Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán Lớp 6 - Năm học 2008-2009 - Phòng GD & ĐT Trực Ninh

Phòng Giáo dục- Đào tạo
TRựC NINH
đề chính thức
*****
đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
năm học 2008 - 2009
môn: Toán 6
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)
 Đề thi này gồm 1 trang
Bài 1: (6 điểm)
 Câu 1: Tính: 
	a) 
	b) 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 –  + 2006 – 2007 – 2008 + 2009
 Câu 2: Cho: A = 
 B = 
 Tính ?
Bài 2: (5 điểm)
 Câu 1: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25 ; 28 ; 35 thì được các số dư lần lượt là 5 ; 8 ; 15. 
 Câu 2: Tìm x biết: 
Bài 3: (3 điểm) Cho a ; b là hai số chính phương lẻ liên tiếp. 
Chứng minh rằng: (a – 1).( b – 1) 192
Bài 4: (4 điểm) 
Tìm số tự nhiên có 4 chữ số biết nó thoả mãn cả 3 điều kiện sau: 
1) c là chữ số tận cùng của số M = 5 + 52 + 53 +  + 5101
2) 25
3) 
Bài 5: (2 điểm)
 Câu 1: Có hay không một số nguyên tố mà khi chia cho 12 thì dư 9? Giải thích?
 Câu 2: Chứng minh rằng: Trong 3 số nguyên tố lớn hơn 3, luôn tồn tại 2 số nguyên tố mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 12. 

Phòng Giáo dục- Đào tạo
TRựC NINH
*****
đáp án và hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009
môn: Toán 6
Bài 1: (6 điểm)
 Câu 1:
 a) Kết quả : = - 1 25,5 	(2 điểm)
Kết quả: 1	(2 điểm)	
 Câu 2: (2 điểm)
B = 
B = (0,75đ)
B = (0,5đ)
B = 309. 
B = 309.A (0,5đ)
 (0,25đ)
Bài 2: (5đ) 
 a) (2,75 đ) Gọi số tự nhiên phải tìm là x. 
- Từ giả thiết suy ra và và x+ 20 là bội chung của 25; 28 và 35.	(1 đ)
- Tìm được BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700 . (1 đ)
- Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra suy ra k = 1 suy ra
 x + 20 = 700 suy ra x = 680. 	(0,75 đ).
b) (2,25 đ) 
- Từ giả thiết ta có: (1)	 (0,25 đ).
- Vì nên (1) xảy ra khi và chỉ khi hoặc (1 đ)
- Từ đó tìm ra kết quả x = hoặc x = 	 (1 đ)
Bài 3: (3đ)
- Chỉ ra dạng của a,b là: a = và b = (Với k) (0,5đ)
- Suy ra a – 1 = (2k – 1)(2k – 1) – 1 = ....... = 4k2– 4k + 1 – 1 = 4k.(k – 1) (0,5đ)
 b – 1 = (2k + 1)(2k + 1) – 1 = ....... = 4k2+ 4k + 1 – 1 = 4k(k + 1) (0,5đ)
 (a – 1)(b – 1) = 16k(k – 1)k(k + 1) (0,5đ)
Từ đó lập luận k(k – 1)k(k + 1) 4 và k(k – 1)(k + 1) 3 	 (0,75đ)
mà (4; 3 ) = 1 k (k – 1)k(k + 1) suy ra (a – 1)(b – 1) 16.4.3 
(a – 1)(b – 1) 192 (đpcm) (0,25đ)
Bài 4: (4đ) 
- Từ giả thiết dẫn đến điều kiện: a,b,c,d N; 1 a 9; 0 (0,5 đ)
- Lý luận dẫn đến M có chữ số tận cùng là 5 c = 5 (0,75 đ)
- Từ điều kiện: 25, lý luận dẫn đến (10c + d) 25, từ đó tìm được d = 0 ( 0,75 đ)
- Từ điều kiện: = a + b2
 10a + b = a + b2
 9 a = b2 – b
 9a = b(b – 1) (0,5 đ)
Lý luận dấn đến b(b – 1) 0 và b(b – 1) 9 (0,5 đ)
Mà b và b -1 là hai số nguyên tố cùng nhau; 0 < b – 1< 9 b(b – 1) 9 chỉ khi b 9 
 a=8 (0,75 đ)
Kết luận: Số cần tìm 8950 (0,25 đ)
Bài 5: (2 điểm):.
Câu 1:
- Không thể có một số nguyên tố mà khi chia cho 12 thì dư 9. Vì: nếu có số tự nhiên a mà khi chia cho 12 dư 9 thì a = 12.k + 9 ; và a là hợp số, không thể là số nguyên tố.	(0,75 đ).
Câu 2: (1,25 đ).
- Một số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 12 thì có số dư là một trong 12 số sau: 0; 1; 2; ...; 11
- Chứng minh tương tự câu 1 ta có: một số nguyên tố lớn hơn 3 (bất kỳ) khi chia cho 12 không thể có số dư là 2; 3; 4; 6; 8; 10.	(0,25 đ)
- Suy ra một số nguyên tố lớn hơn 3 khi đem chia cho 12 thì được số dư là một trong 4 giá trị : 1; 5; 7; 11.	(0,25 đ)
- Chia các số nguyên tố lớn hơn 3 thành hai nhóm :
 + Nhóm 1: Gồm các số nguyên tố khi chia cho 12 thì dư 1 hoặc 11 .
 + Nhóm 2: Gồm các số nguyên tố khi chia cho 12 thì dư 5 hoặc 7.	(0,25 đ)
- Giả sử p1; p2; p3 là ba số nguyên tố bất kỳ lớn hơn 3. Có ba số nguyên tố, chỉ nằm ở hai nhóm, theo nguyên lý Dirichle thì trong ba số nguyên tố trên, tồn tại ít nhất hai số nguyên tố cùng thuộc một nhóm , chẳng hạn p1 và p2 cùng thuộc một nhóm:
 + Nếu p1 và p2 khi chia cho 12 có số dư khác nhau (tức là dư 1 và 11; hoặc 5 và 7) thì 
 p1 + p2 = 12 k1 + 1 + 12 k2 + 11 = 12(k1+ k2) + 12 ; suy ra p1 + p2 .
 hoặc p1 + p2 = 12 n1 + 5 + 12 n2 + 7 = 12(n1+ n2) + 12 ; suy ra p1 + p2 .
 + Nếu p1 và p2 khi chia cho 12 có số dư bằng nhau thì hiệu p1 – p 2.	(0,5 đ)