22. 3	;	15 = 3.5
BCNN( 8, 12, 15) = 23. 3. 5 = 120
5/ Tỡm số tự nhiờn a là lớn nhất biết rằng 480 a 600 a 
Hướng dẫn : vỡ 480 a 600 a và a là lớn nhất 
Nờn a ƯC LN (480,600) 
Ta cú 480= 25.3.5 600 = 23.3.52 => ƯCLN của (480,600) =23.3.5= 120 
Vậy a =120 
6/ Tỡm số tự nhiờn x biết rằng 126 x 210 x và 15 < x < 30 
Hướng dẫn: Vỡ 126 x 210 x và 15 < x < 30 nờn x Ư C (126,210) và 15 < x <30
Ta cú 126= 2.32..7 210 = 2.3.5.7 
=> Ư C (126,210) = 2.3.7 = 42 Do đú Ư C (126,210) =ƯC (42) = 
Vỡ 15 < x < 30 nờn x =21
7/ Tỡm số tự nhiờn a nhỏ nhất khỏc 0 biết rằng a 15 a 18 
Hướng dẫn : Vỡ a 15 a 18 a nhỏ nhất khỏc 0 nờn a BCNN(15,18) 
Ta cú 15 =3.5 18 = 2.32 => BCNN(15,18) = 2.32.5 = 90 
Vậy a = 90
8/ Tỡm cỏc bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400 
Hướng dẫn: Ta cú : 15=3.5. 25= 52 => BCNN(15,25) = 3.52 =75
Nờn BCNN(15,25) = B(75) = 
Cỏc bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400 là 0, 75, 150, 225,300, 375
Vớ dụ1. Tỡm số tự nhiờn a biết rằng khi chia 39 cho a thỡ dư 4, cũn khi chia 48 cho a thỡ dư 6.
Giải. Chia 39 cho a thỡ dư 4 , nờn a là ước của 39 – 4 = 35 và a > 4 .chia 48 cho a thỡ dư 6 nờn a là ước của 48 – 6 = 42 và a > 6 . do đú a là ước chung của 35 và 42 dụng thồng a > 6.
Ư(35) = { 1, 5, 7, 35} ; Ư(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42}.
ƯC(35,42) = { 1,7}. Vậy a = 7 .
Vớ dụ 2Tỡm số tự nhiờn a, biết rằng khi chia 264 cho a thỡ dư 24 , cũn khi chia363 cho a thỡ dư 43.
Dạng 3: Các bài toán thực tế
Bài 1: Một lớp học có 24 HS nam và 18 HS nữ. Có bao nhiêu cách chia tổ sao cho số nam và số nữ được chia đều vào các tổ?
Bài 2: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng, mỗi hàng có 20 người, hoặc 25 người, hoặc 30 người đều thừa 15 người. Nếu xếp mỗi hàng 41 người thì vừa đủ (không có hàng nào thiếu, không có ai ở ngoài hàng). Hỏi đơn vị có bao nhiêu người, biết rằng số người của đơn vị chưa đến 1000?
Hướng dẫnGọi số người của đơn vị bộ đội là x (xN)
x : 20 dư 15 x – 15 20
x : 25 dư 15 x – 15 25
x : 30 dư 15 x – 15 30
Suy ra x – 15 là BC(20, 25, 35)
Ta có 20 = 22. 5; 25 = 52 ; 30 = 2. 3. 5; BCNN(20, 25, 30) = 22. 52. 3 = 300
BC(20, 25, 35) = 300k (kN)
x – 15 = 300k x = 300k + 15 mà x < 1000 nên
300k + 15 < 1000 300k < 985 k < (kN)
Suy ra k = 1; 2; 3
Chỉ có k = 2 thì x = 300k + 15 = 615 41
Vậy đơn vị bộ đội có 615 người
Bài 3: 3 khối 6 – 7 – 8 theo thứ tự có 300 học sinh- 276 học sinh – 252 học sinh xếp hàng dọc để điều hành sao cho hàng dọc mỗi khối như nhau. Có thể xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc để mỗi khối không lẻ ? kho đó mỗi khối có bao nhiêu hàng ngang?
Bài 4: Có 100 quyển vở và 90 bút chì được thưởng đều cho một số học sinh còn lại 4 quyển vở và 18 bút chì không đủ chia đều. Tính số học sinh.
