Đề thi khảo sát (lần 4) đội tuyển thi tỉnh năm học 2010-2011 môn toán lớp 9 ( thời gian làm bài 150 phút)

Phòng gD&ĐT Lâm Thao
Đề thi khảo sát (lần 4)
đội tuyển thi tỉnh năm học 2010-2011
Môn Toán lớp 9
( Thời gian làm bài 150 phút)
Câu 1(4 điểm) 
 a) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh : 2(x+y)+xy=x2 +y2
b) Tìm số có hai chữ số sao cho số đó cộng với tích hai chữ số của nó thì bằng bình phương của tổng hai chữ số của nó.
Câu 2(5 điểm) 
	Cho phương trình bậc hai (ẩn x) :
Tìm số nguyên m để phương trình có nghiệm hữu tỷ
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 ;x2 thỏa mãn 
 đạt giá trị lớn nhất ; nhỏ nhất
Câu 3(3 điểm) 	
a) Giải phương trỡnh: 
 b) Giải hệ phương trỡnh: 
Câu4(6 điểm)
Cho đoạn OA=2a cố định hai tia Ox và Oy tạo với nhau một gúc 450 và tự quay xung quanh đỉnh O . Qua điểm A hạ đường vuụng gúc AB xuụng Ox và AC xuống Oy .
a) Chứng minh rằng đoạn thẳng BC cú độ dài khụng đổi.
b) Tỡm điểm cố định mà đường trũn đường kớnh BC đi qua.
c) Gọi D và E lần lượt là giao của AB và AC với Oy và Ox. Tam giỏc ACD là tam giỏc gỡ? Chứng minh DE cú độ dài khụng đổi
Cõu 5(2,0 điểm).
 a) Cho a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
 .
	 b)Trong mặt phẳng cho 2011 điểm, sao cho 3 điểm bất kỳ trong chỳng là 3 đỉnh của một tam giỏc cú diện tớch khụng lớn hơn 1. Chứng minh rằng tất cả những điểm đó cho nằm trong một tam giỏc cú diện tớch khụng lớn hơn 4.
----------Hết--------
HD chấm thi khảo sát (lần 4)
đội tuyển thi tỉnh năm học 2010-2011
Môn Toán lớp 9
Câu 1 (4 điểm)
ĐÁP ÁN
BIỂU ĐIỂM
2(x+y)+xy=x2 +y2x2 –(y+2)x+y2-2y=0(1)
PT (1) cú nghiệm khi chớnh phương
tu đó tìm y sau đó tìm x
1.0
1.0
Gọi số phải tìm có dạng (.
Theo giả thiết ta có 
1,0
Ta có nên 
Thay b lần lượt từ 1 đến 5 ta có .
1,0
Câu 2(5 điểm) 
	Cho phương trình bậc hai (ẩn x) :
Tìm số nguyên m để phương trình có nghiệm hữu tỷ
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 ;x2 thỏa mãn 
 đạt giá trị lớn nhất ; nhỏ nhất
ĐÁP ÁN
BIỂU ĐIỂM
a)
để phương trình có nghiệm hữu tỷ thì làsố chính phương
 ta tìm được m=-3 hoặc m=1
b) để phương trình có nghiệm 
theo Viét
vì nên Min(P)=3 khi m=1
vì ;; Max(P)=243 khi m=-7
1,0
 2,0
2,0
Câu 3(3 điểm)
PT: (1)
ĐKXĐ: 2
 Chứng minh được:
Dấu “=” xảy ra x – 2 = 6 – x x = 4
Dấu “=” xảy ra (x – 4)2 = 0 x - 4 = 0 x = 4
Phương trỡnh (1) xảy ra x = 4
 Giỏ trị x = 4 : thỏa món ĐKXĐ Vậy: 
Điều kiện: 
 Giải (2) ta được: 
Thay xy = 2 vào (1) ta được x + y = 3 (5)
Từ (5) và (3) ta được: ( thoả món ĐK)
Thay xy = vào (1) ta được x + y = (6)
Từ (6)và(4) ta được:(thoả món ĐK)
Vậy hệ đó cho cú 4 nghiệm là: 
Câu4(6 điểm)
Cho đoạn OA=2a cố định hai tia Ox và Oy tạo với nhau một gúc 450 và tự quay xung quanh đỉnh O . Qua điểm A hạ đường vuụng gúc AB xuụng Ox và AC xuống Oy .
a) Chứng minh rằng đoạn thẳng BC cú độ dài khụng đổi.
b) Tỡm điểm cố định mà đường trũn đường kớnh BC đi qua.
c) Gọi D và E lần lượt là giao của AB và AC với Oy và Ox. Tam giỏc ACD là tam giỏc gỡ? Chứng minh DE cú độ dài khụng đổi
ĐÁP ÁN
BIỂU ĐIỂM
4 điểm OBAC nằm trên (I) đường kính OA=2a gọi K là trung điểm BC tam giác BIK vuông cân tạ K suy ra nên ( không đổi)
Đường tròn đường kính BC luôn đi qua I
Tam giác ACD vuông tại C có nên là tam giác vuông cân
 Ta có tứ giác EBCD nội tiếp đường tròn tâm H đường kính DE
 ( quan hệ góc ở tâm và góc nội tiếp) trong tam giác vuông BHC tính đươc DH= a suy ra DE=2a=OA không đổi 
2,0
1,0
1,0
2,0
Câu 5(2)
Áp dụng bất đẳng thức (*) và do a+b+c = 1 nờn ta cú: 
Tương tự ta cú:
. Dấu bằng xảy ra 
Trong số cỏc tam giỏc tạo thành, xột tam giỏc ABC cú diện tớch lớn nhất (diện tớch S). Khi đú 
Qua mỗi đỉnh của tam giỏc, kẻ cỏc đường thẳng song song với cạnh đối diện, cỏc đường thẳng này giới hạn tạo thành một tam giỏc (hỡnh vẽ). Khi đú . Ta sẽ chứng minh tất cả cỏc điểm đó cho nằm trong tam giỏc .
Giả sử trỏi lại, cú một điểm nằm ngoài tam giỏc chẳng hạn như trờn hỡnh vẽ . Khi đú , suy ra , mõu thuẫn với giả thiết tam giỏc cú diện tớch lớn nhất
Vậy, tất cả cỏc điểm đó cho đều nằm bờn trong tam giỏc cú diện tớch khụng lớn hơn 4