Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2010-2011 - Trường THCS Thạch Thất

THCS THẠCH THẤT
 Đề thi chọn HSG lớp 6
Năm học: 2010 -2011
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút.
Câu 1(2 điểm) 
 Tính tổng:
Câu 2 (2 điểm)
Tính tích sau:
Câu 3 (4 điểm)
Cho biểu thức:
M = 1 +3 + 32+ 33 ++ 3118+ 3119
a) Thu gọn biểu thức M.
b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
Câu 4 (3 điểm): 
Khi viết liền nhau hai số 22008 và 52008 dưới dạng hệ thập phân ta được số có bao nhiêu chữ số?
Câu 5 (5 điểm)
a)Tính:
A = 2100- 299- 298- 297 -  - 22 - 2 – 1
b) Tìm x biết:
Câu 6 (4 điểm) 
Cho C= 1.2+2.3+3.4++99.100
Tính giá trị của biểu thức C?
Dùng kết quả của câu a hãy tính giá trị của biểu thức:
 D = 22+42+62++982
.............................Hết.............................
THCS THẠCH THẤT
Hướng Dẫn Chấm Đề thi HSG lớp 6
Năm học: 2010 - 2011
Môn thi: Toán
Câu 1(2 điểm)
 Tính tổng:
Câu 2 (2 điểm) Tính tích:
Câu 3 (4 điểm)
 Cho biểu thức:
M = 1 +3 + 32+ 33 ++ 3118+ 3119
a) Thu gọn biểu thức M.
b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
Giải:
a) (2 điểm)
 M = 1 +3 + 32+ ++ 3118 + 3119
 3M = 3.(1 +3 + 32+ ++ 3118 + 3119 )
 = 3 + 32 ++ 3119 + 3120 
 3M- M =(3 + 32 ++ 3119 + 3120 ) - (1 +3 + 32+ ++ 3118 + 3119 )
 2M = 3120 – 1
b) (2 điểm)
 M = 1 +3 + 32+ ++ 3118 + 3119
 = (1 +3 + 32)+( 33+34+35)++(3117 +3118+ 3119 )
 = (1 +3 + 32)+33(1 +3 + 32)++3117(1 +3 + 32)
 = 13 + 33.13 + + 3117. 13
 = 13( 1+ 33 ++ 3117)
 Vậy M chia hết cho 13.
 M = 1 +3 + 32+ ++ 3118 + 3119
 = (1 +3 + 32+33) +(34+35+36+37) + +( 3116+3117 +3118+ 3119 )
= (1 +3 + 32+33)+34(1 +3 + 32+33)++3116(1 +3 + 32+33)
 = 40 + 34.40 ++3116.40
 = 40(1+34++ 3116)
Vậy , mà nên 
Câu 4 (3 điểm)
 Khi viết liền nhau hai số 22008 và 52008 dưới dạng hệ thập phân ta được số có bao nhiêu chữ số?
Giả sử số 22008, 52008 khi viết dưới dạng thập phân có x, y chữ số (x, y > 0, x,yẻN)
Ta có 10x < 22008 < 10x+1
 10y < 52008 < 10y+1
Do đó 10x+y < 22008.52008 < 10x+1.10y+1
Hay 10x+y < 102008 < 10x+y+2
x+y < 2008 < x+y+2
ị2006 < x+y < 2008
x+y= 2007 ( Do x+y ẻN )
Vậy khi viết liền nhau hai số 22008 và 52008 dưới dạng hệ thập phân ta được số có 2007 chữ số
0,5 đ
1,0 đ
0,25 đ
0,25 đ
1,0 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Câu 5 (4 điểm)
a) (2 điểm)Tính:
A = 2100- 299- 298- 297 -  - 22 - 2 – 1
A = 2100 – ( 299 + 298 +...+ 2 + 1)
Đặt B = 299 + 298 + 297 + + 22 + 2 + 1
Ta có: 2B =2(299 + 298 + 297 + + 22 + 2 + 1)
 = 2100 +299 + + 22+ 2
 2B - B = (2100 +299 + + 22+ 2) – (299 + 298 +  + 2 + 1)
 B = 2100 – 1
Vậy A= 2100 – (2100 – 1) = 1
b) (2 điểm) Tìm x biết:
Ta có: 2x + 1 = 3 hoặc 2x + 1 = -3
Xét 2x + 1 = 3 
Xét 2x + 1 = -3 
Vậy x=1 hoặc x=-2
Câu 6 (5 điểm) 
Cho C= 1.2+2.3+3.4++99.100
Tính giá trị của biểu thức C?
Dùng kết quả của câu a hãy tính giá trị của biểu thức:
 D = 22+42+62++982
Giải:
(2,5 điểm)
C= 1.2+2.3+3.4++99.100
3C = 3.1.2+3.2.3++ 3.99.100
 =(1.2.3- 0.1.2)+(2.3.4-1.2.3) + + (99.100.101- 98.99.100)
 = 99.100.101
 C= (99.100.101) : 3
 C= 33.100.101= 36300
(2,5 điểm)
C= 1.2+2.3+3.4++99.100
 = (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) +...+ (97.98 + 98.99) + 99.100
= (1+3)2 + (3+5)4+...+(97+99)98 + 99.100
= 2.2.2 + 2.4.4 + ...+ 2.98.98 + 9900
= 2(22 + 42++ 962+ 982) + 9900
Vậy 2(22 + 42++ 962+ 982) = C - 9900 = 36300 – 9900 = 26400
ị 22 + 42++ 962+ 982= 13200
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
1,0 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
*Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.