Giải: Gọi số học sinh là a: => 100 – 4 a	; 	90 – 18 a
Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 500 sao cho chia nó cho 15, cho 35 được các số dư là 8 và 13. Giải Gọi số phải tìm là a
=> a- 8 15	 	=> a – 8 + 30 15 	=> a + 22 35
 a – 13 35	 a – 13 + 35 35	 a + 22 15
Bài 6: Tìm dạng chung của số tự nhiên a sao cho chia 4; 5; 6 lần lượt có số dư là 3; 4; 5 và chia hết cho 13
Giải ; a + 1 ẻ BC (4; 5; 6)
=> a + 1 60 	=> a + 1 – 300 60 	=> a – 299 60
và a 13	a – 13 . 23 13	a – 299 13
=> a – 299 BCNN (60; 13)
a – 299 780
=> a = 780b + 299 (bẻ N)
Bài 7: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 5; cho 7; 9 dư là 3; 4; 5
Giải ; Gọi số phải tìm là A
=> 2a chia cho 5; 7; 9 đều dư 1
2a – 1 = BCNN (5; 7; 9) = 315
2a – 1 = 315 => a = 158
Bài 8: Số HS của một trường trong khoảng từ 2500 đến 2600. Nếu toàn thể HS của trường xếp hàng 3 thì thừa một bạn, xếp hàng 4 thì thừa 2 bạn, xếp hàng 5 thì thừa 3 bạn, xếp hàng 7 thì thừa 5 bạn. Tính số HS của trường ?
Lờp giải: Gọi số HS của trường là x (x N, 2500 < x < 2600)
	Từ giả thiết suy ra a + 2 là số chia hết cho cả 3, 4, 5 và 7.
	Mà BCNN(3,4,5,7) = 420 nên a + 2 chia hết cho 420, vì 2503 chia cho 420 bằng 5 dư 403 và 2601 chia 420 bằng 6 dư 81 nên a + 2 = 420.6 tức là a = 2518
	Vậy số HS của trường là 2518 em.
Bài 9: Một thiết bị điện tử 605 phát tiếng bíp; chiều thứ 2 625 bíp lúc 10h sáng cả 2 cùng kêu hỏi lúc mấy giờ cả 2 cùng kêu (10h 31p)
Bài 10: Số HS của một trường THCS là số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số mà khi chia số đó cho 5 hoặc cho 6, hoặc cho 7 đều dư 1.
Gọi số HS của trường là x (xN)
x : 5 dư 1 x – 1 5
x : 6 dư 1 x – 1 6
x : 7 dư 1 x – 1 7
Suy ra x – 1 là BC(5, 6, 7)
Ta có BCNN(5, 6, 7) = 210
BC(5, 6, 7) = 210k (kN)
x – 1 = 210k x = 210k + 1 mà x số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số nên x 1000
suy ra 210k + 1 1000 k (kN) nên k nhỏ nhất là k = 5.
Vậy số HS trường đó là x = 210k + 1 = 210. 5 + 1 = 1051 (học sinh)
Bài 11. Cú 100 quyển vở và 90 bỳt bi. Cụ giỏo chủ nhiểm muốn chia số vở và bỳt thành một số phần thưởng như nhau gụm cả vở và bỳt để phỏt phần thuopwngr cho học sinh. Như vậy thỡ cũn lại 4 quyển và 18 bỳt bi khụng thể chia đều cho cỏc học sinh.tớnh sụ học sinh được thưởng?.
Bài 12 Cú một số sỏch giỏo khoa. Nếu xếp thành từng chồng 10 cuốn thỡ vừa hết ,thàng từng chồng 12 cuốn thỡ thừa 2 cuốn, thành từng chồng 18 cuốn thỡ thừa 8 cuốn .biết rằng số sỏch trong khoảng từ 715 đến 1000 cuốn.tỡm số sỏch đú.
Bài 13 Một lớp học cú 28 nam và 24 nữ.cú bao nhiờu cỏch chia số học sinh của lớp thành cỏc tổ sao cho số nam và nữ được chia đều cho cỏc tổ.
Bài 14 Người ta muốn chia 240 bỳt bi , 210 bỳt chỡ và 180 tập giấy thành 1 số phần thưởng như nhau. Hỏi cú thể chia được nhiều nhất là bao nhiờu phần thưởng,mỗi phần thưởng Cú bao nhiờu bỳt bi , bỳt chỡ, tập giấy?.
Bài 15: Một số tự nhiờn chia cho 2, cho 3 , cho 4 , cho 5 , cho 6 đều dư 1 , nhưng khi chia cho 7 thỡ khụng cũn dư.
Tỡm số nhỏ nhất cú tớnh chất trờn.
Tỡm dạng chung của cỏc số cú tớnh chất trờn.
Giải.
Gọi x là số phải tỡm thỡ x – 1 ( 2 ,3 ,4, 5 , 6) nờn x – 1 là bội chung của 2, 3, 4, 5, 6.
BCNN ( 2,3,4,5,6) = 60
Vậy x – 1 nhận cỏc giỏ trị: 60 ,120,180,240,300, do đú x nhõn cỏc giỏ trị: 61 ,121 ,181,241,301,
Trong cỏc số trờn, số nhỏ nhất chia hết cho 7 là số 301.
Vỡ x – 1 là bội của 60 nờn x- 1 = 60n hay x = 60n + 1 (n N*) và x 7 .ta cú : x = 60n + 1 = 7.8n – 7 + 4 (n + 2). Vỡ 7.8n 7 ,do đú để x 7 thỡ phải cú 4(n + 2) 7 hay n + 2 7 . dặt n + 2 = 7k thỡ n = 7k – 2 (k N*).
 x = 60n + 1 = 60 (7k - 2) + 1 = 420k – 119 . để tỡm x ta chỉ việc cho k cỏc giỏ trị : k = 1, 2, 3, 
Bài 17 Ba em An , Bảo , Ngọc cựng học một trường nhưng ở 3 lớp khỏc nhau .An cứ 5 ngày trực nhật một lần , Bảo 10 ngày trực nhật một lần, cũn Ngọc 8 này trực nhật một lần.lần đầu ba em cựng trực nhật một ngày .hỏi mấy ngày sau ba em lại cựng trực nhật vào cựng một ngày? Đến ngày đú mỗi em đó trực nhật mấy lần?
Bài 18 Bạn Nam nghĩ một số cú ba chữ số. nếu bớt số đú đi 8 thỡ được số chia hết cho 7 .nếu bớt đi 9 thỡ được số chia hết cho 8 ,nếu bớt đi 10 thỡ được số chia hết cho 9. hỏi bạn Nam nghĩ số nào?
Bài 19 Một vườn hỡnh chữ nhật cú chiều dài 105 m chiều rộng 60 m người ta muốn trồng xung quanh vườn sao cho mỗi gúc vườn cú một cõy và khoảng cỏch giữa hai cõy liờn tiếp bằng nhau . Tớnh khoỏng cỏch lớn nhất giữa hai cõy liờn tiếp (Khoảng cỏch giữa 2 cõy là một số tự nhiờn với đơn vị là một ) Khi đú tổng số cõy là bao nhiờu ?
Hướng dẫn :Gọi khoảng cỏch giữa 2 cõy liờn tiếp là a (một) vỡ mỗi gúc vườn cú một cõy và khoảng cỏch giữa 2 cõy liờn tiếp bằng nhau và lớn nhất nờn 
105 a 60 a và a lớn nhất 
=> a ƯCLN(105,60)
Ta cú 105 = 3.5.7 60 = 22.3.5 
ƯCLN (105,60) = 3.5.=15 
Vậy khoảng cỏch lớn nhất giữa 2 cõy liờn tiếp là 15 m 
Chu vi mónh vườn (105+60).2 =330 m 
Tổng số cõy 330 : 15 = 22 cõy 
9/ Một khối học sinh khi xếp hàng 2 hàng 3 hàng 4 hàng 5 hàng 6 đều thừa 1 em nhưng xếp hàng 7 thỡ vừa đủ . Biết số học sinh chưa đến 300 . Tớnh số học sinh 
Hướng dẫn: Gọi số hs cần tỡm là a (0<a<300) 
Theo đề ta cú a+1 BC(2,3,4,5,6) và 1<a+1<301
Mà BCNN của (2,3,4,5,6) = 23.3.5 = 60 
BC (2,3,4,5,6) = B(60) = 
Vỡ 1<a+1<301nờn a+1 
Do a 7 nờn a+1 = 120 => a = 119 
Vậy số HS đú là 119